-1Trờng đại học vinh Khoa toán Hồ Ngọc Hân Về tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Vinh 2007 -2Trờng đại học vinh Khoa toán Về tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm to¸n C¸n bé híng dÉn kho¸ ln PGS TS Phan Đức Thành Sinh viên thực hiện: Hồ Ngọc Hân Lớp: 44A1 Toán Vinh 2007 -3Lời mở đầu Tính ổn định tính chất chủ yếu lý thuyết định tính hệ động lực mà đợc cuối kỷ XIX, công trình xuất sắc nhà toán học Nga A.M Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mô tả hệ phơng trình toán học, ngời ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến nay, tính ổn định đà đợc nghiên cứu phát triển nh lý thuyết toán học độc lập, cã rÊt nhiỊu øng dơng h÷u hiƯu kinh tÕ, khoa học kỹ thuật Đặc biệt, từ năm 60 cđa thÕ kû XX, b»ng sù ®êi cđa lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày đợc quan tâm nghiên cứu ứng dụng vào mô hình điều khiển kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định hoá hệ điều khiển toán Nội dung luận văn giới thiệu phơng pháp toán ổn định Lyapunov, tiêu chuẩn để hệ ổn định ổn định hoá, đặc biệt tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bao gồm: Chơng I: Một số kiến thức lí thuyết ổn định Chơng II: Về tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Qua đây, em xin chân thành cảm ơn dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Phan Đức Thành đà giúp em hoàn thành luận văn Sinh viên thực Hồ Ngọc Hân -4Chơng I: Một số kiến thức lí thuyết ổn định Một hệ thống đợc gọi ổn định trạng thái cân đó, nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống không làm thay đổi hệ thống nhiều so với trạng thái ban đầu 1.1 Các khái niệm Xét hệ thống mô tả phơng trình vi ph©n 0  (t) = f(t, x) x   x(t ) = x  , t≥0 (1) Trong x(t)Rn hàm véc tơ cho trớc Giả thiết f(t,x) hàm thoả mÃn điều kiện cho nghiệm toán cauchy hệ (1) với x(t 0) = x0 , t0 ≥ lu«n cã nghiệm Khi đó, dạng tích phân nghiệm đợc cho bëi c«ng thøc: t x =x ∫f(s, x(s))ds t0 Nếu giả thiết thêm f(t,0) = x = nghiệm tầm thờng hay trạng thái cân hệ Trong trờng hợp đó, ta nói hệ (1) ổn định thay cho nghiệm x = hệlà ổn định Bây ta xét hệ (1) với f(t, 0) = 0, tR+ Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Hệ (1) ổn định ∀ε > 0, t∈R+, ∃ δ (phơ thc vµo ε, t0) cho bÊt k× nghiƯm x(t): x(t0) = x0 thoả mÃn ||x0|| < ||x(t)|| < , t t0 Định nghĩa 2: Hệ (1) ổn định tiệm cận hệ ổn định > cho: nÕu ||x0|| < δ th× -5- lim x(t ) = t →∞ NÕu sè δ định nghĩa không phụ thuộc vào t0, tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) Định nghĩa 3: Hệ (1) ổn định mũ nÕu ∃ M > 0, δ > cho nghiƯm cđa hƯ (1) víi x(t0) = tho¶ m·n x (t ) ≤ M e −δ(t −t ) t t0 , Là nghiệm không hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ theo hàm số mũ Thí dụ: Xét phơng trình vi phân x (t ) =a (t ) x ,t≥0 Trong ®ã a(t): R+R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với ®iỊu kiƯn ban ®Çu x(t0) = x0 cho bëi x (t ) = e x t ) ∫a (τ dτ t 0 - Hệ ổn định t ∞ ∫a( τ )dτ ≤Μμ (t ) 0 Khi đó, hệ ổn định tiệm cËn víi a > ®đ nhá ThÝ dơ: XÐt hệ phơng trình vi phân: 1 1+ x1 = cos t  3x  1x − + 1 °= x2  x2 sin t  Ta cã: − 0   A= 1 , −    2   1   cos t  c(t ) =    sin t    4  Vì (A) = -1/3, -1/2 < nên A ma trận ổn định M=1, =1/2 c(t ) 1 =a < nên hệ ổn định tiệm cận -8- 1.3.2 Định lý 2: Xét hệ (3) A(t) ma trận liên tục theo t Gi¶ sư ∃ M > 0, δ > 0, k > cho: i) e ii) A( s )t δ ≤ e − t k , ∀t, s ≥ Sup A(t ) ≤M + t ∈R HƯ lµ ổn định tiệm cận M < 2k 1.4 ổn định hệ tựa tuyến tính: Xét hệ ° x (t ) = f (t , x (t )) ,t0 (4) Trong f(t,x) : R+xRn Rn hàm phi tuyến tR+ f(t,0) = Có nghiệm thoả m·n x(t0) = x0, to ≥ Trêng hỵp f(t,x) khả vi liên tục x = theo khai triĨn Taylor bËc mét t¹i x = Ta cã: f(x) = Ax+g(x) A= Trong ®ã: ∂f (0) , g ( x) = 0( x ) x 1.4.1 Định lí 1: Xét hệ (4)trong f(t,x)=Ax+g(x) Giả sử A ma trận ổn định g ( x ) =0( x ) hệ ổn định tiệm cận NhËn xÐt: Thay ®iỊu kiƯn ∃ L > 0: g ( x) ≤ x L g ( x ) =0( x ) , xX khẳng định víi L > tho¶ m·n L< ThÝ dơ: XÐt tính ổn định hệ + sin t x1 =  x1 x  − + sin t ° x2 =  x2 x2  Ta cã: b»ng ®iỊu kiÖn: δ k -9 x sin t     g (t , x) =   x sin t    2   −1  Α=  − 2 ,    V× A ma trận ổn định g (t , x ) =  4 x2 sin t  x1 + x2  ≤   2 ⇒ (t , x ) =0( x ) g hệ ổn định tiệm cận 1.4.2.Định lí 2: XÐt hÖ phi tuyÕn ° x = A(t ) x (t ) +g (t , x (t )) , t ≥ (5) Gi¶ sư: i) ∃ k > 0, δ > 0: ii) iii) Φ x) ≤ke ( g (t , x ) ≤ (t ) x L −δ(t −s ) , ∀t ≥ s ≥ , ∀ t ≥ 0, ∀x∈Rn Sup L(t ) ≤ M < + t R k Khi hệ ổn ®Þnh tiƯm cËn 1.5 TÝnh ỉn ®Þnh cđa hƯ víi thời gian rời rạc Xét hệ thống mô tả phơng trình sai phân x(k+1) = f(k, x(k)) , kZ+ (6) Trong đó: f: Z+ x XX hàm cho trớc Các định nghĩa bản: Định nghĩa 1: Hệ rời rạc (6)gọi hệ ổn định với ∀ε > 0, k0∈Z+, ∃δ > (phơ thc vµo k0, ε) cho mäi nghiƯm x(k) cđa hƯ víi ‌ x (k ) < ε , ∀k ≥ k0 x (0) < - 10 Định nghĩa 2: Hệ (6)là ổn định tiệm cận hệ ổn định có số > cho: lim k → ∞ víi mäi nghiƯm x(k) víi x ( k ) =0 x (0) < δ 1.5.1 æn định hệ tuyến tính Xét hệ rời rạc: x(k+1) = Ax(k) , x ∈ R n  + k ∈ Z A ∈ R n×n  (7) Víi x(0) = x0 nghiệm (2) là: x(k) = Akx0 Định lí 1: Hệ rời rạc (7) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau đợc thoà mÃn: i) < q 0 thoả mÃn phơng trình sylvester: ATHA + BTHB H = -E (8) Bài toán 2.9 Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên đa bớc xk +1 = Axk + A1xk −1 + + Ah xk −h + ( Bxk + B1xk −1 + + Bh xk −h )ξk (9) Để giải toán (9) ta đa bớc nh toán (8) x k +1 x   k = (9) ⇔     x k −h +1  A A k E     0   A h  x k   B B  B h   x k     x k −1   0   x k −1  + ξ k                       E  x k − h   0    x k − h  Khi hệ (9) có dạng: y k +1 = (A + Bξ k )y k (9’) NÕu nghiƯm kh«ng hệ (9) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phơng trung bình nghiệm không hệ phơng trình (9) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phơng trung bình Định lí Nghiệm không hệ phơng trình (9) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phơng trung bình ma trận A hội tụ tồn ma trận đối xứng xác định dơng H > thoả mÃn phơng trình sylvester: A T HA + B T HB − H = E (9) 2.5 Tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên - 21 Trong phần ta xét hệ phơng trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên k x i +1 = ∑a j x i- j + σxi −l ξi j=0 , i∈Z (10) Víi ®iỊu kiện ban đầu xi=i, iZ0 Trong i biến rời rạc iZZ0 với Z={0,1,2,} Z0=={-h,,0} h=max{k,l} Giả sử (, F, P) không gian xác xuất, (f iF) iZ dÃy đại số 0, 1, dÃy biến ngẫu nhiên độc lập i dÃy biến ngẫu nhiên phù hợp với fi+1 độc lập với fi , Ei = 0, Ei2 = Định nghĩa Nghiệm không hệ phơng trình (10)đợc gọi ổn định bình phơng trung bình > ∃δ > cho NÕu ϕ = Sup Eϕi2 < δ ⇒ Ex < ε i i∈Z NÕu ngoµi lim Ex i = nghiệm x = (10) đợc gọi ổn định i tiệm cận bình phơng trung bình Trong phần trớc hết sử dụng định lí sau: Định lí Giả sử tồn hàm không âm Vi = V(i,x-h,,xi) iZ thoả mÃn điều kiÖn: EV(0, x −h , , x ) ≤ c1 ϕ E∆Vi ≤ -c2Exi2 , i∈Z Trong ®ã ∆Vi = Vi+1 – Vi c1>0 , c2>0 Khi ®ã phơng trình (10) có nghiệm x = ổn định tiệm cận bình phơng trung bình - 22 Bây chóng ta sÏ thiÕt lËp ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ nghiƯm x = hệ (10) ổn định tiệm cận bình phơng trung bình Đặt x(i) = (x i-k, , xi-1, xi)T b = (0, , 0, σ )T lµ véc tơ cột k+1 chiều Đặt ma trận vuông 0 0  A =   