Về điểm tới hạn của một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính và á tuyến tính

Lỵ do chồn ã t i

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với các môn khoa học khác và trong đời sống Qua nó, chúng ta có thể giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến các môn học như toán, giải thích các quy luật phát triển trong tự nhiên và cuộc sống con người thông qua việc mô tả và xây dựng các bài toán liên quan Trong thực tế, nhiều bài toán có thể biểu diễn qua một hệ phương trình tuyến tính hoặc phi tuyến, đặc biệt là trong vật lý và sinh học Thông qua việc nghiên cứu tính chất của hệ này, chúng ta có thể mô tả một cách chính xác các tính chất, đồng thời giải quyết được vấn đề đã đặt ra Vai trò quan trọng của hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến có ảnh hưởng lớn đến việc mô tả các hiện tượng trong tự nhiên Điều này thể hiện rõ qua sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn - TS Lã Hợi Trung tâm toán học đã tìm ra những ứng dụng của một lớp hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trong việc tốt nghiệp Kết hợp với việc sử dụng phần mềm Mathematica 5.2 để xây dựng trường hợp hệ và giải các hệ phương trình tuyến tính, chúng ta có thể thấy rõ nét sự phát triển của các vấn đề trong hệ này Đây là một cổng cửa khám phá nhiều trong kỹ thuật những trong toán học mà nó còn khơi mở thêm nhiều mối liên hệ Thông qua việc sử dụng phần mềm này, việc tính toán của chúng ta sẽ nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Mửc ẵch nghiản cựu

Trản cỡ sð chựng minh ành lỵ vã sỹ ờn ành cừa hằ tuyán tẵnh v nghiản cựu ành lỵ vã sỹ ờn ành cừa hằ Ă tuyán tẵnh thổng qua cĂc vẵ dử cử thº º phĂc hồa ró n²t cĂc °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh.

Phữỡng phĂp nghiản cựu

Nghiản cựu cĂc t i liằu liản quan án hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh, cĂc t i liằu vã phƯn mãm Mathematica 5.2 º giÊi quyát cĂc vẵ dử cử thº.

ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu

Nghiản cựu iºm tợi hÔn cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh hai bián thổng qua cĂc vẵ dử cử thº.

XƠy dỹng cĂc cƠu lằnh trong mathematica 5.2 º v³ trữớng v²c tỡ v giÊi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn bơng mởt v i phữỡng phĂp số.

CĐu trúc luên vôn

Ngo i phƯn mð Ưu, kát luên, t i liằu tham khÊo v phƯn phử lửc trong luên vôn gỗm cõ cĂc chữỡng sau:

Chữỡng 1: Mởt số khĂi niằm mð Ưu.

Chữỡng 2: Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh.

Tác giả xin thể hiện lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn - TS Lã Hêi Trung Â, cùng những người đã góp phần quan trọng trong quá trình thực hiện bài viết này Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, vì đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mởt số khĂi niằm mð Ưu

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh

KhĂi niằm chung

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cõ dÔng:

 dy 1 dx = a 11 (x)y 1 +a 12 (x)y 2 + +a 1n (x)y n +g 1 (x), dy 2 dx = a21(x)y1 +a22(x)y2 + +a2n(x)yn+g2(x), dy n dx = a n1 (x)y 1 +a n2 (x)y 2 + + a nn (x)y n + g n (x),

Trong ôxl biến ởc lêp, y1, y2, , yn là các hàm ẩn tậm và a11(x), a12(x), , ann(x) là các hàm số học Các hàm g1(x), g2(x), , gn(x) là các hàm số cho trước n o ôxl Các hàm này được thiết lập để mô tả mối quan hệ giữa các biến trong không gian.

Dũng kỵ hiằu ma trên ta cõ thº viát lÔi (1.1) dữợi dÔng: y 0 = A(x)y +g(x), (1.2) trong ây 0 y 1 0 y 0 2 y 0 n

Náu g(x) ≡ (0)thẳ hằ (1.2) l hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nh§t.

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng cõ dÔng: y 0 = Ay +g(x), (1.3) trong â y 0 y 1 0 y 2 0 y n 0

Náu g(x) ≡ (0) thẳ hằ (1.3) l hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt hằ số hơng.

Hằ Ă tuyán tẵnh

Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ dÔng:

Hệ phương trình động lực học được mô tả bởi các phương trình dx/dt = ax + by + r(x, y) và dy/dt = cx + dy + s(x, y), trong đó x = x(t) và y = y(t) là các hàm biến theo thời gian Các hàm r(x, y) và s(x, y) là các hàm phụ thuộc vào biến x và y Các tham số a, b, c, d được xác định trong khoảng I = (a, b) ⊂ R.

Hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn)

Hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn) cõ dÔng:

Trong hệ phương trình vi phân tự động, chúng ta có thể mô tả sự thay đổi của hai biến x và y theo thời gian t bằng cách sử dụng các phương trình dx/dt = f(x, y) và dy/dt = g(x, y) Ở đây, x(t) và y(t) là các hàm phụ thuộc vào thời gian, trong khi f(x, y) và g(x, y) là các hàm của hai biến x và y Các hàm này có thể được xác định trong miền R của một hệ tọa độ Oxy, tạo thành một hệ phương trình vi phân có tính chất động học.

iºm tợi hÔn

Cho hằ otonom (hằ tỹ iãu khiºn)

(1.6) iºm (x 0 , y 0 ) ữủc gồi l iºm tợi hÔn cổ lêp náu thọa

 f(x 0 , y 0 ) = 0, g(x 0 , y 0 ) = 0. Tẵnh chĐt cừa iºm tợi hÔn.

• iºm nút: iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) ữủc gồi l iºm nút náu thọa mÂn 2 iãu kiằn:

Mồi quÿ Ôo ãu tián tợi (x0, y0) khi t → +∞ ho°c mồi quÿ Ôo ãu rới xa (x 0 , y 0 ) khi t →+∞.

Mồi quÿ Ôo ãu tiáp xúc vợi ữớng th¯ng i qua (x 0 , y 0 ) tÔi (x 0 , y 0 ).

Mở nút nhữ trản để truy cập vào nút chính thường hay nút chánh Nếu nhấn giữ nút này, bạn sẽ kích hoạt nút lóm Còn nếu nhấn giữ nút lũi xa, bạn sẽ kích hoạt nút nguồn.

Náu cự mội c°p quÿ Ôo ối diằn khĂc nhau khổng cõ c°p n o tiáp xúc vợi ữớng th¯ng i qua iºm tợi hÔn thẳ iºm nút chẵnh ữủc gồi l iºm hẳnh sao hay iºm sao.

Nút phi chẵnh là mồi quỳ Ôo, giúp mở ra một cặp quỳ Ôo đối diện, tạo điều kiện để tiếp xúc với một hướng thông qua điểm tối hôn Nút này gợi lên sự liên kết giữa các yếu tố, làm nổi bật vai trò của nó trong việc tương tác.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ý nghĩa của hàm số iºm yản ngỹa, đặc biệt là khi xem xét sự phát triển của nó theo trục Ox và trục Oy khi t tiến tới vô cùng Khi t → +∞, hàm số (x(t), y(t)) sẽ hội tụ về điểm (x0, y0), cho thấy sự ổn định của hệ thống Đồng thời, hai quỹ đạo Ôo sẽ dần dần hội tụ về (x0, y0), thể hiện sự khổng lồ của các yếu tố ảnh hưởng đến sự biến đổi của hàm số này.

• iºm tợi hÔn ờn ành: iºm tợi hÔn ữủc gồi l ờn ành náu khi iºm Ưu (x 1 , y 1 ) ừ gƯn (x 0 , y 0 ) thẳ iºm (x(t), y(t)) luổn gƯn (x 0 , y 0 ) vợi mồi t > 0.

Hay °t X(t) = (x(t), y(t)), X 0 = (x 0 , y 0 ), X 1 = (x 1 , y 1 ) khi â, X 0 l iºm ờn ành náu ∀ε > 0,∃δ > 0 : |X 0 −X1| < δ thẳ |X 0 −X(t)| < ε,∀t > 0. iºm tợi hÔn khổng ờn ành náu nõ khổng l iºm ờn ành tực l ∃ε >

Nót lãm câ |X 0 −X(t)| < ε,∀t > 0 do â nâ l iºm nót ên ành.

• TƠm: iºm tợi hÔn ữủc gồi l tƠm náu nõ l iºm tợi hÔn ờn ành ữủc bao quanh bði cĂc quÿ Ôo kẵn, tuƯn ho n.

Suy ra mồi tƠm ãu ờn ành.

• Tiằm cên ờn ành (ờn ành tiằm cên): iºm tợi hÔn (x0, y0) ữủc gồi l ờn ành tiằm cên náu l iºm ờn ành v mồi quÿ Ôo ừ gƯn (x 0 , y 0 ) ãu tián tợi (x 0 , y 0 ) khi t →+∞.

Iºm ờn ành xoưn (iºm xoưn lóm) là một món ăn ngon, được chế biến từ tơi hÔn ữủc gồi l Để làm iºm ờn ành xoưn, cần nấu tơi hÔn ữủc gồi l với iºm ờn ành tiằm cên m cĂc quÿ Ôo chuyºn ởng xoưn ốc quanh nõ Nếu các quÿ Ôo chuyºn ởng xa dƯn nõ, món ăn sẽ trở nên khổng lồ và hấp dẫn hơn.

CĂc ành lỵ vã iºm tợi hÔn

Tuyán tẵnh hõa tÔi iºm tợi hÔn

Cho hằ otonom (Hằ tỹ iãu khiºn):

 dx dt = f(x, y), dy dt = g(x, y), (1.7) khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº giÊ thiát rơng iºm tợi hÔn cổ lêp l

(x 0 , y 0 ) = (0,0) náu khổng thỹc hiằn ph²p ời bián: u = x−x 0 , v = y−y 0 Khi õ, dx dt = du dt , dy dt = dv dt nản hằ (1.7) tữỡng ữỡng vợi hằ:

Ta có thể nghiên cứu các đường cong nghiêng của hàm trong một không gian Oxy được suy ra bằng cách thành tiểu (u, v) → (u + x₀, v + y₀) của đường cong nghiêng trong không gian uv Vì vậy, trong lân cận của hai điểm tồi hồn tưởng (x₀, y₀) trong không gian xy và (0,0) trong không gian uv, hai ẩn phụ thuộc vào nhau.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách sử dụng khai triển Taylor cho hàm hai biến f(x, y) quanh điểm cố định (x0, y0) Cụ thể, chúng ta có công thức: f(x0 + u, y0 + v) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)u + fy(x0, y0)v + r(u, v), trong đó r(u, v) là phần dư thỏa mãn giới hạn Việc áp dụng phương pháp này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm tại các điểm gần kề.

√ u 2 +v 2 = 0. p dửng cổng thực Taylor cho h m f, g trong hằ (1.8) vợi giÊ thiát (x 0 , y 0 ) l iºm tợi hÔn cổ lêp ta cõ:

 du dt = f x (x 0 , y 0 )u+f y (x 0 , y 0 )v +r(u, v), dv dt = g x (x 0 , y 0 )u+g y (x 0 , y 0 )v+ s(u, v), (1.9) trong õ r(u, v), s(u, v) lƯn lữủt l phƯn dữ cừa cĂc h m f, g thọa: lim

√ u 2 +v 2 = 0, v khi giĂ trà cừa u v v nhọ thẳ cĂc phƯn dữ r(u, v) v s(u, v) l rĐt nhọ (nhọ án nội cõ thº so sĂnh vợi u v v).

Do õ khi (u, v) → (0,0) thẳ hằ (1.9) xĐp x¿ vợi hằ tuyán tẵnh:

 du dt = f x (x 0 , y 0 )u+f y (x 0 , y 0 )v, dv dt = gx(x0, y0)u+gy(x0, y0)v.

