Độ cong gauss của đa tạp rieman hai chiều

Độ cong Gauss trên đa tạp Riemann hai chiều đầu tiên đợc định nghĩa trên mặt siêu mặt trong E3 thông qua ánh xạ Waigarten nhờ trờng vectơ pháp tuyến đơn vị và sau đó trên đa tạp Riemann

Trờng đại học vinh

Khoa toán

- -Nguyễn thị Giang

Độ cong gauss của đa tạp

Riemann hai chiều

khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán

Vinh - 2006

Lời nói đầu

Đa tạp Riemann là một trong những khái niệm quan trọng của hình học

vi phân Khi xét tới đa tạp Riemann ngời ta đặc biệt quan tâm tới các độ cong của nó Độ cong Gauss trên đa tạp Riemann hai chiều đầu tiên đợc định nghĩa trên mặt (siêu mặt) trong E3 thông qua ánh xạ Waigarten nhờ trờng vectơ pháp tuyến đơn vị và sau đó trên đa tạp Riemann hai chiều tổng quát nó đợc xác

Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục:

Đ 1 ánh xạ Waigarten của mặt trong E 3

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết: Khái niệm ánh xạ Waigarten, một số mệnh đề, các công thức tính độ cong Gauss (có ví dụ minh hoạ) Và một số tính chất của độ cong Gauss

Đ 2 Dạng vi phân trên đa tạp.

Nội dung chính của mục này là nhắc lại định nghĩa k- dạng vi phân,

định nghĩa phép nhân ngoài các dạng vi phân, định nghĩa phép toán vi phân ngoài của các dạng vi phân, định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc nêu và chứng minh một số tính chất liên quan đến các khái niệm trên

Đ3 Dạng liên kết trên đa tạp Riemann hai chiều.

Trong mục này, chúng tôi đa ra một số khái niệm về đa tạp Riemann hai chiều và các tính chất của nó, đa ra một số khái niệm, định lý, mệnh đề về dạng liên kết

Đ 4 Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều.

Nội dung chính của mục này là đa ra định nghĩa độ cong Gauss thông qua dạng liên kết, các định lý về độ cong Gauss và một số ví dụ về cách tìm độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều trong E2, E3, E4

Nội dung của 4 mục khoá luận này liên quan đến nhau khá chặt chẽ, nội dung phần trớc là cơ sở cho nội dung phần sau

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo- Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, đồng thời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa, tập thể lớp và gia đình đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khoá học Tôi rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 5 năm 2006

Tác giả

Nguyễn Thị Giang

Đ.1 ánh xạ waigarten và độ cong gauss của

mặt trong E3.

1.1 Định nghĩa đa tạp định hớng.

Đa tạp hai chiều S đợc gọi là định hớng nếu mỗi không gian tiếp xúc

T p S ta đa vào một hớng xác định bởi điều kiện sau:

Tồn tại tham số hoá địa phơng r: U →r (U) của S sao cho ánh xạ tiếp xúc của r biến hớng chính tắc trên miền U⊂ R 2 thành hớng trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm của r (U).

Cho S là đa tạp hai chiều định hớng với n là trờng vectơ pháp tuyến đơn

vị trên S (xác định hớng của S) mà trong tham số địa phơng

{r'u, r'v} ta có:

v u

v u

r r

r r r n

' '

' '

n D n

Thật vậy, tính tuyến tính của ánh xạ hp suy từ phép toán đạo hàm của ờng vectơ theo một vectơ tiếp xúc.

) , ( ) ( ))

, ( (

u r n n D

v u r R

u

u

r n p

R p R

1.4 Độ cong chính, phơng chính, độ cong trung bình,

độ cong Gauss của đa tạp.

