bat phuong trinh logarit chua tham so

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ Bài toán.. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm... Có bao nhiêu giá t

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ Bài toán Tìm m để bất phương trình f x m ( , ) 0 hoặc f x m ( , ) 0 có nghiệm trên D ?

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng ( )A m  f x( ) hoặc ( )A m  f x( )

Bước 2 Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m

để bất phương trình có nghiệm

Lưu ý: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên D

Trong trường hợp tồn tại max ( )

x f x

D và min ( )

x f x

D thì ta có:

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) có nghiệm trên ( ) max ( )

x



D

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) có nghiệm trên ( ) min ( )

x



D

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) nghiệm đúng ( ) min ( )

x



D

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) nghiệm đúng ( ) max ( )

x



D

Nếu f x( )ax2bx c a  0 thì

( ) 0, 0

0

a

     



f x( ) 0, x a00

     



Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

log (7x 7) log ( mx 4x m ) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x?

Lời giải

Chọn B

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn  2











2 2









Ta thấy m0; m7 không thỏa mãn điều kiện đề bài

Với m và 0 m7 Khi đó ta có:

m

m





    

0 2 2

m m m





  







  



 m  2 (1)

m

m

 



 

7

m





7 5 9

m m m











  



 m  5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2   m 5 Do m   nên m   3;4;5 

Câu 2 Tìm m để bất phương trình 2

log 2x2(m1) log x  có nghiệm 2 0 x( 2;)

A m(0; ) B 3;0

4

m   

3

; 4

m   

 . D. m ( ; 0).

Lời giải

Chọn C

Ta có 2

log 2x2(m1) log x  2 0   2

1 log x 2(m1) log x  2 0  

Đặt tlog2x Do ( 2; ) 1;

2

x   t  

  Khi đó   trở thành  2

1t 2(m1)t  2 0

  2

1 2

t

m t

     2 1

2

t

t



  (1)

Xét hàm   1

2 2

t

f t

t

  liên tục trên 1;

2

  

 

; 2

Khi đó (1) đúng với mọi 1;

2

t  

  khi 1  

; 2

min f t m

 



 

4

m 

Câu 3 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc   100;100  của tham số mđể bất phương trình

log log 3x 1  log m nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng   ;0 ?

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: log 32 1  0

0 0

x

m m





Ta có log0,02 log 32 x 1    log0,02m  log 32 x  1  m

Xét hàm số f x    log 32 x 1  Ta có  

 3 ln 3 

3 1 ln 2

x x

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc   ;0  khi

1.

m 

Do m nguyên và thuộc đoạn   100;100  nên m   1;2;3;4; ;100 

Câu 4 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

log 2 x   4 m log x  1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc  16; ?

Lời giải

Chọn C



2 2

0

2

x

x x

x x









log x 2log x 3 m log x 1 *

Do x   16;   nên log2x   4 log2x   1 0

Suy ra   22 2

2

*

log 1

m x

Đặt t  log2x Do x   16;   nên t   4;  

Bất phương trình   * trở thành 2 2 3  4; 

1

m t t

Xét hàm   2 2 3

1

f t

t

 



 với t   4;  

Ta có  

2

2 2

2 3 1

t



Suy ra hàm số f t   nghịch biến trên khoảng  4; 

Bảng biến thiên của hàm f t   như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc

 16;   khi m  1 Do m  *  m 1

Câu 5 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc   10;10  của tham số m để bất phương trình

4 4

3 x  x   4 2 log m  x2 có nghiệm?

Chọn A

Điều kiện xác định:

0 4

x x

x x

x





 

   



   



Ta thấy 0    0 4 x 4       x 4 2 4 4   x 4 Suy ra log4 4x2 0 

Khi đó bất phương trình

4 4

4 4

2.log 2 x

x

 

1

2

1

2

f x  x  x    x liên tục trên   0;4

Ta có

Suy ra hàm số y  f x   đồng biến trên   0; 4

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì m  1

Do m nguyên và thuộc khoảng   10;10  nên m   2;3; ;9 

Vậy có 8 giá trị m nguyên cần tìm là : m   2;3; ;9 

Câu 6 Cho bất phương trình  2   2 

log x 2x2  1 log x 6x 5 m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng  1;3 ?