Khi õ sỹ tuyán tẵnh hõa cừa hằ (1.7) tÔi iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) l hằ (1.10) hay hằ u 0 = J u trong õ u u v

T , ma trên hằ số cừa nõ ữủc gồi l ma trên Jacobian:

 cừa h m f v g ữợc lữủng tÔi iºm (x0, y0).

ành lỵ 1 (Sỹ ờn ành cừa hằ tuyán tẵnh)

º nghiản cựu iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ tuyán tẵnh ta cõ thº dũng phữỡng phĂp trà riảng ối vợi phữỡng trẳnh

, vợi ma trên hằ số hơng ữủc kỵ hiằu l A. ành lỵ 1 Cho λ1, λ2 l cĂc giĂ trà riảng cừa ma trên hằ số A cừa hằ tuyán tẵnh hai chiãu:

 dx dt = ax+by, dy dt = cx+ dy, (1.11) vợi ad−bc 6= 0, Khi õ ta cõ:

Khi phân tích các giá trị riêng λ₁ và λ₂, ta có những trường hợp sau: Nếu λ₁ và λ₂ đều dương và khác nhau, thì hệ thống có nút phi chẵn, khổng ờn ành Nếu λ₁ và λ₂ đều âm và khác nhau, thì hệ thống có nút phi chẵn, tiằm cên ờn ành Trong trường hợp λ₁ âm và λ₂ dương, hệ thống có yản ngỹa, khổng ờn ành Nếu λ₁ và λ₂ đều âm và bằng nhau, hệ thống có nút chẵn hoặc phi chẵn, tiằm cên ờn ành Khi λ₁ và λ₂ đều dương và bằng nhau, hệ thống cũng có nút chẵn hoặc phi chẵn, khổng ờn ành Nếu λ₁, λ₂ là số phức với phần thực dương, hệ thống có nguỗn xoưn ốc, khổng ờn ành Ngược lại, nếu phần thực âm, hệ thống có lóm xoưn ốc, tiằm cên ờn ành Cuối cùng, nếu λ₁ và λ₂ là số thuần ảo, hệ thống có tƠm, ờn ành những khổng tiằm cên ờn ành.

BÊng 1.1: BÊng hằ thống cĂc loÔi iºm tợi hÔn cừa hằ tuyán tẵnh.

Nhên x²t: Khi cĂc hằ số cõ sỹ xĂo trởn nhọ thẳ dăn án sỹ xĂo trởn nhọ cõa λ 1 , λ 2 khi â:

• Náu dĐu cừa Re(λ i ), i = 1,2 khổng ời thẳ loÔi iºm tợi hÔn khổng êi.

• Náu λ 1,2 = ±qi th nh à 1,2 = r±si thẳ loÔi iºm tợi hÔn l tƠm th nh iºm ờn ành tiằm cên náu r < 0, khổng ờn ành náu r > 0.

• Náu λ 1 = λ 2 th nh à 1,2 ∈ R thẳ iºm tợi hÔn l nút văn l nút, th nh à 1,2 phực liản hủp thẳ iºm, trong cĂc trữớng hủp thẳ tẵnh ờn ành khổng ời.

, vợi ma trên hằ số hơng A cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI) a−λ b c d−λ

Vẳ ad−bc 6= 0 nản phữỡng trẳnh °c trững luổn tỗn tÔi nghiằm λ.

• GiĂ trà riảng thỹc khĂc nhau những cũng dĐu (λ 1 6= λ 2 > 0 ho°c λ 1 6= λ 2 < 0):

Theo giÊ thiát ta cõ ma trên A cõ cĂc v²c tỡ riảng v 1 , v 2 phử thuởc tuyán tẵnh v nghiằm tờng quĂt x(t) x(t) y(t)

Hẳnh 1.1: Hằ tồa ở xiản uv ữủc xĂc ành bði v²c tỡ riảng v 1 , v 2

Trong hằng tòa ở UV, các hàm u(t) và v(t) mô tả sự chuyển động của x(t) theo hướng song song với các vectơ tỡ v1 và v2 Theo phương trình (1.12), các hàm này được xác định bởi các biểu thức: u(t) = u0 e^(λ1 t) và v(t) = v0 e^(λ2 t), với u0 = u(0) và v0 = v(0).

Náu v 0 = 0 thẳ quÿ Ôo nơm trản trửc u, tữỡng tỹ náu u 0 = 0 thẳ quÿ Ôo nơm trản trửc v.

Náu u 0 v v 0 ãu khĂc khổng thẳ ữớng cong tham số (1.13) cõ thº viát th nh v = Cu k trong õ k = λ λ 1

2 > 0 CĂc ữớng cong nghiằm tiáp xúc tÔi (0,0) vợi trửc u náu k > 1, vợi trửc v náu 0 < k < 1.

Khi õ ta ữủc iºm tợi hÔn (0,0) l mởt nút phi chẵnh.

Náu λ1, λ2 > 0 thẳ cĂc ữớng cong nghiằm cừa hằ (1.12) v (1.13) lằch vã gốc khi t tông, vẳ vêy (0,0) l nguỗn ¿nh.

Náu λ 1 , λ 2 < 0 thẳ cĂc ữớng cong nghiằm cừa hằ (1.12) v (1.13) sĂt gƯn gốc khi t tông, vẳ vêy (0,0) l ¿nh chẳm.

• GiĂ trà riảng thỹc khĂc nhau những trĂi dĐu (λ 1 < 0< λ 2 ):

Tữỡng tỹ trữớng hủp giĂ trà riảng thỹc cũng dĐu những λ 1 < 0< λ 2 Khi â:

Quÿ Ôo vợi u 0 = 0 ho°c v 0 = 0 nơm trản trửc u v v i qua iºm tợi hÔn (0,0).

