Một số tính chất của đường trắc địa trên đa tạp remann hai chiều

Trờng Đại học Vinh Một số tính chất của đờng trắc địa trên đa tạp riman hai chiều Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán... Trờng Đại học Vinh Một số tính chất của đờng

Trờng Đại học Vinh

Một số tính chất của đờng trắc

địa trên đa tạp riman hai chiều

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân s phạm toán

Trờng Đại học Vinh

Một số tính chất của đờng trắc

địa trên đa tạp riman hai chiều

Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán

Cán bộ hớng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Duy bình

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Thị phợngLớp: 42A 1 - khoa Toán

Mở đầu

Khái niệm về đờng trắc địa và ánh xạ mũ là một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết mặt của hình học vi phân Vấn đề này đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu ở những mức độ khác nhau Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi đã nghiên cứu và hệ thống lại một số khái niệm, tính chất có liên quan đến đờng trắc địa và ánh xạ mũ Nghiên cứu đờng trắc địa trong quan hệ với ánh xạ mũ, thông qua đó xét tính cực trị của đờng trắc địa Ngoài tính chất cực trị địa phơng (độ dài là ngắn nhất trong lân cận đủ bé), trong một số trờng hợp đờng trắc địa có độ dài ngắn nhất trong các đờng cùng chung hai đầu mút

Khoá luận gồm ba phần:

Đ 1 Đa tạp Riman hai chiều

Đ 2 Độ cong trắc địa và cung trắc địa trên đa tạp Riman hai chiều

Đ 3 ánh xạ mũ và đờng trắc địa cực tiểu

Nội dung cơ bản của Đ1 nêu lên các khái niệm cơ bản có liên quan: khái niệm đa tạp Riman, ánh xạ khả vi, ánh xạ đẳng cự, dạng liên kết, độ cong Gauxơ, phép tính đạo hàm của trờng véctơ dọc cung tham số

Nội dung cơ bản của Đ2 nêu lên định nghĩa, công thức tính độ cong trắc

địa, cung trắc địa và đã tính đợc độ cong trắc địa của một số đờng Mô tả đợc các đờng tiền trắc địa trên môt số mặt (mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, nửa phẳng Poăngcarê, đĩa Poăngcarê)

Nội dung cơ bản của Đ3 nêu lên khái niệm ánh xạ mũ, lân cận chuẩn tắc, mối quan hệ giữa ánh xạ mũ và ánh xạ đẳng cự, mối quan hệ giữa độ cong Gauxơ, độ cong trắc địa đối với hệ số dạng cơ bản thứ nhất trong một số trờng hợp, đờng trắc địa cực tiểu, phép biến đổi Clifớt

Khoá luận này đã đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh vào tháng 04/2005 Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự huớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa cùng toàn thể các bạn lớp 42A - Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này

Vinh, tháng 04 năm 2005

Tác giả

Đ 1 Đa tạp Riman hai chiều

1.1 Đa tạp 2 chiều trong E n

1.1.1 Định nghĩa Tập con không rỗng S của En gọi là môt đa tạp 2 chiều

(một mặt) trong En nếu với mỗi p ∈ S có lân cận mở của p trong S là môt mảnh hình học (tức là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r:U → En

(U là tập mở trong R2 ), r gọi là tham số hoá địa phơng của S

Cho ánh xạ khả vi f:M → N giữa các đa tạp 2 chiều thì với mỗi p ∈ M ta

định nghĩa ánh xạ Tpf :TpM → Tf(p)N nh sau :với mỗi α ∈ TpM thì có thể coi α

=ρ,(t0) với ρ là ánh xạ khả vi từ J → M Khi đó ta định nghĩa :

Tpf (α) = (f0ρ)’(t0) ánh xạ Tpf gọi là ánh xạ tiếp xúc của f tại p Dễ thấy Tpf

là ánh xạ tuyến tính

1.1.4 ảnh của trờng véctơ qua vi phôi

Cho f:U → V là một vi phôi ánh xạ f* biến mỗi trờng véctơ tiếp xúc X trên

U thành trờng véctơ f*X trên V xác định bởi f*X(f(p))=Tpf (X(p))

