Về điểm tới hạn của một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính và á tuyến tính

Lỵ do chồn ã t i

Toán học đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và trong đời sống hàng ngày Nó giúp giải quyết nhiều vấn đề và liên kết các môn học khác nhau thông qua việc mô tả và xây dựng các bài toán liên quan Trong thực tế, nhiều bài toán có thể được biểu diễn qua các hàm phương trình tuyến tính hoặc phi tuyến, đặc biệt là trong vật lý và sinh học Việc nghiên cứu tính chất của hàm này cho phép chúng ta mô tả một cách chính xác các hiện tượng tự nhiên và giải quyết các vấn đề phức tạp Vai trò của hàm phương trình tuyến tính và phi tuyến cũng rất quan trọng trong việc phân tích các dữ liệu và phát triển các mô hình toán học Sử dụng phần mềm Mathematica 5.2 giúp xây dựng và giải các hàm phương trình này một cách hiệu quả, mở ra nhiều cơ hội trong nghiên cứu và ứng dụng toán học Thông qua việc sử dụng phần mềm này, chúng ta có thể nhanh chóng tính toán và tìm ra các giải pháp tối ưu cho các vấn đề toán học hiện đại.

Mửc ẵch nghiản cựu

Trản cỡ sð chựng minh ành lỵ vã sỹ ờn ành cừa hằ tuyán tẵnh v nghiản cựu ành lỵ vã sỹ ờn ành cừa hằ Ă tuyán tẵnh thổng qua cĂc vẵ dử cử thº º phĂc hồa ró n²t cĂc °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh.

Phữỡng phĂp nghiản cựu

Nghiản cựu cĂc t i liằu liản quan án hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh, cĂc t i liằu vã phƯn mãm Mathematica 5.2 º giÊi quyát cĂc vẵ dử cử thº.

ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu

Nghiản cựu iºm tợi hÔn cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh hai bián thổng qua cĂc vẵ dử cử thº.

XƠy dỹng cĂc cƠu lằnh trong mathematica 5.2 º v³ trữớng v²c tỡ v giÊi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn bơng mởt v i phữỡng phĂp số.

CĐu trúc luên vôn

Ngo i phƯn mð Ưu, kát luên, t i liằu tham khÊo v phƯn phử lửc trong luên vôn gỗm cõ cĂc chữỡng sau:

Chữỡng 1: Mởt số khĂi niằm mð Ưu.

Chữỡng 2: Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh.

Tác giả xin thể hiện lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn - TS Lã Hệ Trung đã gửi những góp ý quý báu trong quá trình thực hiện đề tài Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu.

Mởt số khĂi niằm mð Ưu

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh

KhĂi niằm chung

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cõ dÔng:

 dy 1 dx = a 11 (x)y 1 +a 12 (x)y 2 + +a 1n (x)y n +g 1 (x), dy 2 dx = a21(x)y1 +a22(x)y2 + +a2n(x)yn+g2(x), dy n dx = a n1 (x)y 1 +a n2 (x)y 2 + + a nn (x)y n + g n (x),

Trong ô xi biến ở cấp, y1, y2, , yn là các hàm ẩn tầm và a11(x), a12(x), , ann(x) là các hàm số học Các hàm g1(x), g2(x), , gn(x) là các hàm số cho trước n ô xi Các hàm tràn được thiết lập trực tiếp từ khoáng.

Dũng kỵ hiằu ma trên ta cõ thº viát lÔi (1.1) dữợi dÔng: y 0 = A(x)y +g(x), (1.2) trong ây 0 y 1 0 y 0 2 y 0 n

Náu g(x) ≡ (0)thẳ hằ (1.2) l hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nh§t.

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng cõ dÔng: y 0 = Ay +g(x), (1.3) trong â y 0 y 1 0 y 2 0 y n 0

Náu g(x) ≡ (0) thẳ hằ (1.3) l hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt hằ số hơng.

Hằ Ă tuyán tẵnh

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ dÔng:

Phương trình động lực học mô tả sự thay đổi của hai biến x và y theo thời gian t được biểu diễn như sau: dx/dt = ax + by + r(x, y) và dy/dt = cx + dy + s(x, y) Trong đó, x = x(t) và y = y(t) là các hàm liên tục theo thời gian, r(x, y) và s(x, y) là các hàm phụ thuộc vào biến x và y Các hệ số a, b, c, d được xác định trong khoảng I = (a, b) ⊂ R.

Hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn)

Hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn) cõ dÔng:

Trong hệ phương trình động lực học, ta có thể mô tả sự thay đổi của hai biến x và y theo thời gian t bằng các phương trình dx/dt = f(x, y) và dy/dt = g(x, y) Ở đây, x = x(t) và y = y(t) là các hàm phụ thuộc vào thời gian Các hàm f(x, y) và g(x, y) là các hàm số theo biến x và y, và chúng thể hiện sự phụ thuộc của hệ thống trong miền R của một mặt phẳng Oxy - mặt phẳng pha của hệ thống tự động.

iºm tợi hÔn

Cho hằ otonom (hằ tỹ iãu khiºn)

(1.6) iºm (x 0 , y 0 ) ữủc gồi l iºm tợi hÔn cổ lêp náu thọa

 f(x 0 , y 0 ) = 0, g(x 0 , y 0 ) = 0. Tẵnh chĐt cừa iºm tợi hÔn.

• iºm nút: iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) ữủc gồi l iºm nút náu thọa mÂn 2 iãu kiằn:

Mồi quÿ Ôo ãu tián tợi (x0, y0) khi t → +∞ ho°c mồi quÿ Ôo ãu rới xa (x 0 , y 0 ) khi t →+∞.

Mồi quÿ Ôo ãu tiáp xúc vợi ữớng th¯ng i qua (x 0 , y 0 ) tÔi (x 0 , y 0 ).

