Chuong II 3 Nhi thuc Niuton

Tam giác Pascal Từ công thức nhị thức Niu tơn cho n = 0,1,2,… và viết các hệ số thàng hàng ta nhận được một bảng gọi là bảng tam giác Pascal... Số hạng tổng quát của khai triển là: k.[r]

§ 3 NHỊ THỨC NIU TƠN

VD 1: a.Viết các hằng đẳng thức sau:

a (a+b) 2 b.(a+b) 3 c (a+b) 6.

I, Công thức nhị thức Niutơn

a (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

b (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3

0 2 1 2 2

0 3 1 2 2 2 3 3

b (a + b) 6 = (a + b) 3 (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2

= (a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 )(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 ) = ….

* Công thức khai triển nhị thức Niu tơn

Chú ý: Trong khai triển:

 Số các hạng tử ở vế phải là: n+1.

 Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần

từ 0 đến n (Quy ước a 0 = b 0 = 1)

 Các hệ số của các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

 Số hạng tổng quát của khai triển: 0≤ k ≤ n

 a+b =C a +C a b+ +C a b + +C ab +C b  n 0 nn 1 n-1n n-k n-k kn n-1n n-1 n nn

Với k,n  N

k n-k k n

C a b

VD 2: Viết khai triển nhị thức Niutơn của các biểu thức a.(a + b)4 b (a – b)5 c (2x + 1)4

a (a + b)4 = C04a4 + C14a3b + C24a2b2 + C34ab3 + C44b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

c.(2x + 1)4 = C0

4(2x)4 + C1

4(2x)3.1 + C2

4(2x)2.12

+ C3

42x.13 + C4

4.14 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

5

=a -5a b+10a b -10a b +5ab -b

Hệ quả:

 Nếu a = b = 1 ta có:

 Nếu a = 1 , b = -1 ta có:

1 1  n 0  C n0  C n1  1   k C n k    1 n C n n.

II Tam giác Pascal

Từ công thức nhị thức Niu tơn cho n = 0,1,2,… và viết các

hệ số thàng hàng ta nhận được một bảng gọi là bảng

tam giác Pascal

n = 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

……….

Nhận xét: SGK T57

VD3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 1 20

x

x



Số hạng tổng quát của khai triển là:

20 1

x

x



C x =C x =C x

 

 

  Với k =0, ,20

Do số hạng cần tìm không chứa x nên: 20 – 2k = 0 => k =10 Vậy số hạng không chứa x là: C1020

VD 4: Tìm hệ số của x4 trong khai triển:

10

1

x

x



VD 4: Tìm hệ số của x4 trong khai triển:

10

1

x

x



Số hạng tổng quát của khai triển là:

C (x) - =C x =(-1) C x

 

 

 

Với k = 0,1, ,10

Cần tìm k sao cho: 10 – 2k = 4 => k = 3

Vậy hệ số của x4 là: (-1)3.C4

10.

 a+b =C a +C a b+ +C a b + +C ab +C b  n 0 nn 1 n-1n n-k n-k kn n-1n n-1 n nn

Củng cố:

Làm bài tập về nhà: 1,2,3 SGK trang 57-58