NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG- Các điều kiện cần, các điều kiện đủ, các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm.. Nghiên
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Trang 31 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc.
Cán bộ nhận xét 1: TS Lê Xuân Đại.
Cán bộ nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính.
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 08 tháng 01 năm 2017.
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1 PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng.
2 PGS TS Nguyễn Văn Kính - Phản biện 2.
3 TS Lê Xuân Đại - Phản biện 1.
4 TS Đặng Văn Vinh - Thư ký.
5 TS Huỳnh Thị Hồng Diễm - Uỷ viên.
Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).
PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH
Trang 4II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
- Các điều kiện cần, các điều kiện đủ, các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm.
- Ứng dụng các kết quả đạt được để tìm hiểu tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của mạng nơ ron nhân tạo.
III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016
IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016
V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS PHẠM HỮU ANH NGỌC
Tp Hồ Chí Minh, ngày 4 tháng 12 năm 2016
TRƯỞNG KHOA
Trang 5LUẬN VĂN VÕ TRẦN AN
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy hướng dẫnPGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc – trường đại học Quốc Tế Tp Hồ Chí Minh, đạihọc quốc gia Tp Hồ Chí Minh, người đã luôn tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảngdạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúptôi hoàn thành luận văn
Tôi xin chân thành cảm ơn TS Cao Thanh Tình đã nhiệt tình giúp đỡ, độngviên tôi trong quá trình thực hiện luận văn này
Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong bộ môn Toán Ứng Dụng, khoa KhoaHọc Ứng Dụng, trường đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã hết lònggiảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thànhluận văn của mình
Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp cao học ngành Toán Ứng Dụng khóa
2015 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và quá trình thực hiệnluận văn này
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn
ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gian học tập
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót,rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để bổ sung và hoànthiện đề tài tốt hơn
Xin chân thành cảm ơn
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2016
Học viên cao học
Võ Trần An
Trang 6LUẬN VĂN VÕ TRẦN AN
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu những vấn đề sau:
1 Nghiên cứu tiêu chuẩn tường minh cho tính duy nhất và ổn định mũ của hệphương trình vi phân phi tuyến có chậm
2 Nghiên cứu tiêu chuẩn tường minh cho tính duy nhất và ổn định mũ củanghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm
3 Nghiên cứu mạng nơ ron nhân tạo
Cách tiếp cận của chúng tôi trong luận văn này được dựa trên Định lý Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm
Perron-Kết quả chúng tôi đã thu được các tiêu chuẩn tường minh, đủ đơn giản, mớicho sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn và tính ổn định mũ toàn cục của nó đốivới một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm Đồng thời chúng tôi đã
sử dụng các kết quả mới thu được để áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo
ABSTRACT THESIS
In this thesis, we will research these following subjects:
1 Research explicit criteria for existence, uniqueness and global exponentialstability of general nonlinear differential systems with time-varying delay
2 Research explicit criteria for existence, uniqueness and global exponentialstability of periodic solutions of general nonlinear differential systems withtime-varying delay
3 Research the delayed neural networks
The approach utilized in the present paper is based on the celebrated Frobenius theorem and the comparison principle
Perron-After all, we get new explicit criteria for existence, uniqueness and global ponential stability of periodic solutions of general nonlinear differential systemswith time-varying delay And then the obtained stability criteria are used to studyexponential stability of periodic solutions of delayed neural networks
Trang 7ex-LUẬN VĂN VÕ TRẦN AN
LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Võ Trần An, mã học viên: 1570237, học viên cao học chuyên ngànhToán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2015 -
2017 Tôi xin cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trìnhkhác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là
do chính tôi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp
để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác
Thành phố Hồ Chí Minh, 2016Học Viên Cao Học
Võ Trần An
Trang 8Mục lục
1.1 Một số kiến thức cơ sở 11.2 Sơ lược về các phương trình vi phân có chậm 6
Chương 2 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
2.1 Sự tồn tại duy nhất và ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của mộtlớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm 112.2 Áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo 20
Trang 9JF(x) Ma trận Jacobi của hàm F tại x
det(M ) Định thức của ma trận vuông M
M−1 Nghịch đảo của ma trận vuông M
Trang 10trận vuông M µ(M ) µ(M ) := max{<λ : λ ∈ σ(M )}, hoành độ phổ của ma
trận vuông M C([a, b],Kn) Không gian Banach các hàm liên tục trên [a, b],
nhận giá trị trong Kn với chuẩn kϕk = maxt∈[a,b]kϕ(t)k
C := C([−h, 0],Rn ) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0], nhận
giá trị trong Rn với chuẩn kϕk = maxt∈[−h,0]kϕ(t)k
C + C + := {ϕ ∈ C : ϕ ≥ 0}
Cr Cr := {ϕ ∈ C : kϕk ≤ r}, với r > 0
C(R−,Rn) Không gian véc tơ các hàm liên tục trên (−∞, 0],
nhận giá trị trong RnC(R+,Rn) Không gian véc tơ các hàm liên tục trên [0, +∞),
nhận giá trị trong RnC(R,Rn×n) Không gian véc tơ các hàm liên tục trên R,
nhận giá trị trong Rn×n
Trang 11LUẬN VĂN VÕ TRẦN AN
LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm vàbắt đầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga AleksandrLyapunov (1857-1918):
- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884,Russian),
- General problem of the stability of motion (1892, in Russian)
Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật,các bài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực luôn là những vấn đềtrung tâm trong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật,Toán học, Cơ học, quan tâm nghiên cứu Các hệ phương trình vi phân có chậm
là lớp hệ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật Chúng được sử dụng như
mô hình cho một loạt các hiện tượng trong Vật lý, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm dừng(linear time-invariant differential systems with delay) đã phát triển một cách gầnnhư hoàn chỉnh Tuy nhiên, khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình
vi phân tuyến tính dừng, các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân cóchậm (tuyến tính, hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian (time-varying differentialsystems with delay) khá phức tạp Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn địnhcủa các hệ phương trình vi phân có chậm phụ thuộc thời gian không có nhiều vàthường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính(linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng Nói riêng, không có nhiềutiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các nghiệm tuần hoàn của các hệphương trình vi phân phi tuyến có chậm
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn giản cho
sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn và tính ổn định mũ toàn cục của nó đối vớimột lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm Các vấn đề được đặt ra trongluận văn này là mở và có ý nghĩa khoa học; các kết quả mong đợi là mới và là mộtđóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân cóchậm Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương và danh mục tài liệu tham khảo
Trang 12LUẬN VĂN VÕ TRẦN AN
Cấu trúc của luận văn được trình bày như sau:
Lời nói đầu
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phânphi tuyến có chậm
Kết luận và hướng phát triển
Tài liệu tham khảo
Một cách cụ thể hơn, chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở sẽđược dùng trong chương sau Chương 2 trình bày kết quả chính của luận văn này,
cụ thể tôi trình bày gồm hai phần, phần thứ nhất trình bày một vài tiêu chuẩn ổnđịnh mũ về sự tồn tại, duy nhất và ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phươngtrình vi phân phi tuyến với chậm phụ thuộc vào thời gian (Định lý 2.1.1), một ví
dụ minh họa (2.1.1) , phần thứ hai tôi áp dụng kết quả thu được (Định lý 2.1.1)vào việc nghiên cứu mạng nơ ron nhân tạo (Định lý 2.2.1)
Trang 13Với A = (aij) và B = (bij) trong Rl×q, A ≥ B nếu và chỉ nếu aij ≥ bij với
i = 1, 2, , l , j = 1, 2, , q Đặc biệt nếu aij > bij với i = 1, 2, , l j = 1, 2, , q thì taviết A B thay choA ≥ B Kí hiệu Rl×q+ là tập hợp tất cả các ma trận không âm.Định nghĩa 1.1.1 [29] Cho X là không gian véc tơ trên trường K Ánh xạ
k · k : X →R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = 0;
ii) kλxk = |λ|kxk, ∀x ∈ X, ∀λ ∈K;
iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X.
Giá trị kxkđược gọi là chuẩn của véc tơ x Không gian véc tơX cùng với chuẩn
k · k được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu(X, k · k). Một không gian địnhchuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach
Trang 14Một chuẩn k · k trên Kn được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì kxk ≤ kyk với
x, y ∈ Kn Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng k · k là một chuẩn đơn điệu nếu vàchỉ nếu kxk = k|x|k, với mọi x ∈ Rn. Chú ý rằng, k · k p trên Kn với 1 ≤ p ≤ ∞ làđơn điệu Giả sửk · k1 và k · k2 là các chuẩn xác định trên cùng một không gian véc
tơ X Khi đó, k · k1 và k · k2 được gọi là các chuẩn tương đương nếu tồn tại các sốdươngα và β sao cho αkxk1 ≤ kxk2≤ βkxk1,với mọi x ∈ X.Chú ý rằng, mọi chuẩntrên Kn đều tương đương
Với x ∈ Rn; P ∈Rl×q cho trước, ta định nghĩa: |x| = (|xi|)Tvà |P | = (|pij|) Mộtchuẩnk·ktrên Rn được gọi là đơn điệu nếukxk ≤ kykvới bất kỳx, y ∈Rn, |x| ≤ |y|
Rõ ràng rằng, các p-chuẩn trên Rn:
kxkp = (|x1|p+ |x2|p+ + |xn|p)
1
p , 1 ≤ p < ∞và
kxk∞ = maxi=1,2, ,n|xi|
là các chuẩn đơn điệu
Định nghĩa 1.1.2 [29](Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q,chuẩn của toán tử tuyến tính M :Kq →Kl , x 7→ M x :
kM k := max
x6=0
kM xk kxk = maxkxk=1
kM xk ,được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Chẳng hạn như nếu Kn được trang bị bởi chuẩn k · k 1 thì chuẩn toán tử của
ma trận M = (mij) ∈ Kn×n được cho bởi kM k1 = max
Trang 15LUÂN VĂN VÕ TRẦN AN
Với bất kỳ ma trận M ∈Rn×n hoành độ phổ của M được định nghĩa bởi
µ(M ) := max{Re λ : λ ∈ σ(M )},với
σ(M ) := {z ∈: det(zIn− M ) = 0}
là tập tất cả các giá trị riêng của ma trận M (phổ của ma trận M)
Định nghĩa 1.1.3 [23] Một ma trận thực M ∈Rn×n được gọi là ổn định Hurwitznếuµ(M ) < 0
Định nghĩa 1.1.4 [23] Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzlernếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm Điều đó có nghĩa là
ma trận A := (aij) ∈Rn×n, i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với mọi
i, j ∈ n, i 6= j
Định lý sau đây tổng kết một vài tính chất quan trọng của ma trận Metzler vàchúng sẽ được dùng trong các chương sau
Định lý 1.1.1 [23] Giả sử M ∈Rn×n là ma trận Metzler và t ∈ R Khi đó
i) (Perron-Frobenius) µ(M ) là một giá trị riêng của M và tồn tại một véc tơ không
âm x ∈Rn+, x 6= 0 sao cho M x = µ(M )x;
ii) Giả sử α ∈R cho trước Khi đó, tồn tại một véc tơ không âm x ∈Rn, x 6= 0 saocho M x ≥ αx khi và chỉ khi µ(M ) ≥ α;
iii) (tI i − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ(M );
iv) Cho trước B ∈Rn×n+ , C ∈Cn×n Khi đó,
Trang 16iv) Với b ∈ Rn , b 0 thì tồn tại x ∈Rn+ sao cho M x + b = 0;
v) Với bất kỳ x ∈Rn+ \{0}, vectơ hàng xTM có ít nhất một phần tử âm
Chứng minh Trước tiên ta sẽ chứng minh phát biểu (i), (ii) và (iii) là tương đươngnhau
[(i)⇒ (iii)]: DoM ∈Rn×n là ma trận Metzler vàµ(M ) < 0 nênM−1≤ 0, theo Định
lý 1.1.1 (iii) Vậy ta có (i) suy ra (iii)
[(iii) ⇒ (ii)]: Giả sử M−1≤ 0 Đặt
e := (1, 1, , 1)T ∈Rn,và
Dễ thấy p 0 Nhân hai vế của (1.1) cho (−M ) từ bên trái, ta có (−M )p = e hay
M p = −e Vì vậy M p 0 với p ∈Rn, p 0 Vậy ta có (iii) suy ra (ii)
[(ii)⇒ (i)]: Vì M ∈Rn×n là ma trận Metzler nên tồn tại véc tơ x ∈Rn, x ≥ 0, x 6= 0sao cho MTx = µ(M )x, theo Định lý 1.1.1 (i) Từ (ii) ta có
Nhân hai vế của (1.2) với xT từ bên trái, ta được xTM p < 0. Suy ra
µ(M )xTp = xTM p < 0.
VìxTp > 0, nênµ(M ) < 0 Vậy ta có (ii) suy ra (i)
Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (iii), (iv) và (v) là tương đương nhau.[(iii) ⇒ (iv)]: Hiển nhiên
Trang 17LUÂN VĂN VÕ TRẦN AN
[(iv) ⇒ (v)]: Giả sử (iv) đúng và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ Rn+\{0} saocho véc tơ hàng xTM ≥ 0 Lấy r ∈ Rn, r 0, theo (iv) tồn tại véc tơ p ∈ Rn+ saocho M p + r = 0 hay r = −M p Do đó, 0 < xTr = −xTM p ≤ 0 Đây là một mâuthuẫn Vậy ta có (iv) suy ra (v)
[(v)⇒ (i)]: Giả sử (v) đúng và giả sử phản chứng rằngµ(M ) ≥ 0 DoM là ma trậnMetzler nên theo Định lý 1.1.1 (i), tồn tại p ∈ Rn+\{0} sao cho MTp = µ(M )p Vớiµ(M ) ≥ 0 và p ∈ Rn+\{0}, ta có MTp = µ(M )p ≥ 0 Điều này kéo theo pTM ≥ 0.Mâu thuẫn với (v) Định lý được chứng minh
Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véc tơ
và định lý này sẽ được dùng trong các chương sau
Định nghĩa 1.1.5 [4]Giả sử F (·) : Rl → Rm khả vi tại x = (x1, x2, , xl)T ∈ Rl
Ma trận Jacobi của F (·) tại x là ma trận cỡ m × l trong Rm×l, kí hiệu JF(x), đượcxác định như sau
F x + h− F x
=
Z 1 0
JF x + thdt
h,trong đó, JF(·) là ma trận Jacobi của hàm F
Trang 18LUÂN VĂN VÕ TRẦN AN
Định nghĩa 1.1.6 Cho hai không gian mêtric (X, dX) và (Y, dY) với dX là mêtrictrên X và dY là mêtric trên Y, hàm số f : X → Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tạihằng số K ≥ 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ X,
Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại,tính duy nhất nghiệm, và một số khái niệm cơ bản về ổn định nghiệm của các hệphương trình vi phân có chậm
Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm được xác định bởi:
˙x(t) = F t, x t, t ≥ σ, (1.3)trong đó, xt ∈ C := C([−h, 0],Rn ), được xác định bởi xt(θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0] vàhàm F (·; ·) : Ω →Rn, Ω ⊂R× C (h > 0 cố định)
Với mỗi σ ∈R cố định, chúng ta xét điều kiện đầu
x(σ + θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0], ϕ ∈ C. (1.4)Định nghĩa 1.2.1 [9] Một hàm x(·) được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu(1.3)-(1.4) nếu
i) Tồn tại A > 0 sao cho x(·) ∈ C([σ − h, σ + A),Rn), (t, xt) ∈ Ω, ∀t ∈ [σ, σ + A) vàx(·) thỏa mãn (1.3) với mỗi t ≥ σ;
ii) x(·) thỏa mãn điều kiện đầu (1.4)
Định lý sau đây trình bày các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm (địa phương)của bài toán (1.3)-(1.4)
Trang 19LUÂN VĂN VÕ TRẦN AN
Định lý 1.2.1 [9] Cho Ω là tập mở trong R× C. Giả sử F (·, ·) liên tục trên Ω và
F liên tục Lipzchitz theo biến thứ hai trên mỗi tập con compact của R× C Khi đó,với bất kỳ (σ, ϕ) ∈ Ω, bài toán (1.3)-(1.4) có duy nhất nghiệm
Nói rõ ra, nghiệm được cho bởi Định lý 1.2.1, xác định và liên tục trên [σ − h, γ)với γ > σ và thỏa (1.3) trên[σ, γ) và được kí hiệu x(·; σ, ϕ) Nếu [σ − h, γ) là khoảnglớn nhất của sự tồn tại nghiệmx(·; σ, ϕ) thì x(·; σ, ϕ) được gọi là một nghiệm khôngthể kéo dài Sự tồn tại của nghiệm không thể kéo dài được suy ra từ bổ đề Zorn
và khoảng lớn nhất của sự tồn tại phải là một khoảng nửa mở [σ, γ)
Định lý 1.2.2 [9] Cho Ω là tập mở trong R× C. Giả sử F (·, ·) : Ω → Rn là liêntục hoàn toàn (nghĩa là, F là liên tục và biến các tập đóng bị chặn trong Ω thànhcác tập bị chặn trong Rn) và x(·) là nghiệm không thể kéo dài của (1.3)-(1.4) trên[σ − h, γ) Khi đó, với tập đóng bị chặn U trong Ω, tồn tại tU sao cho (t, xt) / ∈ U với