skkn định hướng cách giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, thpt

Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sứcquan trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệcủa học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy sáng

Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủphẩm chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ Đào tạonguồn nhân lực có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộcxây dựng và bảo vệ Tổ quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệphoá- hiện đại hoá đất nước.

Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sứcquan trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệcủa học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan,thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiềuphân môn, lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quantrọng riêng, có những đặc trưng riêng biệt Cũng như các vấn đề kháccủa toán học thì mảng kiến thức về phương trình ,và bất phương trình cóchứa tham số cũng có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát huy tưduy sáng tạo và lôgíc của học sinh Người thầy phải cung cấp cho họcsinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các em những

kỹ năng cơ bản cần thiết Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự họctập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết nhữngkinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinhmột cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phátri thức đối với mỗi học sinh

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quantrọng, nếu như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộmôn khác.Là một môn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sángtạo, phát hiện và giải quyết vấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết

vận dụng lý thuyết vào thực hành giải toán Thành công sau mỗi tiết dạy

là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết để giải một bài toán một cáchchính xác khoa học Thực trạng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPTthì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một môn hết sức chủ đạochiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Để học tốt bộmôn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có kỹnăng cần thiết Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫnđến mất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam

mê học bộ môn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết

Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là một mảng kiến thức

quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong

các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi Mặc dù họcsinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thườnglúng túng trong quá trình tìm ra cách giải Nguyên nhân là vì :Thứ nhất,Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là mảng kiến thứcphong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kếthợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phươngdiện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tàiliệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa định hướngmỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, địnhhình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải Thứ ba, đa số học sinhđều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm

ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà

có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn chocác em

II KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :

Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi,

ôn luyện thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bấtphương trình có chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trongcách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiếnthức cơ bản các em đã biết Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tìnhhuống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng chobản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được mộtcác nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp

Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bấtphương trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi

mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng

cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bấtphương trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- caođẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bảnnhư sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình

Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng : f x( ) g m( )

Chúng ta thực hiện các bước sau đây :

Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3:Kết luận

Dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận

Chú ý :Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên D thì phương trình có nghiệm 

Bảng biên thiên

Từ bảng biên thiên ta có:

ax ( )

0;1

m f x

  = 0; min ( ) 0;1  f x

Vậy để phương trình (1) có nghiệm trên 0;1 là: -1≤m≤0

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

(m 1) log (x 2) (  m 5) log (x 2) m 1 0  (1) có hai nghiệm thõa mãn

điều kiện 2 x1 x2  4

Định hướng

-Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng cách đặt ẩn phụ

-Chuyển PT đã cho về dạng f x( ) g m( )

Giải

Điều kiện : x > 2

2

log ( 2)

Phương trình (1) trở thành : (m-1)t2 - (m-5)t +m-1 = 0(2)

Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn

t t  

PT(2)

2

2

5 1 1

m

 



  (3) Bài toán quy về tìm m để PT(3) có 2 nghiệm thõa mãn t1 t2   1

Xét hàm số 22

5 1 ( )

1

f t

 



  trên  1;  và g m( ) m

Hàm số y= f t( ) xác định và liên tục trên  1; 

Y - 0 1 +

y - 0 +

y 0

-1

Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam

thức bậc 2 theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho học sinh làm theo cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng hơn , hợp với kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải nhanh chóng và đẹp.

Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các phương pháp khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài toán có chứa tham số phức tạp hơn trong các trong các đề thi Chúng ta

sẽ xét một số các bài toán sau đây:

Định hướng

Khi nhìn vào bài toán này học sinh sẽ rất hoang mang bởi vì bài toán đãchứa căn lại còn có chứa cả tham số nên việc giải quyết là rất khó khănsong nếu giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t= 1 x2  1  x2

v à biết quy về một bài toán tương đương thì bài toán lại trở nên quenthuộc

Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về

một bài toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩnphụ thì cần lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ Sau đó ta chuyển bài toán đãcho về một bài toán tương đương với nó

Giải

Ở ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :

2(2 3 2)

(4 3) '( ) 0

1

2 2



- 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi vàchỉ khi 1 1

,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn

t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

1 4

x   x m (1)

Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số

- Chuyển về bài toán tương đương

-Xác định bài toán thuộc loại nào

-Bài đó được áp dụng kiến thức nào

Giải

ĐK : -1x4

Bài toán quy về tìm m để bất phương trình x  1 4  x m

có nghiệm -1x4.

2 x 1 2 4  x  Bảng biến thiên :

t m t

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có nghiệm

0

3 1 ( )

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn

t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

Ví dụ 1 Tìm m để bất phương trình 9x m.3x m  3 0(1) có ít nhất một nghiệm



2 3 1 t m t    (2) ( Do t>0) Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0 Xét hàm số y=f(t)=t t213  ,t>0 2 / 2 2 3 ( ) ( 1) t t f t t     / 1 ( ) 0 3 t f t t        Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi min ( ) 0 t f t m    m 2 Ví dụ 2 (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-2013). Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực 3 1 2 0 (1) 4x 3.2 x x 4 x 0 (2) x mx             Giải Điều kiện :x 0 Bất phương trình (2) tương đương với       2 2 2 4.2 0 2 4.2 0 2 x x x x x x x x          0 2 0 4 (*) x x       x - -3 -1 0 1 +

y 0 - 1 +

y 3 +

2

Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) cónghiệm thõa mãn (*).

Bất PT (1)  x3  mx  2 0

 3

2

x  mx ) (2)Xét x=0 thì bpt (1) không thõa mãn

Vậy m 3 thì hệ bất phương trình có nghiệm thực

Dạng 4 Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f x( ) g m( ) đúng với

 Tìm đạo hàm y/,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn

t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

3

1

x



    thõa mãn với mọi 1

x 

Giải

Biến đổi bất phương trình về dạng

3

3

1

3mx x 2

x

  

4

3m x x

x

Xét hàm số 6 43

( ) x x

f x

x

Miền xác định : D=1;

/

5

x

Giới hạn :lim ( )

x f x

Bảng biến thiên

:

Bất phương trình nghiệm đúng với x  1 min ( )f x g m( )

 23m

 m 23

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với x  1 m 23

Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình

2 2 2 2

log log 1

x m

x  nghiệm đúng với mọi 0

x 

Giải

x

1 +

y +

y +

2

Đặt 2

2

log

 t 1

Bất phương trình tương đương với t 1 m

Xét hàm số : f t ( )

1

t

Miền xác định :D  (1; )

2 ( )

2 ( 1)

t

f t

t







/ ( ) 0 2

f t   t

Giới hạn : lim ( )

x f t

lim ( ) 1

x f t







Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0 

min ( )f t g m( )

 2m

 m 2

Vậy m 2 thõa mãn điều kiện của bài toán

9 xx 2(m 1)6 xx (m 1)4 x x 0

Giải

Chia cả 2 vế cho 4 2x2 x ta có

2

3 ( ) 2

xx

-2

2

3

2

x x



x 1 2 +

y - 0 +

y + +

2

Đặt t 

2

2

3

2

xx

, do x 12 nên t 1 Bất phương trình (1) 

2 1

m

t

 





Bài toán quy về tìm m để bất phương trình m t22 12 1t

t

 



 nghiệm đúng với mọi t 1

Xét hàm số ( ) 2 2 1

2 1

t

 

 ,t 1

2 /

2

( ) (2 1)

f t

t

 





/

f t   t

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm min ( ) 1

t





3

m

 

Dạng 5 Tìm điều kiện để bất phương trình dạng f x( ) g m( ) đúng với

x D

 

Ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1 Xét hàm số yf x( )

 Tìm tập xác định D

 Tìm đạo hàm y/

,rồi giải phương trình y/=0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2 Kết luận

 Bất phương trình nghiệm đúng với  x D max ( ) ( )

x D f x g m

Chú ý chung :

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ t h x ( ).Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn

t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t

Ví dụ 1

x - 1 2 +

y - 0 +

4 +

y

3

Bất phương trình (1) tương đương với t t 2  24 m.

Bài toán quy về tìm m để bất phương trình t t 2  24 m nghiệm đúng với

Bất phương trình (1) 44

1

x m x





4 ( ) x

97 4



4 /

4 12

( )

( 1)

x

f x

x







/

4

1 ( ) 0

3

Giới hạn lim 0

x 

Bảng biến thiên :

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

4

Vậy m 4 27 thõa mãn điều kiện của bài toán

Nhận xét Sử dụng phương pháp này cho kết quả nhanh,lời giải gọn

gàng

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈0;2đều là nghiệm của bất phương trình

2

2

log x  2x m + 2

4

4 log (x  2x m ) 5 

Giải

Điều kiện : (x2-2x+m)≥1 Bất phương trình  2 2 log x  2x m + 2 4 4 log (x  2x m ) 5  Đặt t = log4 (x 2 2x m ) ;t≥0 Bất phương trình 2 4 5 0 t t     ,   5 t 1 Kết hợp với t≥0 ta có 0 ≤ t ≤ 1 Suy ra 0 ≤ log4(x2-2x+m) ≤1 x +

y 0 + 0

-y 0

- 0

2 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

3cos x 5cos3x 36sin x 15cosx 36 24  m 12m  0

3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 2

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1 Kết quả nghiên cứu :

Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được

tương đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về giải

phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp

sử dụng đạo hàm, các em đã thích dần với bài tập loại này , học tập

hăng say và tích cực hơn rất nhiều ,tạo cho các em một niềm tin khi giảitoán, góp phần nâng cao kết quả thi đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộmôn Toán,hạn chế việc học sinh sợ khi phải giải các phương trình và bấtphương trình có chứa tham số đồng thời tạo được hứng thú cho học sinhgóp phần năng cao chất lượng dạy và học phát huy được tính tích cựccủa học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi ,sáng tạo trong quá trình

giải một bài toán có chứa tham số Đề tài đã được các thành viên trong tổToán – Tin góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụngrộng rãi với các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quảrất thiết thực trong giảng dạy bộ môn Toán ở Trường THPT hiện nay Sovới cách làm cũ không chỉ giải các phương trình,bất phương trình bìnhthường , không giúp cho các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹnăng cần thiết Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thìnhìnvào bài toán như vậy các em sẽ định hướng được cách giải , giảinhanh và thành thạo

Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi

đã thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kếtquả cụ thể như sau :

Loại

Đối tượng

Loạigiỏi

Loạikhá

Loạitrungbình Loại yếu

Công tác nghiên cứu khoa học ở các cấp cần được phát huy hơn nữa,

để công tác dạy và học ngày càng đạt hiệu quả cao Để có những bài

giảng hay ,sáng kiến đổi mới trong giảng dạy bộ môn Toán, góp phầnnâng cao chất lượng dạy và học, phù hợp với sự phát triển của Đất nước Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi

về chuyên môn,xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng họcsinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi

về chuyên môn, tự học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ

Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiệntốt thì cần có những buổi sinh hoạt, xêmina về toán học để các em họcsinh bày tỏ quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sailầm của nhau thông qua các bài giải

Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiệnhơn nữa tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của cácđồng nghiệp./

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm không có sựsao chép

Tài liệu tham khảo

1 Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD

- Năm 2009).

2 Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT

3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục

4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa