Về ảnh phủ compact của các không gian mêtric

Mục đích của luận văn là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại ánh xạ, đó là ánh xạ phủ-compact của một không gian mêtric.. Phần này tác giả đa ra khái niệm Y-cơ sở củ

Trờng đại học vinh

Khoa toán

………

đỗ thị thủy

về ảnh phủ-compact

của các không gian mêtric

khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán

của các không gian mêtric

khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán

cán bộ hớng dẫn khoa học

pgs.ts trần văn ân

sinh viên thực hiện

đỗ thị thủy lớp 42A2 – khoa toán

vinh 2005

môc lôc

Trang

lêi më ®Çu 3

Ch¬ng I mét Sè kiÕn THøC CHUÈN BÞ 5

§1 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ t«p« 5

§2 C¸c lo¹i ¸nh x¹ 10

Ch¬ng II ¶nh phñ - compact cña mét kh«ng gian mªtric 14

§1 §Æc trng cña ¶nh phñ - compact 14

§2 §Æc trng cña ¶nh më phñ - compact 17

kÕt luËn 26

tµi liÖu tham kh¶o 27

lời mở đầu

Vấn đề liên quan đến không gian đợc xác định bởi phủ đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ XX Từ đó đến nay các nhà tôpô đa ra nhiều tính chất, nhiều kết quả quan trọng đối với các không gian tôpô khác nhau và mối quan hệ giữa các không gian tôpô đó Một trong số các công trình nghiên cứu này phải kể đến là các nhà toán học E Michael, ShouLin, K Nagami, Y Tanaka,

Mục đích của luận văn là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại ánh xạ, đó là ánh xạ phủ-compact của một không gian mêtric Luận văn đã chứng minh chi tiết một số kết quả của bài báo [5], nghiên cứu các tính chất của ánh xạ phủ-compac và mối quan hệ giữa ánh xạ này với các loại ánh xạ khác đã nêu trong luận văn

Cuối luận văn, do điều kiện thời gian cũng nh những hạn chế về năng lực, tác giả có nêu lên một vài vấn đề mở để nghiên cứu tiếp và cho những ai có quan tâm tới vấn đề này

Khóa luận gồm các nội dung chính sau:

chơng I một số kiến thức chuẩn bị

Chơng này tác giả trình bày hai nội dung chính Đầu tiên là những khái niệm

và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng chuẩn bị cho phần sau Sau đó tác giả trình bày các loại ánh xạ: ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng (mở), ánh xạ hoàn chỉnh, ánh xạ thơng,

ánh xạ song thơng, ánh xạ phủ-compact, các tính chất và sự liên quan giữa chúng chơng II ảnh phủ-compact

của các không gian mêtric

Đây là nội dung chính của luận văn Tác giả cũng trình bày thành hai phần:

Đ1 Đặc trng của ảnh phủ-compact Phần này tác giả đa ra khái niệm phân

hoạch liên tục trên X và điều kiện để không gian Y là ảnh phủ-compact của không gian mêtric X, nội dung chính là định lý 2.1.5

Đ2 Đặc trng của ảnh mở phủ-compact Phần này tác giả đa ra khái niệm

Y-cơ sở của một tập A ⊂ Y; tập có đặc trng đếm đợc; các tính chất tơng đơng giữa chúng; điều kiện để không gian Y là ảnh mở phủ-compact, là s-ảnh mở phủ-compact của một không gian mêtric X và mối quan hệ giữa s-ảnh mở phủ-compact, s-ảnh mở

và s-ảnh song thơng của một không gian mêtric Cùng một số bổ đề chuẩn bị cho chứng minh nội dung chính của phần này là các định lý 2.2.13, 2.2.14, 2.2.15

Trong luận văn chúng tôi quy ớc tất cả các ánh xạ đều liên tục, tất cả các không gian đều là Hausdorff (T2-không gian)

Những kết quả của luận văn là sự tổng kết, chứng minh chi tiết các tính chất trong bài báo cùng những nhận xét đợc đa ra

Cuối cùng, tác giả xinh chân thành cảm ơn PGS.TS TRần văn ân, ngời trực tiếp hớng dẫn tận tình trong quá trình làm khoá luận Nhân đây, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình quan tâm giảng dạy, tất cả các bạn bè, ngời thân đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trờng

Vinh, tháng 4 năm 2005

Tác giả

chơng I một số kiến thức chuẩn bị

Đ1 một số khái niệm cơ bản về tôpô

1.1.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ) và b ⊂τ b đợc gọi là cơ sở của tôpô

τ nếu với mọi tập V∈τ và mọi x ∈ V tồn tại U ∈b sao cho x∈ U ⊂ V

1.1.2 Mệnh đề ([2]) Giả sử X là một tập hợp bất kì Khi đó (X, 2 X ) là một không gian tôpô Nếu x ∈ X thì tập hợp { }x tạo thành một cơ sở của không gian tại điểm

x Không gian (X, 2 X ) đợc gọi là một không gian tôpô rời rạc

1.1.3 Định nghĩa a Cho không gian tôpô (X, τ) x ∈ X, tập U ⊂ X đợc gọi là lân cận của điểm x, nếu tồn tại V∈τ sao cho x ∈ U ⊂ V

b Gọi u(x) là họ tất cả các lân cận của x Khi đó, họ con b(x) của u(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V ∈ u(x), tồn tại U ∈b(x) sao cho x ∈

(ii) Alà tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A

(iii) Tập A ⊂ X là đóng khi và chỉ khi A = A

(iv) Nếu A ⊂ B ⊂ X thì A ⊂ B

1.1.6 Mệnh đề ([2]) Giả sử A là tập hợp con của không gian tôpô (X, τ) và x ∈ X Khi đó x ∈A khi và chỉ khi mọi lân cận U của x đều giao với A tức là U∩ A ≠∅

1.1.7 Mệnh đề ([2]) Cho không gian tôpô X A và B là những tập hợp con của X

1.1.11 Nhận xét ([2]) Đối với không gian mêtric X thì mệnh đề đảo cũng đúng.

'' Nếu X là không gian mêtric khả li thì X có một cơ sở đếm đợc ''

1.1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô X.

(i) Không gian X đợc gọi là T 1 -không gian, nếu mỗi phần tử x∈X thì { }x là tập đóng

(ii) Không gian X đợc gọi là T 2 -không gian (Hausdoff) nếu mỗi cặp điểm khác

nhau x1, x2 ∈ X, tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho U∩

(v) Không gian X đợc gọi là không gian chuẩn tắc nếu với hai tập đóng rời

nhau bất kỳ A, B trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho U ⊃ A; V ⊃ B và U∩ V

= ∅

1.1.13 Nhận xét

(i) Không gian rời rạc là không gian chuẩn tắc

(ii) Không gian mêtric là một không gian chuẩn tắc

1.1.14 Mệnh đề ([2]) Không gian chính quy X có một cơ sở đếm đợc là một không

gian chuẩn tắc.

1.1.15 Mệnh đề ([2]) Không gian tôpô X là không gian chính quy khi và chỉ khi

với mọi x ∈ X và U là tập mở chứa x, tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho: x ∈ V ⊂ U.

1.1.16 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và u là một phủ của X Phủ b của X

đợc gọi là cái mịn của u nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ u

1.1.17 Định nghĩa Không gian tôpô X là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có

một phủ con hữu hạn

1.1.18 Nhận xét Không gian rời rạc là không gian compact khi và chỉ khi nó hữu

hạn Vậy khoảng đóng hữu hạn [a, b] là một tập hợp compact trong không gian R.

1.1.19 Mệnh đề ([1]) Nếu A là một tập compact của không gian Hausdoff X và

x∈X\A thì tồn tại các tập mở U và V sao cho x ∈ U, V ⊃ A và U∩ V=∅

1.1.20 Nhận xét Mỗi tập hợp compact trong không gian Hausdoff X đều là một tập

hợp đóng trong X

1.1.21 Mệnh đề ([2]) Không gian compact Hausdoff là một không gian chuẩn tắc.

1.1.22 Định nghĩa Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một họ hữu

với hữu hạn phần tử của p

1.1.23 Định nghĩa Họ p các tập con của không gain tôpô X đợc gọi là một họ rời

rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất một phần tử của p

1.1.24 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không

gian Hausdoff và mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phơng mở

1.1.25 Nhận xét ([3]) Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact.

1.1.26 Nhận xét ([3]) Mọi không gian compact đều là không gian paracompact.

1.1.27 Mệnh đề Tập con đóng của không gian paracompact là không gian

paracompact.

Chứng minh Giả sử A là tập con đóng bất kỳ của không gian paracompact X Gọi u

là một phủ mở bất kỳ của A Vì X\A mở nên V = U ∪ X\ A là mở và V phủ X Do

X là không gian paracompact nên phủ V có cái mịn hữu hạn địa phơng mở B, tức là

b = {B mở: B ⊂ U ∈ u hoặc B ⊂ X\A} Khi đó họ A ={B ∈b: B ⊂ U ∈ u} là cái mịn mở hữu hạn địa phơng của u Vậy mọi phủ mở u của A đều có cái mịn hữu hạn

địa phơng mở Mặt khác A là tập con đóng của không gian Hausdoff X nên A cũng

là không gian Hausdoff Vậy A là không gian paracompact

1.1.28 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) gọi là không gian khả mêtric nếu tồn tại

một mêtric ρ : XìX →R, sao cho tôpô sinh bởi ρ trùng vói tôpô τ

1.1.29 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đợc thứ nhất nếu với mọi x ∈ X, tồn tại cơ sở đếm đợc tại x

1.1.30 Nhận xét Không gian mêtric là một không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc

thứ nhất

1.1.31 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm

đợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đợc.

1.1.32 Nhận xét Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là không

gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Điều ngợc lại không đúng, nhng nếu có thêm điều kiện thì ta có:

1.1.33 Mệnh đề ([3]) Nếu X là không gian tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ

nhất và X có đếm đợc phần tử thì X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai.

1.1.34 Mệnh đề ([2]) Mọi không gian compact khả mêtric là khả ly.

1.1.35 Bổ đề (Urxơn) ([2]) Không gian chính quy (X, τ) có một cơ sở đếm đợc là khả mêtric.

1.1.36 Định lý Không gian X là khả mêtric compact thì X thoả mãn tiên đề đếm

đ-ợc thứ hai.

Chứng minh Giả sử X là không gian compact và khả mêtric Theo Mệnh đề 1.34 thì

X là khả ly Kết hợp với Nhận xét 1.11 ta có X có một cơ sở đếm đợc Vậy X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai

Đ2 các loại ánh xạ

1.2.1 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô.

a ánh xạ f : X → Y đợc gọi là ánh xạ liên tục, nếu nghịch ảnh của một tập

(i) f liên tục.

(ii) f−1(V) mở trong X, với mọi V mở trong Y.

(iii) f−1(V) đóng trong X, với mọi V đóng trong Y.

1.2.3 Mệnh đề ([2]) ảnh liên tục của một tập hợp compact là một tập hợp

compact.

1.2.4 Mệnh đề ánh xạ liên tục f : X → Y từ một không gian compact X vào một không gian Haudoff Y là ánh xạ đóng.

Chứng minh Giả sử A là một tập đóng trong X Vì tập đóng trong không gian

compact là tập compact suy ra A là tập compact

Theo Mệnh đề 1.2.3 thì f(A) là tập compact trong không gian Hausdoff Y, do đó f(A)

là một tập hợp đóng trong Y Vậy f là ánh xạ đóng

1.2.5 Mệnh đề Nếu f : X → Y là ánh xạ đóng và f−1(y) là tập compact với mọi y ∈

Y thì với mọi tập compact Z ⊂ Y ta có f−1(Z) là tập compact.

Chứng minh Giả sử {Uα}α∈Ι là một phủ mở bất kỳ của f−1(Z) thì với mỗi z ∈ Z , {Uα}α∈Ι cũng là một phủ mở của f−1(z) Vì f−1(z) là một tập compact nên tồn tại phủ con hữu hạn {U1, U2, , Un } phủ f−1(z).

Đặt VZ = n

i i

U

1

= Khi đó Vz mở và f−1(z) ⊂ VZ Đặt WZ = Y \ f( X \ Vz ) Do VZ mở trong X và f đóng nên f( X \ VZ ) đóng trong Y, nên WZ mở trong Y Mặt khác, f−1(z) ⊂ VZ suy ra f−1(z) ∩ ( X \ VZ ) = ∅ Hay { }z ∩ f( X \ VZ ) = ∅ nên z ∈ WZ, do z bất kỳ suy ra {WZ : z ∈ Z} là phủ mở của Z Vì Z compact nên tồn tại phủ con hữu hạn {W1, W2, , Wk } phủ Z, suy ra ta

1 1

V

1

= =  k

j n

i ij

U

1 1

trong đó Uij∈ {Uα}α∈Ι , với i = 1 , , n; j =1 , , k

Vậy phủ {Uα}α∈Ι có phủ con hữu hạn là {Uij } Do đó f−1(Z) là tập compact

1.2.6 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ liên tục f : X → Y đợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh nếu f là ánh xạ đóng và f−1(y) là tập compact trong X với mọi y ∈ Y

1.2.7 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y đợc gọi là

ánh xạ thơng nếu tập f−1(U) mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U mở (đóng) trong Y

1.2.8 Mệnh đề ánh xạ đóng hoặc mở từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y

là ánh xạ thơng.