Cho đa tạp hai chiều S có hớng trong E 3 , h P : T P S → T p S.

h p là tự đồng cấu tuyến tính trong không gian vectơ Ơclit hai chiều T P S

nên có các gia trị riêng là thực

- Các giá trị riêng của h P gọi là độ cong chính của S tại p

- Mỗi vectơ riêng của h p gọi là phơng chính của S tại p

- 1/2 vết của tự đồng cấu tuyến tính h p gọi là độ cong trung bình của S

- Nếu hp có các giá trị riêng thực phân biệt k1 ≠k2 thì hp có hai phơng chính (các vectơ riêng của hp) vuông góp với nhau

- Giả sử {e1,e2}là cơ sở của TpS, hai vectơ riêng ứng với hai giá trị riêng k 1,k 2

1 1 1

) (

) (

e k e h

e k e h

p p

Ma trận của hp đối với cơ sở {e1,e2} là

) (p 12 k1 k2

1 1 1

) (

) (

e k e h

e k e h

p p

Với k 1 = k 2 = k => K (p) = k 2

H (p) = k

Trong trờng hợp này điểm p đợc gọi là điểm rốn.

Khi k1 = k2 = o thì điểm p đợc gọi là điểm dẹt.

k1= k2 ≠o thì p đợc gọi là điểm cầu.

- Nếu (p) > 0 thì điểm p đợc gọi là điểm eliptic

- Nếu (p) = 0 thì điểm p đợc gọi là điểm parabolic.

- Nếu (p) < 0 thì điểm p đợc gọi là điểm Hypeboilie.

1.6 Chú ý.

Khi đổi hớng của S tách bằng cách xét – n thay cho n thì hp đổi thành

- hp nên đội cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi (do đó định

nghĩa đợc độ cong Gauss cho mặt S khi S cha có hớng hay cả khi S không xác định đợc)

K p H k

ρ ρ

t O t

no n

D =−( )' ( o)=−( )'( )( o)=−1 ( ' ( o )=−1

S T R

h p = − ∀ ∈ P

Chứng tỏ rằng các giá trị riêng của nó là

R k

k1= 2= −1 là độ cong chính

và

R p

H ( ) = −1

0

1 )

R p

K = thì điểm p gọi là điểm eliptic

1.8 Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều định hớng S trong E3.

S là đa tạp hai chiều trong E3, T P S ⊂T P E3(không gian vectơơclit với tích vô hớng cảm sinh từ tích vô hớng trên E3) với mỗi điểm p ∈S xét hai ánh

xạ:

R S

T S T

I p : P ì P →

β α β α β

T S T

II p : P ì P →

β α β α β

E(p) = I p (r’ u (u,v), r’ u (u,v)) = r’ u (u,v) r’ u (u,v).

F(p) = I p (r’ u (u,v), r’ v (u,v)) = r’ u (u,v) r’ v (u,v).

G(p) = I p (r’ v (u,v), r’ v (u,v)) = r’ v (u,v) r’ v (u,v).

điểm p trong tham số hoá địa phơng r

Và L(p) =II p(r'u(u,v),r'u(u,v))

) , ( ' )) , ( ' (r u v r u v

= =(nr)(u,v).r uu'' (u,v)

)) , ( ' ), , ( ' ( )

(p II r u v r u v

) , ( ' )) , ( ' (r u v r u v

= =(nr)(u,v). r uv'' (u,v)

)) , ( ' ), , ( ' ( )

(p II r u v r u v

) , ( ' )) , ( ' (r u v r u v

= = (nr)(u,v).r'vv(u,v)với:

) , ( ' ) , ( '

) , ( ' ) , ( ' ) , )(

(

v u r v u r

v u r v u r v u r n

v u

v u

∧

∧

=

Vì r’ u , r’ vlà các vectơ độc lập tuyến tính nên

0 ) , ( ' ) , ( ' 0 '

r u∧ v≠ ⇒ u ∧ v mà

)) , ( ' ) , ( ' ))(

, ( ' ) , ( ' ( ) , ( ' ) , (

), (' ), (' ),

(' ), ('

), (' ), (' ))

,(

' ,(

'

vu r vu r vu

r vu r

vu r vu r vu

r vu r

v v

u v

v u

v u

(

2 u v F EG

r r v u r

EG

v u r r r v

EG

r r r v u

r r r v u

Ta ký hiÖu: h p:T p S→T p S

Gi¶ sö {α , β} lµ c¬ së cña kh«ng gian T p S vµ

β α β

β α α

d c h

b a h

) (

) (

) ( ) (

) ( ) ( α ∧ β α ∧ β = α ∧ β α ∧ β

)()

(

pK hh

hh

p p

p p

=>

=>

Khi lấy {α =r u'(u,v), β =r v'(u,v)} là cơ sở của TpS, trong đó

r: (u,v)  r (u,v) là tham số hoá địa phơng của S và p = r (u,v) Ta có:

),(

)(),( vu

GF

FE pKvu NM

M LN p

r'u(u,v) = ( −asinucosv,acosucosv, 0 )

r'v(u,v) = ( −acosusinv, −asinusinv,acosv)

r ''uu(u,v) = ( −acosu cosv, −asinu cosv, 0 )

r ''uv(u,v) = (asinu sinv, −acosu sinv, 0 )

) sin , cos sin , cos cos (

) , (

o v u r n

vv

uv

cos )

, (

) , (

3 ''

v a

F EG

v u r v u r v u r

v

u

3 3

2

'' '

'

cos cos

cos )

, ( )) , ( ) , ( (

v u r v u r v u r v u

F EG

v u r v u r v u r v u

Vậy độ cong Gauss là:

22 42 22 12

cos

cos )

(

a v a

v a

F EG

M LN p

−

−

=

2 Cho đờng cong ρ = ρ(u) với tham số hóa tự nhiên U, độ cong K =

Giả sử U =r (u) là tiếp tuyến đối với đờng cong ρ ' = ρ ' (u) Đối với mặt tiếp tuyến cho bởi r(u,v) = ρ (u) +v ρ ' (u) Tìm độ cong Gauss của mặt tiếp tuyến

u uu u

v u

uu u

u u

v v

v u r v u r v

u

F

v v

u r v u r v

u

E

''''

')'''

(),('),('),

(

)''(

),('),('),

(

2

2

ρρρ

ρρρ

ρρ

2

2 2

)' '(

)' '' (

)' '' ( ) (

uu

u uu u

v

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

2( ' '' )( ' '' )

uu u

uu u

u uu u

u v

p v

' '

' '

' '

∧

=

ρ ρ

ρ ρ

) , ( ' )) , ( ' ) , ( ' ( ) , (

v u r v u r

v u r v u v r v u r v u L

v u

uu u

uuu uu

uu u

v

v v

'' '

) '' ''

)(

'' (

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

uuu uu

u

v

' '

' ' ) ' ' (

ρ ρ

ρ ρ ρ

) , ( ' ) , ( '

) , ( ' ) , ( ' ) , ( ' ) , (

v u r v u r v u r v u

0 '

'

0 ) ' ' ( )

, ( ' ) , ( '

) , ( ' ) , ( ' ) , ( '

uu u

v u

vv v

u

v

v v

u r v u r

v u r v u r v u r

v

u

N

ρ ρ

ρ ρ

M LN K

3 Tính độ cong Gauss của mặt trụ S xác định bởi tham số hóa địa phơng

a a

a v

u r v u r

v u r v u r v u r v u L

v u

uu v

) , ( '' )) , ( ' ) , ( ' ( ) , (

0

0 )

, ( ' ) , ( '

) , ( '' )) , ( ' ) , ( ' ( ) , (

u r v u r

v u r v u r v u r v u M

v u

uv v

u

=

) , (u v

) , ( ' ) , ( '

) , ( '' )) , ( ' ) , ( ' (

u r v u r

v u r v u r v u r

v u

vv v

M LN

4 Tính độ cong Gauss của mặt nón cho bởi tham số hoá địa phơng

) ( )

(

,

)

(u A u A u

ρ phụ thuộc tuyến tính với mọi u∈J

*Mệnh đề: Mặt kẻ S trong E3 có độ cong Gauss K = 0 khi và chỉ khi nó là mặt khả triển.

