Độ cong Gauss trên siêu mặt trong En

Lý thuyết về các đường congtrong mặt phẳng và không gian cũng như về mặt cong trong không gian Euclide bachiều đã trở thành cơ sở và cho sự phát triển ban đầu của hình học vi phân vào th

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ và phươngpháp của phép tính vi phân và tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đatuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học Lý thuyết về các đường congtrong mặt phẳng và không gian cũng như về mặt cong trong không gian Euclide bachiều đã trở thành cơ sở và cho sự phát triển ban đầu của hình học vi phân vào thế

kỷ thứ 18 và 19 Cuối thế kỷ thứ 19, hình học vi phân, phát triển thành một lĩnh vựcnghiên cứu những cấu trúc hình học tổng quát trên các đa tạp khả vi

Hình học vi phân có nhiều ứng dụng rộng rãi trong toán học và khoa họcnhư: Hình học vi phân là công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu thuyết tương đốicủa Einstein, Hình học vi phân được áp dụng cho cả cơ học Lagrange và cơ họcHamilton, trong cấu tạo địa chất hình học vi phân được sử dụng để phân tích vàmiêu tả cấu trúc địa tầng,…

Lý thuyết về mặt, siêu mặt là một trong những đối tượng quan trọng của hìnhhọc vi phân Nghiên cứu về lý thuyết mặt là tìm hiểu về tính chất, cấu trúc, hìnhdạng, diện tích,…của mặt đó

Nghiên cứu về hình dạng của siêu mặt trong ta phải xét đến độ cong tạinhững điểm thuộc mặt đó và một những độ cong mà chúng ta cần xét đó là độ congGauss của điểm nằm trên siêu mặt trong Việc nghiên cứu về hình dạng của mặt

trên đã thôi thúc chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Độ cong Gauss trên siêu mặt trong

n

Ε ”.

Luận văn được trình bày trong hai chương:

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SIÊU MẶT TRONG

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ về tích cóhướng, siêu mặt trong không gian Euclide n- chiều Đây là những kiến thức cơ

sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau

CHƯƠNG 2: ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ ĐỘ CONG GAUSS TRÊN SIÊU MẶT TRONG Εn

Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn Trong chương nàychúng tôi trình bày các định nghĩa và tính chất, ví dụ về độ cong Gauss trongkhông gian Euclide n-chiều đồng thời tính độ cong Gauss của một số mặt trong3

E và E 4

Luận văn được hoàn thành tháng 10 năm 2013 tại Trường Đại học Vinh dưới sựhướng dẫn của thầy TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập vànghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn quý thầy cô giáotrong bộ môn Hình học – Tôpô, thầy cô giáo trong khoa toán, khoa đào tạo Sauđại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý kiến và tạo điềukiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, tập thể lớp Hình học-Tôpôkhóa 19 Trường Đại học Đồng Tháp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Trong quá trình làm luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sự góp

ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Học viên

Nguyễn Văn Tèo

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SIÊU MẶT TRONG 1.1 Tích có hướng trong không gian vecto E n

• Tích có hướng của n-1 vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng thành phần

• Tích có hướng của n-1 vectơ trong n

• Giả sử a1, , an−1 là n-1 vectơ trong Εurn và a a = ∧ ∧ ∧1 a2 an−1 Khi đó a rtrực giao với các vecto a i uri, = 1, n − 1.

Điểm ( , , , ) u u10 20 uk0 ∈ U gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìmtại ( , , , ) u u10 20 uk0 , nghĩa là hệ { ' 0 0 0 }

Điểm không chính quy được gọi là điểm kỳ dị

Mảnh tham số r được gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy

¡ vào Εn, r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S

Mảnh hình học còn được gọi là mảnh đơn chính quy

1.2.3.Siêu mặt trong Εn

Tập con không rỗng S của Εn được gọi là đa tạp n-1 chiều trong Εn nếu mỗi

điểm p S∈ có một lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình học (n-1 )

-chiều, mỗi tham số hóa này gọi là một tham số hóa địa phương của S

Ta gọi đa tạp n-1 chiều là một siêu mặt trong Εn hay siêu mặt.

1.2.4.Vectơ tiếp xúc trên siêu mặt

Cho S là một siêu mặt trong Εn , p là một điểm trên S ,α ∈ur Euurn được gọi làvectơ tiếp xúc của S tại p nếu '

0

( )t

α ρur=uuuuur với ρlà cung tham số khả vi : Iρ →S

và ρ( )t0 = p ( I ⊂¡ )

Không gian các vectơ tiếp xúc của S tại p ký hiệu là T S p

Trường vectơ trên S mà với mọi p S∈ , ( )X p là một vectơ tiếp xúc của S tại

p gọi là trường vectơ tiếp xúc trên S

Nếu r U: →S u,( 1, ,u n−1) a r u( 1, ,u n−1) là một tham số hóa của S trong Εn

thì *( )

i i

u u

∧ ∧ ∧ là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên S

1.2.5.Đạo hàm của trường vectơ theo vectơ tiếp xúc

Cho X là trường vectơ trên tập mở U trong Εn và vectơ α ∈T U p .

Giả sử : Jρ →U là cung tham số đi qua điểm p sao cho '

0( )t

1.2.6.Siêu mặt định hướng trong Εn

Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi điểm có thể xácđịnh một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các mảnh hình học với tham sốhóa địa phương :r Uα α ⊂R k →E n,α∈I mà ánh xạ tiếp xúc của chúng ánh xạ biếnhướng chính tắc trên R kthành hướng đã xác định trên không gian tiếp xúc của mặt.Một mặt định hướng được và khi đã xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúcnhư ở trên được gọi là mặt định hướng

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ ĐỘ CONG GAUSS TRÊN SIÊU MẶT

TRONG Εn

2.1 Ánh xạ Weingarten

2.1.1 Định nghĩa ánh xạ Weingarten

Giả sử S là một đa tạp n-1 chiều định hướng trong Εn có hướng xác định bởi

trường vectơ pháp tuyến n đơn vị trên S

2.1.2 Mệnh đề Ánh xạ Weingarten là một ánh xạ tuyến tính đối xứng.

( ).h p α β α= ( )h p β (1)Thật vậy:

Để chứng minh (1) đúng ta chỉ cần chứng minh đúng trên cơ sở nghĩa là :

(h R R p u i). u j =R h R u i (p u j),(i j, =0.n−1) (2)

Ta có:

2.2 Độ cong Gauss trên siêu mặt trong Εn

Nếu tồn tại 0r ur≠ ∈α T S p sao cho ( )h p αur =λ α.ur thì:

αur được gọi là phương chính của h tại p p

λ được gọi là độ cong chính của h tại p p

Nếu h có n-1 giá trị riêng thực đôi một khác nhau p k1, ,k n−1 thì khi đó n-1phương chính hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với nhau nên tồn tại

Khi đó 2

1( )

Giả sử S là một siêu mặt định hướng trong Εn và r U: ⊂R n−1→S là một tham

số hóa địa phương của S , n là trường pháp vectơ đơn vị ,

hai theo biến u , ta được: i

Ta có: ϕ'( )t =ρuuuur r'( ).t n= ⇒0 ϕ( )t =const và (0) 0ϕ = nên ( ) 0,ϕ = ∀t t Suy ra(1)

q=ρ mà uur rpq n =0 Vậy q phải thuộc siêu phẳng đi qua p và thẳng góc với nr.Trường hợp 2 K p( )=k n−1: mọi điểm của S đều là điểm cầu Khi đó S là một

bộ phân liên thông của một siêu cầu bán kính 1k

Thật vậy, trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trường pháp vectơ đơn vị n,

T S h k

∀ ∈ur ur = ur với p thuộc tập mở trên

Với cung tham số ρ: 0,1[ ] →S t, a ρ( )t trong tập mở đó, xét

rnên với mọi t∈[ ]0,1 , ( )r t là điểm cố định O

⇒ Các điểm O trên mỗi đoạn con đó là trùng nhau

Vậy ∀ ∈t [ ]0,1 , ( )ρ1 t thuộc siêu cầu 0, 1

2.2.4 Nhận xét Nếu tất cả các điểm của một liên thông S là điểm rốn thì S

chứa trong một siêu cầu hoặc một siêu phẳng.

2.2.5 Ví dụ

Giả sử trong E cho siêu trụ S có phương trình là 4 x2 + y2+z2 =1 Hãy tính độcong Gauss của S

( sin sin ,cos sin ,0,0)

(cos cos ,sin cos , sin ,0)

2.3 Các dạng cơ bản trên siêu mặt

¡a

là những dạng song tuyến tính đối xứng trên T S Chúng được gọi là dạng cơ p

bản thứ nhất và thứ hai của S tại p

Ký hiệu: I p( , )α α = I p( ),α II p( , )α α = II p( )α Khi p thay đổi ta dùng ký hiệu I, II.

P Q được gọi là ma trận của hệ số cơ bản thứ nhất và hệ số cơ bản thứ hai.

2.3.3 Công thức tính độ cong Gauss thông qua các dạng cơ bản

2.3.3.1 Mệnh đề Cho , P Q là ma trận các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và

thứ hai của siêu mặt S tại p Khi đó ma trận của ánh xạ Weingarten đối với cơ

uur uur uuruur uuruur uuuruur

uur uur uuur

là cơ sở của T S nên p { 1 2 1}

α =− là một cơ sở của T S khi đó: p

h p( ) αuur1 ∧ ∧h p(αuuurn−1)= K p( ).(αuur1∧ ∧ αuuurn−1)

Vì α αuur uuri ∧ =i 0, i=1, n−1 và tích có hướng trong E n có tính chất tuyến tính Tasuy ra:

α =− là một cơ sở của T S Khi đó công thức tính p

độ cong Gauss của siêu mặt S trong E n thông qua các dạng cơ bản I và II

2.4.1 Định nghĩa Cho siêu mặt S trong Εn , k k1, , ,2 k n−1 là các giá trị riêngcủa ánh xạ tuyến tính h p Độ cong thứ i i( =1,n−1) của siêu mặt S ký hiệu là

Độ cong thứ nhất chính là độ cong trung bình, độ cong thứ (n−1) là độ cong

Gauss của siêu mặt S.

2.4.2 Mệnh đề Cho siêu mặt S trongΕn Điều kiện cần và đủ để một điểm trên

S là điểm rốn là: H i =( )H1 i (i =1,n−1) .

Chứng minh

Điều kiện cần

Giả sử điểm p trên S là điểm rốn ta suy ra H i =( )H1 i (i =1,n−1)

Thật vậy, một điểm p trên S là điểm rốn suy ra k1 = k2 = = k n−1 =k thay vào

00

Với giả thiết H i =( )H1 i (i =1,n−1) thì phương trình ( )** có nghiệm H1 bội

(n−1) Do k k1, , ,2 k n−1 cũng là nghiệm phương trình ( )** nên

Với H =   hij i,j=1, 1n− là ma trận các hệ số dạng cơ bản thứ hai, C =[ ]c it i t n, 1, 1= − là

ma trận của ánh xạ Weingarten đối với cơ sở { 1 2 1}

n k

n k

Với mỗi bộ số ( , )i j và m =1,n−1 ta được hệ n-1 phương trình với n-1 ẩn lần

lượt là Γ Γ1ij, ij2, ,Γijn−1 Hệ này luôn có nghiệm do ma trận của hệ số có định thức

khác 0 Gọi A là ma trận các hệ số của hệ phương trình trên Khi đó A G= t, với

t

G là ma trân chuyển vị của ma trận các hệ số dạng cơ bản thứ nhất G Nghiệm

của hệ phương trình trên là :

u kj u u

( ) ( ) ( )

Từ đẳng thức trên ta thấy độ cong Gauss trong E3 không phụ thuộc vào hệ số

của dạng cơ bản thứ hai

2.4.4.3 Định lý Gauss Độ cong Gauss của mặt trong E3 bất biến qua ánh xạ

( ) °

ϕ ⊂ →ϕ ⊂ là một vi phôi đẳng cự địa phương của p ( V ⊂r U( ) là

một lân cận địa phương của p) Khi đó r r % o là một tham số hóa của °S tại= ϕ

điểm ( )ϕ p Gọi K K lần lượt là độ cong Gauss tại điểm p và ( ),° ϕ p Vì ϕ là viphôi đẳng cự địa phương nên hệ số dạng cơ bản thứ nhất tại điểm p trùng với hệ

số của dạng cơ bản thứ nhất tại điểm ( )ϕ p Do đó các ký hiệu Christoffel ở cácphương trình Gauss tại điểm p và ( )ϕ p tương ứng giống nhau Từ đó độ congGauss tại điểm p và ( )ϕ p là trùng nhau

Vậy K p( )= °K( ( ))ϕ p

2.4.4.4 Nhận xét Điều này không đúng trong không gian có số chiều lớn hơn

3, nghĩa là với không gian có số chiều lớn hơn 3 thì độ cong Gauss không chỉ phụ thuộc vào dạng cơ bản I.

Thật vậy :

Trong không gian E cho siêu mặt định hướng và chính qui S có tham số hóa4

là r u v t và ( , , ) λ: , ,(u v t) → = −(u% u v,%= −v t,%= −t) là phép biến đổi tham số khi

đó r r% o là một tham số hóa khác của S.= λ

{r r r u', ,v' t'} là cơ sở của không gian tiếp xúc đối với tham số hóa r và { ' ' '}

, ,

r r r% % % là

cơ sở của không gian tiếp xúc đối với tham số hóa r%

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tham số là :

Ma trận Jacôbi của phép biến đổi tham số có định thức âm nên trường pháp

vectơ đơn vị tương ứng đối với tham số hóa r và r% là trái dấu nhau Do đó độ cong Gauss tương ứng đối với tham số hóa r và r% cũng trái dấu nhau Hay khi

ta đổi hướng trường pháp vectơ đơn vị thì độ cong Gauss sẽ đổi dấu

Tuy nhiên hệ số dạng cơ bản thứ nhất đối với tham số hóa r và r% là giống nhau

vì r%'u%= −r r u',%'v%= −r r v',%t%' = −r t' Do đó đối với không gian có chiều lớn hơn 3 độ

cong Gauss không chỉ phụ thuộc vào dạng cơ bản I

2.5 Độ cong gauss của một số mặt trongE và 3 E 4

2.5.1 Độ cong Gauss của một số mặt trong E3

2.5.1.1 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay catanoid

Cho U ⊂ ¡ 2, a≠ 0 và mặt Catanoid xác định bởi tham số hóa kiều đồ thị:

a sinh cos ,a sinh sin ,

-a cosh sin ,a cosh cos ,0

a cosh cos ,a cosh sin ,0

-a cosh cos , a cosh sin ,0

-a sinh sin ,a sinh os ,0

1( )

Họ một tham số khả vi các đường {α( ) ( )t ,β t } là phép đặt tương ứng mỗi

t I∈ ⊂¡ với một điểm α( )t ∈E3 và một vecto βuuuur( )t ∈E3,βuuuur r( )t ≠0 sao cho các hàm α( )t , βuuuur( )t đều khả vi theo t Với mỗi điểm t I∈ đường thẳng γt đi qua( )t

α và nhận βuuuur( )t làm phương được gọi là một đường của họ tại t

Cho họ tham số {α( ) ( )t ,β t } Xét mặt tham số

X u v =α u +vβuuuuuru u I v∈ ∈¡ được gọi là một mặt kẻ sinh ra bởi họ tham

số {α( ) ( )t ,β t } Các đường γt được gọi là đường kẻ, đường cong α( )t được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ

Giả sử β'( )u ≠0, βuuuuur( )u =1.Ta xét đường:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )''

' ,' ,

Đường thắt mặt kẻ không phụ thuộc vào đường chuẩn Do đó ta có thể chọn đường thắt làm đường chuẩn

Mặt kẻ là mặt khả triển nếu β β α =, ,' ' 0

2.5.1.2.2.Ví dụ

 Mặt phẳng, mặt tiếp tuyến của một đường chính qui là những mặt kẻ

 Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi {α( ) ( )u ,βuuuuuru } với α( )u được chứa trong mộtmặt phẳng và các đường thẳng γucùng đi qua một điểm cố định

 Mặt trụ là mặt kẻ sinh bởi {α( ) ( )u ,βuuuuuru } với α( )u được chứa trong mộtmặt phẳng và βuuuuur( )u song song với một phương cố định

2.5.1.2.3.Mệnh đề Mặt kẻ là mặt khả triển khi và chỉ khi độ cong Gauss của nó

Ngược lại nếu mặt kẻ có độ cong Gauss bằng 0 thì nó là mặt khả triển Thật vậy,

từ ( ) 0K p = ta suy ra được (β β λ, ', ') =0 theo định nghĩa thì ( , )X u v là mặt khả

triển

2.5.1.3 Độ cong Gauss mặt giả cầu

Cho U =[0; 2 π] [× 0; 2 π]⊂ ¡ 2, a> 0 và mặt giả cầu S xác định bởi tham số hóa kiều đồ thị:

cos

sin

Độ cong Gauss của mặt giả cầu là hằng số âm

2.5.2 Độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong E4

2.5.2.1 Cho {0, , , ,e e e eur ur ur ur1 2 3 4}

là mục tiêu trực chuẩn trong E Tính độ cong4

Gauss của mặt tròn xoay trong E4 khi quay mặt phẳng có phương trình tham số

( 1, 2) ( 1, ,2 1 2,0)

Giải

Gọi S là mặt tròn xoay có được khi quay mặt phẳng X u u( 1, 2) quanh mặt

phẳng (O e e, ,1 2) Khi đó S có tham số hóa là :

(0, 0, 0, 0) (0, 0, sin , cos ) (0, 0, sin , cos ) (0, 0, sin , cos ) (0, 0, (

là mục tiêu trực chuẩn trong E 4

Tính độ cong Gauss của mặt tròn xoay trong E4 khi quay mặt có phương trình

tham số X u u( 1, 2) (= a.sin ,0,cos ,u1 u u2 2) quanh mặt phẳng (O e e, ,3 4) .

Giải

Gọi S là mặt tròn xoay có được khi quay mặt phẳng X u u( 1, 2) quanh mặt

phẳng (O e e, ,3 4) Khi đó Scó tham số hóa là :

r u u u( 1, ,2 3) (= a.sin cos , sin sin ,cos ,u1 u a3 u1 u3 u u2 2)

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

 Chứng minh một số tính chất cơ bản của ánh xạ Weingarten

 Chứng minh được một số tính chất của độ cong Gauss

 Định nghĩa các dạng cơ bản trên siêu mặt trong không gian E và đưa ra n

được công thức tính độ cong Gauss trong E n

 Chứng minh được độ cong Gauss của mặt trong không gian 3- chiều bất biếnqua ánh xạ đẳng cự địa phương nhưng không gian có chiều lớn hơn 3 điềunày không đúng.

 Áp dụng công thức tính độ cong Gauss trong không gian n- chiều thông quadạng cơ bản thứ nhất và thứ hai tính được độ cong Gauss của một số siêumặt trong không gian 3-chiều, 4-chiều

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT

[1] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

[2] Đoàn Quỳnh (2009), Bài tập hình học vi phân, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm [3] Nguyễn Xuân Liêm (2005), Giáo trình phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

[4] Trần Lê Nam, (2009) Giáo trình hình học vi phân, Tài liệu lưu hành nội bộ