bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trịnh Đình Chiến Toán tử cauchy và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 60.46.15 Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2007 1 Mục lục Trang Mục lục. 1 Lời nói đầu 2 1. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định 4 1.1 Phơng trình vi phân tất định 4 1.2 Phơng trình vi phân ngẫu nhiên 14 2. Toán tử Cauchy và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính 19 2.1 Quá trình ngẫu nhiên 19 2.2 Nghiệm của hệ phơng trình vi phân tuyến tính tất định 23 2.3 Nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 25 2.4 Toán tử Cauchy và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính. 26 Kết luận . 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết định tính các hệ phơng trình vi phân. Nó đợc bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ 19 bằng công trình xuất sắc của nhà toán học Nga A. M. Liapunov. Cho đến nay, tính ổn định vẫn 2 đợc nghiên cứu và đợc phát triển nh một lý thuyết toán học độc lập đợc ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế, khoa học và kỹ thuật. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ 20, bằng sự ra đời của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đợc quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình kỹ thuật. Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định hóa các hệ điều khiển toán. Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính trên cơ sở dựa vào toán tử Cauchy: ( ) ( , ) , t t t t dX A t X dt f t X dW = + trong đó, A(t) là n nì - liên tục, ( , ) t f t X là hàm vectơ liên tục trên [ ) 0 ; ,t + t W là quá trình Wiener n- chiều. Với mục đích trên luận văn đợc chia thành hai chơng Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định Trong chơng này chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa về tính ổn định nghiệm của một số phơng trình vi phân tất định và phơng trình vi phân ngẫu nhiên đã đợc nghiên cứu nhằm chuẩn bị cho chơng 2. Chơng 2. Toán tử Cauchy và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính Đây là nội dung chính của luận văn, trong chơng này tác giả trớc hết nghiên cứu thiết lập điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính dạng ( ) ( , ) , t t t t dX A t X dt f t X dW = + ổn định tiệm cận bình phơng trung bình và ổn định mũ bình phơng trung bình, sau đó mở rộng cho phơng trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính dạng 1 ( ) ( , ) . m t t i t t i dX A t X dt f t X dW = = + Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn khoa học của TS. Phan lê na. Nhân dịp này tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô và cảm ơn các 3 thầy giáo trong tổ Xác suất thống kê toán đã quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, khoa sau đại học -Trờng Đại học Vinh, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều sai sót, tác giả mong nhận đợc những đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn để luận văn ngày càng hoàn thiện hơn. Đại học Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định Chơng này trình bày những khái niệm cơ bản và một số kết quả chủ yếu đối với tính ổn định nghiệm theo nghĩa Liapunov của các hệ phơng trình vi phân. Nội dung phần này trình bày theo các tài liệu [1] và [2]. 4 1.1 Phơng trình vi phân tất định 1.1.1 Bài toán ổn định Liapunov Xét một hệ thống đợc mô tả bởi phơng trình vi phân ( , ),x f t x = 0 t t 0 0 ( )x t x= , (1.1) trong đó ( ) n x t Ă là véc tơ trạng thái của hệ, : n n f + ì Ă Ă Ă là hàm véc tơ cho tr- ớc. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu oo xtx = )( , 0 t t luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức 0 0 ( ) ( , ( )) t t x t x f s x s ds= + . 1.1.1.1 Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định theo Liapunov (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi số 0, > 0 0t tồn tại số 0),( 0 >= t sao cho bất kỳ nghiệm y(t), oo yty = )( của hệ thỏa mãn < oo xy thì nghiệm đúng bất đẳng thức ( ) ( ) ,y t x t < 0 .t t Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thời gian . 0 tt 1.1.1.2 Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số 0 > sao cho với < oo xy thì lim ( ) ( ) 0. t y t x t = Nghĩa là, nghiệm x(t) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu gần với giá trị ban đầu o x sẽ tiến tới gần x(t) khi t tiến tới vô cùng. 5 1.1.1.3 Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ đợc gọi là không ổn định, nếu với 0,> 0 0t nào đó và với mọi 0 > , tồn tại nghiệm ( ),y t 0 0 ( )y t y = và thời điểm 011 )( ttt >= sao cho: < 00 xy và )()( 11 txty . 1.1.1.4 Định nghĩa. Nếu số trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu 0 t thì tính ổn định (ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều). Nhận xét: Giả sử y = y(t) là một nghiệm của hệ(1.1). Đặt z = x-y khi đó hệ phơng trình (1.1) sẽ đa về dạng quy đổi ( , ),z F z = trong đó ( , 0) 0F = và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đợc đa về nghiên cứu tính ổn định nghiệm 0 của hệ quy đổi. Do đó từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có một nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0, .t + Ă Ta nói + Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ 0, t + > Ă sẽ tồn tại số 0),( 0 >= t sao cho bất kỳ nghiệm x(t): oo xtx = )( thỏa mãn < o x thì < )(tx với mọi . o tt + Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số 0 > sao cho nếu < o x thì .0)(lim = tx t 1.1.1.5 Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, 0 > sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với oo xtx = )( thỏa mãn .,)( )( o tt ttMetx o Tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. 1.1.2 ổn định các hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính 6 ( ) ( ) ( ),x t A t x t = 0 ,t t (1.2) trong đó A(t) là n nì ma trận, A(t) liên tục trong khoảng (0, ). Định lý sau đây cho ta thấy rằng tính ổn định của hệ (1.2) tơng đơng với tính giới nội của tất cả các nghiệm của nó. 1.1.2.1 Định lý. Hệ vi phân tuyến tính (1.2) ổn định khi và chỉ khi mỗi nghiệm x = x(t), ( 0 tt ) của hệ đều bị chặn trên nửa trục 0 .t t < Chứng minh. 1) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ (1.2) là giới nội trên [ 0 , ) (0, )t . Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hoá ( ) [ ( )], jk Y t y t = trong đó EtY = )( 0 (E là ma trận đơn vị). Vì ma trận Y(t) bao gồm các hàm giới nội ( ), jk y t nên nó giới nội, tức là MtY )( với < tt 0 , trong đó M là một hằng số dơng. Ta đã biết mỗi nghiệm x = x(t) của hệ (1.2) đều có sự biểu diễn dới dạng 0 ( ) ( ) ( ).x t Y t x t= Từ đó ta có 0 0 ( ) ( )x t Y t x M x khi 0 x M < = . Suy ra nghiệm bất kỳ của hệ (1.2) ổn định khi t . Vậy hệ (1.2) là ổn định. 2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.2) có một nghiệm z = z(t) không giới nội trên 0 [ , ),t dĩ nhiên ở đây 0 ( ) 0.z t Cố định hai số dơng và . Xét nghiệm 0 ( ) ( ) . ( ) 2 z t x t z t = ì Rõ ràng 0 . 2 x = < 7 Do tính không giới nội của nghiệm z(t) nên đối với một thời điểm 01 tt > nào đó ta có 1 1 0 ( ) ( ) . ( ) 2 z t x t z t = ì > Điều này có nghĩa là nghiệm x = x(t) của hệ không ổn định và do đó hệ (1.2) không ổn định. 1.1.2.2 Định lý. Hệ (1.2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm x = x(t) của nó dần tới không khi t , tức là ( ) 0. t Lim x t + = Chứng minh. 1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.2) ổn định tiệm cận. Do đó đối với nghiệm z(t) bất kỳ của hệ ta có lim ( ) 0 t z t = khi 0 ( ) ,z t < với 0 (0, )t tuỳ ý. Ta hãy xét một nghiệm x(t) tuỳ ý, xác định với điều kiện ban đầu 0 0 ( ) 0.x t x= Xét nghiệm 0 ( ) ( ) . ( ) 2 x t z t x t = ì Suy ra 0 ( ) ( ) ( ) 1 2 x t x t z t= ì . Vì z(t) thỏa mãn điều kiện 0 ( ) 2 z t = < nên ta có ( ) 0. t Lim z t + = Do đó ( ) 0. t Lim x t + = 2) Điều kiện đủ: Giả sử mọi nghiệm x = x(t) của hệ đều có ( ) 0 t Lim x t + = . Khi đó với nghiệm x(t) bất kỳ, ta có ( ) 1x t < khi T<t < . 8 Vì hàm véc tơ x(t) liên tục và bị chặn trên đoạn [ 0 ,t T] hữu hạn nên nó giới nội trên 0 [ , )t + và do đó theo định lý 1.1.2.1. thì hệ (1.2) ổn định, ngoài ra nghiệm tầm thờng của hệ ổn định tiệm cận. Từ đó suy ra hệ (1.2) ổn dịnh tiệm cận. 1.1.3 ổn định các hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng Xét hệ tuyến tính ( ) ( ),x t Ax t = 0 ,t t (1.3) trong đó A là n ì n- ma trận hằng. Nghiệm của hệ (1.3) xuất phát từ trạng thái ban đầu )( o tx cho bởi 0 ( ) 0 , A t t x x e = 0 .t t Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.3), th- ờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov. 1.1.3.1 Định lý. Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là ,0Re < với mọi ( ).A Nh vậy để xét một hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không ta chỉ cần tìm nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ. Đôi khi việc tìm các giá trị riêng của A nếu ma trận A có số chiều lớn là khó (khi đó đa thức đăc trng cũng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trng cũng gặp nhiều khó khăn. Dới đây sẽ giới thiệu một phơng pháp khác của Routh-Hurwitz để xác định tính ổn định của hệ trong nhiều trờng hợp thuận tiện hơn. 1.1.3.2 Định lý. Giả sử đa thức đặc trng của phơng trình vi phân (1.3) đã cho là 1 1 ( ) . n n n f z z a z a = + + + . Khi đó nếu định thức của tất cả các ma trận con chính k D , k =1, 2,, n là dơng thì phần thực của tất các nghiệm của f(z) là âm, tức là hệ đã cho ổn định tiệm cận, trong đó 11 det aD = , 2 det D = 3 1 2 det 1 a a a ữ , 9 1 3 5 2 1 2 4 2 2 1 3 2 3 . . . 1 . . . 0 . . . det det . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . k k k k k a a a a a a a a a a D a ữ ữ ữ ữ = ữ ữ ữ ữ ữ k =1, 2, 3,, n và 0 = r a nếu r > n. Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tơng đơng với sự tồn tại nghiệm của một phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Liapunov dạng ,GHAHA T =+ (LE) trong đó H, G là các ma trận nn ì - chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.3), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm. Theo định lý 1.1.3.1 điều này tơng đơng hệ (1.3) là ổn định tiệm cận. 1.1.3.3 Định lý. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận G đối xứng xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận H đối xứng, xác định duơng. Sau này ta sẽ thấy định lý 1.1.3.1 với sự tơng quan giữa (LE) và tính ổn định của A sẽ đợc áp dụng rộng rãi trong các bài toán điều chỉnh (regulator problems) hoặc quy hoạch tuyến tính toàn phơng (linear quadratic programming) v.v . Đối với các hệ tuyến tính không dừng ( ) ( ),x A t x t = 0 ,t t (1.4) thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy lúc đó không tìm đợc dạng biểu diễn qua ma trận A mà phải qua ma trận nghiệm cơ bản ),( st của hệ. Ta biết hệ (1.4) có nghiệm: ,),()( oo xtttx = 0 ,t t 10