Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ luận văn thạc sỹ toán học

LỜI NÓI ĐẦUMột lớp quan trọng của hệ động lực hỗn hợp là lớp thuộc hệ chuyểnđổi theo thời gian rời rạc mà thường xuất hiện trong các dạng toán của các hệ di truyền, các hệ Lotka-Volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Lê Na

NGHỆ AN - 2011

MỤC LỤC

Trang Lời nói đầu ……… ……… 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính 5

1.2 Một số yếu tố về phương trình sai phân 7

1.3 Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân 8

1.4 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính……… 8

1.5 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến ……… 10

1.6 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ……….11

Chương 2 Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ ……… 16

2.1 Bài toán ổn định hóa……… 16

2.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính ……… 16

2.3 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ 17

2.4 Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ 20

2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ 21

Kết luận ……… … 30

Tài liệu tham khảo ……… 31

LỜI NÓI ĐẦU

Một lớp quan trọng của hệ động lực hỗn hợp là lớp thuộc hệ chuyểnđổi theo thời gian rời rạc mà thường xuất hiện trong các dạng toán của các hệ

di truyền, các hệ Lotka-Volterra, các hệ điều khiển tăng trưởng kinh tế toàncầu, kiểm soát các loại bệnh dịch vv… Một hệ biến đổi theo thời gian có thểđược biểu diễn dưới dạng một phương trình sai phân

Ổn định cho các hệ được chuyển đổi là phải tìm ra điều kiện đảm bảo

ổn định tiệm cận cho một giá trị chuyển đổi tùy ý  M. Nói cách khác, một

hệ thống là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu khi ta thay các dữkiện ban đầu thì hệ chỉ thay đổi chút ít và về lâu dài hệ có xu hướng trở vềtrạng thái cân bằng lúc ban đầu của hệ Những vấn đề trên đã thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học Trên cơ sở các tài liệu về phương trình viphân và lý thuyết ổn định, áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov, một sốbất đẳng thức ma trận, luận văn này đề cập đến việc trình bày một số kết quảliên quan đến tính ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định vững) của hệ ở trạngthái cân bằng x 0 Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo của tác giả HyĐức Mạnh (2006), V.N.Phát (2002), A.S.Matveev (2000), A.V.Savkin(2002) để nghiên cứu về tính ổn định, ổn định hoá, ổn định vững của hệchuyển đổi tuyến tính có trễ

Luận văn được chia làm hai chương:

Ch

ươ ng 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm các nội dung sau:

1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính

1.2 Một số yếu tố về phương trình sai phân.

1.3 Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân.1.4 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính

1.5 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến

1.6 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ

Ch

ươ ng 2: Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ là nội dung

chính của luận văn gồm các nội dung sau:

2.1 Bài toán ổn định hóa

2.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính

2.3 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ

2.4 Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính

có trễ

2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ

Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS Phan Lê Na Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc nhất của mình đến Cô Nhân dịp này, tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –Trường Đại Học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trongkhoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt là Ban GiámHiệu, Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên cùng các anh chị trong lớp Caohọc 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quátrình học tập nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc đóng góp ý kiến đểluận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kết quả về phương trình sai phân, một số

cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân Cụ thể là sẽ trìnhbày một số kiến thức liên quan đến phương trình sai phân, các khái niệm về

ổn định và ổn định tiệm cận; sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạcphi tuyến có trễ và một số kiến thức về đại số tuyến tính cần dùng trongluận văn

1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính

Ma trận A  aij  , i 1,m, j 1,n, với a   ij có m hàng và n cột gọi là

ma trận cấp m n 

Giả sử n m

R  là tập hợp tất cả các ma trận cấp n m , chuyển vị của matrận A kí hiệu là '

cả x  n. Nếu x Qx ' 0 ( x Qx ' 0, tương ứng), đối với tất cả x ≠ 0, thì Q là xác

định dương (âm, tương ứng) và được kí hiệu bởi Q > 0, (Q < 0, tương ứng)

Ta thấy rằng Q > 0 (Q < 0, tương ứng) khi và chỉ khi

Ma trận A được xác định dương thì tồn tại ma trận ngược A 1 và ta có

Ba bổ đề dưới đây khá quan trọng và được sử dụng ở phần sau

Bổ đề 2 Giả sử A, B, C là các ma trận vuông (n n), B khả nghịch Khi đó

ta có các khẳng định sau:

i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I CB A 1

 là không suy biến ii) Nếu B + AC không suy biến thì

B AC1 B1 B A I CB A1  1 1CB1

Bổ đề 3 Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng cấp, với  là một số

dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau

F G ' F G 1 F F' 1   1G G'

1.2 Một số yếu tố về phương trình sai phân

Mục này trình bày các kiến thức cơ bản của phương trình sai phân

Xét hệ phương trình

x k  1 f k x k ,   , k 0,1, 2 (1.1)trong đó f  . :  n n

x k  1 A k x k   g k  , (1.2)thì với điều kiện ban đầu x 0 x0 tùy ý và dãy

     

 0 , 1 , , 1 , 

g g g g k ,nghiệm x k  tại bước k 0cho bởi công thức Cauchy

1 0 0

Ta có thể biểu diễn công thức của F k s ,  như sau

 ,   1   2   

F k s A k A k A s , k s  0, F k k ,  I.

Nếu A . là ma trận hằng số thì F k s ,  A k s

 , k s  0 và khi đó nghiệm của

hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là

1 1 0

0

k

k k s s

Bất đẳng thức ma trận dưới đây rất quan trọng khi ta nghiên cứu tính ổn định

và ổn định hóa được của hệ phương trình rời rạc

1.3 Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân

sao cho lim   0

k x k

   với mọi nghiệm x k  mà x 0   0

1.4 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính

Mục này trình bày một số khái niệm về tính ổn định và ổn định tiệmcận theo Lyapunov

Xét hệ rời rạc tuyến tính

x k  1 Ax k , k 

  (1.3)với x 0 x0 thì nghiệm của (1.3) cho bởi   0

1.4.1 Định lý Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai điều

kiện sau xẩy ra

i) Tồn tại số q :0 q 1 sao cho A  q 1.

ii)   1 với mọi    A :  : det A E  0 

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính dừng

x k  1 A k x k   , k 

  (1.4)

1.4.2 Định lý Đối với hệ (1.4) ta có khẳng định sau

i) Nếu A k   A C k  trong đó A là ma trận ổn định và C k  a khi

1.5 Sự ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến

Xét hệ rời rạc phi tuyến

 1  ,   

x k f k x k , k 

  (1.5)

1.5.1 Định lý Trong (1.5), với f(k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sử

i) Tồn tại q  (0, 1) sao cho A(k) q, k 

1.6.1 Định nghĩa Hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc

vào độ trễ nếu với bất kỳ h 0 nào đó thì hệ cũng là ổn định tiệm cận.

1.6.2 Định lý Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau

xẩy ra

i) Tồn tại một số hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho

3 2

Hệ quả 2 Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra:

i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, A và W nghiệm đúng hệ

Hệ quả 3 Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến và tồn

tại hai số dương p, q sao cho

Chương này trình bày bài toán ổn định hóa, các khái niệm, tính chất

về sự ổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính; các khái niệm, tính chất về sự

ổn định, ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ và một số điều kiện đủ cho tính

ổn định của hệ

2.1 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển rời rạc

2.1.1 Định nghĩa Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm

u(k) = h(x(k)): n m sao cho với hệ phương trình sai phân

x(k + 1) = f(k,x(k)), h(k), k  +

là ổn định tiệm cận Hàm h(k) được gọi là hàm điều khiển ngược

2.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính.

Xét hệ phương trình

xk 1  A kx Bu k , k  + (2.2)trong đó A R n n

 và n m.

B R 



2.2.1 Định lý Hệ (2.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng

xác định dương P sao cho

thì hệ trên là ổn định hoá được.

2.3 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ

x  u  ( m  n) là biến điều khiển

Ta đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận (không phụ thuộc độ trễ) của hệ (2.4)trong trường hợp không có điều khiển Ở đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn địnhhóa của (2.4), tức là ta phải tìm một hàm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) saocho khi thay vào (2.4) thì hệ ổn định tiệm cận

2.3.1 Định nghĩa Hệ (2.4) là ổn định hóa được (không phụ thuộc độ trễ)

nếu tồn tại hàm u(k) = Kx(k), với K là ma trận (m  n) sao cho hệ

x(k + 1) = (A + CK)x (k) + Bx(k - h), k  +

là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ.

2.3.2 Định lý Xét hệ phương trình (2.4) hệ là ổn định hoá được nếu tồn tại

hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho

Vậy hệ trên là ổn định hóa được

2.3.4 Hệ quả Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu tồn tại các ma trận đối

2.3.5 Hệ quả Hệ (2.4) là ổn định hóa được nếu B không suy biến và tồn tại

hai số dương p, q sao cho

1 1 1

p q  (2.9)

và ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình

p(A' + K'C') X (A + CK) + qB'XB + Q = X , (2.10) với điều khiển ngược u(k) = Kx(k)

Trong đó E i , Fi, Hi, G i , Q i , T i , i = 1, 2 là các ma trận hằng có chiều thích hợp

và F(k) là ma trận biến động thỏa mãn điều kiện

F k F k  ' I.

2.4.1 Định nghĩa Nghiệm 0 của hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (đặt

u(k)=0, F(k) = 0) được gọi là có tính chất ổn định tiệm cận nếu tồn tại một



ŋ  {1,2, , N} sao cho ∆V(x(k)) = V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theo

nghiệm của hệ

2.4.2 Định nghĩa Hệ chuyển đổi (2.13) (đặt u(k) = 0) được gọi là có tính

ổn định vững nếu tồn tại một hàm số vô hướng xác định dương V(x):

n 



  , và một tín hiệu chuyển đổi   1, 2, , N sao cho

∆V(x(k))=V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theo nghiệm của hệ đối với tất cả các

biến động

2.4.3 Định nghĩa Hệ chuyển đổi (2.13) được gọi là ổn định hóa vững nếu

u(k) = Kx(k) sao cho hệ khép kín có tính ổn định vững.

