PHÂN DẠNG TOÁN 9 CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC

CÁC DẠNG BÀI TẬPs Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông t Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB,

bằng tích cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnhhuyền

r) II CÁC DẠNG BÀI TẬP

s) Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

t) Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao

AH, nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB,

HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại

u) Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình vẽ sau

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:

ab) Dùng định lý pytago tính được:

7 4

1

y x

B

A

aq) *) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm)

ar) *) AH.BC = AB AC Suy ra: AH 25 = 15 20 ⇒

AH = 300: 25 = 12(cm)

ax) c) Tính CH, BC, AC, AH?

ay) +) AB2 = BC BH Suy ra: 62 = BC 3,6⇒

bi) +) AH2 = BH CH Suy ra: 7,22 = BH.9,6 ⇒

bs) +) AB2 = BC BH = 25 9 = 225⇒

AB = 15(cm)

bt) +) AC2 = BC CH = 25 16 = 400⇒

AC = 20(cm)

bu) Bài 3: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ),

A

ci) Bài 4: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: AC =

B

A

cs) Bài 5: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: BH =

db) Bài 6: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ) Biết AB :

dm)Bài 7: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ) Biết

dq) HD:

dr)

ds) Làm tương tự, ta tính được: BH =50cm CH, =72cm

dt) Bài 8: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), AB = 12cm , AC = 16cm, phân giác AD Tính độ dài đoạn HD

ef) Bài 9: Cho ∆ABC

vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm, phân giác

16 12

D

B

A

et) HD:

8 6

N

x

M A

C B

ff) +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vuông tại H ta

fh) Bài 11: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh gócvuông là 1cm, còn tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền4cm Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

fu) HD:

B A

gv) Bài 14: Cho một tam giác vuông Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3 :

4 và cạnh huyền là 125cm Tính độ dài các cạnh của tam giácvuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

jh) Bài 19: Cho ∆ABC, đường cao AH

a) Cho AH = 16, BH = 25 Tính AB, AC, BC, CH

b) Cho AB = 12, BH = 6 Tính AH, AC, BC, CH

kb) Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥BN

kc) Suy ra tam giác BMN vuông tại B

kd) Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

AB AN AM

cm

kg) Bài 21: Cho ∆ABC vuông ở A, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao

AH, trung tuyến AM

kl) Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

km) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB BH BC

cm (M là trung điểm của BC)

kz) ⇒AC=2HN =40

cm

la) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

lb) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

mh) Tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = BC =CD =DA=a

mi) ∆ABD vuông tại A Theo định lý Py ta go ta có:

BC =

1 4

AC =

1 5

my) +)∆IJK vuông tại I vì theo định lý pytago đảo

ni) Theo định lý pytago đảo suy ra ∆ABC vông tại A

nj) Vậy góc đối diện với cạnh có độ dài 13 là

và

5

5 m 7

Tính các kích thước của hìnhchữ nhật

nl) HD:

nm)

nn) Gọi E là giao điểm tia phân giác góc B với AC

no) Theo giả thiết ta có : AC = AE + EC

ny) Bài 1: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ) Tính

of) +) Chu vi ∆ABC= AB BC CA+ + =3 13 2 13 13 13 5 13(+ + = + cm)

og) Bài 2: Cho ∆ABC

vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), biết

or) Gọi P1; P2; P3 lần lượt là chu vi của tam giác AHB, CHA và ABC

suy ra:

1 2

oy) Vậy nếu P1=30cm, P2 =40cm thì P3 =50cm

oz) Bài 4: Cho ∆ABC vuông ở A có AC = 20cm, chiều cao AH = 12cm.Tính diện tích ∆ABC

pg) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.

ph) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

) có hai đường chéo AC

và BD vuông góc với nhau tại H Biết HD = 18 cm, HB = 8 cm tínhdiện tích hình thang ABCD

pv) Bước 1: Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng

có trong hệ thức

pw) Bước 2: Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao

px) Bước 3: Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.

py) Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao CH Chứng minh rằng:

tam giác vuông HAC , theo định lý pytao ta có:

qy) a Chứng minh CO và Do là phân giác của ACD và BDC

qz) b Chứng minh tam giác MAB vuông tại M

ra) c Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật

A

rd) f Cho MBA = 300, tính AC và BD theo a

re) g Xác định vị trí của C để cho: tan CDB. ˆ =3

rm) a Từ giả thiết suy ra AC P BD vì cùng ^AB

rn) Tứ giác ACDB là hình thang

ro) Gọi I là trung điểm của CD Þ OI là đường trung bình của hình thangACDB

rs) Tương tự: DO là phân giác của góc BDC

rt) b Theo tính chất đường phân giác Þ OM = OA = OB

2

1

H I

F E

d+e) Ta có: AOC + BOD = 900

sg) Bài 4: Cho hình vuông ABCD, gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia

DI và tia cắt CB cắt nhau ở K Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với

sw) Do DM và DK là hai cạnh góc vuông của tam giác KDM , đường cao

không đổi khi I di chuyển trên cạnh AB

ta) Bài 5: Cho ∆ABC có đường cao AH (H nằm giữa B và C) AH = 12cm,

ue) Bài 6: Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 12cm, AC = 16cm.

a)Tính độ dài trung tuyến AM

b)Kẻ đường cao AH Tính chu vi ∆ABH

c)Tia phân giác của góc AMB và góc AMC cắt AB, AC lần lượt ở D và E.Chứng minh: ∆ABC và ∆ADE đồng dạng

BC AM

AB BH BC

cm;

1

62

cm

uy)

8.6242

MDE

S∆

cm2 uz)

2

14

ADE ABC

S S

E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh:

2 2

AB BH

AC = CH

c)

3 3

2 2

BH CH

wj) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

wk) a Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm Tính AB, AC, BC, HC

wl) b Biết AB = 6cm, BH = 3cm Tính AH và tính chu vi của các tam giác vuôn trong hình vẽ

wm) HD:

wn) a) Tính được: AB =7,5 ,cm AC =10 ,cm BC =12,5 ,cm HC =8cm

wo) b) AH =3 3 ,cm P ABC =18 6 3 ,+ cm P ABH = +9 3 3 ;cm P ACH = +9 9 3cm

wp)Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Tính diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH = 9cm

ws) Bài 3: Cho tam giác ABC , biết BC = 7,5cm, AC = 4,5cm, AB = 6cm

wt) a) Tính đường cao AH của tam giác ABC

xb) Bài 5: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Cho biết AB = 15cm,

AD = 20cm, các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O Tính

xj) Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm

xk) a Tính độ dài đoạn thẳng BD

xl) b Vẽ AH vuông góc BD tại H Tính độ dài đoạn thẳng AH

xm) c Đường thẳng AH cắt BC và DC lần lượt tại I và K Chứng minh AH2

xu) Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A cosAH và BK là hai đường cao

Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại B cắt tia CA tại D

xy) b) Sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông BCD và áp dụng câu a

yf) BÀI 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

yg) I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

yh) Cho tam giác ABC vuông tại A

yv) c Khi góc nhọn α tăng từ 00 đến 900 thì:

yw) +) Sin α và tan α tăng

yx) +) Cos α và Cot α giảm

yy) 3 Bảng tỷ số lượng giác của một số góc đặc biệt

0

zd) 60

zg)

2 2

zh)

3 2

zi)

C

zj)

3 2

zk)

2 2

zl)

1 2

zm)

t

zn)

3 3

zu) II CÁC DẠNG BÀI TẬP

zv) Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính

C

aba) -

3 5

SinB=

-

4 cos

5

B=

-

3 tan

4

B=

-

4 3

SinB=

-4 cos

5

B=

-

3 tan

13 A

AH B AB

aci)Bài 6: Tính giá trị của x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) trongmỗi trường hợp sau Biết tanB ≈ 1,072; cosE ≈ 0,188

acj)

A

B

63 ( a )

acm) b) Xét∆DEFvuôngtạiDcó: ED EF= .cosE 16.0,188 3,008≈ ≈ cm

acn)Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, tanB =

5 12

Hãy tính độ dài đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC

act)Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), biết BH = 4cm, CH = 1cm Hãy giải tam giác ABC

acu)HD:

acv)

acw)

acx)

hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

A

adm)Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, có: AB = 10cm, AC = 15cm

adn) a Tính góc B

ado) b Phân giác trong của góc B cắt AC tại I Tính AI

adp) c Vẽ AH vuông góc với BI tại H Tính AH

C B

A

aee) Theo giả thiết ta có:

tan

AH C

aep) Biết

3tan

4

α = Hãy tính:

aez)Bài 15: Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc bằng 600 là

8 Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 600

afn)Bài 17:Cho tam giác ABC có AB a= 5,BC a= 3,AC a= 2

afo) a) Chứng minh tam giác ABC vuông

afp) b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

afq)HD:

afr)

afs)