Quÿ Ôo vợi u0 v v0 khĂc 0 l nhỳng ữớng cong cừa dÔng v Cu k trong â k = λ λ 1

2 < 0 Vẳ vêy quÿ Ôo phi tuyán giống nhữ hypebol, iºm tợi hÔn (0,0)l mởt iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

• GiĂ trà riảng l hai nghiằm thỹc bơng nhau (λ 1 = λ 2 ∈ R):

Ta x²t trữớng hủp λ = λ 1 = λ 2 6= 0, khi õ tẵnh chĐt cừa iºm tợi hÔn (0,0) phử thuởc v o tẵnh ởc lêp cừa cĂc v²c tỡ riảng cừa ma trên A.

Ta cõ quÿ Ôo cừa hằ (1.11) trong hằ tồa ở xiản uv ữủc mổ tÊ: u(t) =u 0 e λt , v(t) = v 0 e λt

2 = 1 thẳ quÿ Ôo u 0 6= 0 cõ dÔng v = Cv do õ ãu nơm trản ữớng th¯ng i qua gốc Vẳ vêy (0,0) l iºm hẳnh sao Nõ l nguỗn náu λ > 0, l lóm náu λ 0 thẳ iºm (0,0) l nguỗn xoưn ốc.

• GiĂ trà riảng l hai nghiằm thuƯn Êo (λ 1,2 = ±qi):

Giá trị riêng của ma trận A có giá trị thực λ = qi và λ¯ = −qi, với các vectơ riêng tương ứng v = a + bi và v¯ = a − bi Đối với p = 0, hệ phương trình tĩnh x0 = Ax có nghiệm phụ thuộc vào thời gian, được biểu diễn bằng x1(t) = acos(qt) − bsin(qt) và x2(t) = bcos(qt) + asin(qt).

Suy ra nghiằm x(t) = c 1 x 1 (t) +c 2 x 2 (t) biºu diạn mởt elip cõ tƠm l

(0,0) trong m°t ph¯ng xy, do â (0,0) l t¥m ên ành.

, cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI)

Suy ra hai giĂ trà riảng λ1 = 1 v λ2 = 2 vợi cĂc v²c tỡ riảng tữỡng ựng v 1

Hẳnh 1.2: Nút lóm phi chẵnh trong vẵ dử 1.5.2.1

Ta có biểu diễn quỹ đạo của hàm tuyến tính \( y = Ax \) như hình 1.2 Hai vectơ tỏa ra theo hướng của các quỹ đạo tuyến tính, tạo thành các quỹ đạo khác nhau Các quỹ đạo này giao nhau tại tọa độ gốc, tạo ra sự tương tác với các trục tọa độ trong không gian.

GiĂ trà riảng l hai nghiằm thỹc khĂc nhau những cũng dữỡng nản iºm tợi hÔn (0,0) l iºm nút phi chẵnh v nõ l nguỗn ¿nh.

, cõ phữỡng trẳnh °c trững: det(A−λI)

Suy ra hai giĂ trà riảng λ 1 = − 1 4 + 3i v λ 2 = − 1 4 −3i Ta cõ biºu diạn quÿ

Hẳnh 1.3: Nút lóm xoưn ốc ð vẵ dử 1.5.2.2 Ôo cừa hằ tuyán tẵnh x 0 = Ax nhữ hẳnh 1.3 Ta ữủc mởt quÿ Ôo xoưn ốc iºn hẳnh gƯn vã gốc khi t →+∞.

GiĂ trà riảng l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm nản iºm tợi hÔn (0,0) l lóm xoưn ốc v nõ l tiằm cên ờn ành.

ành lỵ 2 (Sỹ ờn ành cừa hằ Ă tuyán tẵnh)

 dx dt = ax+by +r(x, y), dy dt = cx+dy +s(x, y),

Để xác định điểm tối ưu của hàm mục tiêu (0,0) trong bài toán tối ưu hóa, cần đảm bảo rằng điều kiện không bằng 0 của hàm bậc nhất ad - bc được thỏa mãn Các giá trị λ1 và λ2 là các tham số quan trọng trong việc phân tích hàm mục tiêu (1.11) và hàm tuyến tính (1.16), giúp tìm ra điểm tối ưu tại (0,0).

Trong hệ phương trình tuyến tính, các giá trị riêng λ1 và λ2 có thể xác định tính chất của hệ Khi λ1 ≠ λ2 > 0, hệ có nút phi chánh và khổng ổn định Nếu λ1 ≠ λ2 < 0, hệ cũng có nút phi chánh nhưng ổn định Trường hợp λ1 < 0 < λ2, hệ có tính chất ổn định ngược Khi λ1 = λ2 < 0, hệ có nút ên ành hoặc tính chất ổn định Nếu λ1 = λ2 > 0, hệ có nút khổng ổn định hoặc tính chất ổn định Đối với trường hợp phức, nếu λ1,2 = p ± qi (p > 0), hệ có tính chất ổn định khổng Ngược lại, nếu λ1,2 = p ± qi (p < 0), hệ có tính chất ổn định tiằm cên Cuối cùng, nếu λ1,2 = ±qi, hệ có thể là tơm hoặc tính chất ổn định, tùy thuộc vào giá trị của q.

BÊng 1.2: BÊng hằ thống cĂc loÔi iºm tợi hÔn cừa hằ Ă tuyán tẵnh.

Vẵ dử 1.5.3.1 XĂc ành loÔi v sỹ ờn ành cừa iºm tợi hÔn (4,3) cừa hằ Ă tuyán tẵnh:

 dx dt = −10x−3y+ x 2 + 33, dy dt = 6x+ 2y−xy −18.

Ta câ f(x, y) = −10x−3y + x 2 + 33, g(x, y) = 6x+ 2y −xy −18 v x0 = 4, y0 = 3 Suy ra:

Suy ra hằ tuyán tẵnh tữỡng ựng cừa hằ (1.17):

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (1.18):

Giải phương trình ta nhận được λ₁ = −2 + 3i và λ₂ = −2 − 3i Suy ra điểm tội hồn (0,0) của hàm (1.18) là lim x → 0, tiệm cận lên trên, do điểm tội hồn (4,3) của hàm (1.17) là lim x → 0, tiệm cận lên trên.

