Đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp Riemann 2 chiều

LỜI NÓI ĐẦU Phép tính đạo hàm là một công cụ hữu hiệu trong việc trình bày các tính chất hình học trên các đa tạp khả vi.. Trong luận văn này chúng tôi trình bày hệ thống các khái niệm

LỜI NÓI ĐẦU

Phép tính đạo hàm là một công cụ hữu hiệu trong việc trình bày các tính chất hình học trên các đa tạp khả vi Phép tính đạo hàm dọc theo một đường cong đã được trình bày trong nhiều tài liệu viết về hình học vi phân

Trong luận văn này chúng tôi trình bày hệ thống các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của đạo hàm của trường véctơ dọc đường cong trên đa tạp Riemann và sử dụng nó để trình bày chuyển dịch song song trên

đa tạp Riemann

Luận văn được chia thành 2 chương

Chương I: Đa tạp Riemann 2 – chiều

I Đa tạp Riemann 2 – chiều

II Dạng liên thông trên đa tạp Riemann

Trong chương I, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann, các kiến thức đó làm cơ sở cho chương tiếp theo Cũng trong chương này, chúng tôi nêu định lý tổng quát về sự xác định dạng liên thông trên đa tạp Riemann 2 – chiều, định lý về công thức đổi mục tiêu của các dạng liên thông Các kiến thức

đó được trình bày theo tinh thần cô đọng nhất

Chương II: Đạo hàm của trường véc tơ dọc đường cong trên đa tạp Riemann

I Đạo hàm của trường véc tơ dọc cung tham số

II Chuyển dịch song song trên đa tạp Riemann

Trong chương II, ở mục I, chúng tôi nêu và có chứng minh chi tiết một số tính chất của đạo hàm của trường véc tơ dọc cung tham số, đồng thời trình bày các kết quả về đạo hàm và về trường véc tơ song song Mục II, chúng tôi tiếp tục nêu và chứng minh chi tiết một số tính chất của phép dịch chuyển song song trên đa tạp Riemann 2–chiều và chỉ ra một số ví dụ về phép dịch chuyển song song trên một số mặt cụ thể

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại trường Đại học Vinh

Tác giả chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang - Người đã đặt bài toán và hướng dẫn tác giả trong suốt

quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn Tác giả cũng cảm ơn các thầy giáo trong bộ môn hình học đã giảng dạy, chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu và cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa toán, khoa sau đại học – Trường Đại học Vinh, ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ toán trường trung học phổ thông Quỳ Hợp 3, gia đình, bạn

bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suôt quá trình hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG I

ĐA TẠP RIEMANN 2-CHIỀU

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết M là đa tạp thực khả vi với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ U ,   I Ta kí hiệu:

 B M( )X X/ là trường véc tơ tiếp xúc khả vi trên M

 F M( )f / f M: R f, khả vi trên U – mở trong M

 T M  p  véc tơ tiếp xúc với M tại pM

I ĐA TẠP RIEMANN 2 – CHIỀU

1.1 - Định nghĩa (Xem  2 )

Một cấu trúc Riemann trên M đó là một ánh xạ g đặt tương ứng với mỗi điểm p

 M với một g p thoả mãn :

1/ g p Là một tích vô hướng trong TpM ; p  M.

2/ g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g X Y P( , )( )g X Y p( p, p) và

g là một hàm số khả vi theo p trên M ;X Y, B M( ))

Đa tạp M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Riemann thực 2

- chiều, kí hiệu M hay (M,g)

1.2 - Ví dụ :

Ta kí hiệu H = {( x, y)  Oxy | y>0} Ta đưa vào H một cấu trúc Riemann g như sau g : p g p.Trong đó g pX p,Y p  = 12

y X , p Y p  với p(x,y) H

Thật vậy, ta sẽ kiểm tra g là cấu trúc Riemann

Trước hết, ta sẽ chứng minh g p là tích vô hướng trên H ;  p H p x y;  , 

 g pX p,Y p  = 12

y X , p Y p 

= 12

y Y , p X p 

Giả sử X (X1, X2) ; Y(Y1,Y2 ) là hai trường vectơ khả vi với toạ độ tự nhiên trong

H Khi đó, ta có X1, X2,Y1,Y2 là các hàm số khả vi trên H.Ta xét :

1.3 - Liên thông Lêvi – Civita

1.3.1 - Định nghĩa : Giả sử M là đa tạp Riemann

là liên thông tuyến tính trên M mà  làm cho độ xoắn và liên thông Riemann triệt tiêu

