Về độ cong gauss trên mặt trong không gian e3

ánh xạ Weingarten và độ cong Gauss của mặt S trong E3 Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, công thức tính độ cong Gauss của mặt định hớng trong E3, chứ

Mục lục

Trang

Lời mở đầu 1

Đ1 ánh xạ Weigarten và độ cong Gauss của mặt trong Ε 3 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Mệnh đề 3

1.3 Mệnh đề 4

1.4 Hệ quả 4

1.5 Nhận xét 5

1.6 Định nghĩa 6

1.7 Ví dụ 6

1.8 Nhận xét 6

1.9 Mệnh đề 7

1.10 Hệ quả 8

1.11 Ví dụ 9

1.12 Nhận xét 9

1.13 Hệ quả 10

Đ2 Biểu thị độ cong Gauss qua các dạng cơ bản của mặt S 11

2.1 Định nghĩa 11

2.2 Mệnh đề 12

2.3 Mệnh đề 12

2.4 Mệnh đề 13

2.5 Hệ quả 14

2.6 Ví dụ 15

2.7 Mệnh đề 16

Đ3 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trongE3 17

3.1 Định nghĩa 17

3.2 Bổ đề 18

3.3 Ví dụ 18

3.4 Mệnh đề 19

3.5 Ví dụ 21

Đ4 Độ cong Gauss của mặt khả triển trong E3 22

4.1 Nhận xét 23

4.2 Nhận xét 24

4.3 Định nghĩa 25

4.4 Mệnh đề 25

4.5 Ví dụ 25

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Khóa luận đợc trình bày trong 4 mục:

Đ1 ánh xạ Weingarten và độ cong Gauss của mặt S trong E3

Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, công thức tính độ cong Gauss của mặt định hớng trong E3, chứng minh một số tính chất cơ bản của độ cong Gauss (có ví dụ minh họa)

Đ2 Biểu thị độ cong Gauss của mặt trong E3 thông qua các dạng cơ bản của mặt S

ở đây chúng tôi đã trình bày định nghĩa về các dạng cơ bản trên mặt S

và biểu thị độ cong Gauss thông qua các hệ số cơ bản (có ví dụ minh họa)

Đ3 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong E3

Trong mục này chúng tôi trình bày công thức tính độ cong Gauss của mặt tròn xoay

Đ4 Độ cong Gauss của mặt khả triển trong E3

Trong phần này chúng tôi nêu một số tính chất về mặt khả triển và chứng minh độ cong Gauss trên mặt khả triển bằng 0

Khóa luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại khoaToán - trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Cảm ơn các thầy, cô giáo

trong tổ Hình học nói riêng và thầy, cô giáo trong khoa Toán nói chung Cảm

ơn gia đình, bạn bè đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Trong mục này, chúng tôi trình bày về ánh xạ Weigarten và độ cong Gauss của mặt trong E3 Như chúng ta đã biết (xem [6]), một mặt S định h-ớng trong E3 nếu và chỉ nếu tồn tại trường vectơ pháp tuyến đơn vị n

Giả sử mặt định hớng S đợc cho bởi tham số hóa r:U →r( )U

Khi đó:

v u

v u

r r

r r r n

đợc gọi là ánh xạ Weigarten của S tại điểm p, ∀ ∈p S.

* Nhận xét Giả sử cung tham số ρ :J →S

t ρ( )t , (J là khoảng mở trong Ă )Nếu ρ ′( )t0 = α thì ánh xạ Weigarten tại p là: h p( ) α =−(n ρ ) ( ) ′ t0

β

α

α λα

β α β

α β

α

p p

p p

p

h n D n

D

h

h h

n D n D n D n D n D h

R p

Lấy đạo hàm hai vế của ( )1.2 theo u ta đợc: ( ). ( ). ′ =0

+

′

du

r D r n r du

r n

v u

u v

=  ( )1 5

Do r là ánh xạ khả vi nên:

u v

r v

Từ đó ta suy ra: h p( )α β = α h p( )β ; với ∀ α , β ∈T P S

1.3 Mệnh đề Đối với cơ sở trực chuẩn, ma trận của ánh xạ h p là ma trận đối xứng

Chứng minh Chọn cơ sở trực chuẩn đơn vị {e1;e2} trong không gian T P S Giả sử

2 1 1

de ce e

h

be ae e

b e e h

p

p

1 2

2 1

b k a

Vậy (*) luôn có nghiệm thực hay h p luôn có hai giá trị riêng.

- Các giá trị riêng của h p gọi là độ cong chính của S tại p

- Mỗi vectơ riêng của h p gọi là phơng chính của S tại p

1.5 Nhận xét

- Nếu ∆ > 0 phơng trình (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, có nghĩa

là h p có hai giá trị riêng phân biệt

- Nếu ∆ = 0 phơng trình (*) có nghiệm kép tức là h p có hai giá trị riêng trùng nhau

* Chú ý

a) Vì h p là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng trong không gian Ơclit hai chiều T p S nên h p có hai giá trị riêng thực phân biệt hoặc có một giá trị riêng (thực) trùng nhau

- Nếu h p có các giá trị riêng thực phân biệt k1 ≠k2 thì h p có hai phơng chính (các véctơ riêng của h p) vuông góc với nhau

- Nếu h p có hai giá trị riêng (thực) trùng nhau k1 =k2 =k thì mọi véctơ của T p S đều là vectơ riêng (phơng chính)

- Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn { e1, e2 } của T p S ta có:

1 1 1

e k e

h

e k e

h

p

p

với k1 =k2 =k ⇒ K( )p =k2; H( )p =k

trong trường hợp này điểm p được gọi là điểm rốn

Khi k1 =k2 = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt

Khi k1 =k2 ≠ 0 thì điểm p đợc gọi là điểm cầu

- Nếu h( )p > 0 thì điểm p đợc gọi là điểm eliptic

- Nếu h( )p = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic

- Nếu h( )p < 0 thì điểm p đợc gọi là điểm Hypebolic

b) Khi đổi hớng của S tách bằng cách xét n− thay cho n thì h p đổi thành −h p nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (do

đã định nghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S khi S cha có hớng hay cả khi S

Ta chú ý rằng: Khi p thay đổi ta ký hiệu chung các độ cong Gauss K p( )

là K và gọi là độ cong Gauss của mặt S

- Giả sử { e1, e2 } là cơ sở của T p S, hai vectơ riêng ứng với hai giá trị riêng k1; k2

1 1 1

e k e h

e k e h

p p

Ma trận của h p đối với cơ sở { e1, e2 } là  2 

1

0

0

k k

⇒ ( ) 2( 1 2)

1

k k

0 0

Ta có, p p p p A P

C A C C

A C C

A C

.

* 1

*

Vậy, K( )p không đổi khi đổi cơ sở

1.9 Mệnh đề Giả sử Z là một trờng vectơ pháp tuyến (khác 0) xác định hớng của mặt S trong E3 và {X , Y} là một trờng mục tiêu tiếp xúc của tập mở U

trong S Khi đó ta có công thức tính độ cong Gauss trong U :

Z

Z D

Z Y Z D Z

Z Z

Z

Z X Z

⇒

Nhân vô hớng hai vế với X ìY ta có :

Y Z Z

Z Y Z D Z

Z Z

Z

Z Y

Z X Z D Z

Z Z

Z

Z Y

Z

Z

x y

x z

Thay X Y Z D Z D Z, , , x , y vào biểu thức độ cong Gauss K ở mệnh đề 1.9 ta có:

zz y yy z

z y

x z

z

F F x

abc K

+ +

zy yz

zx xz

F F

F F

F F

c F

b F

a F

zz yy xx

2 2 2

abc K

+ +

Chứng minh Ta biết rằng nếu mặt S trong E3 mà mọi điểm là điểm rốn thì độ cong Gauss tại điểm p trên S là hàm hằng không âm Nên chỉ có thể xảy ra

hai trờng hợp: k p = 0 hoặc 12

R

k p = (R> 0)

 Khi k p = 0 thì h p( )α = 0 với mọi p∈S, mọi α ∈T p S

Giả sử n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị của S khi đó ta có: Dαn = 0 , với mọi

S

T p

∈

α thì n là trờng vectơ song song trên S

Lấy p∈S, với mọi q∈S , xét cung tham số:

với mọi t Do đó ϕ( )t =uuuuuuur rpρ( )t n =pq→.→n = 0

Ta suy ra q thuộc mặt phẳng qua p vuông góc với −n.

