Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học toán ở trung học phổ thông

Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT.. Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A A stôliar), trong

đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải Toán Bài tập Toán

mang nhiều chức năng: chức năng giáo dục, chức năng giáo ỡng, chức năng phát triển t duy và chức năng kiểm tra đánhgiá

d-Dạy học giải bài tập Toán đợc xem là một trong những

tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Khối lợng bài

tập Toán ở trờng phổ thông là vô cùng nhiều và hết sứcphong phú, đa dạng Có những lớp bài toán có thuật giải nhngphần lớn là những bài toán cha có hoặc không có thuật giải

Đứng trớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn họcsinh nh thế nào để giúp họ giải quyết đợc bài toán – là mộtvấn đề hết sức quan trọng Tuy nhiên, đây cũng là vấn đề

rất khó khăn bởi vì đề ra đợc những gợi ý hợp lý, đúng lúc,

đúng chỗ còn là nghệ thuật s phạm của chính ngời giáo viên.Trong chơng trình Toán phổ thông có rất nhiều bài toánphơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bấtphơng trình chứa tham số Không những bài toán đợc đặt

ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa,

chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bấtphơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trớc; tìm

điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v

Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơngtrình và bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặprất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khimắc phải những sai lầm Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm

đã đúc kết rằng: “Những bài toán có tham số luôn không dễ

đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này” Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh phơng

trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy,bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng đối phức tạp đối vớihọc sinh

Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách

(Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí

đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ

không phát triển đợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhucầu giải quyết vấn đề

Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng

trình và bất phơng trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả

học tập môn Toán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này

bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trongviệc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học

Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơngtrình và bất phơng trình chứa tham số chứa đựng nhiềutiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học Thông quanhững bài toán đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt

động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có

khả năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu những sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v ).

Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPTlà: Đi sâu nghiên cứu những phơng trình và bất phơng

trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS).

Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều

hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham

số Đối với học sinh khá, giỏi thì các bài toán chứa tham số lại

càng có vai trò quan trọng hơn nữa

Thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông đòi hỏi phải cónhững công trình nghiên cứu nhằm đa ra những thủ pháp

dạy học, những hớng dẫn s phạm để giúp ngời giáo viên giảng

dạy tốt những kiến thức trong chơng trình, nhất là nhữngkiến thức tơng đối phức tạp nhng giàu tính ứng dụng và khá

điển hình

Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ

năng, nhng cho đến nay vẫn cha có công trình nào nghiên

cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tớiphơng trình, bất phơng trình chứa tham số

Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên

cứu của luận văn là: “Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện chohọc sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơngtrình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơngtrình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở bậcTHPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau

đây:

3.1 Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là nh thếnào?

3.2 Những tình huống điển hình nào thờng gặp trong

quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến phơngtrình và bất phơng trình chứa tham số?

3.3 Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan

đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, học

sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm nào?

3.4 Những biện pháp s phạm nào đợc sử dụng để rèn

luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan

đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số?

3.5 Kết quả của thực nghiệm s phạm là nh thế nào?

5 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn luyện đợc cho học sinh THPT

kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình

và bất phơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệuquả dạy học Toán ở trờng phổ thông

6 Đóng góp của luận văn

Nêu lên sự khác biệt giữa nội dung phơng trình, bất

ph-ơng trình của hai cấp học THPT và THCS, đồng thời chỉ ra

đợc những khó khăn và sai lầm mà học sinh thờng gặp phảitrong quá trình giải quyết các nội dung liên quan đến phơngtrình và bất phơng trình có chứa tham số

Xây dựng đợc các biện pháp s phạm theo quan điểmhoạt động, nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyếtcác vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình

có chứa tham số

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Nộidung của Luận văn gồm có 3 chơng:

Chơng 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Kỹ năng

1.2 Về chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở THPT1.3 Những tình huống điển hình liên quan đến phơngtrình và bất phơng trình có chứa tham số

1.4 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giảiquyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơngtrình có chứa tham số trong dạy học Toán ở THPT

trong dạy học Toán ở Trung học phổ thông

2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vaitrò của tham số trong bài toán

2.2 Biện pháp 2: Làm cho học sinh ý thức đợc việc phân

chia trờng hợp và hình thành kĩ năng phát hiện các tiêu chí

để phân chia trờng hợp trong bài toán giải và biện luận

2.3 Biện pháp 3: Hình thành khả năng phát hiện sự tơngứng để từ đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cáchphát biểu bài toán

2.4 Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về các phép biến

đổi tơng đơng, giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tậpnghiệm trong quá trình biến đổi

2.5 Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, địnhhớng phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình có chứatham số

2.3 Kết luận Chơng 2

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

ời dần hình thành cho mình cách thức (kĩ năng) để giảiquyết các vấn đề đặt ra

Theo giáo trình Tâm lí học đại cơng thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã

có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [23, tr 149].

Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào

đó vào thực tế” [40, tr 462].

Nói chung, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào,các tác giả đều thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụngkiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp, .) để giảiquyết một nhiệm vụ mới

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục đã chứng tỏ học sinh gặp rấtnhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm vànhững nguyên tắc đã lĩnh hội đợc vào việc giải quyếtnhững nhiệm vụ cụ thể Học sinh thờng khó tách ra nhữngchi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tợng nhận thức,

đồng thời cũng không phát hiện đợc mối liên hệ bản chấtgiữa tri thức và đối tợng đó Trong trờng hợp này tri thứckhông biến thành công cụ của hoạt động nhận thức màchúng trở thành một khối tri thức chết, không gắn liền vớithực tiễn và không biến thành cơ sở của các kĩ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nóphản ánh những thuộc tính khác nhau của các sự vật, nhữngthuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động,mục đích nhất định Nh vậy, để tri thức trở thành cơ sở

để lựa chọn đúng đắn các hành động (kĩ năng) thì cầnphải biết lựa chọn và vận dụng đúng Nói cách khác cần: lựachọn tri thức phản ánh thuộc tính của sự vật; lựa chọn tri thứcphản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trớchành động; làm sao cho hành động đảm bảo biến đổi đối

tợng để đạt đợc mục tiêu Để minh họa ta xem xét ví dụ sau:

“Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

m.cos22x – 4 sinx cosx + m – 2 = 0

Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: tham

số, công thức lợng giác, phơng trình dạng bậc hai, Để tiếnhành hoạt động giải Toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp vớimục tiêu là tìm m để phơng trình có nghiệm Ta nhận thấyphơng trình trên có thể đa về dạng bậc hai, khi đó bài toántìm điều kiện để phơng trình có nghiệm có thể đợc giảiquyết (mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến

đổi:

- 4 sinx.cosx = - 2.sin2x và cos22x = 1 – sin22x

Nh vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt đợc mục tiêu,phơng trình trở thành:

m.sin22x + 2.sin2x + 2 – 2m = 0”

Khi hình thành kĩ năng thì yếu tố quan trọng nhất lànăng lực nhận ra kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trongcác dữ kiện đã có những thuộc tính những quan hệ là bảnchất đối với việc giải bài toán đã cho Trong khi tiến hànhhoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạtnhân tố thúc đẩy hay cản trở sự hình thành các kĩ năng.Một trong những nhân tố nh vậy là:

Tách ra một cách rõ ràng hay ngợc lại che đậy quan hệbản chất của bài toán trong các dữ kiện xuất phát Chẳnghạn, bài toán: “Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

Phơng trình trên thực chất là phơng trình đẳng cấpbậc hai:

a X2 + b.X.Y + c.Y2 = 0

Phơng pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che

đậy quan hệ bản chất bằng những phép khai căn: ,

, , nên nó gây cho học sinh khó khăn trongviệc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bàitoán Ngoài ra còn có rất nhiều học sinh sẽ thấy bị “choáng”khi thấy căn thức bậc 90

Nhân tố khác ảnh hởng đến sự phát hiện ra quan hệ cầnthiết để hành động đó là tâm thế của con ngời Trở lại với

Ví dụ có chứa căn thức bậc 90 ở trên, tâm thế của nhiều họcsinh sẽ rất khó chịu với phép toán này và có thể học sinh sẽchỉ lu ý tới căn thức bậc 90, để rồi không phát hiện đợc mốiquan hệ bản chất trong bài toán

Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất

đối với bài toán - đó là thâu tóm đợc toàn bộ tình huốngchứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó Nh Ví dụ trênvấn đề là phải quan sát toàn bộ phơng trình chứ không đợctập trung chú ý vào một hạng tử, có nh vậy mới phát hiện đợcmối quan hệ bản chất đó là:

1 – x2 = (1 - x)(1 + x)

(1 – x)2 = (1 - x)(1 - x)

(1 + x)2 = (1 + x)(1 + x)

Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phùhợp với mục tiêu hoạt động, các nhà Tâm lí học s phạm đã đa

ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét, đó là:

+) Những nguyên tắc giải

+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu

và những quan hệ bản chất đối với bài toán

+) Phân tích bài toán

1.1.2 Sự hình thành các kĩ năng

Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệthống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tinchứa đựng trong các tri thức và tiếp thu đợc từ các đối tợng,

đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành

động

Kĩ năng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy

để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành t duy sựvật thì chủ thể thờng biến đổi, phân tích đối tợng đểtách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cảnhững điều này đợc ghi lại trong tri thức của chủ thể t duy

và đợc biểu hiện bằng các từ Quá trình t duy diễn ra nhờcác thao tác phân tích – tổng hợp, trừu tợng hóa – khái quáthóa cho tới khi hình thành đợc mô hình về một mặt nào đócủa đối tợng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đãcho ở đây mỗi bớc, nhờ khám phá ra những khía cạnh mớicủa đối tợng, thúc đẩy t duy tiến lên, đồng thời quyết địnhbớc tiếp theo sau của t duy Vì các khía cạnh mới của đối tợng