X

X Y E Y

1.3.4 - Định lý Liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann M luôn tồn tại và

Với Z là trường véc tơ tuỳ ý của B M ( )

Có thể kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ X Y, X Y thoả mãn các điều kiện

(Điều kiện  T6 của định nghia 1.3.1 thoả mãn)

Như vậy,  là liên thông Lêvi-Civita

 Bây giờ để chứng minh tính duy nhất của  ta chứng minh rằng nếu

là liên thông Lêvi-Civita trên M thì X Y thoả mãn (1)

Thật vậy, X Y, B M( ), từ điều kiện (T5) của định nghĩa 1.3.1 ta suy ra

Như ta đã biết : Ánh xạ f M: N, (M,N là các đa tạp Riemann) được gọi

là phép biến đổi đẳng cự trên M nếu và chỉ nếu g ( X,Y) = gfX,fY; X,Y 

B( M ) (Như vậy phép đẳng cự bảo tồn tích vô hướng)

Bây giờ ta xét định lý sau :

1.3.5 - Định lý :

Giả sử M, N là hai đa tạp Rimann với các liên thông Lêvi-Civita tương ứng

,

  và f M: N là vi phôi đẳng cự Khi đó, f*(X Y) f X* f Y*

Như vậy, một vi phôi đẳng cự bảo tồn liên thông Lêvi-Civita

Chứng minh Để chứng minh định lý này ta sử dụng bộ đề sau :

Bổ đề : Nếu ánh xạ  : N R khả vi thì f*p( p)    p  f ; pT M p

Chứng minh : Giả sử ( )t là đường cong trên M với  p là tiếp tuyến của nó tại

Từ (a) và (b), ta suy ra bộ đề được chứng minh

Bây giờ ta chứng minh định lý

Tiếp theo ta phải chứng minh :  f*X Y f Z*   f X* f Y*  f Z* 

f X X

+) Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi – Civita:

T5) T(X,Y) = XY - YX - X,Y = (DXY)T - (DYX)T - X,Y

Vậy  là liên thông Levi – Civita

Nhận xét : Bây giờ, ta kí hiệu : D M = { f | f vi phôi đẳng cự: M  M } Khi đó: D hợp thành một nhóm đối với phép toán lập thành các ánh xạ M

Thật vậy:

- Như ta đã biết phép toán hợp thành các ánh xạ có tính chất kết hợp

- Phần tử đơn vị của D là e = id : M  M ; p  p

- Giả sử f : M  M, f vi phôi đẳng cự Vì f vi phôi đẳng, ta suy ra f cũng

II DẠNG LIÊN THÔNG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Như ta đã biết ( xem [ 2 ] ) một đa tạp khả vi n - chiều M được gọi là đa tạp khả song nếu tồn tại trên M một hệ trường mục tiêu  X1, ,X n; X iB M( ), (nghĩa là X1 p , ,X n p  là một cơ sở của TpM ; p  M )

Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một đa tạp khả song 2 - chiều

Giả sử M là đa tạp khả song 2 – chiều với U U1, 2 là trường mục tiêu trực chuẩn trên M có hệ bản đồ U,,  1, 2 là trường đối mục tiêu của U U1, 2,

 là liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp M Khi đó tồn tại các 1 – dạng vi phân

   i j được gọi là ma trận của dạng liên thông của  đối với trường mục tiêu  U i trên M

    nên suy ra  i j( )X khả vi

Vậy, các  i j là các 1- dạng vi phân trên M

2 1 1

2 1 1

,

,

U U d

U U d



 

 

1 , 1

1 , 1

l i

dx y dx y

i

n k

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC ĐƯỜNG CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU

Trong suốt chương này, ta luôn kí hiệu  là một đường cong trên đa tạp Riemann 2 – chiều M với bản đồ U ,  và liên thông Lêvi – Civita , được xác định bởi tham số hoá :J  M , t t ; trong đó  là ánh xạ khả vi và J

là một khoảng mở a b,  trong R

Một trường véc tơ X dọc  là việc đặt tương ứng với mỗi tJ với một véc

tơ tiếp xúc X t T ( )t M.Ta nói X khả vi nếu và chỉ nếu X ( )t   khả vi theo t, với mọi  là hàm số khả vi dọc   ; t J

Giả sử U1,U2 là trường mục tiêu trực chuẩn trên M, khi đó, rõ ràng trường vectơ X (t) có sự biểu diễn X t  X1   t.U1 t X2 t .U2 t Trường vectơ X (t) khả

vi nếu và chỉ nếu X1 t và X2 t là các hàm số khả vi Từ đây, chúng ta chỉ xét các trường vectơ X khả vi dọc đường cong 

I ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ DỌC CUNG THAM SỐ

một véctơ tại p, được kí hiệu

0

t

X dt



(hay

p

X dt

Hay DX t( ) X t'( ); t J.

việc chọn trường mục tiêu

Để chứng minh định lý này ta cần sử dụng định lý 1.10 chương I:

Chứng minh:

Thật vậy, giả sử C U:  U Trong đó U U U1, 2 ; U U U  1, 2

và X X X 1, 2, là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U

X X X 1,  , 2 ~ là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U~

Như vậy đạo hàm dọc  của X là đạo hàm thông thường đã biết trong R2

Khi không để ý đến giá trị tại p của đạo hàm X thì ta viết

dt

 Ta có định lý sau:

.X

dt





  không phụ thuộc vào đường cong  t

2.5 - Định nghĩa: Với các trường vectơ Z, X trên M, trường véctơ

b  X Z   X Z

c X ZZ X Z  X Z

d X  ZX  Z   X Z

e X Z Z     X Z Z. Z.X Z

Để chứng minh định lý 2.5, ta cần chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : Giả sử  p1,2T p M là tiếp tuyến của  t tại p t ; Z1,2là trường vectơ dọc  Khi đó :

Áp dụng bổ đề này, ta dễ dàng chứng minh được tính chất a, b, c của định lý

i i

x x

i i

x x

=  

p

Z dt

X x

p U X p p

X x

p i

p

p i

p

2 1 2

2 1 1 2

1 2

1 1

2 2 2

1 1

~ ,

~

.

.

Bây giờ, ta xét M là một mặt trong 3

R có hướng, hướng của M được xác định bởi trường véctơ pháp tuyến đơn vị n trên M Và ánh xạ Weingarten :

Do đó định nghĩa 2.3 không phụ thuộc trường mục tiêu  U i đã chọn

Nội dung của mục này được xem như sau đây là phần ứng dụng của đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp Riemann 2 - chiều

II CHUYỂN DỊCH SONG SONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Bây giờ ta giả sử  : J M , t  t là ánh xạ khả vi từ J= [a,b] lên đa tạp Riemann hai chiều M Ta kí hiệu   J

Ta xét đa tạp Riemann 2 - chiều M với trường mục tiêu trực chuẩn

U U1, 2 và các dạng đối ngẫu  1, 2 ; dạng liên kết j

i

 Giả sử X là trường véc tơ song song dọc  thì 2

1 2 2 2

.sin ( ) '( ) ( ) 0 os ( ) '( ) ( ) 0

'( ) ( ') 0'( ) ( ')

t t

  Vậy ( )t const Do đó, X là trường véc tơ song song

dọc nếu và chỉ nếu

0

t

X dt



= 0,  t J

2.10 – Ví dụ : Xét nửa phẳng Poincaré (H,g) với trường mục tiêu trực chuẩn

U U1, 2 trong đó, U1  yE U1; 2  yE2 với E E1, 2 là trường mục tiêu song song chính tắc trong 2

R Ta xét sự chuyển dịch song song dọc cung đoạn tham số

2.11 - Hệ quả: Nếu X,Y là hai trường vectơ song song dọc  thì  X  Y

cũng là trường vectơ song song dọc ;  , R

Chứng minh: Ta đặt: Z =  X  Y Khi đó

0

t

X dt



= 0

Vậy  X  Y là trường vectơ song song dọc 

2.12 - Hệ quả : Cho vectơ  pa a1, 2 T M và  là ảnh của ánh xạ khả vi

Áp dụng lý thuyết phương trình vi phân, hệ   có duy nhất nghiệm X X1, 2

Từ hệ quả trên ta nhận thấy rằng Nếu  là đường cong nối p và q trên M thì với mỗi vectơ X pT M p có duy nhất một vectơ X qT M q

2.13 - Định nghĩa : Giả sử là đường cong trên M được cho bởi ánh xạ khả vi

X là trường vectơ song song dọc  Khi đó f là phép tịnh tiến

Chứng minh : Gọi X X i ; trong đó X ti  là hàm số của t

00

Ta đặt : Z =  X  Y Vì X, Y là trường vectơ song song dọc  nên theo hệ

quả 4.1 thì Z =  X  Y cũng là trường vectơ song song dọc 

Tiếp theo ta chứng minh f là ánh xạ trực giao

Thật vậy : Giả sử X, Y là các trường vectơ song song dọc 

Vậy f là một ánh xạ tuyến tính trực giao

2.16 - Định lí: Cho X là trường vectơ song song dọc  thoả mãn X | 0 và

 X = const

 X p X p = a ; p  

Giả sử có một điểm p sao cho X p= 0  X.X = 0

 X | = 0

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó   = 0   = const

 Ngược lại, nếu  = const thì  X song song dọc 

Thật vậy, theo giả thiết ta có :

