Phương trình mũ chứa tham số

Giá trị của m thuộc khoảng Lời giải Chọn D Đặt t3x, t... Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.. Tập tất cả các giá trị thực của m để A... Tập hợp tất cả các

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP Phương trình một ẩn chứa tham số có dạng : f x m , 0 1 , với m là tham số

Phương pháp biện luận số nghiệm bằng bảng biến thiên (cô lập tham số):

 Bước 1 : Chúng ta tiến hành cô lập tham số m, nghĩa là chúng ta biến đổi phương trình  1 về dạng phương trình h m g x   2 , trong đó h m  là biểu thức chỉ có tham số m và g x  là biểu thức chỉ có biến x

 Bước 2 : Lập bảng biến thiến hàm g

 Bước 3 : Biện luận số nghiệm phương trình và kết luận

Phương pháp biện luận số nghiệm bằng tam thức bậc hai

 Bước 1 : Biến đổi phương trình  1 về phương trình bậc hai a t.2b t c  0 2 

 Bước 2 : Dựa vào định lý so sánh nghiệm với một số

 Bước 3 : Kết luận

Kiến thức bổ trợ :

Định lý so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số

Xét f x ax2bx c có hai nghiệm x x1, 2, khi đó :

 x1  x2 a f   0



 

2 0

a f









 





 

2 0

a f









 



Hệ quả (so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số)

Xét f x ax2bx c có hai nghiệm x x1, 2, khi đó :



 

0

a f

S







 



 

a f











Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Lời giải Chọn A

Phương trình 41 1 x 2 m2 2 1 1 x 2 2m 1 0  1

Điều kiện: 1x2    0 1 x 1

Đặt t21 1 x2, 2  t 4

Trang 2

Phương trình  1 trở thành:

2

m t

 





2

g t

t

 



Để phương trình  1 có bốn nghiệm x x x x1, , ,2 3 4 phân biệt thì phương trình  2 có hai nghiệm

2 m

 

Câu 2 Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m1 16 x2 2 m1 4 x6m  có hai 1 0

nghiệm phân biệt?

Lời giải Chọn D

Phương trình: m1 16 x2 2 m1 4 x6m 1 0  1

Đặt t4x, t 0

2

2 1

4 6

 

f t

 



Trang 3

Để phương trình  1 có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thì phương trình  2 có hai nghiệm t t1, 2

2 m

Vậy m2;3; 4;5

27x 2 18m x  m  m 1 12x  m m 8x 0 có ba nghiệm phân biệt

Biến đổi phương trình như sau:

2

x

t  

    , điều kiện t 1 Khi đó phương trình trở thành

t  mt  m  m t m m  

1 1

t

t m







  



2

x

      

 

m



Vậy m 2

Câu 4 Cho phương trình m5 3 x2m2 2 3 x x  1 m.4x  , tập hợp tất cả các giá trị của 0

A S  4 B S  5 C S  6 D S  8

Trang 4

Ta cóm5 3 x2m2 2 3 x x  1 m.4x  0  1

x x

2

x

  

Khi đó phương trình trở thành: m5t22m2t   1 m 0  2

phân biệt

 

2

5

0

0 5

m













Vậy a , 3 b nên 5 S    a b 8

Câu 5 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho phương trình

2 3 x x 2 1 3x x 2 6 0

m    m    m   1

Đặt

2

2 4

t

Phương trình  1 trở thành m2t22m1t2m  6 0

2 2

m

 

 

   2 (vì t2   2t 2 0, t)

  222 2 6

2 2

f t

 



2 2

f t

 



2

2 2

f t

 

 

4 3 2

 



 

 



Ta có bảng biến thiên:

Trang 5

Từ bảng biến thiên suy ra  1 có nghiệm  2 m6  S 3; 4;5;6

Tổng các phần tử của S bằng 3 4 5 6 18   

Câu 6 Cho phương trình 9x2 2 m1 3 x3 4 m  có hai nghiệm thực 1 0 x x1, 2 thỏa mãn

x12x2212 Giá trị của m thuộc khoảng

Đặt t3x, t Phương trình đã cho trở thành: 0 t22 2 m1t3 4 m  (1) 1 0

dương phân biệt

1

2

4

m



 



 





Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là t4m và 1 t 3

Với t thì 3 2

2

2 m

  (thỏa điều kiện)

2

m là giá trị cần tìm nên m thuộc khoảng  1;3

Câu 7 Phương trình 2 3x 1 2a 2 3x 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

A ; 3

2

3

; 2

Đặt t2 3 ,x t0

a

t



1

2

x



Trang 6

1 2

1

2

1 2

0

3

1 2 3

a



 





 



Câu 8 Tìm số giá trị nguyên của tham số m  10;10 để phương trình

2 1

Lời giải Chọn B

Đặt

t

2

1

t

2

(2)   m t 6t Xét hàm số f t( )  t2 6t trên khoảng (1;), ta có:

  2 6;   0 3

Bảng biến thiên:

Do m  10;10 nên m          9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4;9

Suy ra có 15 giá trị m cần tìm

Câu 9 Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: m1 16 x2 2 m3 4 x6m  5 0

có hai nghiệm trái dấu là

Đặt t4 ,x t0, phương trình đã cho trở thành:m1t22 2 m3t6m  (*) 5 0

Đặt f x   m1t22 2 m3t6m 5

Phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t t1, 2 thỏa mãn: 0  t1 1 t2

Trang 7

Điều đó xảy ra khi:    

6

m

   





8x3 4x x 3x 1 2x  m 1 x  m1 x (1)

Xét hàm số f t   t3 t

x

 

 Xét hàm số f t  t3 t t, 1;1034 

x



x





1

ln 2

BBT

.ln 2 1 103, 4 ycbte   m mà m Z nên m3;103

Có tất cả 101 số nguyên m thoả mãn

Câu 11 Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 5;5 để phương trình

1

9x2.3x 2m 1 0 có duy nhất một nghiệm

A 10 B 15 C 0 D 7

1

9x2.3x 2m 1 0 9x6.3x2m 1 0 1 

Đặt t3x, t Phương trình trở thành 0 t2   6 1t 2m

Xét hàm số g t    , t2 6t 1 g t' 2t 6 g t'    0 t 3

Bảng biến thiên

Trang 8

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi

m



   

5 1 2

m m







 



Mà m  5;5 và m nên m      5; 4; 3; 2; 1;0;5

Vậy tổng các giá trị của m là 5 4 3 2 1 0 5         10

Câu 12 Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hai phương trình 2x2 1 3m và

2

Vì hai phương trình đã cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm

2

3

m

x

3

Xét hàm số f t   xác định trên 3t t  f t' 3 ln 3 1 0t   suy ra hàm f t   3t t

3

log 2x   1 x 2x  1 3x Xét hàm số g x 2x2  xác định và liên tục trên 1 3x 

Ta có g x' 4x3 ln 3x g x''  4 3 ln 3x 2 g''' x  3 ln 3 0x 3  Suy ra hàm số g x '' 

Ta lại có g 0 g 1 g 2  Suy ra phương trình 0 2

x

     

   

Vậy S  3

Câu 13 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình m1 2 x3m  có nghiệm? 4 0

A 1 4

3

m

3

1 m m











Ta có m1 2 x  4 3m

3

-10

-1

0

+ ∞ + ∞

0

g (t) g'(t) t

Trang 9

Trường hợp 2: m  1 0 m Ta có 1 2 4 3

1

m







m

m m



Câu 14 Tìm tất cả giá trị nguyên của tham số m thuộc 10;10 để phương trình

A 20 B 21 C 8 D 9

Lời giải Chọn C

Đặt t3 ,x t0 Khi đó ta có phương trình t24 3 m t 2m25m 3 0 (*)

2

m





2

2 4

3 3

2 1

3 2

m

m m

m













 





Vậy

2 3 2

m m











x m

 



Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

2

m









Mà m và m thuộc 10;10 nên m3; 4;5;6; 7;8;9;10

Câu 15 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 6x m3 3 x9.2x9m27 0 có

nghiệm thuộc khoảng  0; 2 ?

A 1 m 3 B  1 m2 C  m  D 3 m 7

Ta có 6xm3 3 x9.2x9m27 0 3x9 2 x  m 3 0

2

x

x x

x

m m



Ta có 0   x 2 1 2x 4

Trang 10

Câu 16 Cho phương trình 103 m10m2x 1x21x 1x2 Tìm tập hợp các giá trị của tham

số m để phương trình có nghiệm

2

1 log 2;

2

1 0;

10

  D

1

; log 2 2

Điều kiện: x  1;1

Ta có 103 m10m 2x 1x21x 1x2  x 1x22 2 1 x x2

Xét hàm h t   t3 t h t 3t2   1 0, t  nên từ phương trình (*) ta được:

2 1

x

2 2

Câu 17 Cho phương trình ex3   x2 2 x mex2 x x3 3x m 0 Tập tất cả các giá trị thực của m để

A 1 B 0 C 2 D 2

Ta có: ex3   x2 2 x mex2 x x3 3x m 0

Xét hàm số f t   với t et t 

Ta có f t     et 1 0 t  nên hàm số f t đồng biến trên   

Phương trình  1 có dạng f x 3x22x m   f x2x

Suy ra x3x22x m x  2    x m x3 3x (2)

Trang 11

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x   x3 3x như sau

Từ bảng biến thiên suy ra m  2; 2 hay a 2;b2 Vậy a2b 2

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x 3 5x 16.2 x  3 5 x  8 m

có nghiệm

A 65 B 64 C 11 D 12

Điều kiện 3   x 5

Xét hàm số f x  x 3 5 trên x 3;5

Bảng biến thiên của hàm số f x trên   3;5:

Từ đó suy ra t  2 2; 4

Khi đó ta có phương trình: 4 16.2t t 8 m

Đặt a2t, do t  2 2; 4 nên a  4 ;162  Ta có phương trình a216a 8 m

Xét hàm số g a a216a với8 a  4 ;162 

  2 16;   0 8

Bảng biến thiên của hàm số g a với   a  4 ;162 

Trang 12

Do m nguyên nên nên có 65 giá trị

Câu 19 Điều kiện của tham số m để phương trình 41   1 x 2 m2 2 1   1 x 2 2m  có nghiệm là 1 0

đoạn  a b Giá trị của b a;  bằng

A 23

23 12

35 12

Điều kiện 1   x 1

Đặt t21   1 x2, khi x  1;1ta có 1 1x2 1; 2

Khi đó t 2; 4

Bài toán trở thành: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình

 2 2 2 1

2

t

  

 có nghiệm trên  2; 4 (do t   2 0 t  2; 4 )

2 2  

2

t

  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

f  m f     m

Câu 20 Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình

2

6

m m

  





ĐK: x 0

3 x 2 m3 3 xm  3 032log 2 x2m3 3 log 2 xm2  (1) 3 0

- Đặt t3log 2 x, t Ta được bất phương trình: 0 t22m3t m 2  (2) 3 0

Nhận thấy: (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt dương

2

1 2

0

3 0

  





3 0

m



 

 



1

m

Khi đó: (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn:

2

t t m  3log 2 1 x.3log 2 2 x m23 3log 2 1 xlog 2 2 x m233log 2x x 1 2 m2 3

6

m

  



Trang 13

Câu 21 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

A 2 m 22020 B.1 m 22021 C 0 m 22021 D 2 m 22019

2

2 2

2

cos

1 cos

log

2021 2021

x x

x

m

2

Đặt tcos2x, với 0  t 1

4080399 2021

nên f  1  f t  f 0 ,  t  0;1

 1 f t 2020,  t  0;1

Câu 22 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2

1

3

m x x



 

Điều kiện xác định: x 0

m x



 

Xét hàm số f t  3t t t 0 Ta có f t 3 ln 3 1 0t    t

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định

có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thỏa mãn điều kiện đã cho

Khi đó

2

m



Do m nguyên nên m  1; 0;1

Câu 23 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2021 để phương trình

Trang 14

A 2018 B 2019 C 2020 D 2021.

Ta có: m m2x 4x  m 2x m2x 22 x 2x

Ta thấy m2x 0, 2x  0

Xét hàm f t   trên t2 t 0; 

Ta có f t' 2t   1 0, t 0; 

Suy ra hàm số f t đồng biến trên nửa khoảng   0; 

Do đó f m2x f 2x  m2x 2x  m 22 x2 2x 

Đặt a2 ,x a0 Khi đó  2 có dạng m a 2a

Bảng biến thiên hàm g a a2 a

4

1; 2;3; , 2020 

Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 24 Cho phương trình 2 2 4 3 2

x m

Điều kiện x m

x m



x m

t

Nhận thấy: Hàm số f t 3t 2  m 2  21 đồng biến trên khoảng 2 0; 

t



Và f m 2 g m2 Vậy  * có nghiệm duy nhất t m 2

Trang 15

Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 6;0

2 2

m







Do m nguyên nên m1;3; 4

Câu 25 Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình

3

3x   m  x  x 9x 24x m 3x  3x có 3 nghiệm phân biệt là 1

 

3

Xét f t   3t t3 f t 3 ln 3 3t  t20 , t 

Xét hàm số f x   x3 9x224x27 có

  3 2 18 24   0 2 4

Bảng biến thiên hàm số f x   x3 9x224x27

Câu 26 Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn 40; 40 của tham số m để phương

trình 2x22 mx22x44mx3x22mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt không âm Số phần tử của tập S là:

Ta có 2x2 2 mx  22x44mx3x22mx 4 0

Đặt t x 22mx2

PT  2t 2x t t2  4x2   6 0 2t t2x2 1 2 2x2  1 4 0

Trang 16

   2   

2t 4 t 2 2x 1 0 *

TH1: Nếu t thì 2  * luôn đúng

TH2: Nếu t   2 2t 4 0;t2 2  x2  1 0 VT * VP *

TH3: Nếu t   2 2t 4 0;t2 2  x2  1 0 VT * VP *

2

x





Vì m  40; 40 , m  có 40 giá trị của m thỏa mãn

_ TOANMATH.com _

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,28 MB