Toán 9 Chương 3 Góc với đường tròn

Chứng minh rằng khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC I, C thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.. a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và ADBC... Chứng minh khi M

CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1: GÓC Ở TÂM, GÓC NỘI TIẾP.

– Số đo của nửa đường tròn bằng 180 0

– Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn

m A

68 0

Hình 2 n

m A

Góc ABC là góc nội tiếp.

Góc ABC chắn cung AmC 

4, SỐ ĐO GÓC NỘI TIẾP.

– Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

+ Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau

+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

C

Hình 3

m A

O B

98 0

Hình 4

m A

O B

5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì A1D ( cùng chắn cung 1 BC ) và ngược lại:

Tứ giác ABCD có A1 D thì tứ giác ABCD nội tiếp.1

– Tứ giác ABCD nội tiếp  O đường kính AC thì B Dˆ ˆ 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ngược lại:

Tứ giác ABCD có B Dˆ ˆ 900 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc A Cˆ ˆ 180 0 và ngược lại:

Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng 180 thì tứ giác ABCD nội tiếp.0

3

1 1

D

C

BA

O

D

C A

O B

D

C

BA

O

6, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn

Chứng minh AC CB 

Bài 2: Cho nửa  O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC

tại H, AC cắt BD tại E Chứng minh EH AB.

B

Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn  O đường kính AC biết BA BC  Trên đoạn OC lấy điểm I

bất kì I C Đường thẳng BI cắt  O tại điểm thứ hai là D Kẻ CH BD H, BD, DK vuông góc

với AC K, AC

a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp

b, Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ABD400 Tính diện tích ACD

c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E Chứng minh rằng khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC I, C thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài 4: Cho đường tròn  O đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H M là một điểm trên đoạn

A

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn A AH;  Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với

 A cắt đường thẳng AC tại D ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).

a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp

b, Cho AB4cm AC, 3cm Tính AI.

c, Gọi HK là đường kính của  A Chứng minh rằng: BC BI DK  

Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp O R;  Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp

b, Chứng minh BD BC BH BE .  .

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân.

KD

D

O

C B

A

Bài 7: Cho nửa  O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC

tại H, AC cắt BD tại E

a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH AB.

b, Chứng minh DAB DEH 

c, Vẽ tiếp tuyến với  O tại D cắt EH tại I Chứng minh I là trung điểm của EH.

Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

H

D C

Bài 9: Cho đường tròn O R;  dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho AB AC và

ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC.

a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, Chứng minh KB KC KE KF .  .

c, Gọi M là giao điểm của AK với  O , M khác A Chứng minh MH AK.

Bài 10: Cho  O đường kính AB2R, điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B) Lấy điểm D thuộc

dây BC ( D khác B và C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F

a, Chứng minh FCDE nội tiếp

E

OA

IF

ED

C

B

Bài 11: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB2R C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao

cho C khác A và AC CB Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho  COD900 Gọi E là giao điểm của

AD và BC, F là giao điểm của AC và BD

a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh FC FA FD FB .  .

c, Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh IC là tiếp tuyến của  O .

Bài 12: Cho ABC nhọn có AB AC  Vẽ đường tròn  O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC

lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D Gọi I là trung điểm của AH

a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và ADBC

b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn

c, Cho biết BC6cm A, ˆ 600, Tính OI

9

IF

E

DC

B

I

D H

E F

C B

A

Bài 13: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho

cung AB AC , AC cắt BD tại E Kẻ  EFAD tại F.

a, Chứng minh ABEF nội tiếp

b, Chứng minh DE DB DF DA .  .

c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp FBC

d, Gọi I là giao điểm của BD với CF Chứng minh BI2 BF BC IF IC 

Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB2R lấy điểm M sao cho AM R và N là một điểm

bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B) Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trênAB

a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc MHN

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MHN luôn đi qua 2 điểm cố định.

d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất

I F

E

C B

O

Bài 15: Cho đường tròn  O có dây cung CD cố định Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD Đường

kính MN của đường tròn  O cắt dây CD tại I Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD ( E khác C, D, N)

ME cắt CD tại K Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P

a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp

b, Chứng minh EI MN. NK ME .

c, NK cắt MP tại Q Chứng minh IK là phân giác EIQ.

d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H Chứng minh khi E di độngtrên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H luôn chạy trên một đường cố định

Bài 16: Cho nửa  O đường kính AB Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với M A B và C là ,điểm chính giữa cung AM Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC

a, Chứng minh CHMD nội tiếp

b, Chứng minh DA DC DB DM .  .

c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì

đường tròn ngoại tiếp CMQ luôn đi qua một điểm cố định.