Mở nút nhữ trản ủc gồi là nút chính thường hay nút chánh Nếu mồi quỳ Ôo ãu, ấn nút thẳn ủc gồi là nút lóm Còn nếu mồi quỳ Ôo ãu lũi, ấn nút thẳn ủc gồi là nút nguồn.

Náu cự mội c°p quÿ Ôo ối diằn khĂc nhau khổng cõ c°p n o tiáp xúc vợi ữớng th¯ng i qua iºm tợi hÔn thẳ iºm nút chẵnh ữủc gồi l iºm hẳnh sao hay iºm sao.

Nút phi chẵnh là mồi quÿ Ôo, giúp mở cặp quÿ Ôo ối diằn l tiáp xúc vợi mởt ữớng th¯ng i qua iºm tợi hÔn Nút õ gồi được xem là nút phi chẵnh.

Iºm yản ngỹa là một khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến việc nghiên cứu hành vi của hàm số (x(t), y(t)) khi t tiến về vô cùng Khi t → +∞, điểm (x(t), y(t)) sẽ hội tụ về điểm (x0, y0) theo trục Ox và trượt xa theo trục Oy Điều này cho thấy sự tồn tại của hai quỹ đạo Ôo, mà tại đó, các giá trị của hàm số sẽ đạt đến những cực trị lớn khi t tiến tới vô cùng.

• iºm tợi hÔn ờn ành: iºm tợi hÔn ữủc gồi l ờn ành náu khi iºm Ưu (x 1 , y 1 ) ừ gƯn (x 0 , y 0 ) thẳ iºm (x(t), y(t)) luổn gƯn (x 0 , y 0 ) vợi mồi t > 0.

Hay °t X(t) = (x(t), y(t)), X 0 = (x 0 , y 0 ), X 1 = (x 1 , y 1 ) khi â, X 0 l iºm ờn ành náu ∀ε > 0,∃δ > 0 : |X 0 −X1| < δ thẳ |X 0 −X(t)| < ε,∀t > 0. iºm tợi hÔn khổng ờn ành náu nõ khổng l iºm ờn ành tực l ∃ε >

Nót lãm câ |X 0 −X(t)| < ε,∀t > 0 do â nâ l iºm nót ên ành.

• TƠm: iºm tợi hÔn ữủc gồi l tƠm náu nõ l iºm tợi hÔn ờn ành ữủc bao quanh bði cĂc quÿ Ôo kẵn, tuƯn ho n.

Suy ra mồi tƠm ãu ờn ành.

• Tiằm cên ờn ành (ờn ành tiằm cên): iºm tợi hÔn (x0, y0) ữủc gồi l ờn ành tiằm cên náu l iºm ờn ành v mồi quÿ Ôo ừ gƯn (x 0 , y 0 ) ãu tián tợi (x 0 , y 0 ) khi t →+∞.

Iºm ờn ành xoưn (iºm xoưn lóm) là một loại hình thức ẩm thực độc đáo, trong đó iºm tợi hÔn ữủc gồi l được chế biến từ nguyên liệu chính là xoưn náu nõ Món ăn này thường được phục vụ cùng với các quÿ Ôo chuyºn ởng xoưn ốc quanh nõ, tạo nên sự hấp dẫn và phong phú cho bữa ăn Nếu các quÿ Ôo chuyºn ởng xa dƯn, món iºm khổng ờn ành xoưn (nguỗn xoưn) sẽ trở thành lựa chọn hoàn hảo cho những ai yêu thích hương vị đậm đà và mới lạ.

CĂc ành lỵ vã iºm tợi hÔn

Tuyán tẵnh hõa tÔi iºm tợi hÔn

Cho hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn):

 dx dt = f(x, y), dy dt = g(x, y), (1.7) khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº giÊ thiát rơng iºm tợi hÔn cổ lêp l

(x 0 , y 0 ) = (0,0) náu khổng thỹc hiằn ph²p ời bián: u = x−x 0 , v = y−y 0 Khi õ, dx dt = du dt , dy dt = dv dt nản hằ (1.7) tữỡng ữỡng vợi hằ:

Ta có thể nghiên cứu các đường cong nghiêm của hàm trong một không gian Oxy được suy ra bằng cách tách tiểu (u, v) thành (u + x₀, v + y₀) của đường cong nghiêm trong không gian uv Do đó, trong trường hợp này, hai điểm tợi hôn tương ứng (x₀, y₀) trong không gian xy và (0,0) trong không gian uv sẽ là hai điểm giao nhau quan trọng.

Để khảo sát sự biến thiên của hàm hai biến f(x, y) quanh điểm cố định (x0, y0), chúng ta có thể áp dụng định lý Taylor Cụ thể, công thức mở rộng của hàm này được biểu diễn như sau: f(x0 + u, y0 + v) = f(x0, y0) + f_x(x0, y0)u + f_y(x0, y0)v + r(u, v), trong đó phần dư r(u, v) thỏa mãn điều kiện giới hạn.

√ u 2 +v 2 = 0. p dửng cổng thực Taylor cho h m f, g trong hằ (1.8) vợi giÊ thiát (x 0 , y 0 ) l iºm tợi hÔn cổ lêp ta cõ:

 du dt = f x (x 0 , y 0 )u+f y (x 0 , y 0 )v +r(u, v), dv dt = g x (x 0 , y 0 )u+g y (x 0 , y 0 )v+ s(u, v), (1.9) trong õ r(u, v), s(u, v) lƯn lữủt l phƯn dữ cừa cĂc h m f, g thọa: lim

√ u 2 +v 2 = 0, v khi giĂ trà cừa u v v nhọ thẳ cĂc phƯn dữ r(u, v) v s(u, v) l rĐt nhọ (nhọ án nội cõ thº so sĂnh vợi u v v).