Vậy S là bộ phận liên thông của mặt phẳng

 Khi 12

R

k= (R> 0), mọi điểm của S là điểm cầu

Giả sử n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị của mỗi tập mở liên thông của S , ( )

t  r( )t = ρ( )t −R.n(ρ( )t )

Thì ′( )= ′( )+ ( ( ′( ) ) ) = ′( )− ′( ) = 0

R

t R t t

h R t t

Nên với mọi t∈[ ]0 ; 1 , r( )t là một điểm cố định 0

Do đó 0ρ( )→t =Rn( ρ ( )t ) =R nên ρ( )t thuộc mặt cầu tâm 0 bán kính R với mọi [ ]0 ; 1

Mặt S là đa tạp hai chiều trong E3 nên với mọi p∈S đều có lân cận

mở U p là mảnh hình học Tức là với mọi p∈S đều có một tham số hoá của S

là một đồng phôi từ tập mở 2

p

U ∈ Ă vào U S p ∈ UU p (p∈S) U p là mảnh hình học nằm trong S, U p là mảnh hình học nằm trong S′

Do U p là ảnh của một tập mở 2

p

U ∈ Ă qua một đồng phôi, do đó U p là

mở trong S VậyS mở trong S′

S′ liên thông vì lấy hai điểm bất kỳ của S′ đều nối đợc một đờng tròn nằm trên mặt cầu S′

S compact ⇒ S đóng

S mở, đóng ⊂ S′liên thông

Suy ra: S = S′

Đ2 Biểu thị độ cong Gauss qua các dạng cơ bản của mặt S

2.1 Định nghĩa Giả sử S là mặt có hớng trong E3 định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n Với mỗi p∈S, ánh xạ:

:

p

I T p SìT p S → R

(α ; β)  αβ

Khi p thay đổi ký hiệu chung của các ánh xạ I p,II p,III p là I,II,III

trong tham số hoá địa phơng r: U → S

u ;

r r v u r

n

v u

r

u v

u u

, ,

, ,

r

v u r v u r

v v

v u

, ,

, ,

r r v

u r r

r r r

uu uu v

N

M

L, , , , , xác định trên tập mở U ⊂ Ă 2 Khi đó, độ cong Gauss của S

tại p là:

β β α

β

β α α

α

p p

p

p p

K h

h

h h

α

, ,

, ,

p p

p p

II II

II II

= K( )p

(β α) (β β)

β α α

α

, ,

, ,

p p

p p

I I

I I

với mọi α , β ∈T p S

Trong tham số hoá địa phơng r(u,v) của S lấy{α =r u v u′( ), , β =r u v v′( ), }

là cơ sở của T S p trong đó r u v: ,( ) →r u v( ), là tham số hóa địa phơng của S và

u r

p u

v

p

v u

p u

u

p

, , , ,

,

,

, , , ,

u L

, ,

, ,

u E

, ,

, ,

2.5 Hệ quả Giả sử mặt S trong E2 xác định bởi tham số hoá:

xy yy xx

f f

f f f y x r K

′+

′+

2

1

,,

y x

xy yy xx

f f

f f f y x F EG

M LN y x r

K

′+

′+

x

= +

2 2

2 2

có tham số hoá

r: U(⊂R2) → S

(x, y)   + q

y p

x y x

2 2 , ,

2 2

Khi đó, với r(x,y) =(x,y, f(x,y)) ; f(x,y)=

q

y p

x

2 2

2 2

2

1

1 ,

x pq

y x r

; 2 0 /

u U

( ) (u,v acosvsinu,acosucosv, 0)

r u′ = −

r v′ , = − cos sin , − sin sin , cos

( ) (u,v acosucosv, asinucosv, 0)

( ) a v

F EG

r r r

, ,

r r r

F EG

r r r

v a F EG

M LN

2 1 1

2H p II p α β = k +k α βk + α β k

( 1 1 2 2)( 1 2)

2 2 2 2

2 1 1

⇔ III p H p II p K p I p α β , víi mäi α , β ∈T p S

Suy ra: III p − 2H( )p II p +K( )p I p = 0

 NÕu h p chØ cã hai gi¸ trÞ riªng trïng nhau k1 =k2 th×:

⇔ III p H p II p K p I p α β , với mọi α , β ∈T p S

Suy ra: III p − 2H( )p II p +K( )p I p = 0

Vậy: III p − 2H( )p II p +K( )p I p = 0

Đ3 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong 3

E

3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng ( )P cho một đờng ( )ζ và một đờng thẳng

∆ Khi cho mặt phẳng ( )P quay một vòng quanh trục ∆ thì đờng ( )ζ sẽ vạch nên một mặt đợc gọi là mặt tròn xoay ( )Π Đờng ( )ζ gọi là đờng chuẩn, đờng thẳng ∆ đợc gọi là trục của mặt phẳng tròn xoay

3.2 Bổ đề Chọn hệ toạ độ 0xyz: Trục Oz trùng với trục ∆, trục Oy vuông góc với mặt phẳng ( )P , trục Οx∈( )P và Οx⊥ Οz Giả sử phơng trình đờng( )ζ

có dạng:

( ), 0

0

F x z y

Khi đó mặt bậc tròn xoay ( )Π có phơng trình là:

F(± x2 +y2 ,z)= 0

Chứng minh Giả sử M(x,y,z) là một điểm bất kỳ thuộc mặt bậc hai Khi đó giao của mặt phẳng đi qua M và vuông góc với trục Οz với tròn xoay ( )Π là một đờng tròn tâm I∈ Οz

Đờng tròn đó cắt đờng chuẩn ( )ζ tại M0(x0 ,y0 ,z0) với y0 = 0 ,z0 =z

2 2 0

0 2 2

=

0

0

; 1

2 2 2

y

b a b

z a

x y

x F

Quay ( )E quanh trục Οz thì mặt elip tròn xoay có phơng trình là:

( ) 1

2

2 2

2 2 2

= + +

±

b

z a

y

2 2

2 2

2

= + +

⇔

b

z a

y a x

3.4 Mệnh đề Giả sử S là mặt tròn xoay với tham số hoá:

r: U(⊂R2) → S

(u; v)  ( ) ( ) ( ) → ( ) →

+ +

v u

u u

u u v

u r

1

1 2

1 1

,

ψ ψ

ϕ

′→u v v

r , ϕ ′ ( ) ( )u →e v + ψ ′′ ( )u →k

′′→u v uv

r , − ϕ ( ) ( )u →e v

Vì n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S

′

′ +

u v

j v

v i

v

v r

r u v

cos sin

sin cos

sin 0

cos 0

cos

sin

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ψ

ϕ

ψ ϕ

′ +

e

k rr

n

L  uu

22

ψ

r r

n

M  uv

ψ ϕ

k r r

n

N vv

2 2



( ) 2 2 2

u u

u u v

u r

1

1 2

1 1

,

ψ ψ

u u

u u v

u r

1

1 2

1 1

,

ψ ψ

2 2

2

=

− +

b

z a

y a x

Cã tham sè hãa r: U(⊂R2) → S

(u; v)  r ;(u v) =achu e( )→v +bshu→k

Ta cã: ϕ( )u =achu ; ψ( )u =bshu

⇒ ϕ ′( )u =ashu; ϕ ′′( )u =achu

u ch b u sh a achu

u abch u

absh bchu

2 2

2

= + +

b

z a

y a x

cos

cos cos

sin sin

cos

u b u a u a

u b u a u

b u a u b

−

4 1

1 2

1 1

1 2

1 ,

u u

u u

8 2

4

u

+

=

Vậy: ( )

4 ,

1 4

K r u v

u

= +

Đ4 Độ cong Gauss của mặt khả triển trong E3

Trong mục này, ta xét cung chính quy trong không gian E3 xác định bởi:

Khi đó, r( )u đợc gọi là mặt kẻ với đờng chuẩn là khung đã cho

Các toạ độ u =u0 (không đổi) đợc gọi là đờng sinh thẳng của r (của mặt kẻ)

Điểm (u0, v0) gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r là dìm tại (u0, v0) Tức là nếu r u′(u0, v0) và r v′(u0, v0) độc lập tuyến tính.

Điểm không chính quy gọi là điểm kỳ dị

r đợc gọi là tham số hoá của mặt kẻ

4.1 Nhận xét Cho tham số hoá r : U → E3

mãn →A( )u ≠ 0 với mọi u∈J Khi đó r(u,v) là điểm kỳ dị nếu và chỉ nếu

{ ( )ρ ′u +v A→′( ) ( ) }u;→A u phụ thuộc tuyến tính.ρ→( )u

Thật vậy, giả sử 0 là một điểm cố định trong không gian E3.

