Độ cong gauss trên đa tạp remann

Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chất độ cong Gauss của đa tạp Rimann hai chiều.. Đ1: ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3 Trong mục này chúng tôi nhắc l

lời nói đầu

Đa tạp Rimann là một trong những khái niệm quan trọng của Hình học viphân Khi nói tới độ cong Gauss của đa tạp Rimann ngời ta thờng xét tới dạngliên kết, sự bất biến của độ cong Gauss qua vi phân đẳng cự

Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chất

độ cong Gauss của đa tạp Rimann hai chiều

Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục

Đ1: ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết:Khái niệm ánh xạ Waigarten, một số mệnh dề các công thức tính độ congGauss (có ví dụ minh hoạ)

Đ2.Một số tính chất của độ cong Gauss.

Trong mục này chúng tôi chủ yếu trình bày một số tính chất của độ congGauss trong E3

Các kết quả chính của Đ2 là:

Mệnh đề 2.1

Định lý 2.2 Mệnh đề 2.3 Mệnh đề 2.4

Đ 3 Đa tạp Rimann hai chiều

Trong mục này, chúng tôi đã đa ra một số khái niệm về đa tạp Rimann vàcác định nghĩa liên quan

Đ4.Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Rimann hai chiều

Trong mục này chúng tôi đã đa ra một số định lý, mệnh đề về dạng liênkết sau đó đa ra định nghĩa độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ)

Nội dung của 4 mục khoá luận này liên quan với nhau khá chặt chẽ, nộidung phần trớc là cơ sở cho nội dung phần sau

Khóa luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng đại học Vinhdới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Nhân dịpnày tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, đồng thời cảm ơn các thầy côgiáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong suốt khoá học

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chắc chắn khoá luận không tránh khỏinhững thiếu sót Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và cácbạn

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 5 năm 2005

Sinh viên: Nguyễn Thị Hảo

Đ1 ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3

1 Định nghĩa đa tạp định hớng

Đa tạp hai chiều S đợc gọi là định hớng nếu mỗi không gian tiếp xúc TpS

ta đa vào một hớng xác định bởi điều kiện sau:

Tồn tại họ tham số hoá địa phơng

r: U → r(U) của S

Sao cho ánh xạ tiếp xúc của r biến hớng chính tắc trên miền U ⊂R2 thànhhớng trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm của r(U)

1.2 Định nghĩa ánh xạ Waigarten

Cho S là đa tạp hai chiều định hớng với n

là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị trên S (xác định hớng của S) mà trong tham số

Các giá trị riêng của hp gọi là độ cong chính của S tại P.

Mỗi véctơ riêng của hp gọi là phơng chính của S tại P

1/2 vết của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độcong trung bình của S tạiP: ký hiệu H(p)

Định thức của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độ cong Gauss của S tạiP: ký hiệu K(p)

1.5 Nhận xét

Vì hp là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng trong không gian Ơclit hai chiềuTpS nên có 2 giá trị riêng thực phân biệt hoặc có một giá trị riêng (thực) trùngnhau

- Nếu hp có hai giá trị riêng thực phân biệt k1 ≠ k2 thì hp có hai phơngchính (các véctơ riêng của hp) vuông góc với nhau

Giả sử {e1, e2} là cơ sở của TpS , hai véctơ riêng ứng với hai giá trị riêngk1, k2

Ta có ( )1 1 1

2 2 2

( )

p p

Khi k1 = k2 = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt

k1 = k2 ≠ 0 thì điểm p đợc gọi là điểm cầu

- Nếu (p) > o thì điểm p đợc gọi là điểm elíptic

- Nếu (p) = o thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic

- Nếu (p) < o thì điểm p đợc gọi là điểm Hypebôlic

1.6 Chú ý: Khi đổi hớng của S bằng cách xét - n thay cho n thì hp đổi thành - hp

nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (Do đó địnhnghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S Khi S cha có hớng hay cả khi S không xác

R > 0 ⇒ điểm p gọi là điểm elíptic

1.8 Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều

định hớng S trong E 3

S là đa tạp hai chiều trong E3 , TpS ⊂ TpE3 (không gian véctơ Ơclit vớitích vô hớng cảm sinh từ tích vô hớng trên E3) với mỗi điểm p ∈ S xét hai ánhxạ

F(p) = Ip ( rr'u(u,v); rr'v(u,v)) = (rr'u(u,v); rr'v(u,v))

G(p) = Ip (rr'v(u,v); rr'v(u,v)) = (rr'v(u,v); rr'v(u,v))

E(p), E(p), G(p) đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của S tại

điểm p trong tham số hoá địa phơng r

L(p) = IIp (rr'u(u,v); rr'u(u,v)) = (rr'u(u,v); rr'u(u,v))

M(p) = IIp (rr'u(u,v); rr'v(u,v)) = (rr'u(u,v); rr'v(u,v))

N(p) = IIp (rr'v(u,v); rr'v(u,v)) = (rr'v(u,v); rr'v(u,v))

L(p), M(p), N(p) đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của S tại

điểm p trong tham số hoá địa phơng r

Trong đó.

L(p) = IIp (rr'u(u,v); rr'u(u,v)) =hp( rr'u) rr'u= ( ( )n r u vuuuvo ( ), )

r''uu(u,v) M(p) = IIp (rr'u(u,v); rr'v(u,v)) = hp(rr'u) rr'v= ( ( )n r u vuuuvo ( ), )

r''uv(u,v)N(p) = IIp (rr'v(u,v); rr'v(u,v)) = hp(rr'v) rr'v= (( )n r u vuuuvo ( ), )

coscos

2 Cho đờng cong ρ = ρ(u) với tham số hoá tự nhiên U độ cong K = K(U)

≠ 0 độ xuắn T = T(U) ≠ 0

Giả sử U = r(u) là tiếp tuyến đối với đờng cong ρ' = ρ' (u)

Đối với mặt tiếp tuyến cho bởi

r(u,v) =ρ(u) + vρ'(u)

Tìm độ cong Gauss của mặt tiếp tuyến

r

rr

2 '' ' ''

v v

Đ2 Một số tính chất của độ cong Gauss

Trong lân cận mỗi điểm của S chọn đợc một trờng mục tiêu chính Gọi k%1

và k%là các độ cong chính của S ứng với mục tiêu {U2 1, U2} ta suy ra U1 [k%] = U1 2[

2

k%] = 0 tức k%= 1 k% là hàm hằng địa phơng do đó k= 2 k%, 1 k% = 2 k% hằng địa phơng.1

Do S liên thông, K là hàm hằng

2.3 Mệnh đề.

S là đa tạp hai chiều liên thông trong E3 mà mọi điểm là điểm rốn theo

định lý 2.2 có một trong hai trờng hợp sau:

a K = 0 mọi điểm của S là điểm dẹt (điều này tơng đơng với hp = 0 hayIIp = 0 với mọi p ∈ S, ; khi đó S là một bộ phận liên thông của mặt phẳng

Thật vậy, trên mỗi tập mở liên thồng của S mà có trờng véctơ pháp tuyến

đơn vị n thì ta có Dn = 0 nên n là trờng véctơ song song trên tập đó Vậy do Sliên thông nó định hớng đợc bởi trờng véctơ pháp tuyến đơn vị song song n dọc

S Lấy điểm p ∈ S với mọi q ∈ S, lấy cung tham số

p: [0,1] → S

t a p (t) Nối p = ρ của (0) với q = ρ(1) và xét hàm số

ϕ: [0,1] → R, ϕ(t) = prρ( )t

onr

ta có ϕ' (t) =( )t n 0

ρr r= và ϕ(0) = 0 nên ϕ (t) = 0 với mọi t; từ đó q = ρ(1) phải thuộc mặt

r

rr

Nên với mọi t ∈ [0,1], r(t) là một điểm cố định O Từ đó( ) n( ( ) )

Ouuuvρ t = uuvR ρ t =R nên mọi ρ(t) thuộc mặt cầu tâm O bán kính R Lấy

điểm p ∈ S; với mọi q = ρ1(1) thì có thể chia nhỏ đoạn [0,1] thành một số hữuhạn đoạn con để thu hẹp của ρ1 trên mỗi đoạn con đó có ảnh nằm trong một tập

mở liên thông của S trên đó có trờng véctơ pháp tuyến đơn vị nh nói trên Từ đó

dễ thấy các điểm O cho mỗi đoạn con đó là trùng nhau

Vậy với mọi t ∈ [0,1], ρ1(t) thuộc mặt cầu tâm O bán kính R do đó qthuộc mặt cầu ấy

Hệ quả: S là một đa tạp hai chiều compắc liên thông trong mà mọi điểm là

điểm cầu phải là toàn bộ mặt cầu

2.4.2 Bổ đề

{U1, U2} là một trờng mục tiêu tiếp xúc trên một tập mở V của S ⊂ E3,{θ1 θ2} trờng đối mục tiêu của {U1, U2} thì có duy nhất một dạng vi phân bậcmột ω1

{θ θ1, 2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2}

{θ θ% % là trờng đối mục tiêu của 1, 2} {U U% %1, 2}

U u

* 1 2 2

* 2 1 1

hp(U2p ) = ω3

1(U2p ) U1(p) + ω3

2(U2p )U2(p)Vậy ma trận của hp là:

Trong đó K là độ cong Gauss của S

K%là độ cong Gauss của S%

Chứng minh

Lấy một trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn{U1, U2} trên một lân cận mở

V của p trong S mà f/v: V → f(V) là một vi phôi đẳng cự lên tập mở S và f(V)

trong S%(điều này có đợc do f là ánh xạ đẳng cự suy ra f là một trải)

Khi đó f/v là một vi phôi đẳng cự, ta đợc mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn{f*U1; f*U2} trên f(V) ⊂ S%

Gọi θ θ% %là trờng đối mục tiêu của nó thì (f1, 2 *θ%) (Ui) = i θ%(f*Uj) = i δi

so sánh với công thức Gauss dω21=Kθ θ1∧ 2 của S ta suy ra K = K%of

2.5 Mối liên hệ giữa độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt S với độ

cong Gauss của mặt song song S* tơng ứng

2.5.1 Định nghĩa

Cho mặt S* xác định bởi tham số hoá r*(u,v) = r(u,v) + a nor(u,v)

Trong đó r(u,v) là tham số của mặt S, nor là trờng véctơ pháp tuyến đơn

=rru'+ a ( )'

⊥ *'

v

rr vậy ( )noruuuv

và véctơ pháp tuyến đơn vịcủa Tp*S*

2 Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' 2

( ) 2

2 2

2 2

22

uu

ruur+a(noruuur)(noruuur)"uu = L + a(noruuur)(noruuur)"uu (2.13)

Ta có (noruuur)'u (noruuur) = -hp(ruru' )(noruuur)= − α +β( ruru' rurv')(noruuur) = 0

⇒ (noruuur)"uu(noruuur) + (noruuur)'u (noruuur)'u = 0

⇒(noruuur)"uu(noruuur) = - (noruuur)'u (noruuur)'u (2.14)Thay (2.1) và (2.14) vào (2.13) ta có:

L* = L - a(2HL - KE) = L(1 -2aH) + aKETính tơng tự ta có đợc:

M* = M(1 - 2aH) + aFK

Đ3 Đa tạp Riman

3.1 Định nghĩa

Đa tạp m chiều (khả vi lớp CK, K ≥ 0) là tập M (mỗi phần tử của nó là một điểm) cùng một họ những đơn ánh ri : Ui → Μ (i ∈ tập chỉ số I) , Ui là một tập mở trong Rm, sao cho

1 Nếu ri: Ui → M

rj: Uj → M thuộc họ đó mà V = ri(Ui) ∩rj(Uj) ≠ Φ thì tập r i−1(V) là

mở trong Ui, r V j−1( ) là mở trong Uj và ánh xạ

4 Họ các đơn ánh đó là tối đại, tức nếu có đơn ánh r : U → M, U là tập

mở trong Rm, mà ∀i ∈ I khi ri(Ui) ∩ r(U) ≠ Φ, r r i−1 , r r i−1 là khả vi lớp Ck thì r thuộc họ đó

3.2 Định nghĩa

a Cho M là một đa tạp nhẵn m chiều trong R3 một cấu trúc Rimann trên

M ký hiệu <,> là việc đặt ứng với mỗi điểm p ∈ M một tích vô hớng trên TpM (α, β) a (α, β) sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi (nghĩa

là với hai trờng véc tơ X, Y khả vi bất kỳ trên M, hàm số

p → X p Y p( ), ( ) p khả vi) tơng ứng nói trên đợc gọi là Mêtric Rimann ký hiệu

<,> đa tạp hai chiều M cùng với cấu trúc Mêtric Rimann đó đợc gọi là một đa tạp Rimann hai chiều ký hiệu là(M,<,>)

Ví dụ 1: M = R2 với tích vô hớng X Y, p= X p Y pr( ), ( )r là một đa tạp Riman hai chiều.

Thật vậy, X p Y pr( ), ( )r là tích vô hớng trong R2, R2 là đa tạp hai chiều.Giả sử X = f1E1 + f2E2; Y = g1E1 + g2E2

Khi đó (H, can) trở thành một đa tạp Rimann hai chiều

Tại mỗi một p = (x, y) ∈ H, ta định nghĩa một tích vô hớng <,>p của TpH

nh sau:

<,>(p) = 12 can

y Khi đó tích vô hớng<,> p phụ thuộc khả vi theo p Do

đó ta có một Mêtric Riman <,> trên H, còn (H,<,>) là một đa tạp Riman hai chiều Đa tạp Rimann hai chiều này đợc gọi là nửa phẳng poicare

3.3 Định nghĩa.

ánh xạ nhẵn :( , , ) ( , , )f M < > → M%< >% giữa các đa tạp Riman gọi là một

ánh xạ đẳng cự nếu với mỗi α, β∈ TpM (p ∈M), <Tpf(α), Tpf(β)> = <α,β>

Nó luôn là một dìm nên còn gọi là một dìm đẳng cự Dìm đẳng cự mà là một vi phôi thì gọi là một vi phôi đẳng cự

- Giả sử (M, <,>) và ( , , )M%< >% là các đa tạp Riman, ánh xạ khả vi f:(M, <,>) → ( , , )M%< >% đợc gọi là ánh xạ đẳng cự địa phơng nếu ánh xạ f*x:

K(x, E) = Kx với mọi hai phẳng E ⊂ Tx(M)

Giả sử K là một số thực nào đó, ngời ta nói rằng M có độ cong không đổi Knếu nh độ cong tại mọi điểm của mặt là không đổi và bằng K

Đ4 Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp

Rimann hai chiều 4.1 Định lý

a (M,<,>)là một đa tạp Rimann haichiều với trờng mục tiêu trực chuẩn

{U1, U2} trên tập mở V của M Gọi {θ1, θ2}là trờng đối mục tiêu của nó, tức là các dạng vi phân bậc một trên V mà θi(Uj) = δi j (i,j = 1,2), ta có một và chỉ mộtdạng vi phân bậc một ω12 trên V thoả mãn

Trong đó 1 2

2 1

ω = −ω

b Định nghĩa

Giả sử {U1, U2} là trờng đối mục tiêu trực chuẩn bất kỳ trên M và {θ1,

θ2}là trờng đối mục tiêu của {U1, U2} tồn tại dạng vi phân 1 ( )

2 M

ω ∈Ω thoả mãncác điều kiện 1, dθ1= − ∧ω θ12 2

Trên đa tạp Rimann haichiều (M, <,> )lấy trờng mục tiêu trực chuẩn bất

kỳ {U1, U2} Gọi {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của {U1, U2} và ω21 là dạng liênkết của M trong {U1, U2} Tồn tại hàm số nhẵn

k: (M,<,>) → R

f là một ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Rimann hai chiều ,

f: (M,<,>) → ( M%, <,>) thì f bảo tồn độ cong Gauss tức là: K(p) = K%(f(p)), ∀ p ∈ M

Chứng minh

Gọi K và K%lần lợt là độ cong Gauss của M và M%

Gọi {θ1, θ2} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2}bất kỳ trên M và 1

Mặt khác ta có f*θ θ%i= i, i=1,2 (Trờng đối mục tiêu của một trờng mụctiêu trực chuẩn bất biến qua vi phôi đẳng cự) và theo mệnh đề 4.3 ta có f* 1

Chứng minh.

Trên tập mở V ⊂ S lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} Gọi {θ1,

θ2} là trờng đối mục tiêu của trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} thì dạng liênkết ω21= − ω12 của mặt S trong E3 và dạng liên kết của đa tạp Rimann (M, <,>)

Trình bày đợc một số tính chất của độ cong Gauss.

Chứng minh đợc ánh xạ đẳng cự bảo tồn độ cong Gauss

Trình bày đợc mối liên hệ giữa độ cong Gauss và độ cong trung bìnhcủa mạch S với độ cong Gauss của mặt song song S* tơng ứng

Đa ra đợc các khái niệm đa tạp Rimann hai chiều

Định nghĩa độ cong Gauss trong đa tạp Rimann hai chiều thông quadạng liên kết

Chứng minh độ cong Gauss trong E3 tơng đơng với độ cong Gauss trong

đa tạp Rimann hai chiều

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] §oµn Quúnh (2000), H×nh häc vi ph©n , Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi

[2] §oµn Quúnh, TrÇn §×nh ViÖn, Trêng §øc Hinh, NguyÔn H÷u Quang(1993), Bµi tËp H×nh häc vi ph©n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi

[3] Phan §øc ChÝnh (1978), Gi¶i tÝch hµm tËp 1, Nxb §¹i häc vµ Trung

häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi

[4] NguyÔn Thóc Hµo (1968), H×nh häc vi ph©n tËp 2, Nxb Gi¸o dôc, Hµ

Néi

môc lôc

Trang