M

O

DC

Q H

Bài 17: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R;  Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh BD BC BH BE .  .

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân.

Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI

a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp

b, Chứng minh CI AI. HI BI .

c, Biết AB2.R Tính giá trị biểu thức M AI AC BQ BC theo R..  .

H F

E

D O A

H

C

QI

BO

A

Bài 19: Cho nửa đường tròn  O đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn với ABAC Gọi D

là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng

AC ở F

a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp

b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M Chứng minh MA ME .

c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AEF.

d, DF cắt nửa đường tròn  O tại điểm P Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEP Chứng

minh C, I, P thẳng hàng

Bài 20: Cho đường tròn O R;  và dây cung BC cố định A là điểm di động trên cung BC sao cho

ABC là tam giác nhọn Hai đường phân giác trong của góc A Bˆ ˆ, cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròntại D và E Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N

a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự

b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi

c, Chứng minh BDI cân Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất.

13

P M F

D

E

I

C B

A

Bài 21: Cho ABC có AB AC nội tiếp đường tròn   O đường kính BC Điểm D thuộc bán kính OC Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.

a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CAD CFD  

c, Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh AM là tiếp tuyến của  O .

d, Cho AB6cm ACB, 300 Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ



AB

Bài 22: Cho đường tròn  O và dây AB không đi qua tâm Dây PQ của  O vuông góc với AB tại H

HA HB  Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB QM cắt AB tại K.

a, Chứng minh BHQM nội tiếp và BQ HM 

b, Chứng minh QAK cân.

c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng

MF

KM

Q

P

H

BA

O

Bài 23: Cho đường tròn  O đường kính AB2R, C là trung điểm của OA, Vẽ dây MN AO tại C

K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a, Chứng minh BCHK nội tiếp

MN AB tại H Gọi MQ là đường cao MAN

a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b, Chứng minh NQ NA NH NM 

c, Chứng minh MN là phân giác của BMQ.

d, Hạ MPBN , Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ AN MP BN có GTLN..  .

O

Bài 25: Cho đường tròn  O đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A

và C Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn  O với K là tiếp điểm Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O cắt

CK tại H Gọi I là giao điểm của OH và AK J là giao điểm của BH và  O ( J không trùng với B).

a, Chứng minh AJ HB AH AB .  .

b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn

c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P Tính 

HP CP

Bài 26: Cho nửa đường tròn  O đường kính BC A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn BA kéo dài

cắt tiếp tuyến Cy ở F Gọi D là điểm chính giữa cung AC DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E

a, Chứng minh BD là phân giác ABC và OD // AB.

b, Chứng minh ADEF nội tiếp

c, Gọi I là giao điểm của BD và AC Chứng minh CI CE và  IA IC ID IB 

d, Chứng minh AFD AED 

yF

A

C

Bài 27: Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là

trung điểm của IK

a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn  O .

c, Tính bán kính của đường tròn  O , biết AB AC 20cm BC, 24cm

Bài 28: Cho  O đường kính AC Trên đoạn AC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm  O đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB Từ M vẽ dây cung DEAB, DC cắt đường tròn  O tại I.

Bài 29: Cho ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC Dựng đường tròn  O

đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E đường thẳng BM cắt  O tại D và AD cắt  O tại S.

a, Chứng minh ADCB nội tiếp

b, Chứng minh ME là tia phân giác AED

c, Chứng minh ASM ACD

d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy

Bài 30: Cho ABC vuông tại A có AB4cm AC, 3cm Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho

AD DB  Đường tròn  O đường kính BD cắt CB tại E, Kéo dài CD cắt  O tại F.

a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp

M

C B

A

Bài 31: Cho  O đường kính AB và dây CDAB tại F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt

CD tại E

a, Chứng minh AM là tia phân giác CMD

b, Chứng minh EFBM nội tiếp

c, Chứng minh AC2 AE AM

d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I Chứng minh NI // CD

e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM

Bài 32: Cho ABC nhọn và AB AC nội tiếp đường tròn   O Các đường cao AF và CE của ABC

cắt nhau tại H

a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp

b, Kẻ đường kính AK của đường tròn  O Chứng minh ABK AFC 

K

H E

B

A

Bài 33: Cho đường tròn O R;  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm K

sao cho AKR Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn  O Đường thẳng d vuông góc với AB tại O,

d cắt MB tại E

a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp

b, OK cắt AM tại I Chứng minh OI OK OA  2

c, Gọi H là trực tâm KMA Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax.