0 ak   a k −1             a0    ak Khi phơng trình (10) viết dới dạng x(i+1) = Ax(i) + bxi-li (11) Đặt U ma trận vuông k+1 chiều có phần tử uk+1,k+1 = 1, phần tử lại Khi ta có định lí sau: Định lí Để nghiệm không phơng trình (10) ổn định tiệm cận bình phơng trung bình Điều kiện cần đủ 2dk+1,k+1 < (*) Trong d phần tử ma trận xác định dơng D thoả mÃn phơng trình Sylvester ATDA D = -U (**) Chứng minh XÐt l Vi = x T (i)Dx(i) + σ d k +1,k +1 ∑x 2−j i j =1 (***) TÝnh gia sè ∆Vi vµ lÊy kú väng, ta cã l  E∆Vi = E x T (i + 1)Dx(i + 1) + σ d k +1,k +1 ∑x i +l- j j=1  [ l  x − x T (i)Dx(i) - σ d k +1,k +1 ∑ i- j  j=  ] = E x T (i)(A T DA − D)x(i) + b T Dbx 2-l + σ d k +1,k +1 E(x - x 2-l ) i i i - 23 = (σ2 d k +1,k +1 - 1)Ex i Bây giả sử điều kiện (*) Khi điều kiện (***)thoả mÃn điều kiện định lÝ Cã nghÜa lµ nghiƯm x=0 cđa (10) ỉn định tiệm cận bình phơng trung bình Điều chứng tỏ điều kiện (*) điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận nghiệm x = phơng trình (10) Giả sử điều kiện (*) không ®óng, tøc lµ σ2dk+1,k+1 ≥ Khi ®ã E∆Vi ≥ 0.Tõ ®ã suy r»ng: i −1 ∑ E∆V j =0 j = EVi − EV0 ≥ Tøc EVi EV0 > Điều chứng tỏ nghiệm x=0 phơng trình (10) ổn định bình phơng trung bình Do điều kiện (*) điều kiện cần tính ổn định bình phơng trung bình nghiệm x = (10) - 24 - Kết luận Khoá luận đà thu đợc kết sau đây: 1) Đà trình bày có hệ thống số khái niệm mét sè tÝnh chÊt quan träng cđa lÝ thut ỉn định hệ phơng trình vi phân tất định, bao gồm nội dung: - Các loại ổn định theo nghĩa Lyapunov - ổn định hệ vi phân tuyến tính - ổn định hệ tuyến tính không dừng - ổn định hệ tựa tuyến tính - ổn định hệ với thời gian rời rạc 2) Đà phát biểu chứng minh đợc mệnh đề tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên: - Theo tiêu chuẩn phổ (bài toán 2.3) - Theo tiêu chuẩn hệ số đại số (bài toán 2.8 toán 2.9) 3) Đà phát biểu chứng minh đợc định lí tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên có dạng: k x i +1 = ∑a j x i- j + σxi −l ξi j=0 , i∈Z - 25 - Tµi liƯu tham khảo Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phúc Cơ sở phơng trình vi phân lí thuyết ổn định NXB Giáo dục 2000 Vũ Ngọc Phát Nhập môn điều khiển toán học NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2001 - 26 - Mục lục Lời mở đầu Chơng I Một số kiến thức lí thuyết ổn định 1.1 Các khái niệm 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ tuyến tính không dừng ổn định hệ tựa tuyến tính 1.4 1.5 Tính ổn định hệ tun tÝnh cđa hƯ víi thêi gian rêi r¹c Chơng II Về tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 2.1 15 Tiêu chuẩn phổ hệ phơng trình sai phân tất định 15 - 27 2.2 Tiêu chuẩn phổ hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 16 2.3 Tiêu chuẩn hệ số đại số hệ phơng trình sai phân tất định 2.4 17 Tiêu chuẩn hệ số đại số hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 21 2.5 Tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình hệ phơng trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên Kết luận Tài liệu tham kh¶o 22 26 27 ... toán ổn định Lyapunov, tiêu chuẩn để hệ ổn định ổn định hoá, đặc biệt tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bao gồm: Chơng I: Một số kiến thức lí thuyết ổn định Chơng II: Về tính ổn. .. k + hệ ổn định tiệm cận Chơng II Về tính ổn định lớp hệ phơng trình sai phân - ngẫu nhiên Các tiêu chuẩn tính ổn định tiệm cận Lyapounov 2.1 Tiêu chuẩn phổ hệ phơng trình sai phân tất định Bài... 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ tuyến tính không dừng ổn định hệ tựa tuyến tính 1.4 1.5 Tính ổn định cđa hƯ tun tÝnh cđa hƯ víi thêi gian rêi rạc Chơng II Về tính ổn định