PHÂN DẠNG TOÁN 9 CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến sô

BÀI 1: NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm hàm số

a Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn

xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến sô

b Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức

c Khi y là hàm số của x, ta có thể viết: y = f(x) ; y = g(x) ;

d Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng

2 Giá trị của hàm số, điều kiện xác định của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có

nghĩa

3 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

sao cho x,y thỏa mãn hệ thức: y = f(x)

Nếu x1< x2 mà f(x1) < f(x2) thì y = f(x) đồng biến trên RNếu x1< x2 mà f(x1) > f(x2) thì y = f(x) nghịch biến trên R

Chú ý: Trong quá trình giải toán ta có thể sử dụng kiến thức sau đây để xét tính đồng biến

hoặc nghịch biến của hàm số trên R

2 1

( ) ( )

f x f x T

+) Nếu T < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên R.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm Phương pháp giải: Để tính giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x0,

Bài 1:Tính giá trị của hàm số

 2x = -7 - 3  2x = - 10  x = -5Vậy khi x = -5 thì hàm số có giá trị bằng -7

+) Hàm số dạng phân thức: ( )

( )

A x y

x



HD:

a y x 1 x2 3x2 b 1

4

x y x

22

1

x

x x

x x

x x

x x

Trên tập hợp số thực R cho x hai giá trị tùy ý x1 , x2 sao cho: x1< x2 x1 x2 0

Vậy hàm số đồng biến trên R

Vẽ đường thẳng song song với trục Ox tại điểm có hoành độ yy0

2

A  B  C  

a Biểu diễn điểm A, B, C trên Oxy

HD:

a Biểu diễn điểm M, N, P trên Oxy

2

yf x  x

HD:

b) Các điểm M, N không thuộc, điểm P thuộc đồ thị hàm số

a Vẽ tứ giác ABCD trên mặt phẳng tọa độ

b Gọi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox, Oy là 1cm, tính diện tích tứ giác ABCDHD:

b) Ta thấy ABCD là hình thang vuông đáy AD và BC, chiều cao CD

a Vẽ tam giác ABC trên Oxy

b Tính diện tích tam giác ABC biết mỗi đơn vị trên các trục Ox, Oy cùng là 1m

a) Biểu diễn các điểm K, M, N trên Oxy

b) Điểm nào trong ba điểm trên thuộc đồ thị hàm số 2 1

a) Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ

b) Tính diện tích tam giác ABC nếu coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox, Oy là 1m

HD:

b

2 2

a Hãy tìm miền xác định của hàm số

b CMR: Hàm số trên là đồng biến trên miền xác định đó

c Trong các điểm A ( 3;4) ; B(8;8) ; C(-2;5) điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số đã cho

1 Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b   , trong đó a, b

2 Các tính chất của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y ax b   xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

Bài 1:Các hàm số với biến x dưới đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất, hàm số nào không phải, nếu

x y

m m

Bài 9:Chứng minh rằng các hàm số sau là hàm số bậc nhất với mọi giá trị của tham số m

a Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

b Biết f(2) = 0, hàm số đồng biến hay nghịch biến

c Biết f(-1) = 8 , hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bài 13:Cho hàm số f x 3x21 Chứng minh rằng yf x 1 f x  là một hàm số bậc nhất HD:

Ta có f x 1 3x 7 3 x1 4  y f x   3x 4

Dạng 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất Phương pháp giải: Xét hàm số bậc nhất y ax b a   0

+) Đồng biến trên R khi a > 0

+) Nghịch biến trên R khi a < 0

Bài 1: Các hàm số bậc nhất sau đồng biến hay nghịch biến

m n

Với 3

2

22





212

m m

a Chứng minh rằng hàm số là hàm số bậc nhất và nghịch biến trên R

a Chứng minh rằng hàm số là hàm số bậc nhất và đồng biến trên R

a) Hàm số là đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?

Bài 2: Cho hàm số yf x( ) (3  2)x2

a Hàm số đã cho đồng biên hay nghịch biến trên R? Vì sao?

a Hàm số trên có là hàm số bậc nhất không? Nếu có chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến?

m m

b) Vì hàm số đồng biến và 2 1   0,001 f  2 1   f  0,001

BÀI 3: ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax+ b ( a0) I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đồ thị của hàm số bậc nhất

(b gọi là tung độ gốc của đường thẳng)Cắt trung tung tại điểm có tung độ bằng bSong song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0Trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

2 Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a0)

Nếu b = 0 ta có: d: y = ax đi qua gốc tọa độ O (0;0) và đi qua điểm A ( 1;a)

Nếu b ≠ 0 thì ta làm như sau:

Chú ý: Nếu điểm A và B có tọa độ không nguyên, thì ta nên chọn điểm khác có tọa độ

nguyên sẽ dễ xác định hơn và việc vẽ đồ thị sẽ chính xác hơn

Đối với hàm số có chưa dấu giá trị tuyệt đối, ta xét dấu giá trị tuyệt đối rồi đưa hàm số về

Chú ý: Tia AB là một phần đồ thị (1) ứng với x 1 Tia AC là một phần của đồ thị (2) ứngvới x 1

4 3 2 1

4 3 2 1 -2 -1

x x x y

x x



 HD:

   

3 2 2

Đồ thị hàm số là đường thẳng PQ trừ hai điểm P   và  2; 1 Q1;2.

Bài 5: Cho hàm số bậc nhất y = ax + 5

a) Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-2; 3)

b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a)

b) Gọi toạ độ giao điểm của đồ thị các hàm số với các trục toạ độ là A và B, giao điểm của

b) Sử dụng công thức tính độ dài để tính các đoạn thẳng:

2

AEB

Với: OE = | 2| = 2

Bài 7: Cho ba đường thẳng y = - x + 1 ; y = x + 1 ; y = -1

a Vẽ ba đường thẳng trên cùng một hệ trục toạn độ Oxy

b Gọi giao điểm của đường thẳng y = - x + 1 và y = x + 1 là A , giao điểm của y = - 1 với hai đường thẳng y = - x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C Tìm tọa độ các điểm A, B, C

c Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC

HD:

a

8 6 4 2

-2 -4 -6

c Gọi giao điểm của d1 với Ox, Oy theo thứ tự là A và B Gọi giao điểm của d2 với Ox là C.Tính diện tích tam giác BMC

HD:

a

8 6 4 2

-2 -4 -6

tại B và C Tìm tọa độ các điểm B và C

HD:

a

6 4 2

-2 -4 -6

H C

B

A

y=2,5

y=-0,5x+1 y=x+2

Cách 1: Dùng phương pháp đồ thị (thường sử dụng trong trường hợp d và d’ cắt nhau tại

điểm có tọa độ nguyên)

Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm trên hình vẽChứng tỏ tọa độ giao điểm đó cùng thuộc d và d’

Cách 2: Dùng phương pháp đại số

Từ phương trình hoành độ giao điểm, tìm được x và thay vào phương trình của d (hoặc d’) để tìm y

Kết luận tọa độ giao điểm của d và d’

Bài 1:Cho đường thẳng d1 : 2x y 3và  d2 : 4x2y5 Tìm tọa độ giao điểm của hai đườngthẳng

giao điểm của d và d’

HD:

Thay tọa độ I vào d và d’ thấy thảo mãn Vậy I là tọa độ giao điểm của d và d’

2

thị

HD:

giao điểm của d và d’

HD:

Bài 1:Cho hàm số ym1x m có đồ thị là đường thẳng (d)

b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm m có tung độ

m  , thì (d) và (d’) cắt nhau tại điểm 2;5 cố định.

Dạng 3: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư của hệ tọa độ Oxy

Phương pháp giải:

Xét hai đường thẳng y1a x b d1   1 ;y2 a x b d2   2

0

0 0

x y

+ Điểm M x y thuộc góc phần tư thứ hai  0; 0 0

0

0 0

x y

x y

x y

nhau tại một điểm

a) Thuộc góc phần tư thứ ba

b) Thuộc góc phần tư thứ tư

HD:

2

0 2

1

0 2

a) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất

b) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2 là:

10

0 4

4

0 4

HD:

m2 2m x 3m m m 2x 3m

d và d1 cắt nhau tại 1 điểm bên trái trục tung  

0

02

Dạng 5: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục hoành Ox Phương pháp giải:

Xét hai đường thẳng y1a x b d1   1 ;y2 a x b d2   2

hoành

Dạng 6: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm trên trục hoành Oy Phương pháp giải:

Xét hai đường thẳng y1a x b d1   1 ;y2 a x b d2   2

Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy

HD:

Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy

HD:

Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên Oy  m 1 2m1 m2 (khôngthỏa mãn điều kiện *)

Vậy không tồn tại giá trị của m

1

e) Nằm trong góc phần tư thứ hai

f) Nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

HD:

Ta có  d1 :y3x52m  d1 :y3x15 2 m

 d2 :y2x m  3  d2 :y2x 3 2m

3x15 2 m2x 3 2m x12 4 m

Điểm A nằm trên trục hoành

Dạng 7: Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ (tung độ) bằng h

Phương pháp giải:

Xét hai đường thẳng y1a x b d1   1 ;y2 a x b d2   2

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng h:

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng h

HD:

Vậy m  thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.2

HD:

0 0 5 0 0 10 0

x y  x y  HD:

Dạng 8: Tìm tham số m để tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là các số nguyên Xác định

điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn điều kiện bài cho.

Phương pháp giải:

Bước 1:Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Bước 2:Tìm tọa độ giao điểm x, y theo m

Bước 3:Dùng tính chất chai hết để tìm m, đối chiếu với điều kiện và kết luận

cho tọa độ của M là các số nguyên

Tìm điểm M trên AB (M khác A và B) sao cho điểm M có hoành độ số nguyên, tung độ là các sốnguyên tố

x y

Vậy M  1;3.

để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A có tọa độ nguyên

tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho A, B có tọa độ nguyên

trên đoạn AB sao cho điểm C có tọa độ nguyên

2

C

x y

Chú ý: Ba đường thẳng đồng quy là ba đường thẳng phân biệt và cùng đi qua 1 điểm

Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng ( phân biệt ) cho trước, ta làm như sau:

+) Tìm tọa độ giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng đã cho+) Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thẳng còn lại thì kết luận

ba đường thẳng đó đồng quy

Để tìm tham số m để ba đường thẳng đồng quy ta làm như sau:

 d3 :y mx 2

HD:

 tọa độ giao điểm của  d và 1  d là 2 A 1; 3

Bài 2: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng sau đồng quy:  d1 :y2x7,  2



x

I y

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

HD :

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 Suy ra : x= 3 ; y = 0

Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m =

2

x y

x y

không?

HD:

thẳng trên đồng quy

HD:

Gọi I d1d2  I7; 11 

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán

a Chứng minh rằng ba đương thẳng trên đồng quy

b Tìm ma sao cho 4 đường thẳng d1; d2; d3 và d: y = mx + 1 đồng quy

Bài 9: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy

5

m

a Tìm điều kiện của tham số m để hàm số luôn nghịch biến

b Tìm m để d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3

Bài 11: Tìm k để ba đường thẳng sau đồng quy trong mặt phẳng tọa độ  d1 :y x 2,  d2 :y 2

k k

c) Tìm m để ba đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm

2 3

d y  m  x m

b) Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại 1 điểm

Bước 1: Tìm A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy

OH OA OB

Bài 1:Cho hàm số y = ax + b

a Xác định a và b biết rằng đồ thị hàm số trên đi qua M ( 2;3)

b Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a

c Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng tìm được ở câu a

HD:

b

6 4 2

-2 -4 -6 -8

H

B A

O

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng

37

OA OB OH

-2 -4 -6 -8

I K

C

H O B A

b Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, Oy Cắt d lần lượt tại C (3;40 và B(0;-2)

Bài 1:Cho đường thẳng  d y: 3x1 Tính khoảng cách từ điểm A2;3 tới đường thẳng (d)

đường thẳng bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m

5HD:

0 0

0(0; 2)2

x

I y

b) Giả sử ta có d trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Cách 1:Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu của M lên (d) thì khoảng cách là OK

a) Xác định những điểm A thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng (d)bằng 7

b) Xác định những điểm B thuộc trục Oy sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d)bằng 4

thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng (d’) bằng 3

HD:

Ta có  d y x:   2  d x y  2 0 và  d' :y    x 3 x y 3 0

Điểm A thuộc đường thẳng (d), nên A a a  ; 2

Cách 2:Tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ là A và B

Bài 10:Cho hai đường thẳng  d' : y mx 3m2.Tìm m để khoảng cách từ B2; 3  đếnđường thẳng (d’) lớn nhất

cắt đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2, theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.HD:

1 Khái niệm điểm cố định: Điểm M ( x0; y0 ) là điểm cố định của (d): y = ax +b

( a, b phụ thuộc vào tham số m , a ≠ 0) khi và chỉ khi điểm M luôn thuộc (d) với mọi điều kiện của tham số m

2 Cách tìm điểm cố định

Biến đổiy0 ax0b về dạng A x y m B x y( ;0 0)  ( ; ) 00 0  Hoặc A x y m( ;0 0) 2B x y m C x y( ; )0 0  ( ; ) 00 0 

0 0

( ; ) 0( ; ) ( ; ) 0

3 Chú ý: Cách tính khoảng cách từ A ( x1 ; y1 ) đến B ( x2 ; y2 ) trên hệ trục tọa độ Oxy

HD:

mọi m)

cố định

HD:

Gọi M x y là điểm cố định mà đường thẳng đi qua  0; 0  2x0 m1 y0  1, m

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

;2

1 



)

Bài 6:

a Chứng minh điểm 1

( ; 3)2

(1 2 )

2

y  m x m 

luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m

b Cho đường thẳng d: y = (2m+1)x + m – 2 với m là tham số Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m

HD:

2

mà d luôn đi qua với mọi m hay không?

trị của tham số m

HD:

a Thay tọa độ K vào (d) không thỏa mãn Vậy K không là điểm cố định của (d)

b Tìm được ( -3 ; 7 ) là điểm cố định đường thẳng luôn đi qua

Bước 2:Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’):

 0,   0, 

f x m g x m  tìm x0 theo tham số m

Bước 3:Thiết lập hệ thức giữa x0 và y0 không phụ thuộc vào m Hệ thức này là phương

trình đường thẳng càn tìm

Đường cố định là đường tròn

Bước 1:Tìm điểm cố định M, N của mỗi đường thẳng

Bước 2:Chỉ ra góc tạo bởi hai đường thẳng luôn không đổi với mọi m Khi đó giao điểm củahai đường thẳng luôn nhìn MN cố định dưới một góc không đổi nên luôn chạy trên đường tròn(cung tròn )

điểm của hai đồ thị hàm số trên luôn chạy trên một đường thẳng cố định

HD:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là:

Từ

0 0

đổi, giao điểm của hai đồ thị hàm số trên luôn chạy trên một đường thẳng cố định

HD:

Gọi A x y là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) 0; 0

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là:

đổi Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

Nên    d1  d2

Vậy    d1  d2 tại điểm K với mọi m, nên MKN 900

52

Ta có các trương hợp sau xảy ra

+ Viết phương trình đường thẳng AM, rồi áp dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng

để tì giá trị của tham số m

Bài toán 2:Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) lớn nhất (nhỏ nhất)Phương pháp cơ bản:

Cách 1: Phương pháp hình học

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy; H là hình chiếu vuông góc của O trên d

Từ đó tìm điều kiện của m để OH đạt giá trị lớn nhất

Cách 2: Dùng phương pháp điểm cố định

Tìm được I là điểm cố định mà d luôn di qua

số m

nằm trên trục Oy thì ta làm như sau

+ Gọi B là giao điểm của (d) với trục hoành

d O

Trường hợp 2: Nếu m  0 d cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A(2m 1;0); (0; 2B m 1)

1

m OH

Cách 2: Gọi I là điểm cố định của d Ta tìm được I ( 2;-1)

Với mỗi m, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = mx + 2 ( m là tham số )

a Tìm điểm cố định I mà d luôn đi qua với mọi m

b Tìm m để khoảng cách từ O đến d lớn nhất

5