2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định vững

2.5.1 Định lý Nghiệm x = 0 của hệ (2.14) có tính ổn định tiệm cận nếu tồn

tại ma trận P > 0 sao cho

' ' ' '

A PA P B PB   I A PB B PA (2.15) Chứng minh

Bằng cách ghép lại các số hạng bậc hai, ta có

 

1 '

gọi là đầy đủ hoàn toàn nếu cho mỗi x 0 với n

 

Trong công trình của F.Uhlig đã chỉ ra điều kiện đủ cho tính đầy đủ hoàn

toàn của hệ { L i } là tồn tại các số t  i 0, i 1, 2, ,p sao cho i p1t i  0 và

1

0

p

i i i

t L





2.5.4 Định lý Nghiệm x = 0 của hệ chuyển đổi tuyến tính (2.16) có tính ổn

định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận P > 0, Q > 0 sao cho hệ {L i (P, Q)} là đầy đủ hoàn toàn, hoặc nếu tồn tại các số t i ≥ 0, i = 1, 2, , N sao cho

1

0

N i i

Ta dùng các chỉ số được sử dụng trong chứng minh của Định lý 2.5.1, hiệuLyapunov thỏa mãn

Sau đây ta chứng minh điều kiện đủ cho sự ổn định vững của hệ (2.13) Đặt

2.5.5 Định lý Hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (chọn u(k) = 0) có tính ổn

định vững nếu có tồn tại một ma trận P > 0 và một số  > 0 thoả mãn

I – ( E PE i' iH PH i' i) 0  (2.18) sao cho hệ {W i (P)} là hoàn toàn đầy đủ, hoặc nếu tồn tại các số t i > 0,

N

i i

i i i i

A P A P Q A PB t

Y i: A R A P B R B i' i 1 i i' i 1 i G G i' i I F F i' i

Sử dụng Định lý 1.1.1, Định lý 1.1.2 (chương 1) và theo điều kiện (2.20), hệthức cuối cùng dẫn đến điều (2.19) Vì vậy, hệ có tính ổn định vững nếu xẩy

ra điều kiện (2.19) suy ra điều phải chứng minh 

Trong trường hợp khi hệ không có trễ, kết quả của Định lý 2.5.5 sẽ là

0 0

i i

i

e E

0 0

i i

i

h H

0 0

i i

i

f F

0 0

i i

i

g G

2.5.8 Định lý Hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) có tính ổn định hóa vững nếu

có tồn tại một ma trận đối xứng P 0, và các số   0,   0 thỏa mãn

2.5.9 Hệ Quả Hệ chuyển tuyến tính

và giá trị quy đổi được chọn là ŋ(x(k)) = i khi x k M i.

Chú ý: Định lý 2.5.5 và Định lý 2.5.8 đưa ra các điều kiện đủ cho tính ổn

định vững và làm cho ổn định hóa của các hệ chuyển đổi Những điều kiệnnày được mô tả thông qua việc giải các bất đẳng thức ma trận

2.5.10 Ví dụ.

Xét hệ quy đổi (2.13), trong đó các ma trận A i , E i , H i , F i , G i , được cho

trong Ví dụ 2.5.7 và

1 2

0 0

i i

i

t T

0 0

i i

i

q Q

Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây:

1 Trình bày một cách có hệ thống một số kết quả về đại số tuyến tính,phương trình sai phân; các khái niệm, định lý về sự ổn định của hệ rờirạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến; nêu bài toán ổn định hóa của hệtuyến tính và hệ tuyến tính có trễ; các khái niệm ổn định vững, ổn địnhhóa vững và điều kiện đủ cho tính ổn định vững.

2 Phát biểu và chứng minh một cách chi tiết định lý về hệ chuyển đổituyến tính có tính ổn định vững (Định lý 2.5.5), sau định lý là hệ quả

(Hệ quả 2.5.6) và đưa ra ví dụ minh họa (Ví dụ 2.5.7)

3 Phát biểu và chứng minh một cách chi tiết định lý về hệ chuyển đổituyến tính có tính ổn định hóa vững (Định lý 2.5.8) và hệ quả của định

lý và đưa ra ví dụ minh họa (Ví dụ 2.5.10)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Ngọc Bội (2007), Bài giảng lý thuyết ổn định, NXB Đại học Huế.

[2] Hy Đức Mạnh (2006), Kỷ yếu Hội thảo ITMath.

[3] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB

ĐHQG Hà Nội

[4] A.S.Matveev and A.V.Savkin (2000), Qualitative Theory of Hybrid

Dynamical Systems, Boston, Birkhauser.

[5] V.N.Phat (2002), New stabilization criteria for linear time-varying

systems with state delay and normed bounded uncertainties, IEEE

Tran Auto Contr., 47, 2095-2098.

[6] V N Phat and A.V Savkin (2002), Robust sate estima-tio for a class

of linear uncertain time-delay sys-tems, Systems and Control Letters.

47, 237-245.