Khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng phương pháp thứ nhất của liapunov

Một trong hai phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định của hệphương trình vi phân là phương pháp số mũ đặc trưng của Liapunov hay còngọi là phương pháp thứ nhất của Liapunov.. P

Mục lục

Mở đầu 2

Chơng 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 1.1 Các định nghĩa .4

1.2 Các định lý về ổn định của hệ vi phân tuyến tính 7

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 9

1.4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng số 11

Chơng 2 Số mũ đặc trng 2.1 Số mũ đặc trng của hàm số 13

2.2 Số mũ đặc trng của ma trận hàm 19

2.3 Phổ của hệ tuyến tính thuần nhất 21

2.4 Hệ cơ bản chuẩn 24

Chơng 3 Khảo sát tính ổn định của hệ phơng trình vi phân bằng phơng pháp thứ nhất của Liapunov 3.1 Định lý điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính 32

3.2 Các hệ dẫn xuất - Định lý Erughin 33

3.3 Định lý Floke 36

3.4 Hệ vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số tuần hoàn 41

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tớnh phương trỡnh vi phõn Lý thuyết ổn định được ứng dụng ngày càng nhiều ở cỏc lĩnh vực khỏc nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thỏi

học và môi trường học Với lý do trên, lý thuyết ổn định đang được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu và phát triển ở cả hai hướng ứng dụng và lýthuyết Trong [5], Демидович Б.П đã trình bày hai phương pháp cơ bản đểnghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân Đây là những kết quảkinh điển nhất của lý thuyết này

Một trong hai phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định của hệphương trình vi phân là phương pháp số mũ đặc trưng của Liapunov (hay còngọi là phương pháp thứ nhất của Liapunov) Đây là phương pháp hiện đangđược nghiên cứu mạnh mẽ và có nhiều kết quả đáng kể, đặc biệt là trong lýthuyết phương trình vi phân trong không gian Banach Cơ sở của phương phápnày là khái niệm về số mũ đặc trưng Liapunov Khái niệm này có thể mở rộngđược cho các hàm trong nhiều loại không gian như không gian Banach

Phương pháp thứ hai của Liapunov cũng được áp dụng nhiều trong việcnghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà

ở đó khó có thể áp dụng được phương pháp thứ nhất Cơ sở của phương phápnày là tìm các hàm v ( X t, ) thoả mãn các điều kiện nhất định và gọi đó là cáchàm Liapunov Tuy nhiên không có một phương pháp chung nào để xây dựngcác hàm Liapunov khi chưa biết nghiệm của hệ phương trình vi phân Vì vậyphương pháp thứ nhất đã thể hiện được tính ưu việt trong việc nghiên cứu tính

ổn định của các hệ vi phân thông qua các dạng của vế phải mà không phải giải

cụ thể các hệ này

Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về phương trình vi phân và lý thuyết ổnđịnh của các tác giả Hoàng Hữu Đường [1], Nguyễn Thế Hoàn [2], [3], TrầnVăn Nhung [3], Демидович Б.П [5] , dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ

Quang Hải đề tài nghiên cứu về " Khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến

tính bằng phương pháp thứ nhất của Liapunov " Nội dung của đề tài được thể

hiện trong Luận văn qua ba chương như sau:

Chương 1 đưa ra các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và các định

lý về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính

Chương 2 trình bày các khái niệm số mũ đặc trưng của hàm số, số mũ

đặc trưng của ma trận hàm, phổ của hệ vi phân tuyến tính, hệ cơ bản chuẩn vàcác tính chất cơ bản của chúng

Chương 3 là nội dung trọng tâm của Luận văn Trong chương này chúngtôi trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả cơ bản của phương pháp thứnhất của Liapunov v à vận dụng phương pháp này khảo sát tính ổn định của hệ

vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Tạ Quang Hải Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cácThầy giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS TS TạQuang Hải, TS Phan Lê Na, PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS TS Trần Văn

Ân, TS Tạ Khắc Cư, PGS TS Nguyễn Nhụy cùng các Thầy cô trong KhoaĐào tạo Sau Đại học và các bạn học viên lớp Cao học XI – Toán đã quan tâm

và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn

Xét hệ phương trình vi phân chuẩn

dt

dy j

= f j (t, y 1 ,y 2 , ,y n ), j = 1 ,n ,(1.1.1)

với t là biến độc lập, y1,y2,  ,y n là các hàm cần tìm; f j là các hàm xác địnhtrong bán trụ: T = It+  Dy, It+ = t0 t  và Dy là một miền mở thuộc R n , ở

đây t0 là một số hoặc ký hiệu  



2 1

= colony1,y2,  ,y n,

F ( Y t, ) = colonf1(t,Y),  , f n(t,Y)

Khi đó (1.1.1) có thể viết lại dưới dạng phương trình véctơ ma trận

dY dt = F ( Y t, ).(1.1.2)

Hàm véctơ Y = Y (t)  C 1 xác định trong a, b  It+ thỏa mãn phươngtrình (1.1.2) được gọi là nghiệm

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm  = (t) at  của hệ (1.1.2) được gọi là ổn

định theo Liapunov khi t  nếu với mọi   0 và t0  a,  tồn tại  =

)

,

(  t0

  0 sao cho

i) Tất cả các nghiệm Y = Y (t) của hệ (1.1.2) ( bao gồm cả nghiệm = (t))

(1.1.3)

xác định trong khoảng t0, 

ii) Đối với các nghiệm đó ta có

 suy ra: Y (t)  với mọi nghiệm Y (t) của hệ (1.1.2), t0 t .

Định nghĩa 1.1.2 Nếu số  có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm đầu

0

t , tức là  =  (  )thì ổn định được gọi là ổn định đều.

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm  = (t) at  được gọi là không ổn định

theo Liapunov nếu với   0nào đó, t0 a,  và   0 tồn tại nghiệm Y(t)vàthời điểm t1 = t1(  ) t0 sao cho

Y(t0)   (t0)   và Y(t1)   (t1) 

Nghiệm tầm thường  (t)  0 không ổn định nếu với   0, t0 a,  và   0

tồn tại nghiệm Y (t) và thời điểm t 1 t0 sao cho

Y(t0)   , Y (t1) 

Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm  = (t) được gọi là ổn định tiệm cận khi t 

nếu

i) Nghiệm này ổn định theo Liapunov

ii) Với t0 a,  tồn tại  =  (t0)  0 sao cho tất cả các nghiệm Y = Y (t),

t0 t  thỏa mãn điều kiện Y(t0)   (t0)   có tính chất

limt Y(t)   (t) = 0.(1.1.5)

Nghiệm tầm thường  (t)  0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định theo Liapunov

và limt Y (t) = 0 khi Y(t0)   với mọi nghiệm Y (t) Hình cầu Y

)

(t0



 với t0 cố định được gọi là miền hấp dẫn của vị trí cân bằng 0

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử hệ (1.1.2) xác định trong không gian

 =   t   Y  .

Nếu nghiệm  = (t) at  ổn định tiệm cận khi t  và tất cả cácnghiệm Y = Y (t), t0 t  ,t0 a có tính chất (1.1.5), tức là  =  thìnghiệm  = (t) được gọi là ổn định tiệm cận hoàn toàn.

Nói cách khác, trong trường hợp ổn định tiệm cận hoàn toàn của nghiệm (t)

toàn bộ không gian K n là miền hấp dẫn của nó

1.2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

dY dt = A(t).Y  f(t),(1.2.1)

với A(t), f (t)  C 

t

I

Giả sử dX dt = A ).(t X ,(1.2.2)

là hệ thuần nhất tương ứng

Định nghĩa 1.2.1 Hệ tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định (hoặc không ổn

định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t) của nó ổn định (hoặc không ổn định)theo Liapunov khi t 

Định lý 1.2.1.([2], [5]) Điều kiện cần và đủ để hệ (1.2.1) ổn định với số hạng

tự do tùy ý f (t) là nghiệm tầm thường X0(t)  0 t0 t  của hệ thuần nhất tương ứng ổn định.

Hệ quả 1.2.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó

của hệ ổn định và hoàn toàn không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định.

Hệ quả 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và

chỉ khi hệ thuần nhất tương ứng ổn định.

Định nghĩa 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định đều nếu tất

cả các nghiệm Y (t) của hệ này ổn định đều khi t  đối với thời điểm đầu t0

Định lý 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định đều khi và chỉ khi

nghiệm tầm thường X0(t)  0 của hệ (1.2.2) ổn định đều khi t .

Định nghĩa 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận

nếu tất cả các nghiệm Y (t)của hệ này ổn định tiệm cận khi t 

Định lý 1.2.3.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận khi và

chỉ khi nghiệm tầm thường X0(t)  0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.2.2) ổn định tiệm cận khi t .

Hệ quả 1.2.3.([2], [5]) Để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận với số hạng tự do tùy ý

)

(t

f cần và đủ là hệ thuần nhất tương ứng ổn định tiệm cận.

1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Định lý 1.3.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định theo

Liapunov khi t  khi và chỉ khi mỗi một nghiệm X = X (t), t0 t  của

hệ này giới nội trên bán trục t0 t .

Định lý 1.3.2.([2], [5]) Hệ tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định tiệm cận khi

Hệ quả 1.3.1.([5]) Hệ tuyến tính ổn định tiệm cận là ổn định tiệm cận hoàn toàn.

Chú ý 1.3.1 Đối với hệ vi phân không tuyến tính sự dần về không của tất cả các

nghiệm nói chung không suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thườngcủa nó

Ví dụ 1.3.1 Xét hệ

xy t t x dt

e t C

2 1

2

.

y

e t t x t

) ( )

(

).

( ) (

0

) 1 )(

x , y(t0)   ta có:

1 2

2

2 ) ( 1 1 ) ( 1 ).

1 1

.

0 X e

C A t



) ( 0 X e

( 2

2 0 )

( 1 0 )

.(

)!

1 (

.

! 2

) (

! 1

) (

) (

e p

e p

p e

t t p

p

t

t

p p p

e

t t I

t t I t t E e

J

trong đó ( p)

j

I , j  1 ,e p  1 là các dãy lịch đơn vị tương ứng ([5])

Định lý 1.4.1.([2], [5]) Hệ tuyến tính thuần nhất (1.4.1) với ma trận hằng số A

ổn định khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng j  j ( A) của ma trận A có phần thực không dương, tức là Re j(A)  0, j  1 ,n Thêm vào đó, các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không cho ta chỉ có các ước sơ cấp đơn giản

( tức là các ô Joocdan tương ứng đưa về một phần tử ).

Chú ý 1.4.1 Hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng số ổn định sẽ là ổn

định đều với thời điểm đầu t0  (  ,  )

Thật vậy, vì các nghiệm của hệ tuyến tính ổn định là giới nội nên

e A t c



.

, với t  0 Giả sử X (t) là nghiệm tùy ý của hệ Khi đó X(t) e(t  t0 ).A.X0(t)

t

nếu   

c t

Số  không phụ thuộc vào t0 Như vậy, nghiệm tầm thường X  0 ổn địnhđều khi t 

Định lý 1.4.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4.1) với ma trận

hằng số ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng của ma trận A

có phần thực âm, tức là Re j(A)  0, j  1 ,n

t t

f

t

m t

iv) Với dãy t k   khi t  ta có

i) Với   0 ta có: ( ) [ (   ) ]

o e t

).

(

)(

(

t t

)]

(

t t

f

k

k   [f(t)]  

Rõ ràng nếu có đồng thời (2.1.4) và (2.1.5) thì  [f(t)]  

Định lý 2.1.1.([5]) Số mũ đặc trưng của tổng hữu hạn các hàm f k (t), k  1 ,m không vượt quá số mũ đặc trưng lớn nhất của các hàm này (trong trường hợp hữu hạn ) và trùng với nó trong trường hợp số mũ đặc trưng lớn nhất chỉ có ở một số hạng Nghĩa là





m k

k t f

1

)]

( [



 , k  1 ,m 

t

m k k

e

t f

).

( 1

) (

t f m

k t f

1

)] (

).

(

) (

Với k   , ta có:

q k q

k q

m

q k t

q p t

m k

q k

e e

t f e

t f e

t f

).

2 (

1 ( ).

).

( ).

(

) ( )

( )

p k

).

( 1

) ( lim  



] ( [

1

m k

k t

k m

k

f

1 1

)] ( [ ]

k

k t

m k

k t

m k

k t

m k k t

m k k

t f t

t f t

t f

t f t

t f t

t f

1 1

1

1 1

1

) ( )

( ln lim )

( ln lim

) ( ln

1 lim ) ( ln

1 lim ] ( [





Hệ quả 2.1.1 [ ( ) ( ] max [ ( )]

1

t f t

f t

k m

1

) ( với c k const,

( ).

(

[

1

t f t

f

t

k m

Định nghĩa 2.1.3 Số mũ đặc trưng của hàm f (t), t  t0 được gọi là ngặt nếu

tồn tại giới hạn hữu hạn

[ ( )] lim1ln f (t)

t t

1 ln 1 lim ] ) (

1

t t

f t t

1 [ ] (

t f t

 (2.1.10)Ngược lại, nếu có (2.1.10) thì [ ( )] lim1ln f(t)

t t

f

t 



] lim1ln ( ) 1

) (

1





t t



 ] lim1ln ( ) lim1ln ( ) [ ( ]

)

(

1

t t

f t t







Do đó, lim1ln ( ) lim1ln f(t)

t t

f

t  

 Tồn tại giới hạn (2.1.9)

Định lý 2.1.3.([5])Nếu hàm f (t) có số mũ đặc trưng ngặt thì

 [f(t).g(t ]   [f(t ]   [g(t ].

(2.1.11)

Chứng minh Theo Định lý (2.1.2) ta có

 [f(t).g(t ]   [f(t ]   [g(t ]

(2.1.12)

Mặt khác, theo (2.1.10) ta có:

] [ ( ) ( ] [ ( ]

) ( 1 [ ] ( ) ( [ ] ) ( 1 ) ( ) ( [ ] ( [ f t g t f t t f t g t f t f t g t f t g              [f(t).g(t ]   [f(t ]   [g(t ] (2.1.13) Từ (2.1.12) và (2.1.13) ta có (2.1.11) Hệ quả 2.1.2 [e .t.y] [y]       Định nghĩa 2.1.4 Các tích phân          (2.1.15)

0 ] ( [

) ( (2.1.14)

0 ] ( [

) ( ) ( 1 1 1 1 0 t f dt t f t f dt t f t F t t t   nÕu nÕu

được gọi là tích phân Liapunov của hàm f (t), (t  t0)

Định lý 2.1.4 Số mũ đặc trưng của tích phân không vượt quá số mũ đặc trưng

của hàm dưới dấu tích phân.

Chứng minh Giả sử  [f(t ]   Ta có thể giả thiết    Khi đó với   0

ta có f(t) e (    ).t  0

khi t 

Từ đó suy ra f (t) M.e(   ).t

 , với M  0.Nếu   0, từ (2.1.14) ta có

).

( ).

( ).

( 1

).

( 1

( )

0

1 0

t t e

M e

e

M dt

e M dt

t f

t t

e M dt e

M dt t f t

F

).

( 1

).

( 1

( )

1 t dt t t t

1 t dt t t t t t

jk t f t

F

,

) ( )

( nên [ ( ) ] [ ( ) ] max [ ( ) ] [ ( ) ]

, ,

t F t

f t

f t

k j k

Định lý 2.2.1.([5]) Số mũ đặc trưng của tổng hữu hạn các ma trận không vượt

quá số mũ đặc trưng lớn nhất trong các số mũ đặc trưng của các ma trận này Chứng minh Giả sử F s (t), s 1 ,N là các ma trận cùng loại m  và n







N s

s t F t

F

1

) ( )

s t F t

F

1

) ( )

s F t t

F t

F t

Chú ý 2.2.2 Nếu trong số các ma trận F s (t), s 1 ,N chỉ có một số mũ đặctrưng lớn nhất thì số mũ đặc trưng của tổng các ma trận này bằng số mũ đặctrưng đó

Thật vậy, giả sử  [F1(t ]   [F s(t ], s  1 và ( ) [ ( ( )]

] t f t

(

1 1

t F t

s

N s





N s

s t F t

F

1

) ( )

F t

F

1 1

1

) ( )

( )

( )

Từ Định lý (2.2.1) và (2.2.2) suy ra

Hệ quả 2.2.1 Số mũ đặc trưng của tổ hợp tuyến tính các ma trận không vượt

quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các ma trận này và trùng với

nó khi và chỉ khi số mũ đặc trưng lớn nhất chỉ có ở một ma trận.

Chứng minh Suy từ Định lý [2.2.2].

2.3 PHỔ CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

dt

dX

) (

(2.3.1)

là hệ vi phân tuyến tính với A(t) C(a,)

Định lý 2.3.1 (Định lý Liapunov về số mũ đặc trưng của các nghiệm của hệ

tuyến tính).([5]) Nếu ma trận của hệ (2.3.1) giới nội A )(t c  thì với mỗi nghiệm thực hoặc phức không tầm thường X X(t), (at0 t  )có số

X t X

0

1 1 1

0 ) ( ) ( ).

( ) (

  

t

t

dt t X t A t

X t

X

0

1 1 1

0 ) ( ) ( ) (

t

dt t A dt

t A

e t X t

X e

t

1 1 0

1

0

) (

) (

) (

0

t X t

X

t X

t

dt t A dt

t A

e t

X

1 1 0

t t

dt t A t t

X dt

t A t

0 0

1 1 1

1 ) ( ) lim1 ( ) (

X dt

t A t c

t

t t t

1 1 1

1 ) ( ) lim1 ( ) (

 1( ) 2( ) A(t). 1(t) i. 2(t)

dt

t i t d

k k





 k(t) , k  1 , 2 cũng là các nghiệm của hệ (2.3.1)

trong đó c p  0 ,c q  0 , pqm

Từ (2.3.5) ta có

) ( )

p k

k p

k

c

c t

Theo hệ quả (2.1.2) ta có

    1

) ( 1 , 1 )

Định nghĩa 2.3.1 Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng khác   của các

nghiệm của hệ vi phân tuyến tính được gọi là phổ của hệ vi phân tuyến tính đó.

Định lý 2.3.2.([5]) Phổ của hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận liên tục giới

nội chứa một số hữu hạn các phần tử 1  2    m, (mn).

Chứng minh Do hệ tuyến tính thuần nhất bậc n có không quá n nghiệm độc

lập tuyến tính nên từ Bổ đề (2.3.1) ta suy ra phổ của hệ tuyến tính thuần nhất

dx

ln

 , t  0 ,x 0 có nghiệm tổng quát:xe c.t

Phương trình này có phổ là   , 

2.4 HỆ CƠ BẢN CHUẨN

Giả sử trong không gian n chiều n

r cho hệ tuyến tính thuần nhất:

A t X

dt

dX

) (

(2.4.1)

với A(t) C[t0,  ), sup A(t)   và    1 2    m   , (mn) là phổcủa hệ (2.4.1) sắp xếp theo thứ tự tăng

Tập tất cả các nghiệm X X(t), (t0 t   ) của hệ (2.4.1) là không gian tuyếntính R^n ( không gian nghiệm) mà các điểm của nó là các nghiệm riêng biệt, hệ

1 được gọi là tổng các số mũ đặc trưng của hệ

Định nghĩa 2.4.1 Hệ cơ bản được gọi là cơ bản chuẩn nếu tổng các số mũ đặc

trưng của nó là nhỏ nhất so với các hệ cơ bản khác

Nếu ma trận A (t) thực thì đối với mỗi số mũ đặc trưng s tồn tại các nghiệmthực với số mũ đặc trưng đó Vì vậy, ta có thể giả thiết hệ cơ bản chuẩn là hệthực

Gọi N s (s 1 ,m) là số lớn nhất các nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (2.4.1)

có số mũ đặc trưng s Xét tập s tất cả các nghiệm X (t)(kể cả nghiệm tầmthường) có số mũ đặc trưng không vượt quá s

Bổ đề 2.4.1 Số N s trùng với số chiều của không gian con tuyến tính s , nghĩa là: N s  dim s, (s  1 ,m)(2.4.4)

Chứng minh Theo Định nghĩa mỗi một nghiệm với số mũ đặc trưng s nằm

(2.4.5)

Mặt khác, giả sử X(p) (t),Y(q) (t) là một cơ sở của không gian s, trong đó

X p t  s Y q t  s

 ( ) ( )  , ( ) ( )  ( Cơ sở này nhất thiết phải chứa nghiệm Y q (t)có

số mũ đặc trưng s vì nếu không sẽ tồn tại các nghiệm không biểu diễn đượcdưới dạng tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cơ sở)