Ta ký hiệu: →r( )u,v =Ο→r( )u,v →ρ ( )u = Ο ρ→( )u

Theo giả thiết r(u,v) = ρ ( )u +v A→( )u thì ta có: ( ) → →( ) →( )

+

= u v A u v

{r u v→u′ 0 , 0 ,r u v→v′ 0 , 0 } phụ thuộc tuyến tính Suy ra (u v0 , 0) là điểm kỳ dị

Vậy: r(u,v) là điểm kỳ dị nếu và chỉ nếu {ρ ′( )u +v A u A u→′( ) ( );→ } phụ thuộc tuyến

tiếp diện của đờng sinh thẳng u =u0 trùng nhau khi và chỉ khi hệ vectơ

( ) ( ) ( )

{ρ→ u A u,→ 0 ,A u→′ 0 } phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh Dọc theo đờng sinh thẳng u =u0 vectơ pháp tuyến của mặt có dạng: N→(u0,v) =r u′(u0,v)ìr v′(u0,v) →( )u0 v A→( )u0 ì→A( )u0

⇔ {ρ→′( ) ( ) ( )u0 ,→A u0 ,A u→′ 0 } phụ thuộc tuyến tính.

4.3 Định nghĩa Mặt khả triển là mặt kẻ mà các tiếp diện dọc theo đờng sinh

thẳng trùng nhau

4.4 Mệnh đề Mặt kẻ là mặt khả triển nếu và chỉ nếu độ cong Gauss bằng 0.

Chứng minh Ta cần chứng minh rằng: Mặt kẻ trong E3 có độ cong Gauss triệt tiêu khi và chỉ khi các tiếp diện tại các điểm dọc theo đờng sinh thẳng là trùng nhau Thật vậy:

r n

M LN K

⇔→ρ →A A→ ⇔ hÖ {ρ→ → →′ , ,A A′} phô thuéc tuyÕn tÝnh ⇔ S lµ mÆt kh¶ triÓn

4.5 VÝ dô Trong kh«ng gian E3 mÆt trô, mÆt nãn lµ nh÷ng mÆt kh¶ triÓn

u y

u x

sin cos

0 , sin , cos

1 , 0 , 0

0 , cos , sin

r

r

u u r

M LN K

u v y

u v x

0 , cos , sin

u v u v r

u u r

u v u v r

uu v u

M LN K

Do đã mặt nãn lµ mặt khả triển

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã thu đợc một số kết quả sau:

1) Chứng minh chi tiết mệnh đề 1.9 về công thức tính độ cong Gauss.

2) Chúng tôi trình bày một số nhận xét nh : 1.8; 1.12

3) Chứng minh mệnh đề 2.4 về các dạng cơ bản của mặt S.

4) Trình bày hệ quả 2.5 về độ cong Gauss trong hệ toạ độ đề các vuông góc

Oxyz của E3 và các ví dụ nh: 2.6, 4.5

5) Chứng minh độ cong Gauss của mặt khả triển trong E3 bằng 0

Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục khảo sát mặt giả cầu có độ cong Gauss bằng hằng số âm

Tµi liÖu tham kh¶o

[ ]1 Lª Kh¾c B¶o, h×nh häc gi¶i tÝch, NXB Gi¸o dôc, 1997.

[ ]2 V¨n Nh C¬ng, KiÒu Huy LuËn, h×nh häc cao cÊp, NXB GD, 1976.

[ ]3 V¨n Nh C¬ng, §oµn Quúnh, Hoµng Xu©n SÝnh, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ h×nh häc, NXBGD, 1989.

[ ]4 TrÇn §¹o Dâng, c¬ së h×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc, 1999.

[ ]5 NguyÔn Thóc Hµo, h×nh häc vi ph©n (tËp 1, 2), NXBGD, 1968.

[ ]6 §oµn Quúnh, h×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc 2000.

[ ]7 §oµn Quúnh, TrÇn §×nh ViÖn, Tr¬ng §øc Hinh, NguyÔn H÷u Quang, Bµi tËp h×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc, 1993.

[ ]8 B.Onei, Eletinentany diffi rential geometry, Academic press New York-lon Don, 1996.