X song song dọc   X 0

dt



  = const    = 0

' ( ) '( ) 0; 1, 2

(*)( )

 t1

 t o X

 t1X

Cho cung  với tham số hóa :J M t;  ( )t trên đa tạp Riemann

2-chiều M và X là trường véc tơ dọc  thì ta có thể mô tả

0 0

( )t t

phép chuyển dịch song song dọc  như sau :

2.18 - Định lí: Cho trường vectơ X song song dọc  Sử dụng phép chuyển dời

song song dọc  ta có thể mô tả

0

t

X dt

là phép chuyển dịch song song dọc  từ A đến B

cong được xác định bởi tham số hoá : 0; x0 Rcos ; sin ,t R t R 0 cho

vào đường nối 2 điểm p và q (trong đó R là Ten xơ cong trên M, được xác định

bởi R X Y Z( , , )  X Y Z   Y X Z  X Y, Z )

Chứng minh : Giả sử J là khoảng đóng không suy biến,    : ;  J M là ánh xạ khả vi sao cho   ;s p;s;q với mọi sJ Như vậy  cho một học các đường nối p và q

Giả sử v T M Y p ; B( ) là trường véctơ sao cho tY t s( ; ) song song dọc theo t( ; )t s đối với mỗi s cố định thuộc J và Y( ; ) s  đối với mọi v sJ

Vậy với mọi sJ ta có

( ; )

0

t s

Y dt

trong Rn Xét phép chuyển dịch song song dọc  như sau : Với mỗi   T ( )a R

tồn tại duy nhất trường véc tơ X song song dọc  mà X a( ) Vì trong

2.23 - Mệnh đề : Phép chuyển dịch song song dọc cung tham số trên đa tạp

Riemann 2 - chiều không thay đổi khi đổi tham số hóa cung

Chứng minh :

Thật vậy, giả sử :a b; M t; ( ), : ;t  c da b s; ; ( )s là các vi phôi và r   : ;c dM

Theo  5 ta có, giả sử X à trường véc tơ dọc  thì X  là trường véctơ dọc

  là trùng nhau vì f T: ( )a M T ( )b M;  trong đó   X a( );  X b( )

2.24 – Định lý : Phép chuyển dời song song bất biến qua vi phôi đẳng cự giữa

các đa tạp Riemann 2 - chiều

Chứng minh : Giả sử :a b; M t,  ( )t là cung tham số trên đa tạp Riemann 2 - chiều M, f M: M là vi phôi đẳng cự từ đa tạp Riemann 2-chiều

M lên đa tạp Riemann 2 - chiều M và X là trường véctơ song song dọc  , tức

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một số nội dung như sau:

1 Nêu chi tiết các định nghĩa, các ví dụ và chứng minh các tính chất của đa tạp Riemann, dạng liên thông trên đa tạp Riemann, đạo hàm dọc cung tham số và chuyển dịch song song dọc 

2 Chứng minh công thức đổi mục tiêu   c d c1  c1 c , (định lý 1.10)

3 Chứng minh được công thức DX X h( ').X n.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

 1 Khu Quốc Anh – Nguyễn Doãn Tuấn 2011, Lí thuyết liên thông và hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm

 2 Trần Việt Dũng 1995, Bài giảng đa tạp khả vi, ĐHSP Vinh

 3 Trần Thị Lan Hương 2007, Về liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp Riemann, Luận văn thạc sỹ, Đại học vinh

 4 Đinh Thị Thuý Nhung 2010, Về liên thông pháp trên đa tạp con Riemann,

Luận văn thạc sỹ, Đại học vinh

 5 Nguyễn Hữu Quang 2005, Đa tạp khả vi, ĐHSP Vinh

 6 Nguyễn Hữu Quang 2005, Mở đầu hình học Riemann, ĐHSP Vinh

 7 Đoàn Quỳnh 2001, Hình học vi phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

 10 D Groomoll, W.Klingenberg, W Meyyer, Hình học Riemann toàn cục,

bản dịch tiếng việt, Thư viện đại học vinh