Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học toán ở trung học phổ thông

Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở THPT .... Vì những lí do trên đây, c

nguyÔn tr-êng s¬n

RÌN LUYÖN CHO HäC SINH KH¸, GIáI Kü N¡NG

GI¶I QUYÕT C¸C VÊN §Ò LI£N QUAN §ÕN PH¦¥NG TR×NH

Vµ BÊT PH¦¥NG TR×NH Cã CHøA THAM Sè TRONG D¹Y HäC TO¸N ë TRUNG HäC PHæ TH¤NG

Chuyªn ngµnh: LL & PPDH Bé M¤N TO¸N

M· sè: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GI¸O DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NguyÔn v¨n thuËn

NGHỆ AN - 2011

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Giả thuyết khoa học 4

6 Đóng góp của luận văn 4

7 Cấu trúc của luận văn 5

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Kĩ năng 6

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 6

1.1.2 Sự hình thành các kĩ năng 8

1.2 Về chủ đề phương trình và bất phương trình ở trường THPT 13

1.3 Những tình huống điển hình liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số 18

1.3.1 Giải và biện luận 18

1.3.2 Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất cho trước 24

1.3.3 Tìm điều kiện của tham số để tam thức không đổi dấu trên một miền 46

1.3.4 Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn tính chất cho trước 47

1.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở THPT 55

1.4.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 56

1.5 Kết luận chương 1 66

LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở THPT 67

số trong bài toán 67 2.1.1 Tham số là gì? 67 2.1.2 Giúp học sinh ý thức được tác động của tham số đến bài toán 73

trường hợp và hình thành kĩ năng phát hiện các tiêu chí để phân chia trường hợp trong bài toán giải và biện luận 75 2.2.1 Giúp cho học sinh ý thức được việc phân chia trường hợp trong

bài toán giải và biện luận 75 2.2.2 Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ra các tiêu chí nhằm

phân chia các trường hợp trong bài toán giải và biện luận 78

đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 85 2.3.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện

cho ẩn phụ 85 2.3.2 Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ 89 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát

biểu bài toán 95

đương cho học sinh, giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi 97 2.4.1 Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản

thường dùng trong dạy học phương trình, bất phương trình 97

đổi phương trình 111

2.5 Biện pháp 5: Hình thành khả năng nhận dạng, định hướng phương pháp giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số 113

2.5.1 Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phương pháp 114

2.5.2 Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán để từ đó định hình phương pháp giải 116

2.6 Kết luận chương 2 118

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 120

3.1 Mục đích thực nghiệm 120

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 120

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 120

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 121

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 123

3.3.1 Đánh giá định tính 123

3.3.2 Đánh giá định lượng 125

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 126

KẾT LUẬN 127

TÀI LIỆU THAM KHẢO 128

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ở trường phổ thông, theo A A Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động toán

học Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt

động toán học Dạy học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở

trường phổ thông Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế

được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành

kĩ năng và kĩ xảo Rèn luyện năng lực giải toán là nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy toán, học Toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán

Dạy học giải bài tập Toán được xem là một trong những tình huống

điển hình trong dạy học môn Toán Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ

thông là vô cùng nhiều và hết sức phong phú, đa dạng Có những bài toán có thuật giải nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và dẫn dắt, hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ giải quyết được bài toán đó chính là vấn đề hết sức

quan trọng Tuy nhiên, đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được

những gợi ý hợp lý, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên

Với một bài toán, học sinh không chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả mà luôn đưa ra các cách chứng minh khác nhau qua đó thể hiện hiện khả năng tư duy, suy luận sáng tạo để học tốt bộ môn này

Trong chương trình Toán phổ thông có rất nhiều bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số

Không những bài toán được đặt ra dưới dạng giải và biện luận, mà còn rất

nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn như: tìm điều kiện tham số để phương trình,

bất phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm điều kiện để hai phương trình tương đương với nhau; v.v

Thực tiễn sư phạm cho thấy, khi đứng trước những phương trình và bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm Rất nhiều giáo viên

có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: “Những bài toán có tham số luôn không dễ

đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thường có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này” Giáo viên nhiều

người có tâm lý lảng tránh phương trình và bất phương trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tương đối phức tạp đối với học sinh

Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh

Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu

không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất

phương trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT Nếu

có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn Toán sẽ được nâng cao; ngược lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học

Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình

tư duy toán học Thông qua những bài toán đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngược lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả năng

giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động tư duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu những sự tương ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân

chia trường hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v )

Một trong những đặc điểm của chương trình toán THPT là: Đi sâu

nghiên cứu những phương trình và bất phương trình chứa tham số (Còn

phương trình và bất phương trình không chứa tham số thì đã bắt đầu được học từ bậc THCS) Phần phương trình và bất phương trình được lặp lại theo

chiều hướng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số Đối với

học sinh khá, giỏi thì các bài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa

Thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông đòi hỏi phải có những công

trình nghiên cứu nhằm đưa ra những thủ pháp dạy học, những hướng dẫn sư

phạm để giúp người giáo viên giảng dạy tốt những kiến thức trong chương

trình, nhất là những kiến thức tương đối phức tạp nhưng giàu tính ứng dụng

và khá điển hình

Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhưng cho

đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải

quyết các vấn đề liên quan tới phương trình, bất phương trình chứa tham số

Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: “Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên

quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở bậc THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?

3.2 Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải

quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số?

3.3 Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình

và bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp những khó khăn và

sai lầm nào?

3.4 Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học

sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số?

3.5 Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, luận văn sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm

5 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hướng dẫn sư phạm

thích hợp thì sẽ rèn luyện được cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các

vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông

6 Đóng góp của luận văn

Nêu lên sự khác biệt giữa nội dung phương trình, bất phương trình của hai cấp học THPT và THCS, đồng thời chỉ ra được những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường gặp phải trong quá trình giải quyết các nội dung liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số

Xây dựng được các biện pháp sư phạm theo quan điểm hoạt động, nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá,

giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kĩ năng

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định cho con người Để giải quyết được công việc con người vận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm, của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải quyết được nhiệm vụ Với quá trình đó con người dần hình thành cho mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng

các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [23, tr 149]

Theo Từ điển tiếng Việt thì: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến

thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [40, tr 462]

Nói chung, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả đều thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục đã chứng tỏ học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã lĩnh hội được vào việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, đồng thời cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chất giữa tri thức và đối tượng đó Trong trường hợp này tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận

thức mà chúng trở thành một khối tri thức chết, không gắn liền với thực tiễn

và không biến thành cơ sở của các kĩ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định Như vậy, để tri thức trở thành cơ sở để lựa chọn đúng đắn các hành động (kĩ năng) thì cần phải biết lựa chọn và vận dụng đúng Nói cách khác cần: lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính của sự vật; lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động; làm sao cho hành động đảm bảo biến đổi đối tượng để đạt được mục tiêu Để minh họa ta xem xét ví dụ sau: “Tìm m để phương trình sau có nghiệm”:

sin2x + 3 cosx - m = 0

Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: tham số, công thức lượng giác, phương trình dạng bậc hai, Để tiến hành hoạt động giải Toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm m để phương trình có nghiệm Ta nhận thấy phương trình trên có thể đưa về dạng bậc hai, khi đó bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm có thể được giải quyết (mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:

Tách ra một cách rõ ràng hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài toán trong các dữ kiện xuất phát “Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán

- đó là thâu tóm được toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó Như ví dụ trên, vấn đề là phải quan sát toàn bộ phương trình chứ không được tập trung chú ý vào một hạng tử, có như vậy mới phát hiện được mối quan hệ bản chất đó là:

x2 - 1= (x + 1)( x - 1)

Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét, đó là:

+) Những nguyên tắc giải;

+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan

hệ bản chất đối với bài toán;

+) Phân tích bài toán

1.1.2 Sự hình thành các kĩ năng

Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và

tiếp thu được từ các đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán

đã cho Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của

tư duy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần Chẳng hạn, Bài toán:

“Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0

Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy là một phương trình dạng bậc hai:

(a + b + c)x2 + 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

Đây là phương trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm nghĩa là phải chỉ ra:

+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình: 2(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 có nghiệm

Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới”

Cũng không loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán như sau: chứng minh phương trình luôn có nghiệm có nghĩa là ta chỉ cần chỉ ra phương trình luôn có 1 nghiệm nào đó với mọi giá trị a, b, c

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng, để có thể tiến hành hoạt động giải toán Điều này không phải mọi học sinh đều có thể thực hiện tốt

Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại Chẳng hạn, như X L Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới [23, tr 155]

Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu Các kĩ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau

về đối tượng đang được nghiên cứu Các con đường chính của sự hình thành các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó Và bản thân học sinh tìm tòi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử các phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ

thuật hoạt động Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu

vấn đề Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết

những dấu hiệu mà theo đó có thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài toán đó Người ta gọi con

đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ

Cuối cùng, con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải các bài toán đặt ra Con đường này đã được các nhà Tâm lí học Xôviết nghiên cứu, chẳng hạn như: P

Ja Galperin, N F Talyzyna và những người khác [23, tr 156] Họ cho rằng,

để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinh một cách có

hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu

Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất) của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn Được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, còn các thao tác tách ra các mốc định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng

thì phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích đa thức vế trái

thành nhân tử bằng cách ghép bình phương đủ, như vậy lời giải dựa trên các mốc định hướng có đối tượng Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác có đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ Trong ví dụ trên người ta không còn sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử để giải mà thay vào đó là các kí hiệu ∆ và công thức nghiệm, ở giai đoạn này giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ và kí hiệu Ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = - 2 và x = - 3”

Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn

Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ không phải khái niệm từ ngữ thuần túy), ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó Do vậy, không thể tránh khỏi các sai lầm và các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy

đủ và đúng đắn Để cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ Nói một cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất

cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép

hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều

1.2 Về chủ đề phương trình và bất phương trình ở trường THPT

Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông Những vấn đề lí luận như khái niệm phương trình, bất phương trình; quan hệ tương đương đối với hai phương trình, bất phương trình; phương pháp giải phương trình, bất phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc lớp có phần lặp

đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp 10 Đồng thời học sinh cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, bất phương trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã học

Ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10 ( Nâng cao), học sinh được học về phương trình, bất phương trình với các khái niệm và cũng giới thiệu phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng

Nếu là một người đọc “thờ ơ” thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự

trình bày lại những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS Thực chất

ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác biệt về nội dung

Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình và bất phương trình được trình bày ở cấp THCS và cấp THPT Trong mục này ta nói đến phương trình còn bất phương trình có sự tương tự

Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thể hiện ngay ở khái niệm phương trình:

SGK Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phương trình ẩn x có dạng

A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x”

SGK Đại số 10 (Nâng cao) định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và

y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt D = D f  D g , mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”

Ở định nghĩa phương trình và bất phương trình ở bậc THPT có đưa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng

ở THCS Bậc THPT khái niệm tập xác định phương trình đã được đưa vào, điều này là một điểm mới so với bậc THCS Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc THCS Với sự chính xác, khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số để hai vế phương trình bằng nhau Còn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phương trình được đưa vào khá lôgic và hợp lí

Chính Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã

chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay

cả “tập xác định của phương trình” - cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương trình có ẩn ở mẫu”

Việc đưa ra khái niệm phương trình, bất phương trình như trong SGK Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lí

về phép biến đổi tương đương

SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra định lí về phép biến đổi tương

đương: “Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một

hàm số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

+) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

+) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”

Phép biến đổi chỉ tương đương trên tập xác định phương trình Định lí này hoàn toàn hợp lí với những gì học sinh được học ở cấp THCS, SGK Đại

số 10, Nâng cao, đã viết: “Hai quy tắc biến đổi phương trình đã biết ở lớp

dưới (quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi tương đương” Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu sắc, tường

minh về phép biến đổi tương đương thông qua việc nắm nội dung, chứng minh định lí về phép biến đổi tương đương Đây là điều mà học sinh THCS chưa làm được bởi phép biến đổi tương đương chỉ được giới thiệu dưới dạng qui tắc biến đổi và được thừa nhận Chính việc thừa nhận làm cho không ít

học sinh hiểu máy móc, không nắm được bản chất vấn đề “Tại sao lại chuyển

vế đổi dấu?” là câu hỏi mà nhiều học sinh thắc mắc, nhưng việc trình bày như

vậy là hoàn toàn phù hợp với thực tiễn sư phạm vì không thể đưa ra nhiều khái niệm trừu tượng như ở bậc THPT Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen

và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT Việc không trình bày hoàn thiện kiến thức về phương trình ở bậc THCS, đem lại cho học sinh ít nhiều thắc mắc và giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích

những thắc mắc cho học sinh Chẳng hạn, khi dạy bài: “Phương trình chứa ẩn

ở mẫu”, trong SGK Toán 8, Tập hai, ngay trong ví dụ mở đầu viết:

thuộc như sau:

Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 không

là nghiệm thì thật khó chấp nhận, có thể kiến thức được học là sai? Để giải thích điều này đòi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ ràng, giúp học sinh tránh được trở ngại tâm lý

Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu,

THCS, mới thấy hết sự hợp lí, lôgic của khái niệm phương trình, bất phương trình được đưa ra ở SGK Đại số 10, Nâng cao

Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học THCS và THPT Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, Nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau

Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc nhất và

bậc hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các phương trình có tham số” Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10

đi sâu vào những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải” [19, tr 66] Như vậy, phương trình, bất phương trình có chứa

tham số trở thành nội dung chính trong chương trình Toán ở bậc THPT Sự khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong SGK ở hai cấp học Ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phương trình bậc nhất một ẩn số ở hai cấp học

SGK Toán 8, Tập hai, đưa ra khái niệm phương trình bậc nhất 1 ẩn, sau

đó đưa ra hai quy tắc vận dụng để giải Ở cuối tiết phương trình bậc nhất 1 ẩn, SGK đưa ra cách giải tổng quát phương trình:

ax + b = 0 (với a ≠ 0), được giải như sau:

a

  Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất b

+) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập hợp

số thực

Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã cho, còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện sự khác biệt lớn, ở cấp THCS gần như không có sự xuất hiện của tham

số, ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa tham số

Như vậy, chủ đề phương trình, bất phương trình ở hai cấp THCS và THPT là có sự khác biệt rõ rệt Mặc dù chủ đề phương trình và bất phương trình đã từng xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề về phương trình có vẻ lặp

đi lặp lại, nhưng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự

xuất hiện của phương trình và bất phương trình có chứa tham số Hay nói

cách khác, là có sự “đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phương trình,

bất phương trình ở hai cấp Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng

phương trình, bất phương trình phức tạp hơn đó là: phương trình và bất phương trình siêu việt

1.3 Những tình huống điển hình liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số

Trong chương trình Toán THPT thường hay gặp các bài tập về phương trình và bất phương trình có chứa tham số, mà muốn giải được các bài toán có chứa tham số người giải phải nắm được kiến thức một cách có hệ thống, biết suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp Bài toán chứa tham số đòi hỏi người giải quyết phải vận dụng khả năng tư duy cao độ và do vậy nó là chủ đề

mà học sinh vẫn thường gặp rất nhiều khó khăn Tuy nhiên, những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh có cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng toán này là thước đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức phương trình, bất phương trình của học sinh Dạng toán liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phong phú nên chúng tôi không có ý định thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển hình

cơ bản thường gặp trong chương trình Toán THPT Ở mỗi tình huống điển hình, sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ cụ thể để người đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn

về các dạng toán

Trong Mục này, sẽ phân chia bài toán có chứa tham số thành từng dạng dựa trên yêu cầu của bài toán

1.3.1 Giải và biện luận

Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có nghĩa là tùy theo các giá trị của tham số tiến hành giải phương trình, bất phương trình đó Đây

là dạng toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống như giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của

tham số ta có được trường hợp riêng của bài toán đó Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy, nên chưa phù hợp để đưa vào dạy ở bậc THCS Ngay từ đầu cấp THPT việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình được dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic SGK Đại số 10, Nâng cao, lần lượt giới thiệu phương pháp giải và biện luận phương dạng ax

phương trình bậc nhất hai ẩn, giải và biện luận phương bất phương trình bậc nhất một ẩn Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kĩ năng giải, biện luận cần đạt của học sinh là:

Bài tập củng cố kiến thức được học, chẳng hạn như:

Ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

b) (m + 1)x2 + 4x - 2 = 0

Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức được học và tiến hành gần như tương tự thì sẽ giải quyết được

Ở mức độ khó hơn SGK, đưa ra những bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn như:

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m:

Bây giờ biện luận theo tham số m:

2 2

Với m < 2 phương trình vô nghiệm

Như vậy, đối với dạng toán ở Ví dụ 2, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức cơ bản đã được học Nó không còn là bài tập vận dụng máy móc, đơn thuần như ở Ví dụ 1 Tuy nhiên, chưa dừng lại ở khả

năng vận dụng, có rất nhiều bài toán giải và biện luận đòi hỏi người giải phải suy nghĩ, phải tư duy

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:

  a 1 x (3) Với điều kiện (2) và (3) ta bình phương hai vế của (1) cho ta:

x    x (a 1 x) x2   x (a 1)2 2(a 1)x x2

(2a 1)x  (a 1) (4) Vấn đề cần sự tư duy, ở đây là sự tương quan giữa nghiệm của hai phương trình (1) và (2) Mối tương quan này cần được xem xét kĩ càng nếu không rất dễ mắc phải sai lầm Có thể phương trình (2) tồn tại nghiệm nhưng phương trình (1) và (4) Mối tương quan này cần phải xem kỹ nếu không dễ mắc sai lầm Có thể phương trình (4) có nghiệm nhưng phương trình (1) lại

vô nghiệm Tất nhiên, là nếu phương trình (4) vô nghiệm thì phương trình (1) cũng vô nghiệm Câu hỏi đặt ra là: phương trình (4) như thế nào phương trình (1) có nghiệm? Đây là vấn đề học sinh cần phải tư duy, (giáo viên không nên giải quyết) mà cần phải để học sinh tự suy nghĩ, có như thế tư duy học sinh mới được phát triển

Học sinh cần nhận thức ra vấn đề phương trình (1) sẽ có nghiệm nếu phương trình (4) có nghiệm Khi học sinh hiểu được vấn đề này thì mới có thể tiến hành giải và biện luận bài toán Xin đưa ra lời giải để phần nào minh họa dạng toán giải và biện luận

Trường hợp này phương trình có nghiệm:

(5) 

1

1 a2

   Phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x

2

Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị

học sinh đưa phương trình về hệ:

Có thể hỏi học sinh như sau: Cứ giả sử rằng phương trình (1) là có

nghiệm khi đó hiển nhiên m phải có điều kiện gì ?

Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu diễn miền nghiệm

Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các điểm M(t,m) thỏa mãn (II) được biểu diễn bằng đường đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ điểm B)

 phương trình vô nghiệm

1.3.2 Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất cho trước

Phương trình có chứa tham số thì nghiệm của nó sẽ phụ thuộc vào tham

số, do đó nghiệm của phương trình sẽ xảy ra nhiều khả năng: vô nghiệm, có nghiệm (có vô số nghiệm, có hữu hạn nghiệm) ứng với mỗi giá trị tham số khi giải sẽ cho kết quả về nghiệm và bài toán rất hay được khai thác là cho kết luận về nghiệm tìm giá trị tham số thỏa mãn kết luận đó Bài toán tìm điều kiện tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn tính chất cho trước có rất

nhiều dạng, trong mục này sẽ liệt kê một số dạng cơ bản như: Tìm điều kiện

của tham số để phương trình có nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình có nghiệm chung; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình tương đương; Tìm điều kiện của tham số để phương trình có số nghiệm xác định; Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình có vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán;…

1.3.2.1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm

Trường hợp 2: Với m ≠ 2, để phương trình có nghiệm thì:

∆’ = 4 + (m - 2) = m + 2  0

Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chương trình Tuy nhiên, trong thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn

Ví dụ 6: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính

các nghiệm ấy theo m

Nếu m > 0: xét trong trường hợp cả hai phương trình (2) và (3) đều có

3

x x





  

Vậy, với m = 0 phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Nếu m < 0: Do cả hai phương trình đều có P(2) = P(3) = m < 0 nên

cả hai phương trình đều có hai nghiệm trái dấu, ta loại nghiệm dương Khi đó hai nghiệm âm của phương trình là:

27

trên trục 0x với phần parabol nằm phía dưới trục hoành được lấy đối xứng qua trục hoành

Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị trên, ta thấy:

Nếu m - 1 > -1 m > 0 đồ thị f và đồ thị g không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm

Nếu m - 1 = -1  m = 0 đồ thị f và đồ thị g có một điểm chung là (0; 0), vậy phương có nghiệm: x = 0

Nếu m - 1 < 0  m < 0 đồ thị f và đồ thị g cắt nhau tại hai điểm, một điểm là giao của hai đồ thị f và y = g1(x) = x2 - 2x + m

1.3.2.2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm

Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm, thực chất là bài toán ngược của bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình

có nghiệm Nếu như tập hợp các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là S, miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số

để phương trình vô nghiệm là D\S

Phương trình dạng: ax + b = 0 vô nghiệm khi: a = 0 và b ≠ 0

Với điều kiện này phương trình đã cho trở thành

Ví dụ 8: Với giá trị nào của a thì phương trình

4x - 2x + a = 0 (1) Vô nghiệm

Cách 1: giáo viên yều cầu học sinh đặt 2x = t điều kiện t > 0 rồi đưa phương trình về dạng t2 - t = - a (t > 0) (2)

- Yêu cầu học sinh vẽ parabol:

Để phương trình (1) vô nghiệm thì ta tìm bài toán ngược là:

Tìm a để phương trình (1)

có nghiệm t > 0 thì - a phải là một

giá trị của hàm số y = t2 - t với tập xác định

là (0, +)

Từ đồ thị học sinh sẽ suy ra được:

phương trình (2) có nghiệm t > 0 thì đường

Vậy với a > 1

Cách 2: đặt 2x = t điều kiện t > 0 để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình t2 - t + a = 0 (2) phải có nghiệm t > 0

Vậy với a > 1

4 1

1 0

1.3.2.3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất

Đối với phương trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy nhất sẽ là: a ≠ 0

+ bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy nhất sẽ là:

+) a = 0 và b ≠ 0

+) a ≠ 0, ∆ = b2

- 4ac = 0

Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phương trình có dạng:

ràng, nó cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm được

Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn như:

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x2 - 2mx + (m + 1)x - m + 1 = 0 (1)

đối thì sẽ đưa lại phức tạp trong tính toán, cũng như trong suy luận Tuy nhiên nếu biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển được phương trình (1) về dạng:

(1)  (x - m)2 + (m + 1)x - m + 1 - m2 = 0

Đặt X = x - m, (điều kiện: X  0), được:

X2 + (m + 1)X + 1 - m2 = 0 (2)

Với mỗi X = 0, phương trình (1) có 1 nghiệm x = m

Với mỗi X < 0, phương trình (1) vô nghiệm

Như vậy để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) phải có nghiệm X1, X2 thỏa mãn: X1 X2 = 0

Bài toán này có thể giải theo phương pháp điều kiện cần và đủ, ta dễ dàng tìm ra điều kiện cần, bởi:

Do đó nếu phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện cần là:

'

Vậy với m = 18 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất, vì dễ thấy rằng hệ

x y

Với m > 0 ta xem phương trình (1) là đường thẳng d, còn phương trình (2) là đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R = m Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi d tiếp xúc với đường tròn (C), tức là khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng bán kính:

Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ đã cho có nghiệm (x0; y0) thì (y0;



 



Ví dụ 11: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

Giải: giáo viên gợi ý: vế trái của hệ luôn luôn dương vậy để hệ phương

trình có nghiệm thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ?

Kết luận: Với m =

2

1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

1.3.2.4 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước

Đối với loại toán này thường được ra với phương trình bậc hai Yêu cầu

hệ thức cho trước như:

x1 = 2x2; x1 = 9x2; ;x1 + 2x2 = 10 …

hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:

x12 +x22 = 3x1x2 ; x14+x24 = 10 ;…

để tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn Bởi khi đó các nghiệm sẽ được tính theo tham số và có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức tạp trong tính toán Để đơn giản trong quá trình giải thì phương pháp giải thông thường là vận dụng Định lí Vi-et đối với phương trình bậc hai, kết hợp với hệ thức mà đề bài đã cho nhằm tìm ra giá trị tham số

Ví dụ 12: Tìm các giá trị của m phương trình:

x2 + (2m - 6)x + m -13 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

Từ (1) và (3) ta được:

1

2

m 1x

2

m 1x

(6)

Từ (4) ta có: x13 - x23 = 7  (x1- x2) [ (x1 + x2)2 - x1x2] = 7 (7)  m 2 - n = 7 Lấy (7) trừ (6) ta có: 3n = 6  n = 2

Vậy hai cặp m = 3, n = 2 và m = -3, n = 2 đều thoả mãn điều kiện (*),

Để xem xét hệ trên có nghiệm, ta chuyển hệ trên về hệ phương trình

vào hai phương trình từ tìm được tham số Với tham số vừa tìm được hãy thử lại xem hai phương trình đã cho có nghiệm chung hay không và kết luận