Hẳnh 1.4: Quÿ Ôo xoưn ốc cừa hằ (1.18) nh pha cừa hằ (1.17)

Mởt v i phữỡng phĂp số giÊi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn

Ph÷ìng ph¡p Euler

Cổng thực l°p cừa phữỡng phĂp Euler ối vợi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn l : x n+1 = x n + hf(t n , x n , y n ), y n+1 = y n +hg(t n , x n , y n ),

Phương pháp Euler cải tiến là một kỹ thuật dùng để giải các phương trình vi phân thông qua việc sử dụng các điểm trung gian Phương pháp này giúp cải thiện độ chính xác của kết quả so với phương pháp Euler cổ điển, đặc biệt là trong việc tính toán các giá trị gần đúng của hàm số Cổng thực lập của phương pháp Euler cải tiến liên quan đến việc tính toán các giá trị tại các bước lặp tiếp theo dựa trên các giá trị trước đó, từ đó cung cấp một kết quả chính xác hơn cho bài toán vi phân.

Ph¦n dü o¡n: un+1 = xn+ hf(tn, xn, yn), v n+1 = y n +hg(t n , x n , y n ).

Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta

Để tính giá trị x n+1 và y n+1 gần đúng cho các giá trị x(t n+1) và y(t n+1), ta cần sử dụng các giá trị x(t 1), y(t 1), x(t 2), y(t 2), , x(t n), y(t n) Công thức tính toán sẽ dựa trên sự chênh lệch giữa x(t n+1) và x(t n), được tính qua tích phân từ t n đến t n+1 của x 0(t) Áp dụng quy tắc Simpson, ta có thể diễn đạt rằng x(t n+1) − x(t n) ≈ h, với h là độ dài bước.

Thá cĂc Ôi lữủng x 0 (t n ), x 0 (t n + h 2 ), x 0 (t n + h 2 ), x 0 (t n+1 ) ð biºu thực trản lƯn lữủt bði F1, F2, F3, F4 ữủc xĂc ành ta ữủc cổng thực l°p cừa phữỡng ph¡p Runge-Kutta.

Cổng thực l°p cừa phữỡng phĂp Runge-Kutta ối vợi hằ phữỡng trẳnh vi ph¥n l : x n+1 = x n + h

F4 = f(tn +h, xn+hF3, yn +hG3),

G1, G2, G3, G4 l cĂc giĂ trà cừa h m g ữủc xĂc ành tữỡng tỹ.

Ch÷ìng 2 Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho mởt số °c trững cừa mởt lợp hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh v Ă tuyán tẵnh

Trong phƯn n y ta sỷ dửng trữớng v²c tỡ ữủc v³ trong Mathematica º nghiản cựu mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, vợi cƠu lằnh: Graphics`PlotField`

PlotVectorField[{f(x,y), g(x,y)}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, Prolog -> {Thick- ness[0.001]}, AspectRatio ->1, PlotPoints -> 20, Frame -> True, Axes ->True, AxesLabel -> {x, y}]

Vã mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh 25

2.1.1 p dửng ành lỵ 1 º xĂc ành loÔi iºm tợi hÔn (0,0) v nõi ró nõ l ờn ành tiằm cên, ờn ành hay khổng ờn ành. Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = −1 v λ2 = −3 Suy ra iºm tợi hÔn

(0,0) cừa hằ (2.1) l nút phi chẵnh, l ¿nh chẳm v tiằm cên ờn ành. Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Hẳnh 2.1: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.1) Hẳnh 2.2: nh pha cừa hằ (2.1)

• p dửng phữỡng phĂp giÊi chẵnh xĂc:

Ta câ: dx dt = −2x+y ⇒ d dt 2 x 2 = −2 dx dt + dy dt

M : dy dt = x−2y = x−2( dx dt + 2x) = −2 dx dt −3x.

Suy ra: d dt 2 x 2 = −4 dx dt −3x hay x 00 + 4x 0 + 3x = 0.

Suy ra: x = C 1 e −t +C 2 e −3t , C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ.

Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.1) cho ta y = C 1 e −t −C 2 e −3t

X²t b i toĂn Cauchy sau vợi bữợc nhÊy h = 0,1:

 dx dt = −2x+y, x(0) = 2, dy dt = x−2y, y(0) = 0 (2.2) p dửng phữỡng phĂp Euler º giÊi (2.2) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 2, y0 = 0, P rint[”(”, xi+1 = xi + 0.1(−2x i +yi),”; ”, y i+1 = y i + 0.1(x i −2y i ),”)”]},{i,0,9}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta º giÊi (2.2) vợi cƠu lằnh:

{f 2 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][x i + 0.05f, y i + 0.05g]], g2 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][xi+ 0.05f, yi + 0.05g]]}; {f 3 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g 3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y},−2x+y][xi + 0.1f3, yi + 0.1g3]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−2y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]};

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler (x; y) vợi phữỡng phĂp Runge-Kutta (x; y) chẵnh xĂc

B£ng 2.1: B£ng c¡c gi¡ trà cõa b i to¡n Cauchy (2.2).

Qua Ơy ta cõ nhên x²t phữỡng phĂp Runge-kutta cho giĂ trà gƯn vợi giĂ trà chẵnh xĂc hỡn phữỡng phĂp Euler.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 1−2i v λ 2 = 1 + 2i Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ (2.3) l nguỗn xoưn ốc v khổng ờn ành.

Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Ta câ: dx dt = 3x−2y ⇒ d dt 2 x 2 = 3 dx dt −2 dy dt

M : dy dt = 4x−y = 4x− 1 2 (− dx dt + 3x) = 1 2 dx dt + 5 2 x.

Suy ra: d dt 2 x 2 = 2 dx dt −5x hay x 00 −2x 0 + 5x = 0.

Suy ra: x = (C 1 cos 2t+C 2 sin 2t)e t , C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.3) cho ta y = (3C1sin 2t−3C2cos 2t)e t

Vêy hằ (2.3) cõ nghiằm: x = (C 1 cos 2t+C 2 sin 2t)e t , y = (3C1sin 2t−3C2cos 2t)e t

X²t b i toĂn Cauchy sau vợi bữợc nhÊy h = 0,1:

 dx dt = 3x−2y, x(0) = 1, dy dt = 4x−y, y(0) = 1 (2.4) p dửng phữỡng phĂp Euler cÊi tián º giÊi (2.4) vợi cƠu lằnh:

{f 1 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][u i+1 , v i+1 ]], g1 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][ui+1, vi+1]]};

Simplif y[y i+1 = y i + 0.1 2 (g +g 1 )],”)”]}},{i,0,9}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta º giÊi (2.4) vợi cƠu lằnh:

{f 2 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][xi + 0.05f, yi+ 0.05g]], g 2 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.05f, y i + 0.05g]]}; {f 3 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g 3 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y},3x−2y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y},4x−y][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]}; {P rint[”(”, Simplif y[x i+1 = x i + 0.1 6 (f + 2f 2 + 2f 3 +f 4 )],”; ”, Simplif y[y i+1 = y i + 0.1 6 (g + 2g 2 + 2g 3 +g 4 )],”)”]}},{i,0,9}]

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) chẵnh xĂc

Euler cÊi tián Runge-Kutta 0,1 (1,085; 1,305) (1,0831; 1,3027) (1,0831; 1,3027)

Phương pháp Runge-Kutta là một kỹ thuật hiệu quả để giải gần đúng các phương trình vi phân, đặc biệt là khi so sánh với phương pháp Euler Phương pháp này thường được áp dụng để giải quyết các bài toán vi phân tuyến tính và phi tuyến, mang lại độ chính xác cao hơn so với các phương pháp đơn giản hơn.

2.1.2 p dửng ành lỵ 2 cho lợp cĂc iºm tợi hÔn (x 0 , y 0 ) º phƠn loÔi v x²t tẵnh ờn ành Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà.

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (1,1) °t:

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (0,0).

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ mợi ữủc xĂc ành bði:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1−i v λ 2 = −1 +i l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (1,1) cừa hằ (2.5) l iºm xoưn ốc v tiằm cên ờn ành.

Kiºm tra lÔi bơng ỗ thà:

Ta câ: dx dt = x−y ⇒ d dt 2 x 2 = dx dt − dy dt

M : dy dt = 5x−3y −2 = 5x−3(− dx dt +x)−2 = 3 dx dt + 2x−2.

Suy ra: d dt 2 x 2 = −2 dx dt −2x+ 2 hay x 00 + 2x 0 + 2x−2 = 0.

Suy ra: x = (C 1 cost+C 2 sint)e −t + 1, C 1 , C 2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá x v o phữỡng trẳnh thự nhĐt cừa hằ (2.5) cho ta y = ((2C 1 −C 2 ) cost+ (C 1 + 2C 2 ) sint)e −t + 1.

Vêy hằ (2.5) cõ nghiằm: x = (C1cost+C2sint)e −t + 1, y = ((2C 1 −C 2 ) cost+ (C 1 + 2C 2 ) sint)e −t + 1.

 dx dt = x−y, x(0) = 2, dy dt = 5x−3y −2, y(0) = 3 (2.6) p dửng phữỡng phĂp Euler vợi bữợc nhÊy h = 0,05 º giÊi (2.6) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 2, y 0 = 3, P rint[”(”, x i+1 = x i + 0.05(x i −y i ),”; ”, y i+1 = y i + 0.05(5x i −3y i −2),”)”]},{i,0,19}] p dửng phữỡng phĂp Euler cÊi tián vợi bữợc nhÊy h = 0,1 º giÊi (2.6) vợi cƠu lằnh:

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler (x; y) vợi phữỡng phĂp Euler cÊi tián (x; y) chẵnh xĂc

Phương pháp Euler là một kỹ thuật phổ biến trong giải tích số, nhưng có những hạn chế nhất định về độ chính xác Để cải thiện độ chính xác, phương pháp nhảy bậc cao hơn được áp dụng, giúp đạt được kết quả chính xác hơn so với phương pháp Euler cổ điển Những nghiên cứu cho thấy rằng việc sử dụng các kỹ thuật tính toán tiên tiến có thể giảm thiểu sai số và nâng cao hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán phức tạp Do đó, việc áp dụng các phương pháp cải tiến này là cần thiết để đạt được kết quả tối ưu trong các ứng dụng thực tiễn.

 x = 5 2 , y = − 1 2 Nhên ữủc iºm tợi hÔn l ( 5 2 ,− 1 2 ). °t:

Nhên ữủc iºm tợi hÔn l (0,0).

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ mợi ữủc xĂc ành bði:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −2i v λ 2 = 2i l hai nghiằm thuƯn £o.

Suy ra iºm tợi hÔn ( 5 2 ,− 1 2 ) cừa hằ (2.7) l tƠm ờn ành.

Ta câ: dy dt = x−y −3 ⇒ d dt 2 y 2 = dx dt − dy dt

M : dx dt = x−5y −5 =− dy dt +y + 3−5y −5 = dy dt −4y −2.