Do õ khi (u, v) → (0,0) thẳ hằ (1.9) xĐp x¿ vợi hằ tuyán tẵnh:

 du dt = f x (x 0 , y 0 )u+f y (x 0 , y 0 )v, dv dt = gx(x0, y0)u+gy(x0, y0)v.

Khi õ sỹ tuyán tẵnh hõa cừa hằ (1.7) tÔi iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) l hằ (1.10) hay hằ u 0 = J u trong õ u u v

T , ma trên hằ số cừa nõ ữủc gồi l ma trên Jacobian:

 cừa h m f v g ữợc lữủng tÔi iºm (x0, y0).

ành lỵ 1 (Sỹ ờn ành cừa hằ tuyán tẵnh)

º nghiản cựu iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ tuyán tẵnh ta cõ thº dũng phữỡng phĂp trà riảng ối vợi phữỡng trẳnh

, vợi ma trên hằ số hơng ữủc kỵ hiằu l A. ành lỵ 1 Cho λ1, λ2 l cĂc giĂ trà riảng cừa ma trên hằ số A cừa hằ tuyán tẵnh hai chiãu:

 dx dt = ax+by, dy dt = cx+ dy, (1.11) vợi ad−bc 6= 0, Khi õ ta cõ:

Giá trị λ1 và λ2 có thể xác định tính chất của nút trong hệ thống Nếu λ1 và λ2 khác nhau và lớn hơn 0, nút là phi chẩn và khổng ờn ành; nếu λ1 và λ2 khác nhau và nhỏ hơn 0, nút là phi chẩn và tiằm cên ờn ành Khi λ1 nhỏ hơn 0 và λ2 lớn hơn 0, nút có tính chất yản ngỹa và khổng ờn ành Nếu λ1 và λ2 bằng nhau và nhỏ hơn 0, nút có thể là chẩn hoặc phi chẩn và tiằm cên ờn ành; nếu bằng nhau và lớn hơn 0, nút cũng có thể là chẩn hoặc phi chẩn và khổng ờn ành Trong trường hợp λ1,2 là p ± qi với p lớn hơn 0, nút là xoưn ốc và khổng ờn ành; nếu p nhỏ hơn 0, nút là lóm xoưn ốc và tiằm cên ờn ành Cuối cùng, nếu λ1,2 bằng ±qi, nút có tính chất tƠm và ờn ành những khổng tiằm cên ờn ành.

BÊng 1.1: BÊng hằ thống cĂc loÔi iºm tợi hÔn cừa hằ tuyán tẵnh.

Nhên x²t: Khi cĂc hằ số cõ sỹ xĂo trởn nhọ thẳ dăn án sỹ xĂo trởn nhọ cõa λ 1 , λ 2 khi â:

• Náu dĐu cừa Re(λ i ), i = 1,2 khổng ời thẳ loÔi iºm tợi hÔn khổng êi.

• Náu λ 1,2 = ±qi th nh à 1,2 = r±si thẳ loÔi iºm tợi hÔn l tƠm th nh iºm ờn ành tiằm cên náu r < 0, khổng ờn ành náu r > 0.

• Náu λ 1 = λ 2 th nh à 1,2 ∈ R thẳ iºm tợi hÔn l nút văn l nút, th nh à 1,2 phực liản hủp thẳ iºm, trong cĂc trữớng hủp thẳ tẵnh ờn ành khổng ời.

, vợi ma trên hằ số hơng A cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI) a−λ b c d−λ

Vẳ ad−bc 6= 0 nản phữỡng trẳnh °c trững luổn tỗn tÔi nghiằm λ.

• GiĂ trà riảng thỹc khĂc nhau những cũng dĐu (λ 1 6= λ 2 > 0 ho°c λ 1 6= λ 2 < 0):

Theo giÊ thiát ta cõ ma trên A cõ cĂc v²c tỡ riảng v 1 , v 2 phử thuởc tuyán tẵnh v nghiằm tờng quĂt x(t) x(t) y(t)

Hẳnh 1.1: Hằ tồa ở xiản uv ữủc xĂc ành bði v²c tỡ riảng v 1 , v 2

Trong hằng số ở UV, các hàm u(t) và v(t) mô tả sự chuyển động của x(t) theo hướng song song với các vectơ tỡ v1 và v2 Theo phương trình (1.12), hàm u(t) và v(t) được biểu diễn bởi công thức: u(t) = u0 e^λ1t và v(t) = v0 e^λ2t, trong đó u0 = u(0) và v0 = v(0).

Náu v 0 = 0 thẳ quÿ Ôo nơm trản trửc u, tữỡng tỹ náu u 0 = 0 thẳ quÿ Ôo nơm trản trửc v.

Náu u 0 v v 0 ãu khĂc khổng thẳ ữớng cong tham số (1.13) cõ thº viát th nh v = Cu k trong õ k = λ λ 1

2 > 0 CĂc ữớng cong nghiằm tiáp xúc tÔi (0,0) vợi trửc u náu k > 1, vợi trửc v náu 0 < k < 1.

Khi õ ta ữủc iºm tợi hÔn (0,0) l mởt nút phi chẵnh.

Náu λ1, λ2 > 0 thẳ cĂc ữớng cong nghiằm cừa hằ (1.12) v (1.13) lằch vã gốc khi t tông, vẳ vêy (0,0) l nguỗn ¿nh.

Náu λ 1 , λ 2 < 0 thẳ cĂc ữớng cong nghiằm cừa hằ (1.12) v (1.13) sĂt gƯn gốc khi t tông, vẳ vêy (0,0) l ¿nh chẳm.

• GiĂ trà riảng thỹc khĂc nhau những trĂi dĐu (λ 1 < 0< λ 2 ):

Tữỡng tỹ trữớng hủp giĂ trà riảng thỹc cũng dĐu những λ 1 < 0< λ 2 Khi â:

Quÿ Ôo vợi u 0 = 0 ho°c v 0 = 0 nơm trản trửc u v v i qua iºm tợi hÔn (0,0).

