Về độ cong pháp dạng trên đa tạp con riemann

Các độ cong và độ cong pháp dạng là những khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, khoa học kỹ thuật.. Bài toán chúng tôi đặt ra là trình bày các tính ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

==== ====

HÀ THỊ TÝ

VỀ ĐỘ CONG PHÁP DẠNG CỦA ĐA TẠP CON RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC - TÔPÔ

MÃ SỐ: 60.46.10

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

==== ====

HÀ THỊ TÝ

VỀ ĐỘ CONG PHÁP DẠNG CỦA ĐA TẠP CON RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC - TÔPÔ

VINH - 2010

MỤC LỤC

TRANG

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN 3

I LIẤN THỄNG LẤVI-SIVITA CỦA ĐA TẠP RIEMANN 3

II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN 12

Chương 2: ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRẤN ĐA TẠP CON RIEMANN 20

I DẠNG WEIGARTEN 20

II DẠNG CƠ BẢN THỨ II 24

III ĐỘ CONG PHÁP DẠNG 27

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

LỜI NÓI ĐẦU

Các độ cong và độ cong pháp dạng là những khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, khoa học kỹ thuật

Độ cong trên đa tạp Riemann đã và đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm: Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Nguyễn Hữu Quang, O’Neill B, … và nhiều tác giả khác

Bài toán chúng tôi đặt ra là trình bày các tính chất cơ bản của độ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann

Bố cục của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương , h ng t i t nh hứng minh chi tiết các tính chất

cơ bản của liên thông Lêvi-Sivita và các tính chất về độ cong của Đa tạp Riemann làm cơ sở cho việ t nh hương 2 như: Sự tồn tại và duy nhất

của liên thông Lêvi-Sivita trên đa tạp M (Mệnh đề 1.2), tính bất biến của liên

thông Lêvi-Sivita qua một ánh xạ vi phôi đẳng cự (mệnh đề 1.5), một số tính chất cơ bản về độ cong của đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11)

Chương 2: ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRẤN ĐA TẠP CON RIEMANN

Trong chương n , h ng t i t nh hứng minh một số tính chất dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), DẠNG Cơ BẢN THỨ II (MỆNH đề 2.8, 2.9), CHỨNG MINH CHI TIẾT VỀ TỚNH CHẤT CỦA độ CONG PHỎP DẠNG (MỆNH đề 2.13) Và TỠM RA MỐI LIỜN HỆ GIỮA độ CONG PHỎP DẠNG CỦA đA TẠP M Và độ CONG R

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tâm của Thầ trong qu t nh

học tập và nghiên cứu Tác giả cảm ơn các Thầy giáo trong tổ nh học đă giảng dạy và chỉ bảo cho tác giả trong qu t nh học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, bạn bè và gia đ nh đă tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong qu t nh ho n th nh luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Chương I

ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này, ta luôn kí hiệu M là đa tạp con Riemann n chiều trong đa

tạp Riemann M với chiều (n+k); k1 Trong trường hợp k=1 và M liên

thông và định hướng thì M được gọi là siêu mặt trong M

Trong luận văn này, ta sử dụng các kí hiệu:

 B M B M( ), ( ) tương ứng là modun các trường vectơ khả vi trên M và

Một liên thông tuyến tính  trên M được gọi là liên thông Lêvi-Sivita nếu

 thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1.X Y  Y X [ , ]X Y  0; X Y, B M( )

2 [ , ]Z X Y  ( Z X Y)  ( Z Y X)

Ta chú ý rằng: Hai điều kiện (1), (2) được gọi là tính chất Lêvi-Sivita Điều

kiện (1) chỉ ra rằng độ xoắn trên M bằng 0 và điều kiện ( 2) là điều kiện liên

thông Riemann trên M bằng 0 Hay nói khác đi liên thông Lêvi-Sivita  trên

M là liên thông tuyến tính trên M mà  làm cho độ xoắn và liên thông Riemann triệt tiêu

1.2 Mệnh đề (xem [2])

Liên thông Lêvi - Sivita trên đa tạp M luôn tồn tại và duy nhất

Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề trên ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử M là đa tạp khả vi và ω :B( M ) F( M ) là 1 - dạng trên M Tức là ω :T M p R, p ω p; với ω là dạng tuyến tính, p pM

Khi đó, tồn tại duy nhất một trường vectơ AB( M ) sao cho:

 

ω Z  A.Z; Z B( M ) (1)

Chứng minh bổ đề: Ta cần chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của A

trong lân cận của một điểm tùy ý pM

Từ (2) ta có được một hệ gồm n phương trình ẩn i Vì dạng tích vô

hướng g không suy biến nên với mọi q U , ta có det g ij |q0 Do đó, từ (2) xác định duy nhất được các  j và chúng được biểu thị qua các hàm khả vi

 E i

 và g ; suy ra ij j cũng khả vi Như vậy, trường vectơ A khả vi và A

được xác định một cách duy nhất thỏa mãn (1)

= X Z.Y Z, X Y Z X.Y    Y, Z X Y Z.X    X,Y Z

=X Y.Z  X Y.Z Z, X Y Z X.Y   Y, Z X Y Z.X   X, Y Z

+ Sự tồn tại của : Với mọi X, YB( M ) Xét ánh xạ:

Đặt: X Y  A Khi đó  là một liên thông tuyến tính

Thật vậy, để kiểm tra  là một liên thông tuyến tính ta chỉ cần kiểm tra quy tắc đạo hàm của 

= 2 X Y X  Y Z

 

      Z B( M )

Bây giờ, ta kiểm tra tính chất (1) và (2) của 

v i tr ủa X, Y, Z như nhau nên từ t ũng :

  thỏa mãn điều kiện (1) của liên thông Lêvi-Sivita

Vậy luôn tồn tại liên thông Lêvi-sivita trên Đa tạp Riemann.