) , ( ' ) , ( ' ) , (u v r u v r u v

' ' ) , )(

r r

r r v u r n

v u

v u

M LN K

M K

' ' 0 '' ) (

v u

r r

r r r

r n

0 ) ( ' )) ( ) ( ' ( ) ( )) ( ' ) ( ' ( 0 ) ( ' '

'

) ( )) ( ' )

A r

r

u A u A v

u

v u

ρ ρ

Cho S là mặt định hớng trong E3, ta luôn có K ≤H2.Dấu

= xảy ra khi mọi điểm trên S đều là điểm rốn.

“ ”

Chứng minh: Gọi {e1,e2} là cơ sở trực chuẩn của TpS (p∈S), k1,k2

là các giá trị riêng tơng ứng

1 1 1

) (

) (

e k e h

e k e h

p p

Ma trận của hp đối với cơ sở {e1,e2} là

o k

( )

2

1 ) (p k1 k2

⇒ và K(p) = k1k2

Ta cần chứng minh: 2

2 1 2

2

1 [ k k k

b Nếu 2

1

R

một bộ phận liên thông của mặt cầu bán kính R

ta có :ϕ ' (t) =→ρ (t).→n= 0 vàϕ ( 0 ) = 0 ,nên ϕ (t) = 0 , ∀ttừ đó q= ρ ( 1 ) phải thuộc mặt phẳng qua p thẳng góc với →

R

t R

ρ

Nên với mọi t ∈[o, 1 ],r(t) là một điểm cố định 0 Từ đó:

R t R t

Oρ→( ) =→n( ρ ( ) = nên với mọi ρ(t) thuộc mặt cầu tâm 0 bán kính

R Lấy điểm p∈S, với mọi q= ρ1(t)có thể chia nhỏ đoạn [0,1] thành một số hữu hạn đoạn con để thu hẹp của ρ 1trên mỗi đoạn con đó có ảnh nằm trong một tập mở liên thông của S trên đó có trờng véctơ pháp tuyến đơn vị nh nói trên Từ đó dễ thấy các điểm 0 cho mỗi đoạn con đó là trùng nhau

Vậy với mọi t∈ [ 0 , 1 ], ρ1(t)thuộc mặt cầu tâm 0 bán kính R, do đó q thuộc mặt cầu ấy.

Hệ quả: S là một đa tạp hai chiều compăct, liên thông trong E 3mà mọi

điểm là đểm cầu phải là toàn bộ mặt cầu

1.16 Định nghĩa.

Giả sử S 1 , S 2 là các mặt trong E 3, ánh xạ ρ :S1 →S2gọi là một ánh xạ

đẳng cự nếu với ∀p∈S1thì f*p:T P S1 →T f(p)S2bảo tồn tích vô hớng f * gọi

là vi phôi đẳng cự nếu đó là một vi phôi và là một ánh xạ đẳng cự.

~

,U

1 21 Định nghĩa

Cho mặt S * xác định bởi tham số hoá

) , )(

( ) , (

( ) ' ( '

u u

r r n a

E 2 ( → ) → '' 2 ( → )' ( → )'

+

−

V×

0 '' ) ( ' )' ( 0 ' ) ( '

n a aL E

' ' '

) (

) (

v u v p

v u u

p

r r r h

r r r

h

δ γ

β α

( ) ( ) ( )( )

' ' ' ' '

'

v u v u u

M LN L F

EG

FM GL

EN KE

=

−

2 2 2 2

F EG

G L MLF E

r r r

r h r r

n

L= − ( → )'u→'u = p(→'u)→'u = ( α→'u+ β→'v)→'u = α + β

G F r

r r r

r h r r

n

M = − ( → )'u→'v = p(→'u)→'v = ( α→'u+ β→'v)→'v = α + β

G F r

r r r

r h r r

n

N = − ( → )'v→'v = p(→'v)→'v = ( γ→'u+ δ→'v)→'v = γ + δ

) (

) (

) )(

( 2 )

(

2 2

F EG

G F E F F E G F E

G F KE

HL

−

+ + +

+

− +

u u

n a M a

F − + → →

Ta chøng minh:

(n→r)'u(n→r)'v = 2HM KF– (2.7)ThËt vËy:

(n→r)'u (n→r)'v =(αr→'u+βr→'v)(γr→'u+δr→'v) = αγE + ( αγ + βδ )F+ βδG ( 2 8 )

F F EG

M LN M F

EG

FM GL

EN KF

=

−

= 2 2

F EH

LNF FM

GLM MNE

−

−

− +

Thay c¸c gi¸ trÞ L, M, N vµo (2.8) ta cã:

L * N * - M *2 = (EG F– 2 ) (1 2aH + a– 2 K).K

K a aH

K F

G E

M N L

Dạng vi phân bậc k hay k- dạng vi phân ωtrên M là việc đặt tơng ứng mỗi p∈M với ωP∈AE pK, đợc xác định nh sau:

) ( ), , ( ( )

)(

, ,

ω = với X1, ,X… k là các trờng véctơ trên M

Với k = 0, ta quy ớc Ωo(M) =F(M), trong đó F(M) là tập các hàm số khả vi trên M

Nếu ω(X1, ,X… k)=f là một hàm số từ M→R, ta nói ωkhả vi với mọi bộ (X1,,X

M p p

δ signδω (Xδ(1), ,Xδ(K)) ω ' (Xδ(K 1), ,Xδ(K l))với p∈M ,

R X

X l

k i

M

Tp

X i ∈ , ( = 1 , , + ), ωp( 1, , K) ∈ và lấy tổng theo mọi hoán vị của

δcủa {1 , ,K} sao cho δ ( 1 ) < < δ (k) < δ (k+ 1 ) < < δ (k+l)

2.2.2 Ví dụ:

Cho hai dạng vi phân bậc một θ , θ ' trên tập U mở trong M Khi đó

tích ngoài c ủa θ và θ' là dạng vi phân bậc hai trên U xác định bởi

U Tp p

p p

Dễ thấy ánh xạ đó là F(U) – song tuyến tính, phản đối xứng

Nếu { }U i là một trờng mục tiêu trên U,{ }θi là trờng đối mục tiêu của

{ }U i thì rõ ràng với ≠ , ( ∧ )( , ) = 1 ; ( ∧ )( j, i) = − 1

j i j

i j

ik i

ik i

1

1

1

ϕ

ω α là biểu thức tọa độ của ω

Khi k = 1, trong hệ toạ độ địa phơng ta có: ω /Uα = ϕ1dx1 + + ϕn dx n.Khi k = 2, trong hệ toạ độ địa phơng ta có:

n n

n n

U = ϕ 12dx1 ∧dx2 + + ϕ − 1 , dx − 1 ∧dx

ω α

2.2.4 Mệnh đề:

Phép nhân ngoài các dạng vi phân nhận các giá trị vô hớng là giao hoán Tức là nếu ω ∈ ΩK(M), ω ' ∈ Ωl(M), khi đó ω ∧ ω ' = ( − 1 )klω ' ∧ ω

ik i ik

i k

i ik i U

1

1 1

1

Giả sử ω ∈ Ω 1 (M).điều kiện cần và đủ để d( )ω = 0 là với mỗi

p∈M , ánh xạ song tuyến tính (x1,x2)  ω (x1,x2) là phản đối xứng

2.3.3.Mệnh đề:

n i

i i i

ff f

1

) ( )

( ω ω

i

n i i i

i

dx df

) ( )

ω

df dx df

Chứng minh: a Ta cần chứng minh d là ánh xạ tuyến tính

Giả sử ω , ω ' ∈ ΩK (M)với hệ toạ độ địa phơng {Uα, ϕα}α ∈I

Ta có:

k i i

ik i

ik i ik

i ik

ϕ ω

[ ] i ik

ik i

ik i ik

= +

1





ϕ ϕ

ω ω

[ ] il ik

ik il

ik il ik

ω ω

'

'

.