Quÿ Ôo vợi u0 v v0 khĂc 0 l nhỳng ữớng cong cừa dÔng v Cu k trong â k = λ λ 1

2 < 0 Vẳ vêy quÿ Ôo phi tuyán giống nhữ hypebol, iºm tợi hÔn (0,0)l mởt iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

• GiĂ trà riảng l hai nghiằm thỹc bơng nhau (λ 1 = λ 2 ∈ R):

Ta x²t trữớng hủp λ = λ 1 = λ 2 6= 0, khi õ tẵnh chĐt cừa iºm tợi hÔn (0,0) phử thuởc v o tẵnh ởc lêp cừa cĂc v²c tỡ riảng cừa ma trên A.

Ta cõ quÿ Ôo cừa hằ (1.11) trong hằ tồa ở xiản uv ữủc mổ tÊ: u(t) =u 0 e λt , v(t) = v 0 e λt

2 = 1 thẳ quÿ Ôo u 0 6= 0 cõ dÔng v = Cv do õ ãu nơm trản ữớng th¯ng i qua gốc Vẳ vêy (0,0) l iºm hẳnh sao Nõ l nguỗn náu λ > 0, l lóm náu λ 0 thẳ iºm (0,0) l nguỗn xoưn ốc.

• GiĂ trà riảng l hai nghiằm thuƯn Êo (λ 1,2 = ±qi):

Giá trị riêng ma trên A có giá trị thực λ = qi và λ¯ = −qi, với các vectơ riêng tương ứng v = a + bi và v¯ = a − bi Phương trình (1.15) với p = 0 dẫn đến hệ phương trình x0 = Ax có nghiệm phụ thuộc vào thời gian: x1(t) = a cos(qt) − b sin(qt) và x2(t) = b cos(qt) + a sin(qt).

Suy ra nghiằm x(t) = c 1 x 1 (t) +c 2 x 2 (t) biºu diạn mởt elip cõ tƠm l

(0,0) trong m°t ph¯ng xy, do â (0,0) l t¥m ên ành.

, cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI)

Suy ra hai giĂ trà riảng λ1 = 1 v λ2 = 2 vợi cĂc v²c tỡ riảng tữỡng ựng v 1

Hẳnh 1.2: Nút lóm phi chẵnh trong vẵ dử 1.5.2.1

Ta có biểu diễn quỹ đạo của hình 1.2 Hai vật thể di chuyển theo hướng của các quỹ đạo tuyến tính, tạo ra các quỹ đạo khác nhau trong không gian Tất cả các quỹ đạo này đều tương tác với mặt phẳng tọa độ tại điểm tiếp xúc với trục tọa độ.

GiĂ trà riảng l hai nghiằm thỹc khĂc nhau những cũng dữỡng nản iºm tợi hÔn (0,0) l iºm nút phi chẵnh v nõ l nguỗn ¿nh.

, cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI)

Suy ra hai giĂ trà riảng λ 1 = − 1 4 + 3i v λ 2 = − 1 4 −3i Ta cõ biºu diạn quÿ

Hẳnh 1.3: Nút lóm xoưn ốc ð vẵ dử 1.5.2.2 Ôo cừa hằ tuyán tẵnh x 0 = Ax nhữ hẳnh 1.3 Ta ữủc mởt quÿ Ôo xoưn ốc iºn hẳnh gƯn vã gốc khi t →+∞.

GiĂ trà riảng l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm nản iºm tợi hÔn (0,0) l lóm xoưn ốc v nõ l tiằm cên ờn ành.

ành lỵ 2 (Sỹ ờn ành cừa hằ Ă tuyán tẵnh)

 dx dt = ax+by +r(x, y), dy dt = cx+dy +s(x, y),

Để xác định giá trị của hàm số tại điểm (0,0) cho hàm tuyến tính \( ax + by \) với điều kiện \( bc \neq 0 \), ta cần xem xét mối liên hệ giữa các hàm phi tuyến \( r(x, y) \) và \( s(x, y) \) với hàm tuyến tính tại điểm này Đặc biệt, cho \( \lambda_1 \) và \( \lambda_2 \) là các giá trị riêng của ma trận liên quan đến hàm tuyến tính, chúng ta sẽ áp dụng các điều kiện cần thiết để tìm hiểu ảnh hưởng của chúng đến hàm số tại (0,0).

Giá trị riêng λ₁ và λ₂ của ma trận có ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống Khi λ₁ và λ₂ khác nhau và đều dương, hệ thống ổn định và không có điểm nút Nếu cả hai giá trị đều âm, hệ thống cũng ổn định nhưng có điểm nút Trong trường hợp λ₁ âm và λ₂ dương, hệ thống không ổn định Nếu λ₁ bằng λ₂ và cả hai đều âm, hệ thống có thể có điểm nút hoặc không ổn định Ngược lại, nếu cả hai giá trị đều dương, hệ thống có thể có điểm nút hoặc không ổn định Khi λ₁ và λ₂ có dạng phức với phần thực dương, hệ thống không ổn định; nếu phần thực âm, hệ thống sẽ ổn định Cuối cùng, nếu λ₁ và λ₂ là số thuần ảo, hệ thống có thể ổn định hoặc không ổn định.

BÊng 1.2: BÊng hằ thống cĂc loÔi iºm tợi hÔn cừa hằ Ă tuyán tẵnh.

Vẵ dử 1.5.3.1 XĂc ành loÔi v sỹ ờn ành cừa iºm tợi hÔn (4,3) cừa hằ Ă tuyán tẵnh:

 dx dt = −10x−3y+ x 2 + 33, dy dt = 6x+ 2y−xy −18.

Ta câ f(x, y) = −10x−3y + x 2 + 33, g(x, y) = 6x+ 2y −xy −18 v x0 = 4, y0 = 3 Suy ra:

Suy ra hằ tuyán tẵnh tữỡng ựng cừa hằ (1.17):

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (1.18):

Giải phương trình ta nhận được λ₁ = -2 + 3i và λ₂ = -2 - 3i Suy ra, điểm tối hưu (0,0) của hàm (1.18) là điểm xoắn ốc, nằm trên mặt phẳng, do điểm tối hưu (4,3) của hàm (1.17) cũng là điểm xoắn ốc, nằm trên mặt phẳng.

Hẳnh 1.4: Quÿ Ôo xoưn ốc cừa hằ (1.18) nh pha cừa hằ (1.17)

Mởt v i phữỡng phĂp số giÊi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn

Ph÷ìng ph¡p Euler

Cổng thực l°p cừa phữỡng phĂp Euler ối vợi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn l : x n+1 = x n + hf(t n , x n , y n ), y n+1 = y n +hg(t n , x n , y n ),

Phương pháp Euler cải tiến là một kỹ thuật hiệu quả để xác định gần đúng nghiệm của các phương trình vi phân Phương pháp này sử dụng các điểm trung gian để cải thiện độ chính xác của kết quả, giúp tối ưu hóa quá trình tính toán Cổng thực lập của phương pháp Euler cải tiến thường liên quan đến việc giải các bài toán vi phân phức tạp.

Ph¦n dü o¡n: un+1 = xn+ hf(tn, xn, yn), v n+1 = y n +hg(t n , x n , y n ).

Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta

Để tính giá trị gần đúng của các giá trị x và y tại các điểm t n+1, chúng ta sử dụng phương pháp nội suy với các giá trị đã biết x(t 1), y(t 1), x(t 2), y(t 2), , x(t n), y(t n) Cần tính toán tiệm cận x n+1 ≈ x(t n+1) và y n+1 ≈ y(t n+1) Theo quy tắc Simpson, ta có thể áp dụng công thức: x(t n+1)−x(t n) ≈ h, trong đó h là độ rộng của khoảng cách giữa các điểm Việc sử dụng tích phân từ t n đến t n+1 cho phép chúng ta xác định giá trị x(t n+1) một cách chính xác hơn.

Thá cĂc Ôi lữủng x 0 (t n ), x 0 (t n + h 2 ), x 0 (t n + h 2 ), x 0 (t n+1 ) ð biºu thực trản lƯn lữủt bði F1, F2, F3, F4 ữủc xĂc ành ta ữủc cổng thực l°p cừa phữỡng ph¡p Runge-Kutta.

Cổng thực l°p cừa phữỡng phĂp Runge-Kutta ối vợi hằ phữỡng trẳnh vi ph¥n l : x n+1 = x n + h

F4 = f(tn +h, xn+hF3, yn +hG3),

G1, G2, G3, G4 l cĂc giĂ trà cừa h m g ữủc xĂc ành tữỡng tỹ.

Ch÷ìng 2 Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho mởt số °c trững cừa mởt lợp hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh

Trong phƯn n y ta sỷ dửng trữớng v²c tỡ ữủc v³ trong Mathematica º nghiản cựu mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, vợi cƠu lằnh: Graphics`PlotField`

PlotVectorField[{f(x,y), g(x,y)}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, Prolog -> {Thick- ness[0.001]}, AspectRatio ->1, PlotPoints -> 20, Frame -> True, Axes ->True, AxesLabel -> {x, y}]

Vã mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh 25

2.1.1 p dửng ành lỵ 1 º xĂc ành loÔi iºm tợi hÔn (0,0) v nõi ró nõ l ờn ành tiằm cên, ờn ành hay khổng ờn ành. Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = −1 v λ2 = −3 Suy ra iºm tợi hÔn

(0,0) cừa hằ (2.1) l nút phi chẵnh, l ¿nh chẳm v tiằm cên ờn ành. Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Hẳnh 2.1: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.1) Hẳnh 2.2: nh pha cừa hằ (2.1)

• p dửng phữỡng phĂp giÊi chẵnh xĂc:

Ta câ: dx dt = −2x+y ⇒ d dt 2 x 2 = −2 dx dt + dy dt

M : dy dt = x−2y = x−2( dx dt + 2x) = −2 dx dt −3x.

Suy ra: d dt 2 x 2 = −4 dx dt −3x hay x 00 + 4x 0 + 3x = 0.

Suy ra: x = C 1 e −t +C 2 e −3t , C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ.

Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.1) cho ta y = C 1 e −t −C 2 e −3t

X²t b i toĂn Cauchy sau vợi bữợc nhÊy h = 0,1:

 dx dt = −2x+y, x(0) = 2, dy dt = x−2y, y(0) = 0 (2.2) p dửng phữỡng phĂp Euler º giÊi (2.2) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 2, y0 = 0, P rint[”(”, xi+1 = xi + 0.1(−2x i +yi),”; ”, y i+1 = y i + 0.1(x i −2y i ),”)”]},{i,0,9}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta º giÊi (2.2) vợi cƠu lằnh:

{f 2 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][x i + 0.05f, y i + 0.05g]], g2 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][xi+ 0.05f, yi + 0.05g]]}; {f 3 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g 3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][xi + 0.1f3, yi + 0.1g3]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]};

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler (x; y) vợi phữỡng phĂp Runge-Kutta (x; y) chẵnh xĂc

B£ng 2.1: B£ng c¡c gi¡ trà cõa b i to¡n Cauchy (2.2).

Qua Ơy ta cõ nhên x²t phữỡng phĂp Runge-kutta cho giĂ trà gƯn vợi giĂ trà chẵnh xĂc hỡn phữỡng phĂp Euler.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 1−2i v λ 2 = 1 + 2i Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ (2.3) l nguỗn xoưn ốc v khổng ờn ành.

Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Ta câ: dx dt = 3x−2y ⇒ d dt 2 x 2 = 3 dx dt −2 dy dt

M : dy dt = 4x−y = 4x− 1 2 (− dx dt + 3x) = 1 2 dx dt + 5 2 x.

Suy ra: d dt 2 x 2 = 2 dx dt −5x hay x 00 −2x 0 + 5x = 0.

Suy ra: x = (C 1 cos 2t+C 2 sin 2t)e t , C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.3) cho ta y = (3C1sin 2t−3C2cos 2t)e t

Vêy hằ (2.3) cõ nghiằm: x = (C 1 cos 2t+C 2 sin 2t)e t , y = (3C1sin 2t−3C2cos 2t)e t

X²t b i toĂn Cauchy sau vợi bữợc nhÊy h = 0,1:

 dx dt = 3x−2y, x(0) = 1, dy dt = 4x−y, y(0) = 1 (2.4) p dửng phữỡng phĂp Euler cÊi tián º giÊi (2.4) vợi cƠu lằnh:

{f 1 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][u i+1 , v i+1 ]], g1 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][ui+1, vi+1]]};

Simplif y[y i+1 = y i + 0.1 2 (g +g 1 )],”)”]}},{i,0,9}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta º giÊi (2.4) vợi cƠu lằnh:

{f 2 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][xi + 0.05f, yi+ 0.05g]], g 2 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.05f, y i + 0.05g]]}; {f 3 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g 3 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]}; {P rint[”(”, Simplif y[x i+1 = x i + 0.1 6 (f + 2f 2 + 2f 3 +f 4 )],”; ”, Simplif y[y i+1 = y i + 0.1 6 (g + 2g 2 + 2g 3 +g 4 )],”)”]}},{i,0,9}]

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) chẵnh xĂc

Euler cÊi tián Runge-Kutta 0,1 (1,085; 1,305) (1,0831; 1,3027) (1,0831; 1,3027)

Phương pháp Runge-Kutta là một kỹ thuật hiệu quả trong việc giải gần đúng giá trị của phương trình vi phân, vượt trội hơn so với phương pháp Euler truyền thống Đặc biệt, phương pháp này thường được áp dụng để giải các bài toán vi phân tuyến tính và phi tuyến một cách chính xác hơn.

2.1.2 p dửng ành lỵ 2 cho lợp cĂc iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) º phƠn loÔi v x²t tẵnh ờn ành Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà.

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (1,1) °t:

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (0,0).

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ mợi ữủc xĂc ành bði:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1−i v λ 2 = −1 +i l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (1,1) cừa hằ (2.5) l iºm xoưn ốc v tiằm cên ờn ành.

Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Ta câ: dx dt = x−y ⇒ d dt 2 x 2 = dx dt − dy dt

M : dy dt = 5x−3y −2 = 5x−3(− dx dt +x)−2 = 3 dx dt + 2x−2.

Suy ra: d dt 2 x 2 = −2 dx dt −2x+ 2 hay x 00 + 2x 0 + 2x−2 = 0.

Suy ra: x = (C 1 cost+C 2 sint)e −t + 1, C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.5) cho ta y = ((2C 1 −C 2 ) cost+ (C 1 + 2C 2 ) sint)e −t + 1.

Vêy hằ (2.5) cõ nghiằm: x = (C1cost+C2sint)e −t + 1, y = ((2C 1 −C 2 ) cost+ (C 1 + 2C 2 ) sint)e −t + 1.

 dx dt = x−y, x(0) = 2, dy dt = 5x−3y −2, y(0) = 3 (2.6) p dửng phữỡng phĂp Euler vợi bữợc nhÊy h = 0,05 º giÊi (2.6) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 2, y 0 = 3, P rint[”(”, x i+1 = x i + 0.05(x i −y i ),”; ”, y i+1 = y i + 0.05(5x i −3y i −2),”)”]},{i,0,19}] p dửng phữỡng phĂp Euler cÊi tián vợi bữợc nhÊy h = 0,1 º giÊi (2.6) vợi cƠu lằnh:

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler cÊi tián (x; y) chẵnh xĂc

Phương pháp Euler có nhược điểm trong việc tính toán giá trị gần đúng, đặc biệt khi giải các bài toán phức tạp Tuy nhiên, phương pháp này vẫn được sử dụng rộng rãi nhờ vào tính đơn giản và dễ hiểu Để cải thiện độ chính xác, các phương pháp nâng cao đã được phát triển, cho phép đạt được kết quả tốt hơn so với phương pháp Euler truyền thống Những cải tiến này giúp giảm thiểu sai số và tăng cường hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán toán học phức tạp.

 x = 5 2 , y = − 1 2 Nhên ữủc iºm tợi hÔn l ( 5 2 ,− 1 2 ). °t:

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (0,0).

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ mợi ữủc xĂc ành bði:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −2i v λ 2 = 2i l hai nghiằm thuƯn £o.

Suy ra iºm tợi hÔn ( 5 2 ,− 1 2 ) cừa hằ (2.7) l tƠm ờn ành.

Ta câ: dy dt = x−y −3 ⇒ d dt 2 y 2 = dx dt − dy dt

M : dx dt = x−5y −5 =− dy dt +y + 3−5y −5 = dy dt −4y −2.

Suy ra: y = C1cos 2t+C2sin 2t− 1 2 , C1, C2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá y v o phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ (2.7) cho ta x = (C 1 + 2C 2 ) cos 2t+ (−2C 1 +C 2 ) sin 2t+ 5 2

Vêy hằ (2.7) cõ nghiằm: x = (C 1 + 2C 2 ) cos 2t+ (−2C 1 +C 2 ) sin 2t+ 5 2 , y = C 1 cos 2t+ C 2 sin 2t− 1 2

(2.8) p dửng phữỡng phĂp Euler vợi bữợc nhÊy h = 0,05 º giÊi (2.8) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 7 2 , y 0 = 1 2 , P rint[”(”, x i+1 = x i + 0.05(x i −5y i −5),”; ”, y i+1 = y i + 0.05(x i −y i −3),”)”]},{i,0,11}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta vợi bữợc nhÊy h = 0,1 º giÊi (2.8) vợi cƠu lằnh:

{f 3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−5y−5][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−y −3][xi + 0.05f2, yi + 0.05g2]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−5y −5][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−y −3][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]}; {P rint[”(”, Simplif y[x i+1 = xi + 0.1 6 (f + 2f2 + 2f3 +f4)],”; ”,

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) chẵnh xĂc

Phương pháp Runge-Kutta là một phương pháp tối ưu để giải gần đúng các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính, mang lại độ chính xác cao hơn so với phương pháp Euler mặc dù có bước nhảy lớn Nhờ vào khả năng cải thiện độ chính xác trong việc tính toán giá trị gần đúng, phương pháp này đã trở thành một công cụ quan trọng trong lĩnh vực giải tích số.

Vã mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Ă tuyán tẵnh

XĂc ành loÔi iºm tợi hÔn (0, 0) cừa hằ Ă tuyán tẵnh, miảu tÊ sỹ xĐp x¿ àa phữỡng v phƠn loÔi cĂc iºm tợi hÔn bĐt ký khĂc ữủc xĂc ành trong Ênh pha

tÊ sỹ xĐp x¿ àa phữỡng v phƠn loÔi cĂc iºm tợi hÔn bĐt ký khĂc ữủc xĂc ành trong Ênh pha.

 dx dt = x−3y+ 2xy, dy dt = 4x−6y−xy (2.9)

Hằ tuyán tẵnh tữỡng ựng cừa hằ (2.9) l :

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (2.10) l :

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −2 v λ 2 = −3 l hai nghiằm thỹc ãu Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ (2.9) l nút phi chẵnh ờn ành.

Hẳnh 2.9: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.10)

Hẳnh 2.10: Trữớng v²c tỡ cừa hằ

(2.9) Hẳnh 2.11: nh pha cừa hằ (2.9)

Qua Ơy cho thĐy ngo i iºm tợi hÔn (0; 0) l nút phi chẵnh ờn ành ra hằ (2.9) cỏn cõ mởt iºm tợi hÔn gƯn iºm (0,67; 0,40) l mởt iºm yản ngüa ên ành.

XĂc ành cĂc iºm tợi hÔn cừa hằ ữa ra, nghiản cựu loÔi v tẵnh ờn ành cừa tứng iºm

v tẵnh ờn ành cừa tứng iºm.

Vêy hằ (2.11) cõ 2 iºm tợi hÔn (0,0) v (1,1).

• ối vợi iºm tợi hÔn (0,0):

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = 1 v λ2 = −1 l hai nghiằm thüc tr¡i d§u.

Suy ra (0,0) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = i v λ2 = −i l hai nghiằm thu¦n £o.

Hẳnh 2.13: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.13)

(2.11) Hẳnh 2.15: nh pha cừa hằ (2.11)

Suy ra cĂc iºm tợi hÔn l (0,0) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành v

Vêy hằ (2.14) cõ 2 iºm tợi hÔn (1,1) v (−1,1).

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 1 v λ 2 = −2 l hai nghiằm thüc tr¡i d§u.

Suy ra (1,1) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

• ối vợi iºm tợi hÔn (−1,1):

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = − 1 2 −

2 i l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (−1,1) l iºm xoưn ốc v tiằm cên ờn ành.

Hẳnh 2.17: Trữớng v²c tỡ cừa hằ(2.16)

(2.14) Hẳnh 2.19: nh pha cừa hằ (2.14)

Sü ph¥n nh¡nh

Tại các trường hợp hợp lý, khi có sự thay đổi trong các hệ số của hàm số, hàm tuyến tính có thể trở thành một hàm không tuyến tính, dẫn đến việc cần phải điều chỉnh phương pháp giải quyết để đạt được kết quả tối ưu hơn.

Khi õ iºm tợi hÔn (0,0) l : a mởt iºm xoưn ốc ờn ành náu < 0.

Vợi < 0 giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1 + i√

L hài nghiằm phực liản hủp cõ phần thỹc Ơm cho thấy rằng điểm tợi hÔn (0,0) là điểm xoưn ốc ờn ành Nút ờn ành nằm trong khoảng 0 ≤ x < 1, trong khi sỹ xĂo trởn nhọ cừa hàm x = 0 - x, y = 0 = x - y cho thấy rằng m thay ời kiãu tợi hÔn (0,0) không thể là mĐt tẵnh ờn ành cừa nó.

Vợi 0 ≤ < 1 giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1 + √ v λ2 = −1−√ l hai nghiằm thỹc ãu Ơm Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) l nót ên ành.

Náu 0 < < 1 thẳ iºm tợi hÔn (0,0) l nút phi chẵnh ờn ành.

Náu = 0 ta ữủc hằ x 0 = −x, y 0 = x−y cõ phữỡng trẳnh °c trững cõ nghiằm thỹc Ơm λ = −1 Ơm, do õ iºm tợi hÔn (0,0) l ờn ành những kiºu iºm thay ời l nút chẵnh ho°c phi chẵnh.

Hẳnh 2.21: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.17) vợi = −0, 2

Hẳnh 2.23: Trữớng v²c tỡ cừa hằ(2.17) vợi = 0, 05

Hẳnh 2.24: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.17) vợi = 0, 2

Ùng dửng: Sỹ sống sõt cừa mởt lo i

X²t là một loại hình toán học mô tả sự tương tác giữa hai loại hình, x(t) và y(t), theo thời gian t Chúng cạnh tranh với nhau trong một môi trường chung, tạo ra sự ổn định trong mỗi trường hợp Để xây dựng một mô hình toán học hiệu quả, cần xác định rõ ràng mối quan hệ giữa hai loại hình này và điều kiện mà chúng thỏa mãn Nếu không có sự tương tác giữa hai loại hình, các phương trình của chúng x(t) và y(t) sẽ đạt được sự đồng nhất trong một không gian nhất định.

Náu cuởc cÔnh tranh Ênh hữðng án tốc ở suy thoĂi trong mội tờng thº v t¿ lằ vợi tẵch xy Ta nhên ữủc hằ cÔnh tranh:

 dx dt = a 1 x−b 1 x 2 −c 1 xy, dy dt = a 2 y −b 2 y 2 −c 2 xy, (2.19) trong õ cĂc hằ số a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 ãu dữỡng.

GiÊ sỷ ta cõ mởt tờng thº x(t) v y(t) thọa mÂn hằ:

 dx dt = 14x− 1 2 x 2 −xy, dy dt = 16y − 1 2 y 2 −xy (2.20)

Vêy hằ (2.20) cõ 4 iºm tợi hÔn (0,0),(0,32),(28,0),(12,8).

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 14 v λ 2 = 16 l hai nghiằm thỹc ãu dữỡng.

Suy ra (0,0) l nút nguỗn khổng ờn ành.

Ta câ: f(x, y) = 14x− 1 2 x 2 −xy, g(x, y) = 16y− 1 2 y 2 −xy, suy ra:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −18 v λ 2 = −16 l hai nghiằm thüc ¥m.

Suy ra iºm tợi hÔn (0,32) l nút ờn ành.

• ối vợi iºm tợi hÔn (28; 0):

 du dt = −14u−28v, dv dt = −12v (2.23) Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (2.23) l :

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −14 v λ 2 = −12 l hai nghiằm thüc ¥m.

Suy ra iºm tợi hÔn (28,0) l nút ờn ành.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −5−√

97 l hai nghiằm thỹc trĂi dĐu.

Suy ra iºm tợi hÔn (12,8) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

Hẳnh 2.25: nh pha cừa hằ (2.20)

Qua Ênh pha cừa hằ (2.20) thẳ cõ hai quÿ Ôo dƯn án iºm yản ngỹa

(12,8)cũng vợi iºm yản ngỹa hẳnh th nh ữớng tĂch th nh hai miãn õng vai trỏ quan trồng º xĂc ành h nh ởng lƠu d i cừa tờng thº.

• Náu iºm Ưu (x 0 , y 0 ) nơm trản ữớng tĂch thẳ (x(t), y(t)) dƯn án

(12,8) khi t → +∞ Dắ nhiản cĂc sỹ viằc ngău nhiản l m nõ khổng giống vợi (x(t), y(t)) trản ữớng tĂch, náu khổng sỹ cũng tỗn tÔi hỏa bẳnh cừa hai lo i l khổng thº.

• Náu (x 0 , y 0 ) nơm trong miãn I trản ữớng tĂch thẳ(x(t), y(t)) dƯn án

(0,32) khi t→ +∞ Vẳ vêy tờng thº x(t) giÊm vã 0.

• Náu (x 0 , y 0 ) nơm trong miãn II dữợi ữớng tĂch thẳ (x(t), y(t)) dƯn án (28,0) khi t →+∞ Vẳ vêy tờng thº y(t) diằt vong.

Luận văn nghiên cứu về các loại hình đầu tư trong hệ thống phân phối, qua đó cho thấy tầm quan trọng của đầu tư trong việc nâng cao hiệu quả hoạt động của hệ thống Thông qua các hình thức đầu tư, có thể xác định được các yếu tố ảnh hưởng đến hệ thống phân phối một cách nhanh chóng và hiệu quả Đầu tư đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện các mô hình biểu diễn bởi hệ thống phân phối như: Mô hình sinh thái chiếm ưu thế, cạnh tranh, và bùng nổ đơn số.

Sử dụng phần mềm Mathematica 5.2 để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân là một lựa chọn hiệu quả Bài viết này so sánh một số phương pháp số để giải các phương trình vi phân, nhấn mạnh ưu điểm của từng phương pháp trong việc áp dụng toán học.

Mô hình dũ liệu lớn đang mở ra nhiều cơ hội cho việc khai thác dữ liệu hiệu quả hơn Việc sử dụng các phương pháp phân tích nâng cao giúp cải thiện chất lượng dữ liệu và tối ưu hóa quy trình ra quyết định Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô về mô hình này để hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

Sinh viản thỹc hiằnNguyạn Thà Hỗng NhÔn

[1] Arnold V.I (1978), Ordinary differential equations, MIT.

[2] C Henry Edwards, E Penney David (2007), Elementary differential equations with boundary value, Prentice Mall.

[3] William E Boyce (2000), Elementary differential equations with boundary value, Jonh Wiley and Sons.

[4] BÊn dàch (2008), Phữỡng trẳnh vi phƠn cỡ bÊn vợi b i toĂn giĂ trà biản-

Têp 2, Ôi hồc Thừy Lủi.

[5] http://reference.wolfram.com/mathematica/howto/PlotAVectorField.html.

[6] http://55clc2.wordpress.com/2011/01/19/mởt-số-lằnh-cỡ-bÊn-trong- mathematica/.

Tiêu đề	Về điểm tới hạn của một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính và á tuyến tính
Tác giả	Nguyễn Thái Hồng Nhơn
Người hướng dẫn	TS. Lê Huy Trung
Trường học	Đại Học Sư Phạm Khoa Toán
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	0,94 MB