PHÂN DẠNG TOÁN 9 CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC

Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền.b.Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoạitiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.. CÁC DẠNG BÀI TẬP

BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG

TRÒN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Tập hợp các điểm M cách đều điểm O cho trước một khoảng khôngđổi bằng R là đường tròn tâm O bán kính R Kí hiệu (O ; R) hoặc (O)

OM = R  M  (O ; R)oooo 2.a.Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đườngtròn

b.Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếptam giác đó Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn Tâm của đườngtròn này là giao điểm của hai hay ba đường trung trực của tam giác đó

3.a Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền.b.Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoạitiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

4.Đường tròn là hình có tâm đối xứng Đó là tâm của đường tròn đó.5.Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào củađường tròn

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường

tròn Phương pháp giải:

Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó

Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu ABC 900 thì B thuộc đường tròn đường kính AC

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD

a)Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn

b)Cho AB = 10cm và BC = 6cm Tính bán kính của đường tròn trên.

HD:

Xét tam giác ABD có M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC

 là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Gọi O là giao điểm của MP và QN

Do MNPQ là hình chữ nhật nên OM OP OQ ON  (tính chất hình chữ nhật)

; ; ;

M N P Q

 cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OM (đpcm)Bài 3: Cho ABC đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.Chứng minh rằng bốn điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn HD:

Xét tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC

MN

 là đường trung bình của tam giác ABC

 4 điểm M , P, C, B cùng thuộc đường tròn tâm N bán kính NB.

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và Dnằm trên một đường tròn

     cùng thuộc đường tròn tâm O

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có C D  900 Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

AB, BD, DC, CA Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên 1

đường tròn

Q N

M

E

B A

Xét tứ giác MNPQ, ta có:

/ // /

Ta có: C D  900 E 900

Lại có :

// /

Bài 6:Cho hình thoi ABCD có A  600 Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của cáccạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên

1 đường tròn

HD:

Xét tứ giác EFGH, có:

/ // /

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

60

O

F E

D

C B

A

Bài 7: Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC Hạ MD, ME theo thứ

tự vuông góc với AB, AC Trên tia đối của tia DB và EC lần lượt lấy các điểm I,

K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK Chứng minh rằng B,

    

vuông tại I( ; )

I O BC

 

E D

K I

B

A

ME là trung trực của CK

1 2

vuông tại K  K( ;O BC)Vậy B I C K, , , O BC; 

Bài 8: Gọi I, K theo thứ tự là các điểm nằm trên AB, AD của hình vuông ABCD sao cho AI = AK Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI ở P và cắt BC ở Q Chứng minh rằng C, D, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn

7

1

P K

I

B A

H

J I

F

E A

Ta có tứ giác IJKL là hình bình hành (dhnb)

Mà ILK  900   IJKLlà hình chữ nhật có hai đường chéo là LJ và IK

Xét tam giác vuông ELJ vuông tại E

1

OJ 2

a Kẻ NH vuông góc với BD tại H

Xét tam giác DOC, có:

1

1 2

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, OA  2cm.

Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm Hãy xác định vị trí của năm điểm A, B, C,

     ABlà bán kính của đường tròn tâm A

Ta thấy: ABAD  2 R  B, D thuộc đường tròn A; 2

Có: AC 2AO2 2 2  C nằm ngoài đường tròn A; 2

2 2

AO    Onằm trong đường tròn A;2

Alà tâm đường tròn A; 2 nên A nằm trong đường tròn A; 2

Bài 12: Cho ABC nhọn Vẽ (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, ACtheo thứ tự ở D và E

a)Chứng minh: CD  AB và BE  AC

b)Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh: AK  BC

Nên tam giác BDC vuông tại D  CDAB

Chứng minh tương tự ta có: tam giác BEC vuông tại E  BEAC (đpcm).b) K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác

ABC  AK BC.Bài 13: Cho ABC có đường cao AH Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ

MD  AB và ME  AC Chứng minh: năm điểm A, D, H, M và E cùng nằm trênmột đường tròn

HD:

Xét t/giác ADM vuông tại D; tam giác AME vuông tại E; tam giác AMH

a)Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ?

b)Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh: AH = 2OI

c) Gọi G là trọng tâm của ABC Chứng minh: O, H, G thẳng hàng

d)So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG

HD:

a)H là trực tâm của tam giác ABC  BH vuông góc với AC.

Mà DCAC (Do ACDcó AD là đường kính nên AC D 900)

BH CD

H là trực tâm của tam giác ABC  CH vuông góc với AB

Mà DBAB (Do ABDcó AD là đường kính nên AB D 900)

 Icũng là trung điểm của HD.

Mà O là trung điểm của AD

OI

 là đường trung bình của tam giác ADH

12

OI

 vuông góc với BC.Gọi Glà giao điểm của AI và OH

d)Ta có G là trọng tâm của

D

AGO AHG

S GO

Bài 15: Ba đường cao AD, BE, CF của ABC gặp nhau tại H Gọi I, K, L lần lượt

là trung điểm của AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB,

HC Chứng minh:

a)Các tứ giác INPL và MLKN là các hình chữ nhật

b)9 điểm D, E, F, L, I, K, M, N và P cùng nằm trên một đường tròn (đường

tròn Euler)

HD:

gặp nhau tại H Gọi I, K, L lần lượt là trung điểm của AB,

a)Xét tam giác ABC có I , L lần lượt là trung điểm của AB và AC

IL

 là đường trung bình của tam giác ABC

12

NP

 là đường trung bình của tam giác HBC

NP BC BC

Ta lại có D thuộc đường tròn đường kính MK

E thuộc đường tròn đường kínhNL

F thuộc đường tròn đường kínhIP

 9 điểm M , N , P, K, L, I, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính NL

Nhận xét: Trong tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao cùng

thuộc 1 đường tròn  O và đường tròn  O cùng đi qua trung điểm của cácđoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trực tâm tam giác (Đường tròn Euler)

Dạng 2: Xác định tâm đường tròn đi qua 3 điểm Phương pháp giải: Ta có tâm của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C không

thẳng hàng là giao điểm của các đường trung trực

Baì 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a

a)Chứng minh: bốn đỉnh A, B, C và D của hình vuông trên cùng nằm trênmột đường tròn

b)Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

HD:

a) Gọi O là giao điểm ACcủa hai đường chéo và

Ta có: OA OB OC OD   nên các đỉnh của hình vuông ABCD cùng nằm trên đường tròn O OA; 

b)Tâm của đường tròn là O Xét OAB vuông tại O, ta có:

a

OA 

.Bài 2: Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và AC tại F Chứng minh rằng E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ABD

b Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh rằngAH  2OI

c Gọi G là trọng tâm của ABC, chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của AHD

HD:

a Ta có ABD nội tiếp đường tròn (O;AD);ADC

nội tiếp đường tròn (O;AD)

I

H F

E

D

C B

A

ABD ADC

   vuông tại B và C

/ / / /

(cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

AO a

.Bài 5: Cho (O ; 4cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Dây AMcủa (O) cắt bán kính OC tại I Cho biết OI = 3cm Tính AM và đường cao MHcủa AMB

Do tam giác MBA nội tiếp đường tròn  O và có BA là đường kính

Nên tam giác MBA vuông tại M

Xét tam giác AIO và tam giác ABM có:

5 25

AM IO MH

Ta có: AH cắt đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC tại D

Ta có: AB AC và OB=OC=R, vậy OA là đường trung trực của

BC OABC, mà AH BC, vậy A O H D; ; ; thẳng hàng Vậy AD là đường kính của  O

Tam giác ACD có AD là đường kính nên ACD  90

Suy ra: AD 13cm.Bán kính của đường tròn  O bằng 6,5cm

Bài 7: Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đườngtròn (O) ở D

a)Chứng minh: AD là đường kính của đường tròn (O)

b)Tính ACD.

c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm Tính AH và bán kính của (O)

HD:

a)Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC

Do đó AD là đường trung trực của BC

Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên O nằm trên AD

Vậy AD là đường kính của đường tròn  O

b)Tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên ACD  90

AC AD AH

a)I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, M, N.

b)Đường tròn (I) nói trên đi qua một điểm cố định khác A HD:

a)Xét tam giác AIN có IE AN; E là trung điểm của AN

IE

 vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

AIN

  cân tại I  IN IA(1)Chứng minh tương tự AIM cân tại I  IA IM (2)

Từ (1) và (2)  IA IN IM

 A; N ; M thuộc vào đường tròn tâm I bán kính IA.b)Kẻ AH vuông góc với BC Lấy A đối xứng với A qua H.Xét tam giác IAA có IH AA, H là trung điểm của AA

Vậy đường tròn  I nói trên đi qua một điểm cố định khác A.

Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn Phương pháp giải: Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn (O;R)

ta só sánh khoảng cách OM với bán kính R theo bảng sau

Vị trí tương đối Hệ thức

M nằm trên đường tròn (O) OM R

M nằm trong đường tròn (O) OM R

M nằm ngoài đường tròn (O) OM R

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(1 ; –1),B(2 ; 1) và

C(– 3; 3) với đường tròn tâm O bán kính 2 (với O là gốc tọa độ)

a)Chứng minh: 4 điểm A, B, D và E cùng nằm trên một đường tròn.

b)Chứng minh: C không thuộc đường tròn trên

ACB ABC 180

    (vô lý)  Giả sử sai

Vậy C không thuộc đường tròn đường kính AB

Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao BM, CN Gọi O là trung điểm của BC

a Chứng minh rằng B, C, M, N cùng thuộc đường tròn (O)

b Gọi G là giao điểm của BM và CN Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngoài đối với đường tròn đường kính BC

b Ta có ABC đều có G trực tâm đồng thời là trọng tâm

a

G

C B

A

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.  

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

HD:

a) Tứ giác OBDC là hình thoi (bốn cạnh bằng nhau)

b) Tính được    0

CBOCBDABO30c) Chứng minh ABC cân tại A có  0

ABC60  ABC đều

Dạng 4:Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và số đo

các góc liên quan Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, Cách 2 Dùng định lý Pytago trong tam giác vuông.

Cách 3 Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở AcóAB = 5 cm, AC = 12 cm Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

25

O 5

B

Gọi O là giao 3 đường trung trực của ABC

Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC

Gọi H là giao điểm của AO và BC, ta có: AH 3 cm;

Gọi O là giao điểm của AC và BD, Ta có:

, , , ; 7,5

OA OB OC OD    A B C D O R cm

Bài 4: Cho góc BAC = 60° và điểm B nằm trên tia Ax sao cho AB = 3 cm.

a) Dựng đường tròn (O) đi qua A và B sao cho tâm O nằm trên tia Ay.b) Tính bán kính đường tròn (O)

A

a) Có O là trung điểm của BC.

b) Xét ABC có K là trực tâm  AKBC

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm C di động trên đường tròn, H

là hình chiếu của C trên AB Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH

a Hỏi điểm M chạy trên đường nào?

b Trên tia BC lấy điểm D sao cho CD = CB Hỏi điểm D chạy trên đường nào?

HD:

Gọi EF là đường kính của (O;AB/2) sao cho EF  AB

Xét trường hợp C chạy trên nửa đường tròn cung EBF

Ta có: OMBOHC cgc( ) OMB OHCˆ  ˆ 900

Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB

Chứng minh tương tự ta có khi C chạy trên nửa đường tròn EAF , ta có được M chạy trên đường tròn đường kính OA

b Chứng minh ADB cân tại A  ADAB nên D chạy trên (A;AB)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Gọi

E là giao điểm của CM và DN

a Tính số đo góc CEN

b Chứng minh A, D, E, M cùng nằm trên 1 đường tròn

c Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E

HD:

a Chứng minh CMBDNC NCE CDNˆ  ˆ  CENˆ 900

b Ta có: A, D, E, M thuộc đường tròn đường kính DM

c Gọi I là trung điểm CD, chứng minh được AI // MC

N M

B A

O

C

B A

- Trong các dậy của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

2 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

- Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây

1 Trong một đ/tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

2 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

3 Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M Biết

AB = 18cm, CD = 14cm, MC = 4cm Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD

HD:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB

Ta có:

9 7

OH  cm OK  cm

Bài 3: Cho đường tròn O R;  có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I Giả sử IA2cm IB, 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

HD:

Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD

Ta có: OH OK 1cm

Bài 4: Cho đường tròn  O và dây CD Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt

 O tại H Tính bán kính R của  O biết CD16cm MH, 4cm

H M

O C

a Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB

b Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN

13

CH AH HA ABC C

D

C

B A

b Bán kính của đường tròn (O) chính là đoạn OD

Ta đi tính độ dài đoạn thẳng OD dựa vào định lý pytago

Bài 8: Cho đường tròn (O ; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn

a)Hãy nêu cách dựng AB nhận M làm trung điểm

a) Dựng đường thẳng qua M và vuông góc với OM cắt đường tròn (O ; R) tại A và B.

Chứng minh M là trung điểm AB

Thật vậy, xét đường tròn (O ; R) có một phần đường kính OM vuông gócvới dây AB nên M là trung điểm AB

b) Xét OMB vuông tại M có: OB2 OM2MB2 (Định lí Pi-ta-go)

Mà R = 5cm, OM = 1,4cm nên 52 1, 42BM2

Suy ra BM 4,8cmnên AB9,6cm

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải:

Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau, đồng dạng với nhau

Dùng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, quan hệ cạnh huyền cạnh góc vuông

Sử dụng tính đường trung bình của tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt

Bài 1: Cho nửa đường tròn  O , đường kính ABvà một dây cung CD Kẻ AE và

BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F Chứng minh:

a) Gọi I là Trung điểm CD CI ID CD

Xét hình thang AEFB, I là trung điểm EF  IEIF CEDF

b) Ta có EAB và FBA bù nhau nên có một góc tù và một góc nhọn

Giả sử EAB   900   EAOcó OE OA R   E ở ngoài đường tròn mà

OE OF

nên F cũng ở ngoài đường tròn

Bài 2: Cho ABC, các đường cao BD và CE Chứng minh:

a)Bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn

Mà đỉnh D,E là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới góc 90

Suy ra tứ giác BEDC nội tiếpHay bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn

b Xét tam giác BED có BE D 90

B BC

Vậy DE BCBài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh: CH = DK.HD:

Mà O là trung điểm của AB

Suy ra M là trung điểm của HK

HM MK

Từ (1), (2) ta có: HC=DK

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại I Gọi

H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh: CH = DK

HD:

M

K

H A

C

D

Bài 5: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằmbên ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đườngtròn.Vẽ dây CD  OI tại I Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?

màIA IB nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 6: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AB Kẻ hai dây AC và BD song song Chứng minh AC BD

Chứng minh: MC  CD và ND  CD

HD:

H

N M

D

Kẻ OH CD

Mà tam giác OCD cân tại O (vì OC O D=R ) nên HC H D

Ta có OA OB R = và AM BN gt( )nên OM ON

Lại có CM / /DN (gt) nên tứ giác CMND là hình thang

Hình thangCMND có HC H Dvà OM ON nên OH là đường trung bình củahình thangCMND Do đó CM / /DN OH/ / mà OH CD(theo cách kẻ) nên MC  CD

và ND  CD

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE Chứng minh:

a) Các điểm B, D, C, E cùng thuộc một đường tròn

b) BCDE

HD:

a) B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BCb) BC là đường kính, ED dây không qua tâm  ĐPCM

Bài 10: Tứ giác ABCD có B D 90   0

a)Chứng minh: bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

b)So sánh AC và BD Nếu AB = CD thì tứ giác ABCD là hình gì ?

HD:

40

B

C O

A