Về tính ổn định tiềm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên ito tuyến tính không đưa được về dạng cauchy

Trờng Đại học Vinh Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán

Trờng Đại học Vinh

Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của

hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

==== Vinh /2005===

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của

hệ vi phân ngẫu nhiên Ito tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy

Ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: xác suất thống kê

Ngời hớng dẫn khoá luận:

PGS TS Phan Đức Thành

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Hằng

Lớp: 41E4 - Khoa Toán

==== Vinh /2005===

Việc nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên bằng phơngpháp giải tích đã đợc nhiều tác giả quan tâm nh Hasmiski, Gichman vàKushner…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.

Khoá luận này nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ

vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không giải ra đợc đối với đạo hàm

Khoá luận gồm hai chơng:

Chơng I: Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của

hệ vi phân tuyến tính theo nghĩaLiapunov

Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ viphân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không đa đợc về dạng Cauchy

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS Phan ĐứcThành Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy – Ngời đãgiành sự nhiệt tình tận tâm cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán củaTrờng Đại học Vinh nói chung và tổ xác suất thống kê nói riêng, đặc biệt là làcác ý kiến đóng góp qúy báu của các thầy giáo: PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,

TS Nguyễn Trung Hoà, TS Trần Xuân Sinh

Vinh, ngày 30 tháng 04 năm 2005

Tác giả

Chơng I: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Đ1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

Ta đã biết bất kỳ một hệ thống ( hệ sinh học, hệ kỹ thuật, hệ kinh tế xã hội ) hoạt động trong môi trờng chịu tác động của môi trờng và củanhiễu bao giờ cũng đợc mô tả bở một hệ phơng trình vi phân

Xét hệ phơng trình vi phân thờng: j j n

y y

y t f dt

dy

, , 1 2

 , (j = 1,…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.,n).(1.1)

Trong đó: t là biến độc lập ( thời gian ), y1, , yn là các hàm cần tìm,

fj là các hàm xác định trong một bán trụ T = It Dy

với It = t0 t , và Dy là một miền mở thuộc Rn

Hệ ( 1.1) đợc viết dới dạng ma trận Vectơ nh sau:

t y

F dt

y

Y t f Y t f Y t F y y Y

n

,

, ,

dt

dy dt

dy dt

dy dt

Nghiệm z = z(t) ( a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo

Liapunov khi t  + ( gọi ngắn gọn là ổn định ) Nếu với    0 và

* Về ý nghĩa ta luôn luôn có thể chọn   

Đặc biệt: Khi F (t, 0 )  0 nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng),

Z(t)  0 ( a < t <  ) ổn định nếu    0 , t0  (a,  )     (  ,t0)  0 sao cho:



 )

ổn định nếu với   0 , t0  (a,) nào đó

và với    0 nghiệm Y (t), tại thời

điểm t1 = t1( ) > t0 sao cho: Y(t0)   , Y(t)  

(t0 Z t0

Y có tính chất Lim t Y(t)  Z(t)  0

(1.5)

Đặc biệt: Nghiệm tầm thờng Z(t) 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và Lim t Y(t) = 0 khi Y(t0)  

Hình cầu Y   (t0)với t0 cố định là miền hút của trạng thái cân bằng 0

Định nghĩa 5: Giả sử hệ ( 1.2 ) xác định trong nửa không gian

   



 t0 t x  Y   Nếu nghiệm Z = Z(t) ( a< t <  ) ( a < t <  ) ổn

định tiệm cận khi t   và tất cả các nghiệm Y = Y(t): ( t0 t ,t 0> a) đều

có tính chất (1.5), tức là   , thì Z(t) đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục

Cùng với hệ (1.2) ta xét có nhiễu: F(t,y) (t,y)

dt

y d





trong đó (t, y ) là một hàm vectơ trong miền T, liên tục theo t và có các

đạo hàm riêng cấp một theo y1, y2, , yn liên tục

Định nghĩa 6: Nghiệm Z = Z(t) ( a < t < ) của hệ ( 1.2) đợc gọi là

ổn định dới tác động của nhiễu  (t,y) nếu với    0và t0 (a,  )tồn tại

0 )

thoả mãn điều kiện: Y(t0)   xác định trong khoảng ( t0, ) và

Trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trong khoảng (a, ).

Giả sử X(t) = [ xjk(t) ] (2.3) (det x (t) 0 ) là ma trận nghiệm cơ bản.