Bài 34: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp   O , đường cao AH D là điểm nằm giữ hai điểm A và

H Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A

a, Chứng minh MN AD và tứ giác BHDM nội tiếp.

b, Chứng minh AMN ACB 

c, Đường tròn đường kính AD cắt  O tại điểm thứ hai E Tia AE cắt đường thẳng BC tại K

D

B

A

Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn O R;  không có điểm chung Kẻ OH d tại H Lấy điểm M

bất kì thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn  O Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K

OH , Từ đó suy ra điểm K cố định.

e, Tìm vị trí của M để diện tích O  đạt giá trị lớn nhất

Bài 36: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R;  với cạnh AB cố định khác đường kính Các đường

cao AE, BF của ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K CH cắt AB tại D.

a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn

b, Chứng minh CDF CBF  

c, Chứng minh EF // IK

d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp DEF luôn

đi qua một điểm cố định

21

IK

B

A

MH

dO

D

K

I

HF

E

O

CB

A

Bài 37: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại

H Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC

a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp

b, Chứng minh AE AM. AD AN .

c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và

AH Chứng minh F là trực tâm của KAI .

Bài 38: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và

By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn  O ( I khác A và B) cắt

Ax, By lần lượt tại M và N

a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM BN MN  

b, Chứng minh MON 900 và AM BN R 2

c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K Chứng minh H là trung điểm của IK

d, Cho AB5cm , diện tích tứ giác ABNM là 2

20cm Tính diện tích AIB.

N M

H E

D

C B

B

Bài 39: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C CA CB 

Hạ CH AB tại H Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC lần lượt tại M và N.

a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật

b, Chứng minh CMN CBA và tứ giác AMNB nội tiếp. 

c, Tia MN cắt tia BA tại K Lấy điểm Q đối xứng với H qua K Chứng minh QC là tiếp tuyến của O R; .

d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC R 

N M

H

C

B

Bài 40: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt

đường tròn  O tại C trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì Kẻ CH AM tại H Gọi N là giao điểm của

OH và MB

a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp

b, Chứng minh CAO ONB  450.

c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt  O tại điểm thứ hai D, Chứng minh CM // BD.

d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng Khi đó tính độ dài cung MB theo R

B

Bài 41: Cho O R;  đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O kẻ dây CDAB tại H Lấy

điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I

a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp

b, Chứng minh BFH EAB , từ đó suy ra  BE BF BH BA 

c, Đường tròn ngoại tiếp IEF cắt AE tại điểm thứ hai M Chứng minh HBE HIA và điểm Mthuộc  O .

d, Tìm vị trí của H trên OA để OHD có chu vi lớn nhất.

Bài 42: Cho ABC có AB AC nhọn nội tiếp đường tròn  O Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E

sao cho D nằm giữa B và E và DAB EAC Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn   O tại I

và J

a, Chứng minh phân giác góc BAC đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn  O .

b, Chứng minh tứ giác BCJI là hình thang cân

M I

E F

E D

O

C B

A

Bài 43: Cho ABC nhọn, nội tiếp O R;  và AB AC Đường kính AD cắt BC tại M Gọi E và F lần 

lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC,

a, Chứng minh AEMF nội tiếp

b, Chứng minh AEF ADC và BC // EF.

c, Kẻ AH BC tại H, tia AH cắt  O tại N

1, Chứng minh BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABM .

2, Qua B vẽ đường thẳng  d vuông góc với BN, đường thẳng  d cắt AN cắt đường

tròn ngoại tiếp ABM lần lượt tại K và Q Chứng minh AD QB KB BN 

Bài 44: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O Vẽ đường cao AH Từ H kẻ

E

N M

H O A

Bài 45: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn  O R; , Đường cao AH Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC.

a, Chứng minh rằng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng AM AB AH Từ đó chứng minh  2 AM AB AN AC 

c, Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q Chứng minh AMN ACB và QH2 QM QN .

d, Cho BAC600 và R3cm Tính diện tích hình viền giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC

Bài 46: Cho ABC nhọn nội tiếp trong O R;  , đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm

của BC và AD là đường kính của  O Chứng minh:

a, BFEC là tứ giác nội tiếp

b, AE AC. AF AB .

c, H, M, D thẳng hàng

d, Cho  O và điểm B, C cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ABC luôn có 3 góc

nhọn, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AEF có bán kính không đổi.

D M

O H

F

E

C B

A

Bài 47: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp  O R;  Gọi H là giao điểm ba đường cao AD, BE và

CF của ABC

a, Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn

b, Vẽ hình bình hành BHCK Tính AK biết R6cm

c, Gọi S là giao điểm của AK và EF Đường thẳng qua D và song song với HS cắt AK tại Q

Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DQK

Bài 48: Cho đường tròn O R;  và dây BC cố định với BC R 3 A là điểm di động trên cung lớn BC

( A khác B, C) sao cho ABC nhọn Các đường cao BD và CE của ABC cắt nhau tại H, Kẻ đường

A

O D E

Bài 49: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O Các đường cao AD, BE, CF của

ABC cắt nhau tại H.

a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh ba điểm A, O,

K thẳng hàng

c, Chứng minh AK EF.

d, Chứng minh nếu ABC có tan tan B C 3 thì OH // BC.

Bài 50: Cho đường tròn  O đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa O và B Kẻ dây CD vuông góc

với AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C) Kẻ CK AE tại K Đường thẳng

DE cắt CK tại F

a, Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh KH // ED và ACF cân.

c, Tìm vị trí của điểm E để diện tích ADF lớn nhất.

Bài 51: Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm của DC, Nối BN cắt AC tại F Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN, đường tròn  O cắt AC tại E Kéo dài BE cắt AD tại M.

a, Chứng minh tứ giác MDNE nội tiếp

b, Chứng minh BEN vuông cân.

c, Gọi I là giao điểm của  O với MN, H là giao điểm của BI với NE Chứng minh MH BN

d, Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng

Bài 52: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cắt tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của DE

a, Chứng minh tứ giác ABHO là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh HA là tia phân giác BHC

Bài 53: Cho đường tròn O R;  Một đường thẳng  d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A

và B Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( C thuộc d và CB CA ) Kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn ( M thuộc cung nhỏ AB) Gọi H là trung điểm của AB Đường thẳng OH cắt tia CN tại K

a, Chứng minh 5 điểm M, H, O, N, C cùng thuộc 1 đường tròn

b, Chứng minh KN KC KH KO .  .

c, Đoạn thẳng CO cắt  O tại I Chứng minh điểm I cách đều các đường thẳng CM, CN, MN.

d, Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt CM và CN tại E và F Xác định vị trí của

C trên đường thẳng d sao cho diện tích CEF nhỏ nhất.

Bài 54: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O , các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh rằng tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp

b, Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M Chứng minh MB MC ME MF .  .

c, Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM và AH lần lượt tại I và K

A

O

I

HF

EA

Bài 55: Cho đường tròn  O đường kính AB Điểm I nằm giữa A và O, ( I khác A và O) Kẻ đường

thẳng vuông góc với AB tại I đường thẳng này cắt đường tròn  O tại M và N Gọi S là giao điểm của

hai đường thẳng BM và AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN Đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần lượt tại K và H

a, Chứng minh SKAM là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng: SA SN. SB SM .

c, Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn  O .

d, Chứng minh rằng ba điểm H, N, B thẳng hàng

Bài 56: Cho đường tròn  O với đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi M là trung điểm của

AB Từ M kẻ dây DE vuông góc với AB Từ B kẻ BF vuông góc với CD ( F thuộc CD)

a, Chứng minh BMDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CB CM. CF CD .

c, Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi và 3 điểm E, F, B thẳng hàng

d, Gọi S là giao điểm của BD với MF, Tia CS lần lượt cắt AD, DE tại H và K