Suy ra: y = C1cos 2t+C2sin 2t− 1 2 , C1, C2 l cĂc hơng số tũy ỵ. Thá y v o phữỡng trẳnh thự hai cừa hằ (2.7) cho ta x = (C 1 + 2C 2 ) cos 2t+ (−2C 1 +C 2 ) sin 2t+ 5 2

Vêy hằ (2.7) cõ nghiằm: x = (C 1 + 2C 2 ) cos 2t+ (−2C 1 +C 2 ) sin 2t+ 5 2 , y = C 1 cos 2t+ C 2 sin 2t− 1 2

(2.8) p dửng phữỡng phĂp Euler vợi bữợc nhÊy h = 0,05 º giÊi (2.8) vợi cƠu lằnh:

Do[{x 0 = 7 2 , y 0 = 1 2 , P rint[”(”, x i+1 = x i + 0.05(x i −5y i −5),”; ”, y i+1 = y i + 0.05(x i −y i −3),”)”]},{i,0,11}] p dửng phữỡng phĂp Runge- Kutta vợi bữợc nhÊy h = 0,1 º giÊi (2.8) vợi cƠu lằnh:

{f 3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−5y−5][x i + 0.05f 2 , y i + 0.05g 2 ]], g3 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−y −3][xi + 0.05f2, yi + 0.05g2]]}; {f 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−5y −5][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]], g 4 = Simplif y[F unction[{x, y}, x−y −3][x i + 0.1f 3 , y i + 0.1g 3 ]]}; {P rint[”(”, Simplif y[x i+1 = xi + 0.1 6 (f + 2f2 + 2f3 +f4)],”; ”,

Ta ữủc bÊng kát quÊ: t (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) vợi phữỡng phĂp (x; y) chẵnh xĂc

Phương pháp Runge-Kutta là một kỹ thuật tối ưu để giải gần đúng các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến So với phương pháp Euler, Runge-Kutta cung cấp độ chính xác cao hơn, đặc biệt khi bước nhảy lớn Phương pháp này giúp cải thiện đáng kể độ tin cậy của kết quả trong các bài toán tính toán phức tạp.

Vã mởt số °c trững cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Ă tuyán tẵnh

XĂc ành loÔi iºm tợi hÔn (0, 0) cừa hằ Ă tuyán tẵnh, miảu tÊ sỹ xĐp x¿ àa phữỡng v phƠn loÔi cĂc iºm tợi hÔn bĐt ký khĂc ữủc xĂc ành trong Ênh pha

tÊ sỹ xĐp x¿ àa phữỡng v phƠn loÔi cĂc iºm tợi hÔn bĐt ký khĂc ữủc xĂc ành trong Ênh pha.

 dx dt = x−3y+ 2xy, dy dt = 4x−6y−xy (2.9)

Hằ tuyán tẵnh tữỡng ựng cừa hằ (2.9) l :

Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (2.10) l :

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −2 v λ 2 = −3 l hai nghiằm thỹc ãu Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) cừa hằ (2.9) l nút phi chẵnh ờn ành.

Hẳnh 2.9: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.10)

Hẳnh 2.10: Trữớng v²c tỡ cừa hằ

(2.9) Hẳnh 2.11: nh pha cừa hằ (2.9)

Qua Ơy cho thĐy ngo i iºm tợi hÔn (0; 0) l nút phi chẵnh ờn ành ra hằ (2.9) cỏn cõ mởt iºm tợi hÔn gƯn iºm (0,67; 0,40) l mởt iºm yản ngüa ên ành.

XĂc ành cĂc iºm tợi hÔn cừa hằ ữa ra, nghiản cựu loÔi v tẵnh ờn ành cừa tứng iºm

v tẵnh ờn ành cừa tứng iºm.

Vêy hằ (2.11) cõ 2 iºm tợi hÔn (0,0) v (1,1).

• ối vợi iºm tợi hÔn (0,0):

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = 1 v λ2 = −1 l hai nghiằm thüc tr¡i d§u.

Suy ra (0,0) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ1 = i v λ2 = −i l hai nghiằm thu¦n £o.

Hẳnh 2.13: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.13)

(2.11) Hẳnh 2.15: nh pha cừa hằ (2.11)

Suy ra cĂc iºm tợi hÔn l (0,0) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành v

Vêy hằ (2.14) cõ 2 iºm tợi hÔn (1,1) v (−1,1).

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 1 v λ 2 = −2 l hai nghiằm thüc tr¡i d§u.

Suy ra (1,1) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

• ối vợi iºm tợi hÔn (−1,1):

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = − 1 2 −

2 i l hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm.

Suy ra iºm tợi hÔn (−1,1) l iºm xoưn ốc v tiằm cên ờn ành.

Hẳnh 2.17: Trữớng v²c tỡ cừa hằ(2.16)

(2.14) Hẳnh 2.19: nh pha cừa hằ (2.14)

Sü ph¥n nh¡nh

Tái cấu trúc các trường hợp hợp lý khi có sự xáo trộn trong các hàng số của hàm tuyến tính hoặc hàm tuyến tính có thể dẫn đến sự thay đổi đáng kể trong đồ thị hoặc xu hướng tổng thể.

Khi õ iºm tợi hÔn (0,0) l : a mởt iºm xoưn ốc ờn ành náu < 0.

Vợi < 0 giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1 + i√

L hai nghiằm phực liản hủp cõ phƯn thỹc Ơm, dẫn đến iºm tợi hÔn (0,0) là iºm xoưn ốc ờn ành Nút ờn ành nằm trong khoảng 0 ≤ x < 1 Ngoài ra, sỹ xĂo trởn nhọ cừa hằ x 0, với y 0 = x−y, có thể thay đổi kiểu iºm tợi hÔn (0,0) mà không làm mất tính ờn ành của nó.

Vợi 0 ≤ < 1 giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −1 + √ v λ2 = −1−√ l hai nghiằm thỹc ãu Ơm Suy ra iºm tợi hÔn (0,0) l nót ên ành.

Náu 0 < < 1 thẳ iºm tợi hÔn (0,0) l nút phi chẵnh ờn ành.

Náu = 0 ta ữủc hằ x 0 = −x, y 0 = x−y cõ phữỡng trẳnh °c trững cõ nghiằm thỹc Ơm λ = −1 Ơm, do õ iºm tợi hÔn (0,0) l ờn ành những kiºu iºm thay ời l nút chẵnh ho°c phi chẵnh.