(tức là hệ nghiệm cơ bản đợc viết dới dạng ma trận cỡ nn của hệ vi phântuyến tính thuần nhất tơng ứng:

Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định (hoặc

không ổn định ) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) tơng ứng ổn định (không ổn

định ) theo Liapunôp khi t  

+ Ta cũng thấy rằng các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồngthời cũng ổn định hoặc đồng thời cũng không ổn định Còn hệ vi phân khôngtuyến tính thì có một số nghiệm ổn định còn một số nghiệm còn lại không ổn

định

Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định đều nếu

tất cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t   đối với thời điểm ban

đầu t0  (a,  )

Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) đợc gọi là ổn định tiệm cận

nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t  

Y ( t0 t  ,t0 (a,  ) Của hệ thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định.

Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng Y0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.4)

ổn định đều khi t  .

Định lí 3: Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.2) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi nghiệm tầm thờng Y0  0 của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.4) ổn định tiệm cận khi t  .

4 Các hệ quả

Từ việc chứng minh điều kiện cần và đủ của định lý 1 ta có thể suy rarằng tính ổn định của nghiệm tầm thờng Y0  0của hệ vi phân tuyến tínhthuần nhất (2.4) đợc suy ra từ tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ(2.2) với số hạng tự do F(t), nào đó ( có thể F(t) 0)

Hệ quả 1: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra 1 nghiệm của nó ổn

định và ngợc lại nếu ít ra 1 trong những nghiệm của nó không ổn định thì hệkhông ổn định

Hệ quả 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân

thuần nhất tơng ứng ổn định

Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính ( 2.2) với số

hạng tự do bất kỳ F(t) ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất t

-ơng ứng (2.4) ổn định

8

Đ3 Tính ổn định của hệ vi phân thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất A t Y

dt

dy

) (

Trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ) Định lí sau đây sẽ cho tathấy rằng tính ổn định của (3.1) sẽ tơng đơng với tính giới nội của tất cả cácnghiệm của nó

Định lí 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định theo

Liapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y=Y(t), (t 0  t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t 0  t < .

Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả

các nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t  

Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó dần tới không khi t   tức là:

Đ 4 ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

dt

dy

 (4.1) trong đó A= [a jk] là ma trận hằng ( n x n )

Định lí 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A

ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có phần thực không dơng Rej (j = 1,2, ,n) và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn.

Định lí 2: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A

ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng  = j(A) của A

đều có các phần thực âm, tức là: Rej < 0 (j = 1,2, ,n)

10

Đ5 Tiêu chuẩn Hurwitz

1 Một số khái niệm cần thiết

Xét đa thức f(z) = a0 + a1z + + anzn (5.1) (n  1) trong đó

z = x + iy là số phức và a0, a1 an có thể là các hệ số thực hoặc phức

Định nghĩa: Đa thức f(z) bậc n  1 đợc gọi là đa thức Hurwitz

nếu tất cả các nghiệm (không điểm) z1, z2, ,zn của nó đều có các phần thực

a a

.

.

0

0 0 0

4 2 2

2 1 2

0 1 2 3

0 1

(5.6)

Trong đó quy ớc as = 0 với s < 0 và s > n

Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (5.5) là đa thức

Húc vít là: tất cả các định thức chéo chính của ma trận Húc vít của nó đều

0

0

1

2 3

0 1 2

1 1

n n

n a

a a

a a a

( 5.7)

Đ 6 ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

Giả sử có hệ phơng trình vi phân: 

dt

dx i

fi(t, x1, x2 xn) (i = 1, 2, n)(6.1)

Trong đó fi là các hàm khả vi trong lân cận gốc toạ độ fi (t, 0, 0, , 0)0

Biểu diễn hệ (6.1) trong lân cận gốc toạ độ dới dạng:

j ij

( )

1

2 , tức là về thực chất ta khaitriển các vế phải của (6.1) theo công thức Taylo theo x = (x1, , xn) tại lâncận gốc toạ độ

Thay vì điểm cân bằng của hệ (6.1) xi ≡ 0 ta nghiên cứu tính ổn định

cũng của điểm cân bằng đó đối với hệ tuyến tính: 

x

1

2 và tất cả các khaitriển đều bắt đàu từ các số hạng không thấp hơn bậc 2

3) Tất cả các nghiệm của phơng trình đặc trng:

0

2 22

21

1 12

a

a k

a

a

a a

k

a

nn n

n

n n

2) Tất cả các hàm Ri thoả mãn các điều kiện của định lý 1.