Thật vậy, n.n=1 (vì n là trường vectơ đơn vị trên M) Với  X B M( )

ta xét: X n n[ ] 2( x n n) 0 Điều này chứng tỏ rằng x n nằm trong B(M)

Z Z

f X X X

Theo cách xác định như trên thì rõ ràng  là một liên thông tuyến tính trên M

Ở đây, ta chỉ cần kiểm tra các tính chất Lêvi-Sivita của 

[( sin cos tan ) ]

sin cos cos sin sin costan (1 tan ) tan

tan sin cos cos sin

(1)( ) [ ]

Tương tự, R cũng tuyến tính đối với Y

Bây giờ ta kiểm tra R tuyến tính đối với Z

Cộng 3 đẳng thức trên ta thu được kết quả:

[ , )] [ , ] [ , )] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

Chương 2

ĐỘ CONG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN

Trong chương này chúng tôi trình bày về dạng weigarten, dạng cơ bản thứ hai

và độ cong các dạng

I Dạng weigarten

Giả sử M là đa tạp con định hướng của M , ta kí hiệu N(M) là không gian

các trường vectơ pháp tuyến của đa tạp Riemann con M và {N1,… ,Nk} là trường mục tiêu trực chuẩn trong N(M) Và N là trường vectơ đơn vị thuộc N(M)

 Trong trường hợp M là mặt trong R3, khi đó SN là ánh xạ Weigarten mà

ta đã quen biết trong các giáo trình học vi phân, thật vậy Khi M là mặt

trong R3 với pháp tuyến đơn vị n, ta có X N= Dxn; xB(M)

T X T X N

N N

Y N

Rõ ràng {R R là trường mục tiêu của B(M) u, v}

Ta xét trường mục tiêu trực chuẩn trong N(M) là:

1 1(cos ,sin ,0,0), (0,0, , )

( ) ( )

( ) ( ) 0

u v

2

2 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

u v

Khi đó H N( )p , K N( )p tương ứng được gọi là độ cong trung bình, độ cong

Gauss của M tại p theo hướng N

II Dạng cơ bản thứ II

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của dạng cơ bản

thứ II của đa tạp Riemann con M trong đa tạp Riemann M

2.6 Định nghĩa

Giả sử N là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của M

ánh xạ l N : (B M)B M( )F M( )

được cho bởi l N( , )X Y S N( ) ;X Y X Y, B M( )

được gọi là dạng cơ bản thứ II của M theo hướng N

được gọi là độ cong Gauss của p theo hướng N

(ở đây X Y p, p là cơ sở trong p)

( )

T X X

( )

N p

k  không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trong p

Chứng minh Giả sử X Y p, p là một cơ sở khác trong p Khi đó có X Y lấy ,điểm p có giá trị tại p là ,X Y Ta có sự biểu diễn

a  N N   N N N

N N

có (X N N i) j  ( X N N j) i;i j, 1,k

đặc biệt nếu M là mặt trong R3

thì X N 0; với N là pháp tuyến đơn vị của

( , )u v (cos ,sin , , ).u u u v Bây giờ ta tính X N của mặt M

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả sau:

- Trình bày chi tiết các tính chất cơ bản của liên thông Lêvi – Sivita (mệnh đề 1.2, 1.4, 1.5, 1.6), độ cong của đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11), dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), dạng cơ bản thứ II (mệnh đề 2.8, 2.9)

- Đưa ra một số ví dụ về tính độ cong của đa tạp Riemann, độ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann

- Phát biểu và chứng minh hệ quả 2.5

- Phát biểu và chứng minh các tính chất của độ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann

- Phát biểu và chứng minh mối liên hệ giữa độ cong pháp dạng của M

và độ cong R/

Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu độ cong pháp dạng trong đa tạp 4 chiều

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu Tiếng Việt

[1] KHU QUỐC ANH - NGUYỄN DOÓN TUẤN, LÝ THUYẾT LIỜN

THỤNG Và HỠNH HỌC RIEMANN, NXB ĐHSP Hà Nội, (2005)

[2] NGUYỄN HỮU QUANG, Mở đầu về HỠNH HỌC RIEMANN, Bài giảng

chuyên đề Sau đại học, Vinh, (2005)

[3] Đoàn Quỳnh, HỠNH HỌC VI PHÕN, NXB GIỎO DỤC, (2000)

[4] Đoàn Quỳnh, BàI TẬP HỠNH HỌC VI PHÕN, NXB GIỎO DỤC,

(2000)

[5] NGUYỄN THỊ DIỆU THUÝ, Độ cong cơ bản trên Đa tạp Riemann,

Luận văn thạc sĩ, (2006)

[6] NGUYỄN THỊ QUỲNH XUÕN, Tenxơ cong, tenxơ xoắn và độ cong

thiết diện trên Đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, (2004)

[7] GROMOLL.D, KLINGENBERG.W, MEYER.W (1971), HỠNH HỌC

RIEMANN TOàN CỤC, Bản dịch từ tiếng Nga, người dịch Trương Đức

Hinh

Tài liệu Tiếng Anh

[8] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S – Lecturs on differential geometry,

copyright @2000 by world, scientific

[9] O’neill.B 966 Element r ifferenti l Geometr , A emi press,

New-york and London

[10] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introdution to Riemannian

Geometry, Lund university