Về các độ cong cơ bản trên đa tạp rieman

Độ cong thiết diện trên đa tạp Rimann Trong chơng I.Chúng tôi chủ yếu đa ra các khái niệm cơ bản để phục vụ cho ch-ơng sau,chẳng hạn nh: Định nghĩa, một số tính chất của đa tạp Riemann,

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Mục lục Lời mở đầu trang Chơng I: Kiến thức cơ sở……… 4

I.Đa tạp Riemann……… 4

II.Liên thông Levi-civita trên đa tạp Riemann……… 9

Chơng II: Các độ cong trên đa tạp Riemann……… 16

I.Độ xoắn trên đa tạp……… 16

II Độ cong trên đa tạp……… 21

III Độ cong thiết diện trên đa tạp……… 31

Kết luận……… 35

Tài liệu tham khảo……… 36

II Liên thông Levi- civita trên đa tạp Riemann

Chơng II Các độ cong trên đa tạp Rimann

I Độ xoắn trên đa tạp

II Độ cong trên đa tạp

III Độ cong thiết diện trên đa tạp Rimann

Trong chơng I.Chúng tôi chủ yếu đa ra các khái niệm cơ bản để phục vụ cho

ch-ơng sau,chẳng hạn nh: Định nghĩa, một số tính chất của đa tạp Riemann, ánh xạ liênthông tuyến tính, liên thông Lêvi-civita trên đa tạp Rimann

Trong chơng II.Chúng tôi trình bày các khái niệm về độ cong,độ xoắn trên đa

tạp, chứng minh đợc trên đa tạp khả vi luôn tồn tại một liên thông tuyến tính có độxoắn bằng 0 Đồng thời chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của độ cong thiếtdiện , độ cong thiết diện hằng, xây dựng các ví dụ về độ cong thiết diện hằng, địnhnghĩa độ cong Rici

Trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập ở trờng đại học Vinh, với sự dạy bảotận tình của các thầy, cô giáo, chúng tôi đã tiếp thu đợc những kiến thức cơ bảnkinh nghiệm giảng dạy vô cùng bổ ích và thiết thực, đó sẽ là hành trang giúp chúngtôi vững vàng và tự tin trong sự nghiệp của mình Với thời gian và năng lực có hạn

Luận Văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận đợc sự quan tâm,

đánh giá và đóng góp ý kiến của Quý thầy cô

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2006 tại trờng Đại học Vinh dới sựhớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này chúng tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy,côgiáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, phòng GD-ĐTthị xã Hà Tĩnh, Trờng THCSNam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúngtôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh ngày 20 tháng 11 năm 2006 Tác giả

Chơng I Kiến thức cơ sở

I đa tạp riemann

Trong chơng này chúng tôi trình bày các định nghĩa ,ví dụ,tính chất của đa tạp

Riemann Ký hiệu M là đa tạp khả vi thực có cơ sở đếm đợc và với hệ bản đồ

{Uα ,Xα α ∈Ι} , f(U)={f / f : U →R f/ Khả vi trên tập mở U trên M }

1.1 1 Định nghĩa

ánh xạ g: B(M) ìB(M)→F(M)

( , )X Y a g X Y( , )

Đợc gọi là metric Riemann trên M nếu đặt tơng ứng với mỗi p M∈ một tích vô

hớng < , > p trên TPM sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi,

nghĩa là ∀X Y, ∈b(M) thì hàm số p→ X / , /P Y P là khả vi.

Một đa tạp khả vi M với một cấu trúc metric Riemann đã cho trên nó đợc gọi là một đa tạp Riemann

1.1.2 Ví dụ.

M = R2 ta định nghĩa g X Y( , ) =X Y. khi đó g là metric Riemann

thật vậy: g X Y( , ) là tích vô hớng ( hiển nhiên )

Cho p chạy khắp nơi ta có(X.Y) = k1.f1 + k2.f2 ⇒ g X Y( , )khả vi

vậy g X Y( . ) =X Y. và g là metric Riemann

Vậy (H.g) là một đa tạp Riemann 2- chiều và đợc gọi là nửa phẳng Poincare.

M là đa tạp khả song n- chiều có trờng mục tiêu:

{E E1 , 2 , ,E n} , hệ {E E1 , 2 E n} đợc gọi là trực chuẩn khi và chỉ khi :

g E E( ,i j) = δ,i j = 0 nếu i≠ j

1 nếu i= j

Khi đó g là một metric Riemann trên M và (M,g) là đa tạp Riemann

Cho đa tạp M với hai cấu trúc metric Riemann g và g Khi đó:

g t g= + − (1 )t g ∀t ∈ [ ]0,1 là cấu trúc Metric Riemann

t X t X

p ∈ M, ánh xạ f* P đợc gọi là ánh xạ tiếp xúc của f tại p hay vi phân của f

1 1

.

m m

Trong mục này chúng tôi ký hiệu M là đa tạp Riemann với cấu trúc Riemann g

và ∇ là liên thông tuyến tính trên M.chúng tôi trình bày chủ yếu thế nào là

liên thông tuyến tính, liên thông Levi-civi ta và ánh xạ tuyến tính nhằm phục

vụ cho chơng sau

∇X Y đợc gọi là đạo hàm hiệp biến của trờng véc tơ Y dọc theo X đối với ∇.

1.2.2 Ví dụ 1 Trên không gian Euclide n -chiều , { , ,E1 E n} là trờng mục tiêu

tự nhiên Cho ( 1 , , n)

Y Y

Y =∑Y E khi đó D là một liên thông tuyến tính trên Εn

Thật vậy : Ta chỉ ra D thỏa mãn bốn tiên đề của định nghĩa:

ϕ ϕ

∇ = ∇ với ∇ là liên thông tuyến tính N, ta chỉ

ra ∇ thỏa mãn bốn tiên đề của định nghĩa:

= ( )T ( )T

X Y X Y

ϕ ∇ + ∇ ϕ ( )T

là liên thông Levi- civita nếu nó thoả mãn 2 điều kiện:

( )T5 trờng ten xơ xoắn T= 0

= ∑ .Khi đó D là một liên thông tuyến tính trênΕn

2.Trong ví dụ 2 (1.2.4) ta đã chứng minh ∇ thỏa mãn (Τ5), (Τ6) của liên thông Levi-civita.Ta có:

tại duy nhất một trờng véc tơ A∈B(M) thỏa mãn: ω ( )Z = AZ ∀ ∈Z B(M) (*) Chứng minh: Giả sử { , , }

1

n là trờng mục tiêu trong bản đồ địa phơng

( , )U x Khi đóvới A∈B(M) ta có sự biểu diễn A i i E

Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính khác thỏa mãn điều kiện (Τ5),(Τ6)

khi đó (***)suy ra: ( ∇X Y Z ) ( = ∇X Y Z ) do đó ( ∇X Y− ∇X Y Z) = 0, ∀ ∈Z B(M)và

VËy trªn ®a t¹p Riemann lu«n tån t¹i duy nhÊt liªn th«ng Levi-civita.W

Gi¶ sö M lµ ®a t¹p Riemann kh¶ song n- chiÒu víi trêng môc tiªu

{ , ,X1 X n}, víi ∇ lµ liªn th«ng Levi-civita trªn M

Víi mäi X∈B(M), ∇X X i∈B(M) , ta cã sù biÓu diÔn ∇X X i theo { , X1 X n}

Các 1- dạng vi phân ωi j đợc gọi là các dạng liên thông của ∇ đối với trờng

1.2.9 Mệnh đề.

Cho M là đa tạp Riemann khả song n -chiều với trờng mục tiêu {X1 , ,X n}

khi đó trong hệ tọa độ địa phơng ,biểu thức tọa độ của ánh xạ K là:

j i P j

Chơng II

các độ cong trên đa tạp riemann

Trong chơng này chúng tôi ký hiệu M là đa tạp khả vi thực n- chiều với mỗi

p M∈ ta ký hiệu không gian véctơ tiếp xúc với M tại p là Τ Μp

Gĩa sử ∇ là liên thông tuyến tính trên M

F(M)là các hàm khả vi trên M, B(M) là tập các trờng véctơ khả vi B(M)= Ω 1 ( )M

là tập các trờng đối véctơ khả vi

2.1.4 Mệnh đề (xem [1]).

Nếu k

r

ω là các dạng liên kết đối với { }E

i i trên M và trờng mục tiêu đối ngẫu

( ) θi của trờng mục tiêu { }E i thì.

(1) 1

(2) 2

Đặt x i k

ij k k

Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M có độ xoắn ứng với T=0

Thật vậy: Ta chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M

*) '

' ( )

Vậy ∇ là liên thông tuyến tính cần tìm.W

Giả sử đa tạp khả vi M với liên thông tuyến tính ∇ và ω là một q- dạng vi

phân trên M, lấy giá trị trên B(M).Ta ký hiệu ∇ ωX là q- dạng trên M, đợc

Ta gọi vi phân ngoài dω của q- dạng liên kết với ∇ đó là một (q+1)- dạng trên

M lấy giá trị trên B(M) đợc xác định bởi ∀X0, ,X q∈B(M) thì

i

q i

<

= − ∇ + −