đợc phản ánh trong các khái niệm mới, t duy diễn ra nh là một

sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần Chẳng hạn, bài toán:

“Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 Chứngminh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm:

a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x – a)(x - b)

Đây là phơng trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó

có nghiệm nghĩa là phải chỉ ra:

+) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình: 2.(ab + bc +ca)x + 3abc = 0 có nghiệm

+) Nếu a + b + c ≠ 0 thì ∆’ = (ab + bc + ca)2 – 3abc(a +

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phùhợp với đối tợng, để có thể tiến hành hoạt động giải toán

Điều này không phải mọi học sinh đều có thể thực hiện tốt.Quá trình t duy của con ngời diễn ra một cách liên tục và

có tính kế thừa Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sựphân tích và tổng hợp những kết quả của giai đoạn trớc, đợcthể hiện trong các khái niệm Khi hoàn thành việc nghiên cứu

đối tợng thì trong tri thức của chủ thể, t duy sẽ ghi lại nhữngthuộc tính bản chất của đối tợng và nó ít nhiều sẽ giúp íchcho hoạt động sau này Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tduy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm chocon ngời luôn không tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại.Chẳng hạn, nh S L Rubinstein đã chứng minh: Trong quátrình t duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tợng tham giavào những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện quacác phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này đợc ghilại trong những khái niệm mới Nh vậy, từ đối tợng dờng nhkhai thác đợc nội dung ngày càng mới, nó dờng nh mỗi lầnquay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tínhmới [23, tr 155].

Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuấthiện trớc hết nh những sản phẩm của tri thức ngày càng đợc

đào sâu Các kĩ năng đợc hình thành trên cơ sở lĩnh hộicác tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối t-ợng đang đợc nghiên cứu Các con đờng chính của sự hìnhthành các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấynhững mặt khác nhau trong đối tợng, vận dụng vào đối tợng.Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạnggiữa đối tợng và tri thức

Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đờngkhác nhau Một trong những con đờng đó là truyền thụ chohọc sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho họcsinh những bài toán về vận dụng tri thức đó Và bản thânhọc sinh tìm tòi cách giải, bằng con đờng thử nghiệm và sai

lầm (thử các phơng pháp và tìm ra phơng pháp tối u), qua

đó phát hiện ra các mốc định hớng tơng ứng, những phơngthức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Đôi khi

ngời ta gọi con đờng dạy học này là dạy học nêu vấn đề.

Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đờng: dạy cho họcsinh biết những dấu hiệu mà theo đó có thể đoán nhận đợcmột cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết

để giải bài toán đó Ngời ta gọi con đờng này là dạy học

angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hớng đầy đủ Cuối

cùng, con đờng thứ ba là nh sau: ngời ta dạy học sinh chínhhoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức.Trong trờng hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho họcsinh tìm hiểu các mốc định hớng để chọn lọc các dấu hiệu

và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trongviệc cải biến, sử dụng thông tin đã thu đợc để giải các bàitoán đặt ra Con đờng này đã đợc các nhà Tâm lí học Xôviết nghiên cứu, chẳng hạn nh: P Ja Galperin, N F.Talyzyna và những ngời khác [23, tr 156] Họ cho rằng, đểdạy đợc những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinhmột cách có hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt

động đòi hỏi phải định hớng vào các dấu hiệu đã đợc ghi lạitrong khái niệm đang đợc nghiên cứu

Trong giai đoạn đầu, những mốc định hớng (những dấuhiệu bản chất) của đối tợng đợc đa ra trớc học sinh dới dạng

có sẵn Đợc vật chất hóa dới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tợng,còn các thao tác tách ra các mốc định hớng thì đợc thực hiệndới hình thức những hành động có đối tợng Chẳng hạn, bài

toán về kĩ năng giải phơng trình bậc hai nh: x2 – 5x + 6 = 0thì phơng pháp giải đầu tiên đợc giới thiệu là phân tích đathức vế trái thành nhân tử bằng cách ghép bình phơng đủ,

nh vậy lời giải dựa trên các mốc định hớng có đối tợng ở giai

đoạn hai, các mốc định hớng và các thao tác có đối tợng đợcthay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ.Trong ví dụ trên ngời ta không còn sử dụng phép phân tích

đa thức thành nhân tử để giải mà thay vào đó là các kíhiệu ∆ và công thức nghiệm, ở giai đoạn này giải phơngtrình bậc hai bằng ngôn ngữ và kí hiệu ở giai đoạn thứ ba,các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng

là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Phơngtrình x2 – 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 2 và x

ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệucảm tính hay những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các

em phải tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm

điều đó Do vậy không thể tránh khỏi các sai lầm và các trithức không phải bao giờ cũng đợc hình thành đầy đủ và

đúng đắn Để cho các khái niệm đợc hình thành đầy đủ

và đúng đắn, hoạt động tơng ứng của học sinh phải đợc

xây dựng trên một cơ sở định hớng đầy đủ Nói một cáchkhác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấuhiệu bản chất của các đối tợng dới dạng có sẵn và dạy cho họnhững thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấuhiệu.