Hẳnh 2.21: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.17) vợi = −0, 2

Hẳnh 2.23: Trữớng v²c tỡ cừa hằ(2.17) vợi = 0, 05

Hẳnh 2.24: Trữớng v²c tỡ cừa hằ (2.17) vợi = 0, 2

Ùng dửng: Sỹ sống sõt cừa mởt lo i

X²t là một loại mô hình toán học mô tả sự tương tác giữa hai loại biến x(t) và y(t) theo thời gian t Các biến này cạnh tranh với nhau trong một môi trường chung, tạo ra sự ổn định trong hệ thống Để xây dựng một mô hình toán học chính xác, cần xác định mối quan hệ giữa hai loại biến này và đảm bảo rằng các phương trình của chúng thỏa mãn các điều kiện cần thiết Nếu không có sự tương tác giữa hai loại biến, các phương trình x(t) và y(t) sẽ không thể tồn tại một cách độc lập.

Náu cuởc cÔnh tranh Ênh hữðng án tốc ở suy thoĂi trong mội tờng thº v t¿ lằ vợi tẵch xy Ta nhên ữủc hằ cÔnh tranh:

 dx dt = a 1 x−b 1 x 2 −c 1 xy, dy dt = a 2 y −b 2 y 2 −c 2 xy, (2.19) trong õ cĂc hằ số a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 ãu dữỡng.

GiÊ sỷ ta cõ mởt tờng thº x(t) v y(t) thọa mÂn hằ:

 dx dt = 14x− 1 2 x 2 −xy, dy dt = 16y − 1 2 y 2 −xy (2.20)

Vêy hằ (2.20) cõ 4 iºm tợi hÔn (0,0),(0,32),(28,0),(12,8).

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = 14 v λ 2 = 16 l hai nghiằm thỹc ãu dữỡng.

Suy ra (0,0) l nút nguỗn khổng ờn ành.

Ta câ: f(x, y) = 14x− 1 2 x 2 −xy, g(x, y) = 16y− 1 2 y 2 −xy, suy ra:

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −18 v λ 2 = −16 l hai nghiằm thüc ¥m.

Suy ra iºm tợi hÔn (0,32) l nút ờn ành.

• ối vợi iºm tợi hÔn (28; 0):

 du dt = −14u−28v, dv dt = −12v (2.23) Phữỡng trẳnh °c trững cừa hằ (2.23) l :

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −14 v λ 2 = −12 l hai nghiằm thüc ¥m.

Suy ra iºm tợi hÔn (28,0) l nút ờn ành.

GiÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc λ 1 = −5−√

97 l hai nghiằm thỹc trĂi dĐu.

Suy ra iºm tợi hÔn (12,8) l iºm yản ngỹa khổng ờn ành.

Hẳnh 2.25: nh pha cừa hằ (2.20)

Qua Ênh pha cừa hằ (2.20) thẳ cõ hai quÿ Ôo dƯn án iºm yản ngỹa

(12,8)cũng vợi iºm yản ngỹa hẳnh th nh ữớng tĂch th nh hai miãn õng vai trỏ quan trồng º xĂc ành h nh ởng lƠu d i cừa tờng thº.

• Náu iºm Ưu (x 0 , y 0 ) nơm trản ữớng tĂch thẳ (x(t), y(t)) dƯn án

(12,8) khi t → +∞ Dắ nhiản cĂc sỹ viằc ngău nhiản l m nõ khổng giống vợi (x(t), y(t)) trản ữớng tĂch, náu khổng sỹ cũng tỗn tÔi hỏa bẳnh cừa hai lo i l khổng thº.

• Náu (x 0 , y 0 ) nơm trong miãn I trản ữớng tĂch thẳ(x(t), y(t)) dƯn án

(0,32) khi t→ +∞ Vẳ vêy tờng thº x(t) giÊm vã 0.

• Náu (x 0 , y 0 ) nơm trong miãn II dữợi ữớng tĂch thẳ (x(t), y(t)) dƯn án (28,0) khi t →+∞ Vẳ vêy tờng thº y(t) diằt vong.

Luận văn được viết nhằm cấp tơi các lợi ích của việc nghiên cứu các mô hình trong hệ thống vi phân, qua đó thể hiện vai trò quan trọng của các mô hình trong việc nghiên cứu các đặc trưng của hệ thống này Thông qua các hình ảnh minh họa, chúng ta có thể khái quát các đặc trưng của hệ thống vi phân một cách nhanh chóng và dễ dàng Nghiên cứu này có vai trò quan trọng trong việc phân tích các mô hình biểu diễn bởi hệ thống vi phân như: Mô hình sinh thái, cạnh tranh, và bùng nổ dân số.

Sử dụng phần mềm Mathematica 5.2 giúp xây dựng hệ phương trình vi phân, đồng thời cho phép so sánh một số phương pháp số để giải hệ phương trình vi phân với bài toán giá trị ưu.

Mở rộng vốn văn hóa là một trong những phương pháp quan trọng để khai thác hiệu quả các nguồn tài nguyên Việc áp dụng các phương pháp số hiện đại giúp nâng cao chất lượng và hiệu suất trong việc phát triển văn hóa Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô về việc mở rộng vốn văn hóa của em để em có thể cải thiện hơn nữa Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viản thỹc hiằnNguyạn Thà Hỗng NhÔn

[1] Arnold V.I (1978), Ordinary differential equations, MIT.

[2] C Henry Edwards, E Penney David (2007), Elementary differential equations with boundary value, Prentice Mall.

[3] William E Boyce (2000), Elementary differential equations with boundary value, Jonh Wiley and Sons.

[4] BÊn dàch (2008), Phữỡng trẳnh vi phƠn cỡ bÊn vợi b i toĂn giĂ trà biản-

Têp 2, Ôi hồc Thừy Lủi.

[5] http://reference.wolfram.com/mathematica/howto/PlotAVectorField.html.

[6] http://55clc2.wordpress.com/2011/01/19/mởt-số-lằnh-cỡ-bÊn-trong- mathematica/.

Tiêu đề	Về Điểm Tới Hạn Của Một Lớp Hệ Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Và Á Tuyến Tính
Tác giả	Nguyễn Thái Hồng Nhơn
Người hướng dẫn	TS. Lã Hề Trung
Trường học	Đại Học Sư Phạm Khoa Toán
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Đồng

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	0,94 MB