Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến với chậm

II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Nghiên cứu một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ của một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm phụ thuộc vào thời gian..  Áp dụng các k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG TP HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc

Cán bộ nhận xét 1:

Cán bộ nhận xét 2:

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 31 tháng 07 năm 2014

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

2 Thư kí: TS Nguyễn Quốc Lân

3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi

4 Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Văn Kính

5 Ủy viên: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 01 năm 2014

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : Nguyễn Thu Hồng Phái : Nữ

Ngày sinh : 16/01/1986 Nơi sinh : Tp Hồ Chí Minh Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV : 12240571

I – TÊN ĐỀ TÀI:

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM

II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

 Nghiên cứu một vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ của một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm phụ thuộc vào thời gian

 Áp dụng các kết quả thu được vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng trong mô hình các mạng nơron nhân tạo

III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2014

IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014

V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc

CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO

PGS.TS Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA

MỤC LỤC

Chương II Tiêu chuẩn ổn định mũ cho một số lớp hệ

Chương III Ổn định mũ của các điểm cân bằng trong mô

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy PGS.TS PhạmHữu Anh Ngọc, Thầy đã hướng dẫn nhiệt tình, tạo điều kiện và cungcấp cho tôi thêm kiến thức, nguồn tài liệu tham khảo trong suốt quátrình tôi thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy trong Bộ môn Toán ứng dụng,Trường Đại học Bách Khoa và NCS Cao Thanh Tình, NCS Lê TrungHiếu đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm để tôi hoàn thành luậnvăn tốt hơn

Tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán ứng dụng khóa 2012

đã có những đóng góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiệnluận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn động viên vàtạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh những thiếusót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và bạn đọc để

bổ sung và hoàn thiện luận văn tốt hơn

Xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thu Hồng

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100năm, bắt đầu với những công trình của nhà Toán học nổi tiếng ngườiNga Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918):

- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotatingfluid (in 1884, Russian);

- General problem of the stability of motion (1892, in Russian)

Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong các ngànhkhoa học khác nhau, các bài toán ổn định và ổn định vững của các hệđộng lực luôn là những vấn đề trung tâm trong lý thuyết điều khiển các

hệ động lực và được các nhà Toán học, Cơ học, Kỹ thuật, , quan tâmnghiên cứu

Các hệ phương trình vi phân có chậm là lớp hệ có nhiều ứng dụngtrong khoa học và kỹ thuật Chúng được sử dụng như mô hình cho mộtloạt các hiện tượng trong Vật lý, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, (xemtài liệu tham khảo [8], [15]) Nói riêng, lý thuyết ổn định của các hệphương trình vi phân tuyến tính dừng có chậm (linear time-invariantdifferential systems with delay) đã phát triển một cách gần như hoànchỉnh Khác với các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phântuyến tính dừng, các bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân

có chậm (tuyến tính, hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian (time-varyingdifferential systems with delay) thường rất khó và phức tạp Cách tiếpcận truyền thống đối với các bài toán này là xây dựng các hàm Lyapunov-Krasovskii cho hệ được xét, tuy nhiên đây là công việc khó khăn và thôngthường các kết quả được cho dưới dạng bất đẳng thức ma trận phức tạpkhó sử dụng

Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định của các hệ phương trình

vi phân có chậm phụ thuộc thời gian không có nhiều và để tìm ra cáctiêu chuẩn ổn định mới đòi hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá

về mặt kỹ thuật, xem [11]-[13]

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một vài điều kiện đủđơn giản cho tính ổn định mũ của một lớp hệ phương trình vi phân phituyến phụ thuộc thời gian có chậm và áp dụng các kết quả thu đượcvào việc nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng của các hệnơron nhân tạo

Các kết quả chính trong luận văn này được trích từ tài liệu thamkhảo [11] Đóng góp chính của tác giả trong luận văn này là việc chỉ ragiả thiết về tính thuần nhất dương trong Định lý 2.2 [11] là thừa, có thể

bỏ đi và tìm các ví dụ minh họa

Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương và danh mục tài liệu thamkhảo

Cấu trúc của luận văn được trình bày như sau:

Lời nói đầu

Tài liệu tham khảo

Một cách cụ thể hơn, Chương 1 được dành để trình bày một số kiếnthức bổ trợ sẽ được dùng trong các chương sau Chương 2 trình bày kếtquả chính của luận văn này Cụ thể chúng tôi trình bày một vài tiêu

chuẩn mới cho tính ổn định mũ của một lớp các hệ phương trình vi phânphi tuyến có chậm (xem các Định lý 2.2, 2.4, 2.5).

Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng các kết quả thu được trongChương 2 để nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng trong

mô hình các mạng nơron nhân tạo

Các vấn đề được trình bày trong luận văn này là rất mới, có ý nghĩakhoa học và thời sự Các kết quả là một đóng góp có ý nghĩa đối với lýthuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có chậm

CHƯƠNG I KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Cho N là tập hợp số tự nhiên Với m ∈ N cho trước, ta kí hiệu

m := {1, 2, , m} Với các số nguyên cho trước l, q ≥ 1, Rl là khônggian vectơ l chiều trên R và Rl×q là tập hợp tất cả các ma trận thực lhàng, q cột Các bất đẳng thức giữa các ma trận thực (hoặc các vectơthực) được hiểu theo từng thành phần Điều này có nghĩa là:

Với A = (aij) và B = (bij) trong Rl×q, A ≥ B nếu và chỉ nếu aij ≥ bijvới i = 1, 2, , l , j = 1, 2, , q Đặc biệt nếu aij > bij với i = 1, 2, , l

j = 1, 2, , q thì ta viết A  B thay cho A ≥ B Kí hiệu Rl×q+ là tậphợp tất cả các ma trận không âm Với x ∈ Rn; P ∈ Rl×q cho trước, tađịnh nghĩa: |x| = (|xi|)và |P | = (|pij|) Một chuẩn k·k trên Rn được gọi

là đơn điệu nếu kxk ≤ kyk với bất kỳ x, y ∈ Rn, |x| ≤ |y| Rõ ràng rằng,các p-chuẩn trên Rn:

kxkp = (|x1|p+ |x2|p+ + |xn|p)p1 , 1 ≤ p < ∞và

kxk∞ = maxi=1,2, ,n|xi|

là các chuẩn đơn điệu

Với bất kỳ ma trận M ∈ Rn×n hoành độ phổ của M được định nghĩabởi

µ(M ) := max{Re λ : λ ∈ σ(M )},với

σ(M ) := {z ∈ C : det(zIn − M ) = 0}

là tập tất cả các giá trị riêng của ma trận M (phổ của ma trận M )

Một ma trận M ∈ Rn×n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tửnằm ngoài đường chéo chính của ma trận M không âm Định lý sau đâytổng kết một vài tính chất quan trọng của ma trận Metzler và chúng sẽđược dùng trong các chương sau.

Định lý 1.1 [16] Giả sử M ∈ Rn×n là một ma trận Metzler Khi đó:(i) (Định lý Perron-Frobenius) µ(M ) là một giá trị riêng của M vàtồn tại vector riêng x ≥ 0, x 6= 0 sao cho M x = µ(M )x

(ii) Cho trước α ∈ R Khi đó, tồn tại một vectơ khác không x ∈ Rn+

sao cho M x ≥ αx nếu và chỉ nếu µ(M ) ≥ α

(iii) (tIn − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ(M )

(iv) Giả sử B ∈ Rn×n+ , D ∈ Cn×n cho trước Nếu |D| ≤ B thì µ(M +D) ≤ µ(M + B)

Định lý sau đây đóng vai trò quan trọng trong chứng minh kết quảchính ở Chương 2

Định lý 1.2 Cho M ∈ Rn×n là một ma trận Metzler Các khẳng địnhsau là tương đương:

Chứng minh .

(i)→(ii) Giả sử µ(M ) < 0, theo Định lý 1.1 (iii), ta có (−M )−1 ≥ 0.Đặt e = (1, 1, , 1)T ∈ Rn , e  0 Khi đó y := (−M )−1e ≥ 0 và y 6= 0.Suy ra ta có M y = −e  0 Do tính liên tục, tồn tại p  0 sao cho

M p  0

(ii)→(iii) Giả sử M p  0 với p  0 Từ Định lý 1.1 (i) ta có MTx =µ(MT)x = µ(M )x , x ≥ 0, x 6= 0 Điều này kéo theo xTM = µ(M )xT

và xTM p = xTµ(M )p = µ(M )xTp Vì M p  0 và xT ≥ 0, xT 6= 0nên xTM p < 0 suy ra µ(M )xTp < 0 Do xTp > 0 điều này kéo theoµ(M ) < 0 Theo Định lý 1.1 (iii), ta có M khả nghịch và M−1 ≤ 0

(iii)→(iv) Giả sử b ∈ Rn, b  0 Khi đó x := −M−1b ≥ 0, x 6= 0 Vậy

ta thường viết C thay cho C([−h, 0], Rn) Hơn nữa, ta kí hiệu:

Hàm x(·) được gọi là một nghiệm (địa phương) của phương trình viphân phiếm hàm (A) trên [σ − h, σ + γ) nếu tồn tại σ ∈ R, γ > 0 saocho:

- x(·) liên tục trên [σ − h, σ + γ);

- (t, xt) ∈ D, t ∈ [σ − h, σ + γ);

- x(t) thỏa mãn phương trình (A) với mỗi t ∈ [σ, σ + γ)

Với σ ∈ R, φ ∈ C, ta bảo rằng x(., σ, φ) là một nghiệm của phươngtrình vi phân phiếm hàm (A) với giá trị đầu φ (hay đơn giản hơn, mộtnghiệm đi qua (σ, φ) ∈ D), nếu tồn tại γ > 0 sao cho x(., σ, φ) là nghiệmcủa phương trình (A) trên [σ − h, σ + γ) và

của phương trình (A) đi qua (σ, φ).

Cuối cùng, cần chú ý rằng, phương trình vi phân phiếm hàm (A) làrất tổng quát Nó bao hàm nhiều loại phương trình vi phân khác nhaunhư:

- Phương trình vi phân thường:

là các số dương cho trước;

(ii) A(·) : R → Rn×n và B(·) : [−h, 0] → Rn×n là những hàm liên tụccho trước;

điều kiện ban đầu

x(σ + s) = φ(s) , s ∈ [−h, 0] (2.2)

Nghiệm này (được kí hiệu bởi x(· ; σ, φ)) xác định và liên tục trên [σ−h, γ)với một số γ > σ nào đó và thỏa mãn (2.1) với mỗi t ∈ [σ, γ) Hơn nữa,nếu đoạn [σ − h, γ) là đoạn lớn nhất của sự tồn tại nghiệm x(· ; σ, φ) thìx(· ; σ, φ) được gọi là nghiệm không thể kéo dài Sự tồn tại của nghiệmkhông thể kéo dài được chứng minh bằng cách sử dụng bổ đề Zorn vàđoạn [σ, γ) là luôn mở tại γ Một cách chi tiết hơn, xem tài liệu thamkhảo [7] Cần chú ý rằng với các giả thiết đã cho, hệ (2.1) luôn nhậnx(· ) ≡ 0 là nghiệm

Định nghĩa 2.1 Nghiệm không của (2.1) được gọi là ổn định mũ toàncục nếu tồn tại các số dương K, β sao cho với bất kì σ ∈ R và φ ∈ C,nghiệm x(·; σ, φ)của (2.1)-(2.2) tồn tại toàn cục trên đoạn [σ − h, ∞) vàthỏa mãn bất đẳng thức:

kx(t; σ, φ)k ≤ Ke−β(t−σ)kφk , ∀t ≥ σ

Như là một qui ước, ta cũng nói (2.1) là ổn định mũ toàn cục mộtkhi nghiệm không của (2.1) là ổn định mũ toàn cục

Định lý sau đây là kết quả chính của chương này

Định lý 2.2 Giả sử A(t) := (aij(t)) ∈ Rn×n, t ∈ R và tồn tại các matrận A0 := (a(0)ij ) ∈ Rn×n và Ak := (a(k)ij ) ∈ Rn×n+ , k ∈ m + 2 sao cho

aii(t) ≤ a(0)ii , ∀t ∈ R, i ∈ n ; |aij(t)| ≤ a(0)ij , ∀t ∈ R, ∀i 6= j , i, j ∈ n

(2.3)

“Nếu hệ (2.1) bị chặn trên bởi một hệ tuyến tính dạng (2.5) và (2.5)

ổn định mũ toàn cục, thì hệ (2.1) cũng ổn định mũ toàn cục.”

Điều này khá thú vị vì nó tương tự như tiêu chuẩn so sánh trong lýthuyết chuỗi trong giải tích cổ điển vậy

Chứng minh của Định lý 2.2: Vì M là ma trận Metzler nên hai mệnh

đề bất kỳ trong (i)-(v) của Định lý 1.2 là tương đương Chúng ta chỉ việcchỉ ra rằng (2.1) là ổn định mũ toàn cục nếu (iv) của Định lý 1.2 nghiệmđúng Giả sử φ ∈ C và x(t) := x(t; σ, φ) , t ∈ [σ − h, γ) là nghiệm khôngthể kéo dài của (2.1)-(2.2) Chúng ta chia chứng minh làm ba bước:Bước 1: Tồn tại β > 0 sao cho với bất kỳ σ ∈ R , r > 0 , φ ∈ Cr ,

Do tính liên tục, có thể chọn vectơ p := (α1, α2, , αn)T, αi > 0 , ∀i ∈

n Hơn nữa, (2.7) kéo theo

|φ(t)|  Ke−βtp ,∀t ∈ [−h, 0] , ∀φ ∈ Cr.Xét hàm số:

u(t) := Ke−β(t−σ)p , t ∈ [σ − h, ∞)

Để cho tiện, ta kí hiệu x(t) := x(t; σ, φ) , t ∈ [σ − h, γ) Rõ ràng, ta có

với bất kỳ t ∈ [σ, γ), ở đây D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.

Giả sử ngược lại γ < ∞ Do (2.6), x(t; σ, φ) bị chặn trên đoạn [σ, γ).

Hơn nữa, từ (2.1) và (2.4) chúng ta suy ra ˙x(t) cũng bị chặn trên đoạn

[σ, γ) Vì vậy x(·) liên tục đều trên [σ, γ) Do đó, tồn tại limt→γ−x(t) và

x(·) có thể thác triển được thành hàm liên tục trên [σ, γ] Hơn nữa, bao

là một tập con compact của R+× C Vì (γ, xγ) thuộc tập compact này,

người ta có thể tìm nghiệm của (2.1) đi qua (γ, xγ) Điều này mâu thuẫn

với việc x(·) là nghiệm không thể kéo dài Vậy γ phải bằng ∞

kϕk ky(t, σ, ϕ)k = y(t, σ,

ϕkϕk) ≤ K1e

Định lý 2.4 Giả sử A(t) ≡ A := (aij) ∈ Rn×n, ∀t ∈ R và tồn tại các

ma trận Ak := (a(k)ij ) ∈ Rn×n+ , k ∈ m + 2 sao cho (2.4) đúng Nếu

(i) hk(·), h(·) : R → R+ , k ∈ m là các hàm liên tục sao cho 0 <

hk(t) ≤ hk, 0 < h(t) ≤ h, h ≥ hk ∀k ∈ m với h, hk, k ∈ m dươngcho trước;

(ii) A(·) , Ak(·) : R → Rn×n, k ∈ m và B(·) : [−h, 0] → Rn×n là cáchàm liên tục cho trước;

(iii) G(· ; ·) : R × Rn → Rn

là hàm liên tục thỏa G(t; 0) = 0 , ∀t ∈ R vàliên tục Lipschitz đối với đối số thứ hai trên mỗi tập con compactcủa R × Rn

Định lý sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2

Định lý 2.5 Cho A(t) := (aij(t)), t ∈ R Giả sử tồn tại A0 := (a(0)ij ) ∈

Trong trường hợp này ma trận M trong Định lý 2.5 được xác địnhbởi M := A0 + M0+R−h0 Am+1|B(s)| ds Định lý sau là hệ quả trực tiếpcủa Định lý 2.5 và Chú ý 2.6.

Định lý 2.7 Giả sử Ai(.) : R → Rn×n, i ∈ {0, 1, 2, , m} và hi(.) :

R → R+, i ∈ {0, 1, 2, , m}; 0 < hi(t) ≤ h, t ∈ R là các hàm số liêntục cho trước Khi đó hệ tuyến tính:

(i) Đặc biệt, khi A(·) ≡ A0 ∈ Rn×n là ma trận Metzler, Ak(·) ≡ Ak ∈

Rn×n+ k ∈ m là những ma trận không âm, Định lý 2.7 thu về một kếtquả trong [9, Định lý 1]

(ii) Trong cuốn sách kinh điển về phương trình vi phân phiếm hàm củaJ.Hale [7], tác giả đã chỉ ra rằng phương trình vi phân có chậm

với (0 ≤ hk(t) ≤ h), là ổn định mũ toàn cục nếu:

Ví dụ 2.9 Xét phương trình vi phân phụ thuộc vào thời gian có chậm

|F (t; u1, u2, u3) − F (t; v1, v2, v3)| ≤√

a |u1 − v1|+√b |u2 − v2|+√c |u3 − v3|

với ∀t ∈ R và ∀ui, vi ∈ R , i ∈ {1, 2, 3} Do đó tất cả giả thiết của Định

lý 2.2 nghiệm đúng Vì vậy (2.15) là ổn định mũ toàn cục nếu:

Ví dụ 2.10 Xét một hệ nơron tế bào (cellular neural network) được mô

tả bởi hệ phương trình vi phân:

(A2) Với mỗi j ∈ n, tồn tại Mj ≥ 0 sao cho |gj(u)| ≤ Mj, ∀u ∈ R

Khi đó hệ (2.16) có duy nhất một điểm cân bằng Hơn nữa, điểm cânbằng này ổn định mũ toàn cục nếu:

Xét ánh xạ G : Rn → Rn được xác định bởi: u := (u1, , un)T 7→ G(u) :=(y1, , yn)T, với yi := b1

ổn định mũ toàn cục Điều này có nghĩa là:

Tồn tại các số dương K, β sao cho

CHƯƠNG III

ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG TRONG MÔ HÌNH CÁC MẠNG

NƠRON NHÂN TẠO

Trong chương này chúng ta sử dụng các kết quả thu được ở Chương

2 để nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng trong mô hìnhcác mạng nơron nhân tạo Cần chú ý rằng các bài toán ổn định mũ củacác điểm cân bằng của các mạng nơron nhân tạo có nhiều ứng dụngquan trọng trong kỹ thuật chẳng hạn như quá trình xử lý ảnh, xử lý tínhiệu, các bài toán tối ưu toàn phương, tính toán song song, lý thuyếtnhận dạng, Chính vì vậy các bài toán này thu hút được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà nghiên cứu trong suốt nhiều thập kĩ qua,xem chẳng hạn [2], [3], [20], [21]

Xét mạng nơron nhân tạo được mô tả bởi hệ phương trình vi phânphi tuyến có chậm

- n là số các đơn vị trong mạng nơron này;

- xi(t) là vectơ trạng thái của đơn vị thứ i tại thời điểm t;