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cáchcăn bản việc dạy các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độlĩnh hội các tri thức, đảm bảo đợc tính mềm dẻo và đầy đủcủa chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hìnhthành những tri thức trừu tợng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn

nhiều

1.2 Về chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng THPT

Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nộidung cơ bản của chơng trình môn Toán ở nhà trờng phổthông Những vấn đề lí luận nh khái niệm phơng trình, bấtphơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình,bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơngtrình đợc đa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc lớp cóphần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đếnlớp 10 Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với từngloại phơng trình, bất phơng trình thích ứng với những yếu

tố nội dung đã học

ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10, Nâng cao, họcsinh đợc học về phơng trình, bất phơng trình với các kháiniệm và cũng giới thiệu phơng trình, bất phơng trình bậcnhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng Nếu là một ngời

đọc “thờ ơ” thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự

trình bày lại những gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậcTHCS Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhng lại

có sự khác biệt về nội dung

Xem xét sự khác nhau về khái niệm phơng trình và bấtphơng trình đợc trình bày ở cấp THCS và cấp THPT Trongmục này ta nói đến phơng trình còn bất phơng trình có sựtơng tự

Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thểhiện ngay ở khái niệm phơng trình:

SGK Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phơng trình ẩn

x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x”.

ở SGK Đại số 10, Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số

y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lợt là D f và D g Đặt

D = D f  D g , mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” đợc gọi là

ph-ơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác

định của phơng trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của

ph-ơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x 0 ) = g(x 0 )” là mệnh đề đúng”.

ở định nghĩa phơng trình và bất phơng trình ở bậcTHPT có đa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây

là khái niệm không đợc xây dựng ở THCS Bậc THPT kháiniệm tập xác định phơng trình đã đợc đa vào, điều này làmột điểm mới so với bậc THCS Dễ nhận thấy khái niệm ph-

ơng trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệmphơng trình ở bậc THCS Với sự chính xác, khoa học của kháiniệm phơng trình ở bậc THPT, tạo điều kiện thuận lợi cho

việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phơng trình,hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phơng trình.Những khái niệm này ở bậc THCS đợc hiểu một cách rất trựcquan, chẳng hạn nh khái niệm nghiệm của phơng trình đợchiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vếphơng trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự hiểunôm na: nghiệm của phơng trình là số để hai vế phơngtrình bằng nhau Còn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đềchứa biến mà khái niệm nghiệm của phơng trình đợc đavào khá lôgic và hợp lí.

Chính Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã chọn phơng án không xây dựng khái niệm phơng trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ ph-

ơng trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay cả “tập xác định của phơng trình” – cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp,

đó là khi nói về giải phơng trình có ẩn ở mẫu”.

Việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình nhtrong SGK Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh

đầy đủ, chặt chẽ định lí về phép biến đổi tơng đơng.SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra định lí về phép biến

đổi tơng đơng: “Cho phơng trình f(x) = g(x) có tập xác

định là D; y = h(x) là một hàm số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phơng trình đã cho tơng

đơng với phơng trình sau:

+) f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

+) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”.

Phép biến đổi chỉ tơng đơng trên tập xác định phơngtrình Định lí này hoàn toàn hợp lí với những gì học sinh đ-

ợc học ở cấp THCS, SGK Đại số 10, Nâng cao, đã viết: “Hai qui tắc biến đổi phơng trình đã biết ở lớp dới (qui tắc chuyển

vế và qui tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến

đổi tơng đơng” Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu

sắc, tờng minh về phép biến đổi tơng đơng thông quaviệc nắm nội dung, chứng minh định lí về phép biến đổitơng đơng Đây là điều mà học sinh THCS cha làm đợc bởiphép biến đổi tơng đơng chỉ đợc giới thiệu dới dạng quitắc biến đổi và đợc thừa nhận Chính việc thừa nhận làmcho không ít học sinh hiểu máy móc, không nắm đợc bản

chất vấn đề “Tại sao lại chuyển vế đổi dấu?” là câu hỏi

mà nhiều học sinh thắc mắc, nhng việc trình bày nh vậy làhoàn toàn phù hợp với thực tiễn s phạm vì không thể đa ranhiều khái niệm trừu tợng nh ở bậc THPT Thực chất ở bậcTHCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phơng trình với hệ

số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phơngtrình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen vàxây dựng khái niệm phơng trình để tiếp tục đi sâu ở bậcTHPT Việc không trình bày hoàn thiện kiến thức về phơngtrình ở bậc THCS, đem lại cho học sinh ít nhiều thắc mắc

và giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích những thắc

mắc cho học sinh Chẳng hạn, khi dạy bài: “Phơng trình chứa ẩn ở mẫu”, trong SGK Toán 8, Tập hai, ngay trong ví dụ

mở đầu viết:

“Ta thử giải phơng trình bằng phơngpháp quen thuộc nh sau:

Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:

Thu gọn vế trái ta tìm đợc: x = 1”

Việc giải phơng trình này dùng phơng pháp cũ, vậy mà x

= 1 không là nghiệm thì thật khó chấp nhận, có thể kiếnthức đợc học là sai? Để giải thích điều này đòi hỏi giáo viênphải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ ràng,giúp học sinh tránh đợc trở ngại tâm lý

Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phơng trìnhchứa ẩn ở mẫu, học sinh không nắm bắt đợc tại sao khi dùngphép biến đổi suy ra () khi nào thì dùng phép biến đổi t-

ơng đơng () Xem xét khó khăn ở bậc THCS, mới thấy hết

sự hợp lí, lôgic của khái niệm phơng trình, bất phơng trình

đợc đa ra ở SGK Đại số 10, Nâng cao

Về mặt kĩ năng giải các phơng trình cũng có sự khácbiệt giữa hai cấp học THCS và THPT Cũng là các nội dungxoay quanh việc nghiên cứu cách giải phơng trình bậc nhấtmột ẩn, phơng trình bậc hai một ẩn, hệ phơng trình bậcnhất hai ẩn số, Nhng mục tiêu ở hai cấp học là không giống

nhau Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phơng trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã đợc học ở các lớp dới nay chỉ nhắc lại rất sơ lợc, thậm chí coi nh học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới Cụ

thể, vấn đề mới ở đây là phơng pháp giải và biện luận các phơng trình có tham số” Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trờng THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phơng trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 đi sâu vào những phơng trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải” [19, tr 66] Nh vậy, phơng trình,

bất phơng trình có chứa tham số trở thành nội dung chínhtrong chơng trình Toán ở bậc THPT Sự khác biệt thể hiện rõràng ngay trong SGK ở hai cấp học ở đây ta so sánh việctrình bày nội dung phơng trình bậc nhất một ẩn số ở haicấp học

SGK Toán 8, Tập hai, đa ra khái niệm phơng trình bậcnhất 1 ẩn, sau đó đa ra hai qui tắc vận dụng để giải ở cuốitiết phơng trình bậc nhất 1 ẩn, SGK đa ra cách giải tổngquát phơng trình:

ax + b = 0 (với a ≠ 0), đợc giải nh sau:

+) a = 0 và b = 0: Phơng trình nghiệm đúng với mọi xthuộc tập hợp số thực.

Tơng tự nh vậy phơng trình bậc hai một ẩn, hệ phơngtrình bậc nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ nănggiải với hệ số là hằng số đã cho, còn ở bậc THPT đi sâu vàophơng pháp giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình

có chứa tham số Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thểhiện sự khác biệt lớn, ở cấp THCS gần nh không có sự xuấthiện của tham số, ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán vềphơng trình và bất phơng trình có chứa tham số

Nh vậy, chủ đề phơng trình, bất phơng trình ở hai cấpTHCS và THPT là có sự khác biệt rõ rệt Mặc dù chủ đề ph-

ơng trình và bất phơng trình đã từng xuất hiện ở các lớp

d-ới, nhiều vấn đề về phơng trình có vẻ lặp đi lặp lại, nhngthực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là:

Sự xuất hiện của phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số Hay nói cách khác, là có sự “đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phơng trình, bất phơng trình ở hai

cấp Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng phơngtrình, bất phơng trình phức tạp hơn đó là: phơng trình vàbất phơng trình siêu việt

1.3 Những tình huống điển hình liên quan đến phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số

Trong chơng trình Toán THPT thờng hay gặp các bài tập

về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số, màmuốn giải đợc các bài toán có chứa tham số ngời giải phảinắm đợc kiến thức một cách có hệ thống, biết suy luận

chính xác, biết phân tích và tổng hợp Bài toán chứa tham

số đòi hỏi ngời giải quyết phải vận dụng khả năng t duy cao

độ và do vậy nó là chủ đề mà học sinh vẫn thờng gặp rấtnhiều khó khăn Tuy nhiên, những bài toán về phơng trình

và bất phơng trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh

có cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn

đề và cũng có thể nói dạng toán này là thớc đo chính xác vềmức độ nắm vững kiến thức phơng trình, bất phơng trìnhcủa học sinh Dạng toán liên quan đến phơng trình và bấtphơng trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phongphú nên chúng tôi không có ý định thống kê tất cả, mà chỉ

điểm qua những tình huống điển hình cơ bản thờng gặptrong chơng trình Toán THPT ở mỗi tình huống điển hình,

sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hànhphân tích, tìm lời giải một số ví dụ cụ thể để ngời đọcnhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn về các dạng toán

Trong Mục này, sẽ phân chia bài toán có chứa tham sốthành từng dạng dựa trên yêu cầu của bài toán

1.3.1 Giải và biện luận

Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình cónghĩa là tùy theo các giá trị của tham số tiến hành giải ph-

ơng trình, bất phơng trình đó Đây là dạng toán cơ bảntrong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũnggiống nh giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị

cụ thể của tham số ta có đợc trờng hợp riêng của bài toán đó.Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi ngời học phải có năng lực

t duy, nên cha phù hợp để đa vào dạy ở bậc THCS Ngay từ

đầu cấp THPT việc giải và biện luận phơng trình, bất

ph-ơng trình đợc dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic SGK Đại

số 10, Nâng cao, lần lợt giới thiệu phơng pháp giải và biệnluận phơng dạng ax + b = 0, giải và biện luận phơng dạng

ax2 + bx + c = 0, giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhấthai ẩn, giải và biện luận phơng bất phơng trình bậc nhấtmột ẩn Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kĩnăng giải, biện luận cần đạt của học sinh là:

+) Phơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

+) Phơng trình dạng ax + b = cx + d và phơngtrình chứa ẩn ở mẫu

đối lớn Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độkhác nhau nhằm vào các mục đích: củng cố kiến thức đợchọc, tăng cờng khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện khảnăng t duy cho học sinh

Bài tập củng cố kiến thức đợc học, chẳng hạn nh:

Ví dụ 1: Giải và biện luận các phơng trình sau theo

tham số m:

a) (m2 + 2)x – 2m = x – 3.

b) (m - 1)x2 + 3x – 1 = 0

Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức

đợc học và tiến hành gần nh tơng tự thì sẽ giải quyết đợc

ở mức độ khó hơn SGK, đa ra những bài tập đòi hỏi sựvận dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn nh:

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m:

Nhng ở đây nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy

đây là tích của hai phơng trình dạng ax + b = 0, là phơngtrình mà phơng pháp giải và biện luận đã biết Để giải biệnluận ta tiến hành giải và biện luận từng phơng trình: 2x +

m – 4 = 0 và 2mx – x + m = 0, sau đó nêu kết luận chungcủa phơng trình dựa vào kết quả giải và biện luận hai ph-

ơng trình trên Ví dụ 2b) là dạng toán mà cách giải và biệnluận học sinh vẫn cha đợc cung cấp Đây là phơng trìnhchứa ẩn ở mẫu, nằm trong giá trị tuyệt đối Để giải đợc ph-

ơng trình này học sinh cần có kiến thức về giá trị tuyệt

đối, từ đó học sinh dễ dàng nêu ra kết luận phơng trìnhnếu m < 0 vô nghiệm Do đó, chỉ cần xem xét trờng hợp m

 0, trong trờng hợp này ta có thể phá bỏ dấu giá trị tuyệt

đối và đa phơng trình cần giải và biện luận về việc giải vàbiện luận hai phơng trình chứa ẩn ở mẫu đó là:

dụ 1 Tuy nhiên, cha dừng lại ở khả năng vận dụng, có rấtnhiều bài toán giải và biện luận đòi hỏi ngời giải phải suynghĩ, phải t duy

Ví dụ 3: Giải và biện luận phơng trình:

x4 + (2a - 1)x2 + a2 – 1 = 0(1)

Để giải phơng trình trên thì cần có bớc đặt ẩn phụ,nhằm chuyển phơng trình đã cho về phơng trình bậc hai

Đặt: t = x2, điều kiện: t  0 Phơng trình trở thành:

f(t) = t2 + (2a - 1)t + a2 – 1 = 0(2)

Đây là bớc mà học sinh bình thờng đều có thể tiếnhành, bởi thực chất phơng trình đã cho là phơng trình trùngphơng, có thể dễ dàng chuyển về phơng trình bậc hai một

ẩn số Vấn đề cần sự t duy, ở đây là sự tơng quan giữanghiệm của hai phơng trình (1) và (2) Mối tơng quan nàycần đợc xem xét kĩ càng nếu không rất dễ mắc phải sai

lầm Có thể phơng trình (2) tồn tại nghiệm nhng phơngtrình (1) lại vô nghiệm, đó là khi phơng trình (2) chỉ cónghiệm âm Tất nhiên, là nếu phơng trình (2) vô nghiệmthì phơng trình (1) cũng vô nghiệm Câu hỏi đặt ra là:phơng trình (2) nh thế nào phơng trình (1) có nghiệm?