Nếu r:U → S, (u,v)  r(u,v) là một tham số hoá địa phơng của đa tạp 2 chiều S trong En thì r là một vi phôi từ U lên r(U) Gọi {∂∂u , ∂∂v } là trờng mục tiêu chính tắc trong R2 thì r*(∂∂u ) = Ru , r*(∂∂v ) = Rv , Ru or = r’u , Rv or= r’v

M thì hàm số p  <X(p),Y(p)> là hàm số khả vi M cùng với tích vô hớng đó gọi là một đa tạp Riman hai chiều kí hiệu là(M,< >).

(M,< >) là một đa tạp Riman hai chiều Cung tham số trên M là ánh xạ khả vi ρ :J → M (J là một khoảng mở trong R) Lớp tơng đơng cung tham số trên M gây bởi đổi tham số gọi là một cung trên M Nếu cung đó xác định bởi

ρ : J → M ,t  ρ (t) thì độ dài cung đoạn ρ hạn chế trên I (I=[a,b] là một đoạn

t

t), ' ( ) ' ( ) (

1

ρ ρ

Một tham số hoá r:I → M ,s  r(s) của một cung chính quy đợc gọi là một

tham số hoá tự nhiên nếu r' = 1

(Cung xác định bởi ρ :J → M gọi là cung chính quy nếu ρ’(t) ≠ 0 ∀ t ∈ J)

Đa tạp H = { (x, y) ∈ R 2y > 0}, với cấu trúc Riman < > = ϕ can, trong đó

ϕ :H → R, ϕ (x,y) = 1/y2 , can là cấu trúc Riman chính tắc gọi là nửa phẳng Poăngcarê

Nếu gọi { E1,E2} là trờng mục tiêu song song chính tắc trên H ⊂ R2 thì tại p(x, y) ∈ H ta có: < Ei(p), Ei(p) > =1/y2, (i=1,2) và <E1(p), E2(p) > = 0

c) Đĩa Poăngcarê

Kí hiệu P ={( u,v) ∈ R2u2+v2 < 4} Đa tạp hai chiều này với cấu trúc

Riman < > =Ψ can, trong đó Ψ (u,v) =

4 1

Nếu f là vi phôi và f là ánh xạ đẳng cự thì f đợc gọi là vi phôi đẳng cự.

(ánh xạ nhẵn là ánh xạ mà đạo hàm mọi cấp của nó tồn tại và khả vi)

1.3.2.Tính chất

a) Tpf là một đơn cấu tuyến tính

b) f là một ánh xạ đẳng cự thì:

- f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc

- f bảo tồn độ dài cung trên đa tạp

c) f là vi phôi đẳng cự thì f-1 cũng là vi phôi đẳng cự

- Giả sử có cung Γ xác định bởi tham số ρ : J → M, t → ρ(t), độ dài

dt

t) ( ) ( )

Γ qua f (vì với mỗi t ∈ [a, b] thì ║ρ’(t)║ = ║αp║ = ║ Tpf(αp)║ = ║(f

d) Giả sử f, g là ánh xạ đẳng cự f: M → N, g: N → Z với ∀α, β∈ TpM

ta có: <Tp(gf)(α) , Tp(gf)(β) > = < Tf(p)gTpf(α),Tf(p)gTpf(β) > =

= <Tf(p)g(Tpf(α)), Tf(p)g(Tpf(β))> = <Tpf(α), Tpf(β)> = <α, β>

Vậy gf là ánh xạ đẳng cự

Nếu g, f là vi phôi thì hiển nhiên gf là vi phôi vì thế tích các vi phôi

Thật vậy: Dễ thấy f là song ánh, f, f-1 khả vi nên f là một vi phôi

Giả sử { e1,e2} là cở sở của TpH p(x,y) = z, xét cung tham số

4

i z

4

i z

4

i z

e i

z

+

− +

−

=

2 2

2 ( ) ( )

16

] 4

) (

e e z

f

z

f

j i

+ +

−

2 2

4

) 4 2 )(

4 2 ( 1 4

) ( ).

