Giáo án Đại số 11 chương 2 bài 3: Nhị thức Niutơn

NHỊ THỨC NIU-TƠNI.. Cho khai triển nhị thức... Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển trên... Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơnVD1.. Cho n

NHỊ THỨC NIU-TƠN

I Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

VD1.Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức 2 xn, biết rằng

 

3n 3n 3n 3n 1 n n 2048

C  C   C   C    C 

VD2 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức  5 2 10

P x  x x  x

VD3 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

7

4

x

x

� �, biết rằng

C  C   C   

VD4 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức

  8

2

P  �� x x ��

VD5 Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

7 3

4

1

, 0

x

VD6 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn

5

3

x

x

� �, biết rằng

 

1

VD7 Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của x2  1nx 2n Tìm n để a3n3  26n.

VD8 Tìm số nguyên dương n sao cho

0 2 1 2 2 2 2 3 3 2n n 243

VD9 Cho khai triển nhị thức

1 1

x







1 Biết rằng trong khai triển đó C n3  5C n1 và số hạng thứ tư bằng 20n.

2 Tìm n và x

VD10 Cho đa thức      2  3  20

P x   x x  x   x

Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển thành đa thức của P(x)

VD11 Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức  2 

1 n

x  bằng 1024 Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển trên

VD12 Gọi a1, a2, …, a11 là hệ số trong khai triển sau:

  10  11 10 9

x x x a x a x  a x a

Tìm hệ số a5

VD13 Khai triển đa thức    12

1 2

P x   x thành dạng

P x  a a x a x  a x

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a 1 , a2, …, a12

3x 2  a a x a x   a x

Tìm maxa a a0 , , , , 1 2 a9

VD15 Cho khai triển: 1 2 n 0 1 n

n

     , trong đó n�� và các hệ số

0 , , , 1 n

a a a thỏa mãn hệ thức 1

n n

a a

a     Tìm số lớn nhất trong các số

0 , , , 1 n

VD16 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn:

 

18

5

1

x

II Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn

VD1 Cho n là số nguyên dương Tính tổng

n n

VD2 Tìm số nguyên dương n sao cho

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 2 1 2 n 2n1 2005

VD3.Cho n là số nguyên dương, chứng minh

2

n n



VD4 Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

n n

 

2 0 2 1 1 3 1 2  1 1 1  

n

n



VD5

1 Tính tích phân 1  2

0

I �x x dx

2 Chứng minh rằng 1 0 1 1 1 2 1 3  1 1

n n



VD6

1 Tính tích phân 1 2 3

0

I �x x dx

2 Chứng minh rằng 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1

n n

 

VD7 Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

1 1 2 2 3 3  1 n1 n .2n 1

C  C  C   n C  nC n 

2 2.1 2 3.2 3  1 n . 1 2 n 2

C  C   n nC n n 

3 2 2 3 3 4  1 n  2 2 n1 1

C  C  C   n C  n  

VD8 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

C C C  C C C  C 

VD9

1 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 x) (x + 10 + 1) 10

2 Từ đó suy ra giá trị của tổng    0 2 1 2  10 2

10 10 10

VD10

1 Rút gọn tổng 0 10 1 9 2 8 9 1 10 0

10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

C C C C C C C C C C

2 Rút gọn tổng  0  2 1 2  2006 2 2007 2

2007 2007 2007 2007

C C C C