Đây là vấn đề học sinh cần phải t duy, (giáo viên không nêngiải quyết) mà cần phải để học sinh tự suy nghĩ, có nh thế

t duy học sinh mới đợc phát triển

Học sinh cần nhận thức ra vấn đề phơng trình (1) sẽ cónghiệm nếu phơng trình (2) có nghiệm dơng hoặc bằngkhông Nh vậy bài toán dẫn đến việc cần phải đi tìm kếtquả biện luận nghiệm của phơng trình (2) so với số 0 Đểxem xét kĩ hơn mối tơng quan giữa nghiệm của phơngtrình (1) và phơng trình (2) giáo viên cần làm cho học sinhsáng tỏ vấn đề: nghiệm của phơng trình (2) phải nh thếnào để phơng trình (1) có nghiệm, vô nghiệm, có 1nghiệm, có 2 nghiệm, có 3 nghiệm, có 4 nghiệm Khi họcsinh hiểu đợc vấn đề này thì mới có thể tiến hành giải vàbiện luận bài toán Xin đa ra lời giải để phần nào minh họadạng toán giải và biện luận

Trờng hợp 1: Nếu phơng trình (2) có 1 nghiệm bằng 0

thì:

f(0) = 0  a = 1 hoặc a = - 1

+) Nếu a = 1 phơng trình (2) trở thành:

f(t) = t2 + t = 0  t = -1 hoặc t = 0 Phơng trình (1) cónghiệm là: x = 0

+) Nếu a = -1 phơng trình (2) trở thành:

f(t) = t2 - 3t = 0  t = 3 hoặc t = 0 Phơng trình (1) cónghiệm là: ; và x = 0

Trờng hợp 2: Phơng trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn

t1 < 0 < t2 Điều này tơng đơng với:

P = t1 t2 = a2 – 1 < 0  - 1 < a < 1

Vậy với - 1 < a < 1 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm:

Nghiệm t1 < 0 nên không tồn tại x, phơng trình (1) sẽ có 2nghiệm:

Trờng hợp 3: Phơng trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn

0 < t1 < t2 Điều này tơng đơng với:

 a < - 1

Vậy với a < -1 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm:

> 0 và > 0Vậy nghiệm phơng trình (1) sẽ là:

và

Trờng hợp 4: Với những giá trị còn lại của a là: a > 1 thì

phơng trình (1) sẽ vô nghiệm

Kết luận:

1.3.2 Tìm điều kiện của tham số để nghiệm

ph-ơng trình thỏa mãn tính chất cho trớc

Phơng trình có chứa tham số thì nghiệm của nó sẽ phụthuộc vào tham số, do đó nghiệm của phơng trình sẽ xẩy ranhiều khả năng: vô nghiệm, có nghiệm (có vô số nghiệm, cóhữu hạn nghiệm) ứng với mỗi giá trị tham số khi giải sẽ chokết quả về nghiệm và bài toán rất hay đợc khai thác là chokết luận về nghiệm tìm giá trị tham số thỏa mãn kết luận

đó Bài toán tìm điều kiện tham số để nghiệm của phơngtrình thỏa mãn tính chất cho trớc có rất nhiều dạng, trong

mục này sẽ liệt kê một số dạng cơ bản nh: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất; Tìm

điều kiện của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung; Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình t-

ơng đơng; Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có

số nghiệm xác định; Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phơng trình có vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán;…

1.3 2 1 Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm

Điều kiện để phơng trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số)

có nghiệm sẽ là:

a ≠ 0 hoặc a = b = 0

Điều kiện để phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 cónghiệm là:

= 0  x = Vậy với m = 1 phơng trình có nghiệm

Trờng hợp 2: Với m ≠ 1, để phơng trình có nghiệm thì:

∆’ = 1 + (m - 1) = m  0

Vậy để phơng trình có nghiệm thì điều kiện của tham số

sẽ là: m  0

Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá

đơn giản nhờ vào việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nộidung chơng trình Tuy nhiên, trong thực tế còn nhiều bàitoán với mức độ phức tạp cao hơn

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

x + 3(m – 3x2)2 = m

Phơng trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phơngtrình bậc 4, nếu giải bằng phơng pháp đa về phơng trìnhtích là rất khó khăn Nhờ vào việc phân tích kĩ đặc điểmbài toán, ta có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn số phụ:

của học sinh khi nhận ra việc đặt ẩn phụ y = m – 3x2, để

đa về hệ phơng trình đối xứng, tất nhiên ngoài ra học sinhcòn phải có kĩ năng giải hệ phơng trình đối xứng

1.3.2.2 Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm

Bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình vônghiệm, thực chất là bài toán ngợc của bài toán tìm điềukiện của tham số để phơng trình có nghiệm Nếu nh tậphợp các giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm là S,miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị củatham số để phơng trình vô nghiệm là D\S

Đối với phơng trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó cónghiệm duy nhất sẽ là: a ≠ 0.

Đối với phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 điều kiện để

nó có nghiệm duy nhất sẽ là:

+) a = 0 và b ≠ 0

+) a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac = 0

Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những

ph-ơng trình có dạng: ax + b = 0 và ax2 + bx + c = 0 cónghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng, nó cũng chính làbài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm đợc

Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiệncủa tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất có độ khócao, chẳng hạn nh:

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy

nhất:

x2 – 2mx + (m + 1)x – m + 1 = 0(1)

Nếu học sinh xét 2 trờng hợp x  m và x < m để phá dấugiá trị tuyệt đối thì sẽ đa lại phức tạp trong tính toán, cũng

nh trong suy luận Tuy nhiên nếu biết biến đổi chút ít, họcsinh chuyển đợc phơng trình (1) về dạng:

(1)  (x - m)2 + (m + 1)x – m + 1 – m2 = 0

Đặt X = x – m, (điều kiện: X  0), đợc:

X2 + (m + 1)X + 1 – m2 = 0.(2)

Với mỗi X > 0, phơng trình (1) có 2 nghiệm x = m  X

Với mỗi X = 0, phơng trình (1) có 1 nghiệm x = m.

Với mỗi X < 0, phơng trình (1) vô nghiệm

Nh vậy để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì

ph-ơng trình (2) phải có nghiệm X1, X2 thỏa mãn: X1  X2 = 0



Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất với m =  1

Bài toán này có thể giải theo phơng pháp điều kiện cần

và đủ, ta dễ dàng tìm ra điều kiện cần, bởi:

là hoàn toàn không đơn giản, chẳng hạn nh ví dụ sau:

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có

nghiệm duy nhất:

có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức tạp trongtính toán Để đơn giản trong quá trình giải thì phơng phápgiải thông thờng là vận dụng Định lí Viet đối với phơng trìnhbậc hai, kết hợp với hệ thức mà đề bài đã cho nhằm tìm ragiá trị tham số.

Ví dụ : Tìm m sao cho phơng trình:

Đây là hệ 3 phơng trình 3 ẩn, tuy nhiên mục tiêu ở đây

là đi tìm m chứ không nhất thiết phải tìm ra x1, x2 Nếu hệthức của bài ra cho là một hệ thức đối xứng, chẳng hạn nh:

; ; thì các biểu thức này hoàn toànbiểu diễn đợc qua tổng và tích các nghiệm thu đợc từ hệthức Viet, từ đó có thể giải phơng trình để tìm giá trịtham số Hệ thức (3) không đối xứng, ta có thể thực hiệnphép biến đổi:

m = 0 và m =

Đây là phơng pháp giải tổng quát, chỉ đòi hỏi kĩ năngtính toán theo lối mòn, tuy nhiên nếu học sinh nhận ra:

 x1 = x2 hoặc x1 = 2x2

Thì lời giải sẽ nhanh gọn hơn, nhng để nhận ra phépbiến đổi trên là khá khó khăn và không đúng với phơng phápgiải tổng quát, bởi nó chỉ là lời giải cá biệt phù hợp với bàitoán này

1.3.2.5 Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung

Bài toán cơ bản của dạng toán là xem xét hai phơng trình

ax2 + bx + c = 0 và a’x2 + b’x + c’ = 0 có nghiệm chung Haiphơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ:

Thực chất bài toán này có thể gây khá nhiều khó khăncho học sinh nếu học cha đợc làm quen với phơng pháp giải

đã đợc nêu ở trên Đặt ẩn phụ: y = x2, ta đợc:

(I)

Để 2 phơng trình có nghiệm chung thì hệ phơng trìnhphải có nghiệm thỏa mãn: y = x2 Xét:

đến tập nghiệm có nghĩa là không phân biệt nghiệm bộihay nghiệm đơn, vì vậy hai phơng trình sau là tơng đ-

ơng:

x - 2 = 0; (x - 2)2 = 0 và (x - 2)4 = 0

bởi chúng đều có tập nghiệm là S = {2}

Ví dụ: Xác định các cặp số (a, b) sao cho các phơng

trình sau tơng đơng:

ax2 + (a – b)x + b = 0 (1)

bx2 + (b – a)x + a = 0 (2)

Đây là phơng trình dạng bậc hai nên để xem xétnghiệm của các phơng trình ta phải xem xét các trờng hợpsau:

Trờng hợp 1: Nếu a = 0 thì:

(1)  - bx + b = 0 (1’)

(2)  bx2 + bx = 0 (2’)

Dễ thấy (1’) và (2’) sẽ không tơng đơng với nhau bởi:

+) Nếu b ≠ 0 thì khi đó x = 0 là nghiệm của (2’) nhngkhông là nghiệm của (1’)

+) Nếu b = 0 thì (1’)  (2’) bởi khi đó hai phơng trình

sẽ có tập nghiệm là S = R Vậy ( 0, 0) là một cặp số cần tìm

Trờng hợp 2: Với b = 0.

Tơng tự trờng hợp 1 ta có hai phơng trình sẽ tơng đơngkhi a = 0 và b = 0