A 35 B 33 C 33 D 36

Lời giải Chọn D

2





Bpt

2 2

    



 

Xét hàm f x   x2 6x5 liên tục trên đoạn  1;3

Ta có f x      2x 6 0, x  1;3  f x  nghịch biến trên đoạn  1;3

max f x f 1 12

Xét hàm g x 6x28x9 liên tục trên đoạn  1;3

Ta có g x 12x   8 0, x  1;3 g x  đồng biến trên khoảng  1;3

ming x g 1 23

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi

2 2

    





 với mọi x 1;3    

1;3 1;3

max min







 



Khi đó ta có 12  m 23 Mà m nên m  12; 11; 10; ; 22; 23  

Vậy có tất cả 36 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 7 Tìm tấtt cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 22 1

4 4log x  2log x m   0 có nghiệm với mọi x thuộc khoảng   0;1

0;

4

; 4

m    

  C m    ;0  D 1

; 4



 

Lời giải Chọn D

Điều kiện: x  0

4

4log x  2log x m   0  2

log x log x m 0

Đặt t  log2x, do x    0;1    t  ;0 

Bất phương trình trở thành t2   t m 0     m t2 t

Xét hàm f t      t2 t với t    ;0 

Ta có f t       2 1 t ,   0 1

2

f t      t Bảng biến thiên của hàm f t      t2 t như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn 1

4 m

 

Câu 8 Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình ln 5 ln x2 1 ln mx24x m  có tập

nghiệm là ?

Lời giải Chọn A

Ta thấy x2 1 0, x 

Ta có ln5 ln x2 1 ln mx24x m ln 5 x2 5 ln mx24x m 

2 2 2



 



2



 

  



 

 

2 2

2

1 4 1

x x

x

 



Hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x  có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là  khi 2 m 3

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 9 Số giá trị nguyên của m để bất phương trình  2   2 

1 log x  1 log mx 2x m có nghiệm đúng với mọi số thực x là

Lời giải Chọn A

Điều kiện xác định: mx22x m  0

1 log x  1 log mx 2x m log 3 x  1 log mx 2x m

3 x 1 mx 2x m 3 m x 2x 3 m 0

Ta thấy m0; m3 không thỏa mãn điều kiện đề bài

Với m và 0 m3 Khi đó:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

2 2









2 2

2; 4

m

m





  



Mà m nên m2

Câu 10 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc 2021;2021 sao cho bất

1 log  x  x  3 x m   log 3 x  1 nghiệm đúng với mọi x trên đoạn   0;3

Tính số phần tử của tập hợp S

A 2020 B 2018 C 2022 D 4040

Lời giải Chọn B

Ta thấy 3x2   1 0, x 

1 log  x  x  3 x m   log 3 x  1 ;   x 0;3

log 3x 3x 9x 3m log 3x 1 ; x 0;3

 

3x 3x 9x 3m 3x 1; x 0;3

        3m 3x39x  1; x  0;3

Xét hàm số: f x  3x39x1 trên  0;3

Ta có: f x  9x29, f x 0  

 

1 0;3

1 0;3

x x

 



    

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: 3 7 7

3

m   m

Mà m và m  2021; 2021 nên m{3; 4; ; 2020}

Câu 11 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc 2021;2021 sao cho bất

phương trình 2

3log 2x12log x   nghiệm đúng với mọi 1 m 0 x trên khoảng  2; Tính 

số phần tử của tập hợp S

A 2018 B 2020 C 2022 D 4040

Lời giải Chọn B

Ta có: 2

3log 2x12log x  1 m 0  2 

3 log x 2 log x 1 12 log x 1 m 0

2

3log x 6 log x 2 m 0

Đặt: log x t2  , với   1

2

x   t  

  Khi đó bất phương trình (*) trở thành 3t2   6t 2 m 0 m3t2  6t 2

Xét hàm số   3 2 6 2, 1;

2

f t  t    t t   

 

Ta có: f t  6t 6; f t      0 6t 6 0 t 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy m 1

Mà m và m  2021; 2021 nên m  2020; 2019; ; 1  

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (52 x1).log (2.52 x2) m

có nghiệm x1

A m B m6 C m6 D m6

Lời giải Chọn A

Với x1 thì 5x 1 0; 2.5x 2 0

Ta có log (52 x1).log (2.52 x2)m

log (5x 1).log (2.5x 2) m

log (5x 1) 1 log (5 x 1) m

Đặt tlog 52 x do1 x1 t 2;

BPT trở thành: t(1 )    t m t2 t m

Đặt f t( ) t2 t ta có f t( ) 2 t  với 1 0  t 2; nên hàm số y f t  đồng biến và liên tục trên 2; Suy ra f t 6; khi t2;

Do đó để để bất phương trình log (52 x1).log (2.52 x  có nghiệm thỏa mãn 2) m x1 thì

m

Câu 13 Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho khoảng  2;3 thuộc tập nghiệm của bất

log x  1 log x 4x m  là 1

A 13 B 12 C 12 D 13

Lời giải Chọn D

Ta có

2

2 2

2 2

1

x



   



Hệ trên thỏa mãn  x  2;3  

 

2;3 2;3

( ) 12

( ) 13

m Max f x

m

m Min g x





Câu 14 Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn  2018;2018 sao cho bất phương trình

 11

log log

10 10

10x m x 10 x đúng với mọi x1;100?

A 2022 B 2021 C 2020 D 2018

Lời giải Chọn D

Điều kiện x0

11

10

Do đó        



2

10 log 1 log 10log 0 10

log 1

Đặt tlogx, t 0;2

Xét hàm số   



2

10 1

t t

f t

t liên tục trên đoạn 0;2 

Ta có  



2 2

1

t t

t Hàm số f t  đồng biến trên  0; 2 Suy ra

 0;2   16

max ( ) 2

3

f t  f 

Để bất phương trình 





2

10log log 10

log 1

m

x đúng với mọi x1;100 thì 10 16  8

 8 ;2018 15

m hay có 2018 số thỏa mãn

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể bất phương trình    3 

log x 1 log x   x m

có nghiệm

Lời giải Chọn B

Điều kiện 3 1

0

x

 



   

log x 1 log x           x m x 1 x x m x 1 m Đặt f x x31, ta có f x 3 ,x2 f x     0 x 0 1; 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn  m 

Câu 16 Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình

log x mx m 2 log x 2 nghiệm đúng với mọi x ?

Lời giải

Chọn D

Ta thấy x2   2 0 x 

Do đó bất phương trình

log x mx m 2 log x 2 x mx m  2 x  2 mx m 0

log x mx m 2 log x 2 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi mx m     0 x  m 0

Câu 16 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m    2021;2022  để bất phương trình

3

log 3 x  log x   1 2log x  2 m   2 0 có nghiệm với mọi x thuộc đoạn  1; 3 3

 ?

Lời giải

Chọn A

Điều kiện x  0 Ta có 32 23 1

3 log 3 x  log x   1 2log x  2 m   2 0

1 log x log x 1 2log x 2 m 2 0

log x log x 1 2 m 1 0

3

t  x   , ta được bất phương trình t2  t 2 m      2 0 t2 t 2 m  2 *  

Ta có x    1; 3 3   0 log  3x  3 2  

3

1 t log x 1 2 t 1; 2

Xét hàm f t     t2 t, với t    1; 2 Ta có f t         2 1 0, t t   1;2

Suy ra hàm số f t   là hàm đồng biến và liên tục trên đoạn   1; 2

Ta thấy f   1  2 và f   2  6

Bất phương trình f t    2 m  2 có nghiệm với   t   1; 2

 f   2  2 m    2 6 2 m    2 m 2

Do m   , m    2021;2022  nên m   2, ,2022  Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán

Câu 18 Cho hàm số     2   2 

f x      x  x Tìm các giá trị của tham số m

để bất phương trình f 3 2 x m  f x 22x20 nghiệm đúng với mọi giá trị x

A 3

2



2 m 2 C 1

2



Lời giải Chọn D

Ta có x2   1 x x2   1 x 0 nên tập xác định của hàm số đã cho là D  

Với x R  , ta có     2 2  

2

2

 

f x

 là hàm số lẻ

2

1

1

x



 Hàm số f x  nghịch biến trên 

Ta có f3 2 x m  f x 22x2 0 f x 22x2 f2 x m 3

2 2 2 2 3 2 2 2 1

x  x  x m   x m x  x

2 2



 



m x , x 

Do max( x2 4x 1) 3, min(x2 1) 1



3 2 1 2

m m

 