ω ω ϕ

ik i

ik

d d





1

1

)

) ( ω

ik

dx d

dx dx

1 1

1

ϕϕ

n i

i i i

dx dx

dx dx

dx x

1

ϕ

ϕ ϕ ϕ

= i ik j jl

n

dx dx

dx dx

1

ϕ ϕ

i ik j jl

n i

i i

dx dx

dx dx

'

1 1

1

ϕ ϕ

= i i ik j jl

n

dx dx

dx dx

ϕ ϕ

jl j

i i

k ik

x dx

Chứng minh: Xét trên hệ toạ độ địa phơng {Uα, ϕα}α ∈I Ta có:

ik i

ik i

i i ik

x dx

dx d

i n

j

j i j ik

i i n

i

dx dx

dx dx

x x dx

dx dx x

2 1

1 1

ϕ ϕ

ω

=

ik i

i j n

dx dx

dx dx

i j j j

dx dx x x

1 ,

2.4.1.Định nghĩa.

ánh xạ đối tiếp xúc của f, đơc kí hiệu là f ∗ xác định nh sau:

) ( )

ϕ  f =f*

( ))

( ), , (

* 2 1

)(

)(

)(

, , )(

( )(

) ( )

1 (

Ta thÊy trïng mét c¸ch hiÓn nhiªn víi (f ∗ ω )(q)( α1, , αk+l)

)(

( ) , ,

)(

( ) ( )

, ,

)(

(q 1 k+l =∑ 1 q (1) (k) 2 q δ(k+1) δ(k+l)

δ ε δ ω βδ βδ ω β β β

) (

) (

) (

) ( ) (

)

(

1 1 1

ik i

ik i

ik i

x f d x

f d f

d

dx f dx

f d f

dx dx

d f d f

ϕ ω

( )

, , , ( ) (g f b∗ ω α1 α2 αk = ωf(p) g f ∗pα1 g f ∗pαk

) , ,

( ) ( )) (

), , (

1 )

, , , ),

, , ( )

p k k

Tập M (mà mỗi phân tử của nó là một điểm )cùng một họ những đơn

ánh ri: U i → M(i∈ tập chỉ số I ), U ilà một tập mở trong R m,đợc gọi là đa tạp m chiều– (khả vi lớp C k,k≥ 0 )nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn:

1.Nếu r i: U i →M

M U

r j: j → mà V =r i(U i) ∩r j(U j) ≠ φ thì tập r i−1(V)

là tập mở trong U i,r j−1(V) là mở trong U ivà ánh xạ

) ( )

( : ) (

1

V r V r V r r

4 Họ các đơn ánh đó là tối đại, tức nếu có đơn ánh r : U →M, U là tập

mở trong Rm, mà ∀i∈I khi ri (Ui) ∩r(U) ≠ φ, r i−1r,r−1r i là khả vi lớp Ck, thì r thuộc họ đó

3.2 Định nghĩa.

a Cho M là một đa tạp nhẵn m – chiều trong R 3, một cấu trúc Riemann trên M, ký hiệu <, > là việc đặt tơng ứng với mỗi điểm p ∈ Μmột tích vô hớng trên TpM sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trờng vectơ (tiếp xúc) khả vi X,Y trên M thì hàm số Ρ  〈X(p),Y(p) 〉 là hàm số khả vi M cùng với tích vô hớng <, > (gọi là Metric Riemann) đó là một đa tạp Riemann hai chiều ký hiệu là (M, <, >)

Khi xét <, >p là tích vô hớng trên TpM cảm sinh từ tích vô hớng trong

En, ta đợc đa tạp Riemann hai chiều với metric chính tắc mà ta ký hiệu là (M, can)

b Ví dụ:

1 M = R 2 với tích vô hớng <, X, Y, >p = 〈X→(p), Υ→(p) 〉 là một đa tạp Riemann hai chiều

Thật vậy, 〈X→(p), Υ→(p) 〉là tích vô hớng trong R 2 , R 2 là đa tạp hai chiều Giả sử X =f1E1 + f2E2 ;Y =g1E1 +g2E2

Vì X, Y khả vi nên f1 , f2 ,g1 ,g2khả vi

Ta có: 〈 X, Y〉(p) = f1(p) g1(p) + f2(p) g2(p)