3) Có ít nhất một nghiệm của phơng trình đặc trng (5.4) có phầnthực dơng thì điểm cân bằng xi  0 ( i = 1, 2, , n) của hệ (5.2) và (5.3) làkhông ổn định, tức là trong trờng hợp này cũng có thể nghiên cứu tính ổn

định theo xấp xỉ thứ nhất

Đ7 Phơng pháp hàm Liapunov

7.1 Một số khái niệm.

Trớc đây để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân, ta xét trực tiếpnghiệm của hệ Bây giờ ta nghiên cứu tính ổn định bằng cách xét gián tiếpthông qua hàm Liapunov

dt

dy dt

dy dt

dy dt

( x t G dt

Định nghĩa 1: Hàm thực liên tục v(t, x) đợc gọi là có dấu không đổi

(dấu dơng hoặc dấu âm ) trong Z0 nếu: V( t, x )  0 ( hoặc V( t, x)  0) với(t, x) Z0

Định nghĩa 2: Hàm v(t, x) đợc gọi là xác định dơng trong Z0 nếu tồn tạihàm  (X) C( X h)sao cho:

Hàm xác định dơng hoặc xác định âm đợc gọi là hàm có dấu xác định

Đôi khi  (x) có thể lấy (x) = inf V(t,x)

Đặc biệt v = v(x) là hàm có dấu xác định nếu (-1) v(x) > 0 với

Định nghĩa 3: Hàm v(t, x) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc

cao khi x  0 sẽ bị chặn trong một bán trụ nào đó t0  t < , x  h

Chú ý rằng nếu hàm V(x) liên tục, không phụ thuộc vào thời gian t vàv(0) = 0 thì v(x) sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x  0

 (T0) ( khả vi liên tục theo các biến t, x1,

V t

V

j n

đợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm 

v ( t, x) trong nghĩa của hệ



(A(t) (t0, )) tồn tại hàm xác định dơng v(t, x) có đạo hàm trong nghĩa của

)(

(

) 3 1

)(

2 (

2 2

2 2

y x x y dt

dy

y x y x dt dx

Định lí thứ hai của Liapunov: Giả sử đối với hệ quy đổi (2.1) tồn tại

một hàm xác định dơng v(t, x) C tx(1.1) (T 0 )(khả vi liên tục theo các biến t, x 1 , , x

…, x n trong đó T 0 = a < t < ; x  h < H  T) có giới hạn vô cùng bé

bậc cao khi x  0 và có đạo hàm theo t xác định âm 

v (t, x) trong nghĩa của

hệ đó Khi đó nghiệm tầm thờng X0 của hệ ổn định tiệm cận khi t .

Hệ quả: Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất A t X

dt

dx

) (

3 1

( 2 ) 3 1

)(

( 4 ) 3 1

Chơng 2: Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đ-

a đợc về dạng cauchy

Đ1 Vi phân Itô của hàm Liapunov

Hàm Liapunov là một công cụ quan trọng để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên Để xác định đợc vi phân của hàm Liapunov ta cần một số khái niệm về Vi phân Itô và quy tắc lấy vi phân Itô của hàm hợp

1.1 Quá trình Wiener

Định nghĩa: Quá trình W = (Wt , t 0) xác định trên không gian xácsuất (  ,  ,  ) đợc gọi là quá trình Wiener nếu:

(i) W0 = 0

(ii) (Wt) là quá trình có gia số độc lập, tức là với mọi t1 < t2 < t3 < t4

các biến ngẫu nhiên Wt4 - Wt3 và Wt2 - Wt1 độc lập

(iii) Wt - Ws ~ N( 0, t - s) ( 0  s < t ) Từ đó: E( Wt - WS ) = 0 và E(Wt - WS)2 = t - s

(iv) Với hầu hết  các quỹ đạo của Wt () là hàm liên tục

Cho (Wt) là quá trình Wiener một chiều

X = (Xt) t 0 là một quá trình ngẫu nhiên đo đợc bất kỳ lấy giá trịtrong (R,(R))

Giả thiết rằng quá trình này có vi phân ngẫu nhiên

dXt = A(t, ) dt + B(t,  ) dWt

Ta có quy tắc vi phân Itô sau đây:

Định lí: Cho x = (Xt) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô

Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liêntục theo x

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) có vi phân Itô đợc tính theocông thức sau:

x

g dxt

x

g dt t

g dt t

g

2

2 2

adt x

g dt t

g

2 2

2

1 ) (

dyt = dW t

x

g b dt x

g b x

g a t

x x



2 1

1 ,

1 ,

x x



2 1

b a

Khi đó: xTH = ( x1, x2 )  

d c

b a

= ( ax1 + bx2 , bx1 + cx2)18

b a

dx dt

Đ 2 Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của nghiệm không của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính

không đa đợc về dạng Cauchy 2.1 Xét hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không đa

đợc về dạng cauchy.

Ddx = Axdt + B( ε ) xdw (1)

t  0, x(0) = x0

Trong đó x, x0 Rn, A và D là các ma trận hằng n x n, W là quá trìnhWiener tiêu chuẩn một chiều, B = B( ε ) là ma trận nhiễu B( 0 ) = 0, ma trận Dkhông suy biến

Định nghĩa: Nghiệm x = 0 ổn định với xác suất 1 của hệ (1) đợc gọi là

ổn định tiệm cận với xác suất 1 nếu  > o sao cho:

1 ,

) 0 ( 0 ) ( sup

Trong đó . là chuẩn ơclít trong Rn

Giả thiết 1: Hệ tiên định Ddx = Axdt (2)

là ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov có nghĩa là các nghiệm i (i = 1, ,n) của phơng trình:

dx dt

Nếu ma trận ATHD + DTHA xác định âm Khi đó theo

định lý Liapunov nghiệm x = 0 của hệ phơng trình tiên định đã cho ổn địnhtiệm cận hay chùm ma trận A - D là Hurwitz Tức là Re j < 0 Mệnh đề ng-

ợc lại cũng đúng

Từ đó suy ra:

Mệnh đề 1: Giả sử giả thiết 1 thoả mãn, tức là Re j < 0, khi đó đối vớimọi ma trận xác định dơng đối xứng G, tồn tại ma trận xác định dơng đốixứng H0 là nghiệm của phơng trình ma trận Liapunov:

Định lí: ( điều kiện đủ đối với tính ổn định tiệm cận)

Giả sử giả thiết 1 đợc thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thờng x = 0 của hệ(1) ổn định tiệm cận với xác suất 1 nếu thoả mãn bất đẳng thức ma trận

Trong đó H0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (4).

22

Kết luậnKhoá luận đã thu đợc các kết quả sau:

1 Các vấn đề khoá luận đã trình bày

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định theo Liapunov

1.2 Mỗi quan hệ giữa tính ổn định (ổn định tiệm cận) của hệ vi phân

tuyến tính bất kỳ với tính ổn định (ổn định tiệm cận) của hệ viphân tuyến tính thuần nhất tơng ứng

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.4 Phơng pháp dùng hàm Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của

hệ vi phân tuyến tính

2 Những đóng góp của khoá luận

Đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫunhiên Itô tuyến tính không đa đợc về dạng Cauchy

Đã thiết lập đợc điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng của hệ ở trên ổn

định tiệm cận với xác suất 1 theo ngôn ngữ của phơng trình ma trậnLiapunov

Tµi liÖu tham kh¶o

1 R.Z Hasminski Stochastic stability of differential equations 1980

2 NguyÔn ThÕ Hoµn, Ph¹m Phô C¬ së ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ lý thuyÕt æn

Mục lục

Mở đầu 1

Chơng I: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 2

Đ1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 2

Đ2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 5

Đ3 Tính ổn định của hệ vi phân thuần nhất 7

Đ4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng 8

Đ5 Tiêu chuẩn Hucvit 9

Đ6 ổn định theo xấp xỉ thứ nhất…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất 10

Đ7 Phơng pháp hàm Liapu nov…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.12 Chơng II: Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đa đợc về dạng Cauchy……… …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất 16

Đ1 Vi phân Itô của hàm Liapunov…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất 16 Đ2 Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của nghiệm không của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính không đa đợc về dạng Cauch…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất 20

Kết luận …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất …bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.…bao giờ cũng tồn tài và phát triển ở trạng thái ổn định nhất . 23

Tại liệu tham khảo 24

Trang