( 1

− +

f z

2

4

) )(

( 16 8

+ +

) 4 ( )

)(

(

4 1

2 2

i z i z

y i

z i z z

i i z

i

+ +

− +

+ +

−

⇒ <Tpf(ei), Tpf(ej)> = = =< >

+

+ +

+

j i j i j

i

e e e e y z

z

e e i

z i z

1 ) 1 ( ) 1 (

16 ) ( ) ( 16

1

2 2 2

2 2

2

(i,j = 1,2)

⇒ f là ánh xạ đẳng cự Vậy f là vi phôi đẳng cự

Theo lý thuyết hàm phức ánh xạ bảo giác f: H → P , z  2i + z4+i biến nửa đờng thẳng mở trực giao với trục hoành và nửa đờng tròn mở trực giao với trục hoành ( mà ta gọi chung là nửa đờng tròn mở trực giao với trục hoành) thành một phần đờng tròn trực giao với đờng tròn tâm O bán kính 2 trong P ( Do qua f trục hoành biến thành đờng tròn tâm O, bán kính 2).

1.4 Dạng liên kết và độ cong Gauxơ của đa tạp Riman hai chiều

1.4.1 Định lý và Định nghĩa (xem tài liệu [3],chơng IV)

a) (M,< >) là một đa tạp Riman hai chiều thì với mọi trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} trên tập mở V của M, gọi {θ1,θ2} là trờng đối mục tiêu của nó ( tức là các dạng vi phân trên V mà θi(Uj) = δij (i, j = 1, 2) ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một 1

ω là dạng liên kết của (M, < >) trong trờng mục tiêu đã cho K gọi là

độ cong Gauxơ của (M, < >).

1.4.2 Mệnh đề Giả sử (u,v)  r(u,v) là tham số hóa của đa tạp Riman hai chiều (M, < >) với < r'

K là độ cong Gauxơ của M thì: Kor = - 

( 1

v

v E E

u G EG

u ) = E θ1(U1r) = ( )

u du E E

∂

∂

= ⇒ r*θ1(∂∂u ) = ( )

u du E

G du G

' '

) (

=

G d du G

' '

) (

=

' '

) (

) (

) (

u

G

E E

G

1.5 Đạo hàm của một trờng vectơ dọc cung tham số

Xét cung tham số ρ : I  M, t  ρ(t), I là khoảng mở trong R Trờng vectơ X dọc ρ là việc đặt tơng ứng mỗi t ∈ I một vectơ tiếp xúc

X(t) ∈ Tρ (t)M Ta nói X khả vi tại t0∈ I nếu có một khoảng mở J ∋ t0,

J ⊂ I để với mọi hàm số khả vi trên tập mở chứa ρ(J) hàm số t  X(t)[ϕ] khả

vi tại t0 .X gọi là khả vi nếu nó khả vi với mọi t0 ∈ I

Nếu { U1,U2} là một trờng mục tiêu khả vi trên một tập mở chứa ρ(I) của

M và viết X(t) = ψ 1(t).U1(ρ(t)) + ψ 2(t).U2(ρ(t)) thì X khả vi khi và chỉ khi ψ

1(t), ψ 2(t) khả vi

1.5.1 Định nghĩa

Cho cung tham số ρ: I → M, t  ρ(t) trên đa tạp Riman hai chiều

(M, < >) thì với mỗi trờng vectơ X dọc ρ quy tắc sau đây xác định một ờng vectơ dọc ρ , ký hiệu là dt∇X hay ∇dt X gọi là đạo hàm của X dọc ρ

tr-Với mỗi t0∈ I lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn { U1,U2} trong một lân cận của ρ(t0) Viết X(t) = ψ 1(t).U1(ρ(t)) + ψ 2(t)U2(ρ(t)) trong lân cận đó của

1 0 ' 1 2 0 2 0

1

t U t t

t dt

d t U t t

t dt

d

ρ ρ

ω ψ ψ

ρ ρ

ω ψ

dϕX + ϕ ∇dt X c)

d ds

~

t dt X

∇

Chøng minh : (xem tµi liÖu [3], ch¬ng IV, § 3).

