Một số vấn đề về tính ổn định và ổn định hoá các phương trình vi phân và sai phân

Lời nói đầuLý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thựctiễn, là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân.Với những lý do trên lý thuyết ổ

Nguyễn thị Bích hạnh

Một số vấn đề về tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình vi phân và sai phân

Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01

Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:

TS Phan Lê Na

Vinh - 2007

Mục lục

T rang

Lời nói đầu………… ……… 3

Chơng I Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5

1.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 5

1.2 ổn định các hệ tuyến tính 7

1.3 ổn định hệ phi tuyến 16

Chơng II Tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình sai phân 20

2.1 Tính ổn định của hệ sai phân theo nghĩa Lyapunov 20

2.2 ổn định các hệ tuyến tính .20

2.3 Sự ổn định của các hệ phi tuyến 23

2.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính có chậm 24

2.5 Định nghĩa tính ổn định hoá 28

2.6 Sự ổn định hoá của hệ tuyến tính .28

2.7 Sự ổn định hoá của hệ có chậm 29

Kết luận .……… ……… 35

Tài liệu tham khảo … … ……… 36

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thựctiễn, là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân.Với những lý do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứumạnh mẽ và đợc áp dụng nhiều trong lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lĩnhvực kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng…Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng tháicân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của

hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó.Bài toán ổn định hệ thống đợc nhiều nhà toán học, đặc biệt là V.Lyapunovnghiên cứu và đến nay đã trở thành một hớng nghiên cứu không thể thiếutrong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đặc biệt

từ những năm 60 của thế kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn

định hoá của hệ điều khiển Vấn đề đợc đặt ra là với các tiêu chuẩn nào đểmột hệ là ổn định hoặc ổn định hoá và mối liên hệ giữa các bài toán ổn định

và điều khiển

Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình vi phân và lý thuyết ổn định, ápdụng phơng pháp thứ hai Lyapunov, một số bất đẳng thức ma trận, luận văntrình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết ổn định, tính ổn địnhcủa các hệ với thời gian liên tục và rời rạc theo nghĩa Lyapunov Sau đó dựavào các tính chất của tính ổn định tìm điều kiện để hệ điều khiển rời rạc là ổn

2.5 Định nghĩa tính ổn định hoá.

2.6 Sự ổn định hoá của hệ tuyến tính

2.7 Sự ổn định hoá của hệ có chậm

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp tận tình của cô giáo

TS Phan Lê Na Tác giả xin đợc bày tỏ biết ơn sâu sắc đến cô giáo đã dành

cho tác giả những giúp đỡ tận tình trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận

văn

Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo

trong tổ Giải tích, trong khoa Toán và khoa Sau Đại Học trờng Đại học Vinh

cùng các bạn học viên cao học 13 - Toán, những ngời đã quan tâm, giúp đỡ

tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận

Chơng này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đối với

các hệ phơng trình vi phân với thời gian liên tục Các khái niệm về tính ổn

định, ổn định tiệm cận…và tính chất cơ bản đối với các hệ vi phân (xem [1],

[2], [4], [5])

1.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov

Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân

x = f(t, x) , t  0 (1.1) trong đó x(t)  Rn là vectơ trạng thái của hệ, f:  n n

R R R là hàm vectơ

cho trớc Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của

bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0  0 luôn có

nghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số

 > 0, t0  0 sẽ tồn tại  > 0 (phụ thuộc vào  , t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t),

y(t0) = y0 của hệ thoả mãn y0  x <  thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức0

y t   x t <ε, t  t  0

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có

giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt

thời gian t  t0

1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và có một số  > 0 sao cho với y0  x <  thì 0

0

t

lim y(t) x(t) Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi

nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ tiến tới gần

x(t) khi t tiến tới vô cùng

Nhận xét: Bằng phép biến đổi (x - y)  z, (t - t0)   hệ phơng trình

(1.1) sẽ đợc đa về dạng quy đổi

z = F (, z), (1.2) trong đó F(, 0) = 0, khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ

(1.1) sẽ đợc đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Để ngắn

gọn, ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay cho nói nghiệm 0 của hệ là ổn định Do

đó từ bây giờ ta chỉ xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0,

t  R Ta nói:

- Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ  > 0, t0  R sẽ tồn tại số  > 0

(phụ thuộc vào , t0) sao cho bất kỳ nghiệm x(t): x(t0) = x0 thoả mãn x < 0

thì x <  với mọi t  tt 0

- Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số  > 0 sao

cho nếu x < thì

  

t

lim x(t) 0 Nếu số  > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gianbắt đầu từ t0, thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều(hay ổn định tiệm cận đều)

1.1.3 Định nghĩa Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0,  > 0 sao

cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t0) = x0 thoả mãn



R R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban

đầu x(t0) = x0 cho bởi

1.2 ổn định các hệ tuyến tính với thời gian liên tục

Xét hệ tuyến tính

x(t) = Ax(t), t  0 (1.3)trong đó ma trận A cỡ (n  n) Nghiệm của hệ (1.3) xuất phát từ trạng tháiban đầu x(t0) cho bởi x(t) = 0

Ba bổ đề dới đây khá quan trọng và đợc sử dụng ở phần sau

Bổ để 1 ([3]) Giả sử A, B là các ma trận vuông cỡ (n  n) Khi đó nếu I + AB

i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I + CB -1A là không suy biến.

ii) Nếu B + AC không suy biến thì

(B + AC) -1 = B-1 - B-1 A(I + CB-1 A)-1CB-1

.

Bổ đề 3 ([3]) Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với  là một

số dơng nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau

(F + G)' (F + G)  (1 + ) F'F + (1 + -1) G'G

Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ(1.3), thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

1.2.2 Định lý Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các

giá trị riêng của A là âm, tức là

Re < 0, với mọi    (A).

Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý

trong đó  là các giá trị riêng của A, k là chỉ số mũ bội của các k trong

ph-ơng trình đa thức đặc trng của A, Zki là các ma trận hằng số Do đó ta có đánhgiá sau

0 Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với 0 ta có Ax0 = 0x0 và khi đó nghiệm của hệvới x0(t) = x0 là x0(0) = x0e0t, lúc đó

Vậy giá trị riêng của A là  = -1, -2, hệ là ổn định tiệm cận

Nh vậy để xét một hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không ta chỉ cầntìm nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A của

hệ Đôi khi việc tìm các giá trị riêng của A nếu ma trận A có số chiều lớn làkhó (khi đó đa thức đặc trng cũng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức

đặc trng cũng sẽ gặp khó khăn Dới đây sẽ giới thiệu một phơng pháp kháccủa Routh - Hurwitz để xác định tính ổn định của hệ trong nhiều trờng hợpthuận tiện hơn

1.2.4 Định lý([2]) Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.4) đã cho

là f(z) = zn + a1zn-1 + … + an , khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con Dk,

k = 1,2, … là dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức, n

là, hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó

det D1 = a1, det D2 = det 1 3

Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận

Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tơng đơng với sự tồntại nghiệm của một phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Lyapunovhay phơng trình Sylvester dạng:

  +  Y (LE)

trong đó X, Y là các ma trận cỡ (n  n) và gọi là cặp nghiệm của (LE) Xét hệ(1.3), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trịriêng của A là âm Theo Định lý 1.2.2, điều này tơng đơng hệ (1.3) là ổn địnhtiệm cận

Định lý sau đây là tiêu chuẩn để hệ (1.3) ổn định tiệm cận

1.2.6 Định lý Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối

xứng xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác

định dơng X.

Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận xác định dơng (ta ký

hiệu X > 0 với Y > 0) Với x(t) là một nghiệm tuỳ ý của (1.3), x(t0) = x0, t0 R+,

Ta sẽ chứng minh Re < 0 với mọi   (A) Thật vậy giả sử có một số 0 

(A) mà Re0  R n n ứng với giá trị riêng 0 này, thì nghiệm của hệ (1.3) sẽcho bởi x1(t) = 0t

Ngợc lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là, Re < 0 với mọi   (A) Vớibất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dơng, xét phơng trình ma trận sau đây

Ta thấy hệ (1.6) có một nghiệm riêng là

-Y = A'X + XA,hay là, các ma trận đối xứng X và Y thoả mãn (LE) Ta chỉ còn chứng minh A

x(t) = (t, t0) x0,trong đó (t,s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ Nếu A là hằng số, hiển nhiên

ta có

Chøng minh ViÕt ph¬ng tr×nh (1.7) díi d¹ng

1.2.9 Định lý Xét hệ (1.7) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả sử tồn

tại các số  > 0, 0, K sao cho

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall và lý luận tơng tự nh chứng minh Định lý

(1.2.7) ta nhận thức đánh giá sau:

0

2 0

  

 ( K )(t t )x(t) K x e , t  t0

trong đó  =  - 2K > 0, do đó hệ là ổn định tiệm cận Định lý đợc chứngminh

Nh vậy, đối với hệ không dừng ngay cả khi ma trận A(t) là ổn định vớimỗi t cố định cũng không đảm bảo sự ổn định của hệ mà còn đòi hỏi mạnhhơn nữa về tính giới nội đều của A(t) Những kết quả mở rộng hơn, hoặc đốivới A(t) là hàm chu kỳ, A(t) là Lipschitz và tính ổn định hệ không dừng (1.7),khi ma trận hàm A(t) có giới hạn khi t  

1.2.10 Định lý ([2]) Giả sử tồn tại giới hạn lim A(t) = A khi t  +  và A

lim (t) 0

1.3 ổn định hệ phi tuyến

Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn đợc mô tả bởi các phơng trìnhtoán học phi tuyến Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đa

- Phơng pháp thứ hai, thờng đợc gọi là phơng pháp trực tiếp thứ hai: dựavào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn

định của hệ đợc thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo hàm vế phải của hệ đãcho

Mục này sẽ giới thiệu các định lý cơ bản về tính ổn định cho các hệ phituyến bằng hai phơng pháp nói trên.

Xét hệ phơng trình vi phân

x(t)f(t, x(t)), t  0 (1.8)trong đó f(t, x):  n n

R R R là hàm phi tuyến cho trớc, f(t, 0) = 0, với mọi t

 R Cũng nh ở các phần trên ta luôn giả thiết các điều kiện trên f sao cho

hệ (1.8) có nghiệm x(t) với

x(t0) = x0 , t0  0

Định lý sau đây cho điều kiện đủ để hệ (1.8) là ổn định tiệm cận khi hàm

vế phải f(t,x) đợc phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu phituyến đủ nhỏ Ví dụ trờng hợp hàm f(t, x) khả vi liên tục tại x = 0 (không phụthuộc vào x) thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0 ta có

f(x) = A + g(x),trong đó

khi đó khẳng định của Định lý 1.3.1 vẫn đúng với L > 0 thoả mãn điều kiện L 

2 2 2

t 0x(t) K x e etheo ®iÒu kiÖn iii) ta cã:

Chơng II Tính ổn định Và ổn định hoá

của các hệ phơng trình Sai phân

Trong chơng này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định,

ổn định hoá của các hệ phơng trình sai phân Các khái niệm về tính ổn định,

ổn định tiệm cận, ổn định hoá và tính chất cơ bản đối với hệ sai phân cùng sựtơng quan giữa các bài toán ổn định và điều khiển sẽ đợc trình bày với các chứngminh và ví dụ minh hoạ về sự ổn định hoá của hệ tuyến tính và hệ có chậm (xem[2], [3])

2.1 Tính ổn định của hệ sai phân theo nghĩa Liapunov

Xét hệ rời rạc tuyến tính

x(k+1) = f(k,x(k)), k Z (2.1)trong đó f: Z  là hàm cho trớc

2.1.1 Định nghĩa Hệ (2.1) gọi là ổn định nếu với mọi  > 0, k0  Z, tồntại số  > 0 (phụ thuộc vào k0, ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với x(0) < 

với x(0) = x0 thì nghiệm của (2.2) sẽ cho bởi: x(k) = Ak x0

Vậy để x(k)  0 khi k  , theo định nghĩa ổn định tiệm cận, thì hoặc

  q 1hoặc Ak  0, ( k  ), do đó ta có định lý sau

2.2.1 Định lý ([2]) Hệ (2.2) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai

điều kiện sau thoả mãn

i) Tồn tại số 0 < q < 1, sao cho   q 1

ii)   1, với mọi   (A)

1,

3 và nhỏ hơn 1.Vậy hệ là ổn

định tiệm cận

Đối với hệ rời rạc không dừng, ta cũng có các tiêu chuẩn về tính ổn

định tơng tự, xong chứng minh sẽ đợc dựa trên bất đẳng thức Gronwall cho hệrời rạc

2.2.3 Định lý Xét hệ rời rạc

x(k + 1) = A(k) x(k), k  Z

i) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại số q  (0, 1) sao cho

A(k) q , k  Z

ii) Nếu A(k) = A + C(k) trong đó A là ma trận ổn định và C(k) a

Khi đó hệ sẽ ổn định tiệm cận với một số a > 0 đủ nhỏ nào đó.

Chứng minh Để chứng minh ii) trớc tiên ta thấy nghiệm của hệ rời rạc

x(k + 1) = Ax(k) + C(k) x(k)với x(0) = x0 cho bởi

i 0x(k) A x A C(i)x(i) Dựa vào tính ổn định của A, ta có đánh giá sau:

2(k 1)trong đó

2.3 Sự ổn định của các hệ phi tuyến

Xét hệ rời rạc phi tuyến

x(k+1) = f(k,x (k)), k 

  (2.3)

ta có định lý sau đây về tính ổn định của hệ (2.3) khi vế phải khá đặc biệt

2.3.1 §Þnh lý ([3]) XÐt hÖ (2.3), víi f(k, x) = A(k)x + g(k, x), g(k, x) tho¶

m·n ®iÒu kiÖn Lipschitz.

2 ,

2.4.1 Định nghĩa Hệ (2.4) gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ chậm

nếu với bất kỳ h  0 nào thì hệ cũng là ổn định tiệm cận.

Để đơn giản ta vẫn nói hệ ổn định tiệm cận thay cho nói hệ ổn định tiệmcận không phụ thuộc độ chậm Định lý dới đây cho ta điều kiện đủ để (2.4) là

ổn định tiệm cận theo nghĩa trên

2.4.2 Định lý ([3]) Hệ (2.4) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện

3 2

2 ,

Vậy tồn tại các ma trận P, W thoả mãn định lý nên hệ phơng trình trên là

Hệ quả 3 ([3]) Hệ (2.4) là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến và

tồn tại hai số dơng p, q sao cho

đối với hệ rời rạc và thiết lập các điều kiện để một hệ là ổn định hoá

Định nghĩa Hệ (2.12) gọi là ổn định hoá đợc nếu tồn tại hàm

h(x): n m sao cho với hàm điều khiển này hệ phơng trình sai phân

x(k + 1) = f(k,x(k), h(x(k)), k  +

là ổn định tiệm cận Hàm h(x) thờng đợc gọi là hàm điều khiển ngợc

2.6 Sự ổn định hoá của hệ tuyến tính

Xét hệ phơng trình

x(k+1) = Ax(k) + Bu(k), k  + (2.13)trong đó A, B là các ma trận hằng cỡ (n  n) và (n  m) tơng ứng

2.6.1 Định lý ([3]) Hệ (2.13) là ổn định hoá đợc nếu tồn tại ma trận đối

x(0) = x(-1) = … = x(-h) = x0 ,trong đó A, B là các ma trận cỡ (n  n), h  0, C là ma trận cỡ (n  m), x n, u 

m

( m  n) là biến điều khiển

Ta đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận (không phụ thuộc độ chậm) của

hệ (2.15) trong trờng hợp không có điều khiển ở đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn

định hoá của (2.15), tức là ta phải tìm một hàm điều khiển ngợc u(k) =h(x(k)) sao cho khi thay vào (2.15) thì hệ ổn định tiệm cận Nói một cáchchính xác ta có định nghĩa sau

2.7.1 Định nghĩa Hệ (2.15) là ổn định hoá đợc (không phụ thuộc độ chậm)

nếu tồn tại hàm u(k) = Kx(k), với K là ma trận cỡ (m  n) sao cho hệ

x(k + 1) = (A + CK)x (k) + Bx(k - h), k  +

là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ chậm