 



Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 19 Biết rằng a là số thực dương sao cho bất phương trình log2 53  log 5 2 6 9 0



nghiệm đúng với mọi x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a12;14 B a10;12 C a14;16 D a16;18

Lời giải Chọn D

Ta có log2 53  log 5 2 6 9 0 log2 53  log2 56 9 



3xax 6x9x  ax 18x 6x9x3x18x

ax18x 3 2x x 1 9 2x x1 ax18x  3 2x x1 3 x 1  *

Ta thấy 2x 1 3 x   1 0, x   3 2x x1 3 x   1 0, x 

Do đó,  * đúng với mọi mọi x ax 18x   0, x  1,

18

x

a

x

 

    

18

a

a

Câu 20 Cho hàm số f x logx 1 x22x2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

thuộc 10;10 để bất phương trình f 2 x m  f  x2 4x6 nghiệm đúng với mọi 0 x

thuộc 1;1?

A 8 B 4 C 11 D 3

Lời giải

Chọn A

x  x  x   x x        x x x  Hàm số f x logx 1 x22x2 xác định trên 

2

2

1

2

1 1

0,

x x





 hàm số f x  đồng biến trên 

Ta có: f2 x m  f x2 4x6 0 f 2 x m  f x2 4x6

2   2 4 8 2 2 4 8

Xét các hàm số u x   x2 6x8 và v x x22x8 trên 1;1 ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc 1;1 thì 15

2 11 2

m

m

  





 



Do m nguyên và m  10;10 nên có 8 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 21 Cho hàm số   2 2

1 1

f x

x

 



 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

       

2 4

5

4

f x

  có nghiệm x0;

A 9

8

2

8

2

m Lời giải

Chọn C

Xét hàm số   2 2

1 1

x x

f x

x

 



 trên khoảng 0;

Ta có  

2 2 2

1 1

x

f x

x

 

1 0;

x

x





           

 Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy 1   3, 0; 

2

Xét hàm số   2   4      

5

4

2f x f x log

f x

  trên 0;

Do f x 1 nên hàm số g x  xác định trên khoảng 0;

Ta có              

   

4

4 1

4 ln 5

f x

f x





2 4

3

2

2 2.2 ln 2

4 ln 5

g x f x f x





Do 1   3

2

f x

  nên g x  0 f x   0 x 1

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm x0; thì 9

8

m

Câu 22 Cho các bất phương trình 2  2 

log x 4x m 2 log x 4x m 8  1 và

3 x x 1 0  2 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình  2 đều là nghiệm của bất phương trình  1

A 254 B 255 C 256 D 257

Lời giải

Chọn B

Bất phương trình  2 3 0 1 3

1 0

x

x x

 



      Suy ra tập nghiệm của bất phương trình  2 là: S 1;3

Do đó mọi nghiệm của bất phương trình  2 đều là nghiệm của bất phương trình  1 khi và chỉ khi bất phương trình  1 có nghiệm đúng với mọi x 1;3

Điều kiện:

2

2 2

4



     thỏa mãn  x  1;3 Khi đó

 1;3  

max

m f x với f x   x2 4x1 Xét hàm số f x   x2 4x1 trên đoạn  1;3

f x    x   x 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

1;3

m f x  m (3)

log x 4x m 2 log x 4x m 8

2

1

2

t x  x m , t0 Bất phương trình trở thành: t2     2t 8 0 t  4;2 t  0; 2

Với t ta có 2  2 

2

1

2 x  x m  m  x2 4x256 với mọi x 1;3

1;3

min

  với g x   x2 4x256

Xét hàm số g x   x2 4x256 với x 1;3

 

g x      x x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:

1;3

m g x  m (4)

Từ  3 ,  4 ta có m5;259 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy có tất cả 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình  2 đều là nghiệm của bất phương trình  1

Câu 23 Cho bất phương trình  22  2   

2x log x 4x6 4x m log 2 x m 2 với m là tham số thực Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi

 0;2

x là đoạn  a b; Khi đó a2b2 bằng:

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: x

2x log x 4x6 4x m log 2x m 2

2x log  x 2 2 2 x m log 2 x m 2 1

Xét hàm số y2 logt 2t2 với t0