Đ 2 Độ cong trắc địa và cung trắc địa trên đa tạp

Riman hai chiều

2.1 Độ cong trắc địa

2.1.1 Định nghĩa

Với mỗi cung chính quy định hớng trên đa tạp Riman hai chiều có hớng (M, < >) có hàm số dọc cung đó kí hiệu là kg, gọi là độ cong trắc địa của nó

xác định nh sau: Lấy tham số hóa tự nhiên ρ~: J → M , s  ρ~ s( ) với mỗi s ∈

J ta lấy N(s) ∈ Tρ ~(s) M sao cho {T(s), N(s)} là một cơ sở trực chuẩn của T

a) Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa ρ ~

Thật vậy: Nếu ρ là 1 tham số hóa tự nhiên của cung định hớng đã cho

dt

)

~ ( ρ '  λ

1

Thật vậy: Luôn tồn tại phép đổi tham số λ : I → J, t  λ(t) = s

để (ρ ~  λ)= ρ , ρ ' =(ρ~ λ) (' = ρ~'  λ) λ ' ⇒ ρ ' = ρ~'  λ λ ' vì λ’ > 0

∇ , N

λ > (đpcm)

c) Độ cong trắc địa đổi dấu khi đảo hớng của cung

Thật vậy : khi đảo hớng của cung, nếu λ là phép đổi tham số thì λ’ = -1

Khi đó

dt

' ρ

2.1.3 Mệnh đề: trong E3 xét đa tạp Riman hai chiều <M, can> nếu ρ là cung tham số chính quy, định hớng I → M, t  ρ(t) thì độ cong trắc địa của cung đợc cho bởi công thức :

t  ρ(t) ∈ S ) trên mặt S trong (E3,can) ( S định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n ) Xét trờng mục tiêu trực chuẩn {T,Y,Z } dọc ρ sau: T là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc ρ, Z = nρ, Y = Z∧ T gọi là trờng mục tiêu

Thay ai, bi, ci ( i = 1, 2, 3 ) vào (*) ta có điều cần phải chứng minh.

Khi T g = 0 ta gọi ρ là đờng chính khúc của S.

Khi kn = 0 ta gọi ρ là đờng tiệm cận của S.

2.1.5 Mệnh đề

Nếu s  ρ(s) là tham số hóa tự nhiên của cung song chính quy định hớng trên S trong (E3, can) thì kg = k.N.Y, trong đó k là độ cong của cung ρ, N là tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị dọc ρ

Chứng minh Theo 2.1.3 ta có

kg = ( ρ ∧ ρ ' )n ρ = ( ρ ' ∧kN)n ρ =k(T ∧N)n ρ =k(n ρ ∧T)N =k.Y.N Vậy kg = k.Y.N ( đpcm )

2.2 Đờng tiền trắc địa trên đa tạp Riman hai chiều

2.2.1 Định nghĩa Cung chính quy trên đa tạp Riman hai chiều gọi là

đ-ờng tiền trắc địa của đa tạp đó nếu độ cong trắc địa của nó đồng nhất bằng

∇ } phụ thuộc tuyến tính với ∀t

Chứng minh: Thật vậy theo 2.1.2 ta có kgλ = ' 2

b) Nếu S là mặt trong E3 định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n Cung chính quy trên S là đờng tiền trắc địa của S khi và chỉ khi trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị của nó N = ±nρ

Chứng minh

kg = 0 ⇔ k (T∧ N)(nρ) = 0 ⇒ (T∧ N) ⊥nρ

Mặt khác T ⊥ nρ và {T, N, T ∧ N } là một cơ sở trực chuẩn nên N cùng phơng với nρ hay N =± nρ

2.2.3 Ví dụ

a) Độ cong trắc địa của kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt tròn xoay trong ( E3, can):

Tham số hóa của mặt tròn xoay:

(u,v)  r(u,v) = (ϕ((u)cosv , ϕ(u) sinv, ψ (u))

v u

v u

r r

r r

∧

∧

)) ( ' ) ( ' )(

(

) ( ) ( , sin ) ( ) ( , cos ) ( ) (

2 2

2

' '

'

u u

u

u u v u u v u u

ψ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ψ

ϕ ω

ϕ

+

−

−

+ Các đờng kinh tuyến v = v0 có tham số hóa:

u  r(u,v0) = ( ϕ(u)cosv0, ϕ(u)sinv0, ψ (u))

r’ ∧ r’’ = 0 ⇒ kg(u) = 0 ∀u Vậy các đờng kinh tuyến của mặt tròn xoay luôn là các đờng tiền trắc địa

+ Các đờng vĩ tuyến u = u0 có tham số hóa

v  r(u0,v) = ( ϕ(u0)cosv, ϕ(u0)sinv, ψ (u0)) =ρ(v)

0 '

u u

u

u

ψ ϕ

ϕ

ϕ

b) Độ cong trắc địa của đờng đinh ốc tròn trên mặt đinh ốc đứng:

tham số hóa của mặt đinh ốc đứng

(u,v)  r(u,v) = (vcosu, vsinu, bu)

nr =( sin 2, cos2 , )

v b

v v b v b

+

−

−

tham số hóa của đờng đinh ốc tròn:

u  r(u,a) = (acosu, asinu, bu) = ρ(u)

2 3 2 2

cos sin

1

b a

a u ab

u ab b

a

+

−

c) Độ cong trắc địa của đờng đinh ốc tròn trên mặt trụ:

Ta có tham số hóa của mặt trụ:

(u,v)  r(u,v) = ( acosu,asinu, v) = ρ(u)

nr = ( cosu, sinu, 0)

ρ’(u) = ( -asinu, acosu, 0) ; ρ’’(u) = ( -acosu,-asinu, 0)

ρ’’(u) và nρ cùng phơng tức là N và nρ cùng phơng ⇒ kg(u) = 0 ∀u

2.3 Cung trắc địa trên đa tạp Riman hai chiều

2.3.1 Định nghĩa Cung tham số t  ρ(t) trên đa tạp Riman 2 chiều (M, < >) gọi là cung trắc địa nếu

dt

' ρ

∇ = 0

2.3.2 Nhận xét

a) t  ρ(t) là cung trắc địa trên (M, < >) thì t  ║ρ’(t)║ là hàm hằng

b) Cung trắc địa có độ cong trắc địa bằng 0.

c) Cung tham số hóa chính quy t  ρ(t) trên ( M, < >) là một cung trắc

địa khi và chỉ khi hàm số t  ρ' t( ) (t) là hàm hằng và độ cong trắc địa của

tham số đó triệt tiêu

d) Vi phôi đẳng cự biến cung trắc địa thành cung trắc địa, đờng tiền trắc

địa thành đờng tiền trắc địa

Chứng minh

a) Vì t  ρ (t) là cung trắc địa nên

dt

' ρ

ρ

dt

∇ = 2 <0, ρ’> = 0 ⇒ ρ ' (t) là hàm hằng

Ngợc lại: Nếu kg = 0 và ρ ' (t) là hàm hằng thì ρ' , ∇dtρ' = 0 và

) (

f  ρ

∇ = Tρ(t) f(0) = 0

Vậy fρ là tham số hóa của một cung trắc địa trongM~

2.3.3 Phơng trình cung trắc địa ( Xem tài liệu [3], chơng IV,Đ 4)

Cho cung tham số ρ: I → M, t  ρ(t) trên đa tạp Riman hai chiều

(M, < >) mà ảnh nằm trong tập mở V, trên đó có trờng mục tiệu tiêu trực chuẩn {U1, U2} viết:

2 1 2

2 1

1 ' ψ ( ρ ) ψ ( ρ ), ( ψ , ψ

+

=

− +

+

0

2 2

1

0

2 2

1

2' ' ' ' ' 2' ' ''

2' ' ' ' ' 2' ' ''

v G v u G u

E E

v

v G v u E u E E

u

v u

v

u v

u

) 2 (

) 1 (

Hệ quả.Dùng lý thuyết phơng trình vi phân, chứng minh đợc rằng: Cho

vectơ α ∈ TpM thì:

+ Có cung trắc địa ρ: I → M , t  ρ(t) mà ρ’(0) = α

+ Có cung trắc địa ρ1: I1 → M , ρ2: I2 → M ( I1, I2 là các khoảng mở chứa

0 trong R ) ρ'

1(0) = ρ’’(0) = α thì ρ1 I1∩ I2 =ρ2 I1∩ I2

+ Có cung trắc địa ρ: J → M , J là khoảng mở chứa 0 trong R

ρ1’(0) = α mà không có cung trắc địa ρ1: J1→ M , J1 là khoảng mở chứa 0 trong R, ρ1’(0) = α và J ⊂ J1 , J ≠ J1 ; cung trắc địa nh thế gọi là cung trắc địa tối đại.

2.3.4 Phơng trình cung trắc địa trong tham số hóa Clerô

a) Định nghĩa Tham số hóa r: U → M , (u, v)  r(u,v) của đa tạp Riman hai chiều gọi là tham số hóa Clerô nếu F = < r '

b Tính chất ( xem tài liệu [2], chơng IV, Đ6)

Giả sử (u,v)  r(u,v) là một tham số hóa Clerô của (M,< >)

i) Các đờng toạ độ u, u  r(u,v0) là đờng tiền trắc địa

⇒ u  r(u, v0) là đờng tiền trắc địa

ii) Đờng toạ độ v  r (u0,v) là cung trắc địa khi và chỉ khi '

Còn đờng toạ độ đó là một đờng tiền trắc địa khi và chỉ khi

' ' , u

G u = 0 suy ra (đpcm)iii) Xét tham số s  r(u(s), v(s)) = ρ(s), ρ ' = 1

Nếu ρ là một cung trắc địa thì G(u(s)) v’(s) = hằng số c

Thật vậy: từ phơng trình (2) trong 2.2.3 trong tham số hóa Clerô có dạng

)

u G u E

c u

±

Thật vậy:

2 ' '

' '

)) ( ( ))

( ( 1 ) ( )).

(

(

2 '

2 2

'

s u G s u E

c s u G u

s u G

c s

u s

u

.iv) Ngợc lại cung tham số t → r(u(t), v(t)) = ρ(t) mà u’(t) ≠ 0 ∀t

và v’(t) = G(u c(t)) ,

)) ( ( )) ( (

)) ( ( )

(

2 '

t u G t u E

c t u G t

±

=(c là hằng số) là một cung trắc địa hằng với ρ ' = 1

Thật vậy

+ G(u(t)).v’(t) = c tơng đơng với (2) trong 2.2.3

+

)) ( ( )) ( (

)) ( ( )

(

2 '

t u G t u E

c t u G t

từ đây ⇒ 2Eu'' +E u'u' 2 −G u'v' 2 = 0

chính là phơng trình (1) trong 2.2.3 trong tham số hóa Clerô

v) Từ (iv) ⇒ u  r(u, v(u)) = ρ(u) mà du dv = G G c2

E c

−

± ( G > c2 , c là hằng số) xác định một đờng tiền trắc địa

2.3.5 Mệnh đề Nếu ρ : J → M , t  ρ(t) là một cung trắc địa tối đại của đa tạp Riman hai chiều (M,< > ), ρ’(0) = α ∈ Tρ (0)M thì luôn tồn tại cung trắc địa