A

-

66

aga) a) Chứng minh tam giác ABC vuông

agb) b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

α =

,

4 cosC

ahh) Bài 1: Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn

để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có:

ahi) sinα < 1, cosα < 1

ahj)

sin tan

sin

α

α = α

ahp) sinα <1;cosα <1

cos

αα

Sinα =

b

12

os = 13

C α

c

4 tan

4

α =

ain)Bài 4:a) Cho cosα = 0,8 Hãy tìm sinα, tanα, cotα

3 4

Hãy tìm sinα, cosα, cotα

7 3

Hãy tìm sinα, cosα, tanα

Hãytìm sinα, cosα, cotα

Hãytìm sinα, cosα, tanα

α =

b)

40 sin 41

ajs) Bài 7: Biết

2 sin

5

α =

Tính

2 tan 10cos M

5cos 4cot

α − α

=

α + α ajt) HD:

ajw)Bài 8: Tìm góc nhọn α, biết:

ajx) a Sin α = cos α b tan α = cot α

tanα =cotα →tanα =tan(90 −α)⇔ =α 90 − → =α α 45

akb)Bài 9:Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC = 1,2cm, AC = 0,9cm Tính các tỉ số lượng giác của góc B Từ đó suy ra tỉ số lượng giác củagóc A

akf)Bài 10: Cho ∆ABC vuông tại A, Chứng minh rằng:

akw) a)

2sin

3

α =

3tan

4

α =

d)

3cot

NốiAvớiB, ta được·OBA=α

- Lấy B trên Oy sao cho OB=2

Sin B cos B+ = ⇒Sin B+ = ⇒Sin B= ⇒ ⇒B C

amb)Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết AB = 30cm,

amq) b) BH =3cm CH, =4cm⇒AH ⇒AB AC, ⇒SinB SinC,

amr) Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc C = 300, BC = 10cm

ams) a Tính AB, AC

amt) b Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các

đường phân giác trong và ngoài của góc B Chứng minh MN = AB

amu) c Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng Tìm tỷ số đồngdạng

N

M

C B

A

anb) HD:

anc) b Chú ý: Hai đường phân giá của hai góc kề bù vuông góc với nhau

and) c Ta có: BM là phân giác của góc B Từ đó tính được số đo các góc của tam giác MAB

c 1 – cos2α = 2sin2α

ani)anj)ank)

anl)anm)

2α

M H

C B

A

aof)2 Trong một tam giác vuông

aog) Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin góc đối = cạnh huyền nhâncosin góc kề

aoh) Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối hoặc cot góc kề

aoi) Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán

aoj)II CÁC DẠNG BÀI TẬP

aok)Dạng 1: Giải tam giác vuông

b

a c

C B

A

aol)Phương pháp giải: Để giải tam giác vuông ta dùng hệ thức giữa

cạnh và các góc trong tam giác vuông

aom) Chú ý: Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:

aon) +) Gải tam giác vuông khi biết độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc nhọn

aoo) +) Giải tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh

aop) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết:

C B

A

apb) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết:

C B

A

apu) Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

apv)Phương pháp giải: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các

hệ thức trên bằng cách kẻ thêm đường cao

apw) Bài 1: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH Biết HB = 2cm, HC =

aqa) a) Chiều cao CH và cạnh AC

b) Diện tích tam giác ABC

B

aqh) Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = 11cm,

ABC= ACB=

Gọi N làchân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC Hãy tính

thẳng AC

aqj)aqk)

aql)aqm)

aqx)aqy)

b) 77

C B

40°

C H

B A

22 A

arr)Bài 6: Cho ∆ABC vuông tại B, dựng tam giác ACD (B và D nằm khắc

phía đối với AC) Biết

arz)Bài 7: Cho ∆ABC nhọn có đường cao AH và đường trung tuyến AM

.sin 23, 49 cot 19,71

A HC AC

H là trung điểm của AD

ati) Xét tam giác AHB vuông tại H Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh vàgóc trong tam giác vuông ta có:

A

atx)Phương pháp giải: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

vuông để giải quyết tình huống trong thực tế

aty)Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5cm Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ

3

C B

A

auh) Bài 2: Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC

dài 3,5m Hãy tính BCAˆ ( Làm tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất

aui)auj)auk)

aul)HD:

giác vuông ABC, ta có:

ave) Gọi khoảng cách hai bờ sông là AH

avf) Đoạn đường chiếc đò bị nước đẩy xiên là AB

avg) Dong nước đẩy chiếc đò lệch một góc là ·HAB

avp) Giả sử BH là chiều cao cột đèn, AH là bóng cột đèn trên mặt đất

avq) Tia sáng chiếu xuống là BA và góc tạo bởi tia sáng với mặt đất là ·BAH

tường 1 góc MÂN = 300 Chân cái thang thì cách chân tường 1 khoảng là1,5m Tính chiều dài của thang

avt)

avw)

avx)

avz) Chân thang cách chân tường 1,5m: MN =1,5m

Vậy thang dài 3m

của bạn An bằng đoạn thẳng AB = 1,6m Ban An đứng cách cột đèn 6m, cộtđèn tạo với đoạn nối điểm cao nhất của cột đèn và điểm cao nhất của bạn Anmột góc là BDC = 600 Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thậpphân thứ nhất)

điểm D,C của 2 đầu cầu so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt

awq) HD:

awr) Đưa bài toán về dữ kiện hình học: gọi A là điểm biểu diễn chiếc máybay, H là hình chiếu của máy bay trên mặt đất, suy ra AH là độ cao của máybay so với mặt đất: AH =920m

; từ máy bay nhìn ra 2 điểm D,C lần lượt tạovớicác đường vuông góc mặt đất các góc 40 và 30 độ, suy ra AD, AC lần lượttại với mặt đất các góc 50 và 60 độ:

·ADB=50 ,0 ·ACB=600

tại H:

awu)

awv) Vậy chiều dài cây cầu CD bằng 240,81( )m

cây chạm đất và tạo với mặt đất một góc 30 độ Người ta đo được khoảngcách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là 8,5m Giả sử cây tre mọcvuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó? (làm tròn đến chữ

axe) Tam giác ACD vuông tại A có

·

: áp dụng công thứclượng giác:

axi) Vậy cây tre cao 14, 72( )m

axj) Bài 11: Một chiếc máy bay lên cao cách mặt đất 10km trongkhoảng thời gian 2,4 phút Tính vận tốc của máy bay, biết rằng đường bay lên

axo) Đổi đơn vị 2,4 phút = 0,04 giờ = 144 giây

Long, Sa Pa Và chính đợt đi tham quan hè này anh Phương đã được đến với

được từ mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi 1 góc 30°

, sau đó anh tiếp túc dichuyển thêm 954mvề phía chân núi theo đường thẳng, tại đây anh đo được 1

góc bằng 50°

Em hãy cho biết độ cao của núi Yên Tử là bao nhiêu mét?

axs)

mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi 1 góc 30°

và B là điểm khi người đo dichuyển thêm 954mvề phía chân núi theo đường thẳng, tại đây anh đo được 1

góc bằng 50°

, C là đỉnh núi và CH là đường cao của đỉnh núi yên tử

là chiều cao của đỉnh núi yên tử x >0

axy) Bài 13: Từ đỉnh của 1 ngọn đèo hải đăng cao 150 m so với mặt nước

biển, A Phương nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 7 15′° so với đường nằm ngangchân đèn A Phương dự định khám phá hòn đảo với quãng đường ngắn nhất

biết rằng trên tàu còn lại 42ldầu, cứ đi 10m thì tàu tiêu hao 0, 4ldầu Hỏithuyền có ra được đảo với số lượng dầu trên hay không?

axz)HD:

aya)

ayb)

ayc)

ayd) Xét sơ đồ như hình vẽ với A là vị trí hoàn đảo , H là chân ngọn hải

đăng , Cđỉnh ngọn hải đăng với CH =150( )m

ayf) Vì trên tàu A Phương còn lại 42ldầu, cứ đi 10m thì tàu tiêu hao 0, 4l

dầu vậy quảng đường mà tàu A Phương đi được xa nhất là :

( )

42.10 1050

ayg) Vậy thuyển A Phương khổng thể ra được đảo với số lượng dầu trên

cách nhau 600m trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lầnlượt là 480 và 340

ayl)

điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nânglần lượt là 640 và 420 Tính chiều cao của cái bệ

ayv) Theo đề bài, ta có hình vẽ

ayx)

ayz) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: