Toán 9 Chương 2 Đường tròn

Đường thẳng vuông góc với OA tại trung điểm của OA cắt  O tại A và B.. – Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. – Trong một đường tròn,

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN.

BÀI 1: ĐƯỜNG TRÒN.

1, ĐƯỜNG TRÒN.

– Đường tròn tâm O bán kính R,R 0 là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.

KH: O R;  .

– Điểm M nằm trên đường tròn thì OM R

– Điểm A nằm bên trong đường tròn OA R

– Điểm B nằm bên ngoài đường tròn OBR

2, CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.

– Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ 1 đường tròn ( Giao của ba đường trung trực)

– Đường tròn là hình có tâm đối xứng ( Tâm đối xứng là tâm của đường tròn)

– Đường tròn là hình có trục đối xứng ( Trục đối xứng là đường kính bất kì)

B

A

15cm

D

CB

Bài 4: Cho ABC vuông tại A có AB7,5cm, đường cao AH 4,5cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.

Bài 5: Cho đường tròn O OA;  biết OA3cm Đường thẳng vuông góc với OA tại trung điểm của OA

cắt  O tại A và B.

a, Chứng minh OAB đều

b, Tính BC

Bài 6: Cho ABC cân tại A có BC 6cm và độ dài đường cao AM 4cm Vẽ  O ngoại tiếp ABC.

a, Tính AB và đường kính AA’ của đường tròn  O .

b, Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O Vẽ AH CB tại H

A

C

AO

B

H

B' A

Bài 7: Cho ABC đều có AB6cm Tính bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Bài 8: Cho ABC nhọn Vẽ đường tròn  O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E

Gọi H là giao điểm của BE và CD

a, Chứng minh CDAB BE, AC

b, Chứng minh AH BC

6cm

C B

A

H

E D

A

Bài 9: Cho ABC vuông tại A, Biết AB6cm AC, 8cm Vẽ đường tròn  O đường kính AB cắt BC

tại H

a, Tính AH, CH

b, Kẻ OK AH tại K và tia OK cắt AC tại D Chứng minh DH OH

Bài 10: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn  I có đường kính HB cắt cạnh AB tại

D Vẽ đường tròn  K đường kính HC cắt AC tại E.

a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b, Chứng minh AD AB. AE AC.

c, Cho AB3 ,cm BC5cm Tính DE và diện tích tứ giác DEKI

DK

B

A

Bài 11: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính BC A là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho

ABAC Tia phân giác BAC cắt đường trung trực BC tại D Hạ DH và DK lần lượt vuông góc với

AB và AC

a, Chứng minh AHDK là hình vuông

b, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn

c, Hạ AM BC Tìm giá trị lớn nhất của 2.AMBM

M

K H

D

A

BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

1, ĐỊNH LÍ.

– Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

– Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

– Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây ( Dây không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy

Bài 2: Cho O R;  dây AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC R Tia CO cắt  O tại D (

O nằm giữa C và D)

a, Chứng minh AOD3.ACD

b, Cho biết AB R Tính OC, CD, AD theo R

Bài 3: Cho nửa  O , đường kính AB, dây CD, các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt

cắt AB tại M và N ( M nằm giữa A và O, N nằm giữa B và O) Chứng minh AM BN

Bài 4: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Trên AB lấy hai điểm H, K sao cho AH BK ( H

nằm giữa A và O, K nằm giữa B và O) Các đường thẳng qua H và K song song với nhau cắt nửa đường tròn lần lượt tại P và Q Chứng minh PH PQ và QK PQ

P

Bài 5: Cho ABC, đường cao BH và CK.

a, Chứng minh B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh HKBC

Bài 6: Tứ giác ABCD có B Dˆ ˆ 90 0

a, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b, So sánh AC và BD Nếu ACBD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 7: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính Gọi I và K lần lượt

là chân đường vuông góc kẻ từ A và B xuống EF Chứng minh IEKF

HD:

Kẻ OH EF

H

H K

Bài 8: Cho  O đường kính AB2R vẽ cung tròn tâm D bán kính R cắt  O tại B và C.

a, Tứ giác OBDC là hình gì?

b, Tính các góc CBD CBO ,

c, Chứng minh ABC đều

Bài 9: Cho  O đường kính AB, dây CD cắt AB tại I Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ

A và B đến CD Chứng minh CH DK

Bài 10: Cho đường tròn  O , hai dây AB và CD song song với nhau ( O nằm trong phần mặt phẳng của

hai dây) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H với CD tại K Biết BH OK

D

O C

C

Bài 11: Cho ABC và ABDcó chung cạnh huyền AB ( C và D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

a, Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O

Bài 12: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB, Trên AB lấy hai điểm C và D sao cho OC OD Từ

C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn  O tại E và F Chứng minh EF CE và EF DF.

Bài 13: Cho A AB; , dây FE kéo dài cắt AB tại C ( E nằm giữa F và C) hạ ADCF Cho

Bài 14: Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn O R; , H là trực tâm ABC Vẽ OK BC

CB

BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

1, LÍ THUYẾT.

– Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

– Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hớn thì gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì lớn hớn

Chú ý:

– Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

– Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:

Khi đó OH R và HA HB  R2 OH2

– Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:

Khi đó OH R, đường thẳng gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm giao gọi là tiếp điểm

Khi đó OH R.

Định lí:

– Nếu đường thẳng  d là tiếp tuyến của đường tròn  O thì  d vuông góc với bán kính đi qua

tiếp điểm

– Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại đi qua điểm

đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho  O hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn.

a, Chứng minh IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi dây AB và CD

b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau tương ứng

H d

O

Bài 2: Cho  O , các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM BN

Gọi C là giao điểm của AM và BN

a, Chứng minh OC là tia phân giác AOB.

C

O 12cm

4cm

D

Bài 4: Cho  O có hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại 1 điểm S ở bên ngoài đường tròn ( A

nằm giữa S và B, C nằm giữa S và D)

a, Chứng minh SO là tia phân giác ASC.

b, Chứng minh SA SC

Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là $12cm$ Vẽ đường tròn A;13cm.

a, Chứng minh  A có hai giao điểm với xy.

b, Gọi hai giao điểm là B và C Tính BC

O

S

C A

Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD có A Dˆ ˆ 90 ,0 AB4cm BC, 13cm CD, 9cm.

a, Tính AD

b, Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Bài 7: Cho O OA; , Dây CD là trung trực của OA.

a, Tứ giác OCAD là hình gì?

b, Kẻ tiếp tuyến tại C cắt OA tại I, biết OA R Tính CI

9cm

13cm4cm

BA

I

C

A O

D

Bài 8: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của

đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc từ A và B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB

a, Chứng minh CE CF

b, AC là tia phân giác BAE.

c, Chứng minh CH2 AE BF

Bài 9: Cho ABC vuông tại A, vẽ đường tròn B BA;  và đường tròn C CA;  chúng cắt nhau tại D

( khác A) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn  B .

d F

Bài 10: Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Vẽ đường tròn  O đường kính

AH

a, Chứng minh E là điểm nằm trên đường tròn  O .

b, DE là tiếp tuyến của  O .

Bài 11: Cho hình thang vuông ABCD có A Dˆ ˆ 90 0 Gọi M là trung điểm của AD, biết BMC 900

a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

b, BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD

Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên dường chéo BD lấy điểm I, sao cho BI BA Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại E Chứng minh BD là tiếp tuyến của E EA; .

A

M

B A

B A

Bài 13: Cho ABC đều, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại M.

a, Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A, D, H, E

Bài 14: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB và C nằm trên nửa đường tròn sao cho BCBO Tia

AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B với nửa đường tròn tại D

Bài 15: Cho đường tròn  O đường kính AB và dây CD // AB ( C thuộc cung AD) Qua A kẻ đường

thẳng song song với CB cắt  O tại E, ED cắt AB tại F Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt

DC tại G

a, Chứng minh ACBE là hình chữ nhật

b, Chứng minh AG // ED

c, GA có là tiếp tuyến của  O tại A hay không?

Bài 16: Cho ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I

a, Chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K

b, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

G

F

E

D C

B A

O

I

K A

Bài 17: Cho ABC nội tiếp đường tròn O R; , đường kính BC Gọi H là trung điểm của AC Tia OH

cắt  O tại M Từ A vẽ tiếp tuyến với  O cắt tia OM tại N.

a, Chứng minh OM // AB

b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của  O .

Bài 18: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, đường tròn  I đường kính BH cắt AB tại E, đường

tròn  J đường kính HC cắt AC tại F.

a, Chứng minh AH là tiếp tuyến của hai đường tròn    I , J .

b, EF là tiếp tuyến của  I tại E, tiếp tuyến của  J tại F.

JI

FE

Bài 19: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AB Từ một điểm M trên nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến

xy Vẽ AD và BC vuông góc với xy

a, Chứng minh MCMD

b, Chứng minh AD BC có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

c, Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AD, BC và AB

d, Xác định vị trí của M trên nửa  O sao cho ABCD có diện tích lớn nhất.

Bài 20: Cho điểm E thuộc nửa đường tròn  O , đường kính MN Kẻ tiếp tuyến tại N của đường tròn

 O , tiếp tuyến này cắt ME tại D.

a, Chứng minh MEN vuông tại E và DE DM DN2

b, Từ O kẻ OI ME Chứng minh O, I, D, N cùng thuộc một đường tròn

c, Vẽ đường tròn đường kính OD cắt nửa đường tròn  O tại điểm thứ hai là A

Chứng minh DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O .

D, Chứng minh DEA DAM 

D

E

Bài 21: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho ACBC

, C khác A và B Kẻ CH AB và OI AC

a, Chứng minh C, H, O, I cùng thuộc 1 đường tròn

b, Kẻ tiếp tuyến Ax của O R; , Tia OI cắt Ax tại M Chứng minh OI OM R2 Tính OI biết

2 , 6

c, Gọi giao điểm BM với CH là K Chứng minh AMO HCB và CK KH

d, Tìm vị trí của C để chu vi OHC đạt giá trị lớn nhất tìm giá trị đó theo R

Bài 22: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn Từ C kẻ CH AB Gọi M là hình chiếu của H trên AC, N là hình chiếu của H trên BC

Bài 23: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C ( C khác A và

B), Kẻ OK BC tại K Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn  O và I là trung điểm của AD.

a, Chứng minh OK // AC và BC BD 4R2

b, Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O .

c, Từ C kẻ CH AB, BI cắt CH tại N Chứng minh rằng N là trung điểm của CH

Bài 24: Cho O R; , đường kính AB Lấy C thuộc đường  O ( C khác A và B) Tiếp tuyến tại A của

đường tròn  O cắt đường thẳng BC tại M.

a, Chứng minh ABC là tam giác vuông và BC BM 4R2

b, Gọi K là trung điểm của MA Chứng minh KC là tiếp tuyến của  O .

c, Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn  O tại D Chứng minh MOAD.

D

KC

Bài 25: Cho đường tròn  O đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn ( C khác A và B) Kẻ

CH AB Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của  O tại M, MB cắt CH tại K.

a, Chứng minh OI AC và ABC vuông tại C

b, Chứng minh MC là tiếp tuyến  O .

c, Chứng minh K là trung điểm của CH

Bài 26: Cho đường tròn O R;  và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

( B là tiếp điểm) Kẻ dây BCAO tại H

a, Chứng minh OH là tia phân giác BOC và AC là tiếp tuyến của  O .

b, Kẻ đường kính BD của  O , kẻ CK BD Chứng minh BK BD 4R2

K M

I

H

C

BO

Bài 27: Cho đường tròn  O đường kính AB2R Gọi I là trung điểm của OB Qua I kẻ dây CD

vuông góc với OB Tiếp tuyến của  O tại C cắt AB tại E.

a, Chứng minh OI OE R  2

b, Chứng minh ED là tiếp tuyến của  O .

c, Gọi F là trung điểm của dây AC Chứng minh ba điểm D, O, F thẳng hàng

Bài 28: Cho đường tròn  O dây AB Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của

đường tròn tại C

a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn

b, Vẽ đường kính BOD Chứng minh AD // OC

c, Cho biết bán kính của đường tròn là 15cm, AB24cm Tính OC

O C

Bài 29: Cho ABC nội tiếp đường tròn O R;  đường kính BC H là trung điểm của AC Tia OH cắt

 O tại M Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O cắt tia OM tại N.

a, Chứng minh OM // AB

b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của  O .

Bài 30: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AB, Lấy C nằm trên nửa đường tròn  O Gọi K là trung

điểm của dây cung BC, Qua B dựng tiếp tuyến với  O cắt OK tại D

a, Chứng minh DOBC

b, Chứng minh ABC vuông

c, Chứng minh DC là tiếp tuyến  O .

d, Vẽ CH AB tại H, Gọi I là trung điểm của CH Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O cắt BI

N

M

H A

Bài 31: Cho đường tròn O R; , đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến  d và  d với

đường tròn Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng  d ở M và cắt đường thẳng  d ở P Từ O vẽ tia

vuông góc với MP và cắt đường thẳng  d ở N.

a, Chứng minh ABC vuông và BA2 BC BM

b, Gọi K là trung điểm của MA Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn  O .

c, KC cắt tiếp tuyến tại B của  O tại D Chứng minh KOD vuông.

d, Xác định tâm của đường tròn nội tiếp BCD

y x

I

P

M

BO

A

N

D

K M

C

Bài 33: Cho đường tròn  O đường kính AB Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của  O Trên Ax lấy điểm M

( M khác A), Từ M vẽ tiếp tuyến MC của  O ( C là tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AC

Đường thẳng MB cắt  O tại D ( D nằm giữa M và B)

a, Chứng minh OM AC tại H

b, Chứng minh MD MB MH MO.  . và MHD MBA 

c, Gọi K là trung điểm của BD Tiếp tuyến tại B của  O cắt OK tại E

Chứng minh A, E, C thẳng hàng

Bài 34: Cho B, C là hai điểm trên đường tròn O R;  Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt

đường phân giác BOC tại A H là giao điểm của AO và BC.

a, Chứng minh BOH vuông và OB2 OH OA

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của O R; .

c, CD là đường kính của O R;  Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt CB

tại F Chứng minh ODF  900

F

E

D B

Bài 35: Cho điểm C thuộc đường tròn  O đường kính AB sao cho ACBC Gọi H là trung điểm của

BC Tiếp tuyến tại B của  O cắt OH tại D.

a, Chứng minh DH DO DB  2

b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn  O .

c, Đường thẳng AD cắt  O tại E Gọi M là trung điểm của AE Chứng minh D, B, M, C cùng

thuộc một đường tròn

d, Gọi I là trung điểm của DH, BI cắt  O tại F Chứng minh A, H, F thẳng hàng.

Bài 36: Cho đường tròn  O đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn  O ( C không trùng với A

và B) Gọi I là trung điểm của AC Gọi D là giao của tia OI và tiếp tuyến  O tại A.

a, Chứng minh ABC vuông

b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của  O và DC2 DI DO

c, Tia phân giác BAC cắt BC tại E và cắt  O tại F ( F không trùng với A)

Chứng minh FA FE FB  2

F E

D

C

F

I E

D

C

Bài 37: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Biết BH 9cm HC, 16cm và

b, Vẽ đường tròn B BA;  Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.

c, Tia AH cắt  B tại D ( D khác A) Vẽ tiếp tuyến Dx của  B với D là tiếp điểm Chứng minh

Dx đi qua C

d, BC cắt  B tại E Chứng minh AE là tia phân giác HAC và EG.tanABC EC sinABC

Bài 38: Cho đường tròn O R;  Điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường

tròn ( A là tiếp điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn  O tại C và D ( C nằm giữa M và

D) Gọi I là trung điểm của dây CD Kẻ AH MO tại H

a, Tính $OH.OM$ theo R

b, Chứng minh A, M, I, O cùng thuộc một đường tròn

c, Gọi K là giao điểm của OI với HA Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn O R; .

D A