Chứng minh Giả sử f : X → Y là ánh xạ đóng

Nếu U đóng trong Y thì do f liên tục nên f−1(U) đóng trong X

Nếu f−1(U) đóng trong X thì do f là toàn ánh và đóng nên U = f (f−1(U)) là đóng trong Y Vậy f là ánh xạ thơng

Trờng hợp f mở chứng minh tơng tự.

1.2.9 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y đợc gọi là

ánh xạ song thơng nếu với mọi y ∈ Y và mọi phủ mở u của f−1(y) thì tồn tại hữu hạn tập {f (U) : U ∈ u} phủ một lân cận nào đó của y

1.2.10 Mệnh đề

( i ) Mọi ánh xạ hoàn chỉnh đều là ánh xạ song thơng.

( ii ) Mọi ánh xạ song thơng đều là ánh xạ thơng.

Chứng minh

(i) Giả sử f là ánh xạ hoàn chỉnh, y ∈Y Và u là phủ mở bất kỳ của f−1(y) Ta

có f−1(y) compact trong X Do đó tồn tại hữu hạn tập Vi∈ u, i = 1 , 2 , , k sao cho

Nếu U là tập mở trong Y thì do f liên tục, suy ra f−1(U) mở trong X

Nếu U ⊂ Y và f−1(U) mở trong X thì với mỗi y ∈ U, ta có f−1(y) ⊂ f−1(U), suy

ra f−1(U) là một phủ mở của f−1(y) Mặt khác f là ánh xạ song thơng nên f(f−1(U)) = U phủ một lân cận nào đó của y Do đó U là một tập mở trong Y Vậy f là ánh xạ th-

ơng

1.2.11 Định nghĩa ánh xạ f : X → Y đợc gọi là s-ánh xạ nếu với mỗi y ∈ Y thì

f−1(y) khả ly trong X

1.2.12 Định nghĩa ánh xạ f : X → Y đợc gọi là ánh xạ phủ-compact nếu mọi tập

compact K ⊂ Y là ảnh của một tập compact C ⊂ X

1.2.13 Nhận xét ánh xạ liên tục đóng f : X → Y từ không gian paracompact X lên không gian tôpô Y là ánh xạ phủ-compact

1.2.14 Mệnh đề Mọi ánh xạ phủ-compact là ánh xạ thơng.

Chứng minh Giả sử ánh xạ f : X → Y là ánh xạ phủ-compact, và tập A ⊂ Y sao cho

f−1(A) đóng trong X Do f liên tục nên ta chỉ cần chứng minh A đóng trong Y Thật vậy, f là ánh xạ phủ-compact nên với mọi tập compact K ⊂ Y thì tồn tại tập compact

C ⊂ X sao cho f(C) = K Vì f liên tục và f−1(A) ∩ C là compact, nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có f( f−1(A) ∩ C ) = A ∩ f(C) = A ∩ K là compact, suy ra A ∩ K đóng trong

Y, do đó A đóng trong Y Vậy f là ánh xạ thơng

1.2.15 Mệnh đề Mọi ánh xạ mở, phủ-compact là ánh xạ song thơng.

mở của f−1(y) Vì f là phủ-compact nên tồn tại tập compact C ⊂ X, và c ∈ C sao cho f(c) = y Khi đó, C ⊂ f−1(y) và u là phủ mở của C Do C compact nên tồn tại phủ

hữu hạn V* = {V1, V2, , V… m} ⊂ u và V* phủ C Đặt B = m

i i

CHƯƠNG II

ảnh phủ-compact của một không gian mêtric

Đ1 đặc trng của ảnh phủ-compact

2.1.1 Định nghĩa Phân hoạch D của không gian tôpô X đợc gọi là phân hoạch liên

cho D ⊂ V ⊂ V

2.1.2 Bổ đề Giả sử X là không gian mêtric compact, Y là T 2 -không gian, f : X→Y

là ánh xạ liên tục D là phân hoạch của X cho bởi xDy khi và chỉ khi

( )

[f x ] f [f( )y ]

Chứng minh Vì Y là T2-không gian nên với mỗi x ∈ Y tập {x} là tập đóng, do f liên tục nên f- 1(x) đóng trong X Ta có D = {f- 1(x): x ∈ Y}, và f- 1(x) đóng trong không gian compact X nên mỗi tập D = f- 1(x) ∈ D là tập con compact của X

Lại do X là không gian mêtric, nên với mỗi phủ mở V ⊃ D trong X, tồn tại tập mở V sao cho D ⊂ V ⊂ V Vậy D là phân hoạch liên tục

2.1.3 Bổ đề ([1]) Giả sử X là không gian tôpô, D là phân hoạch của X thành các

tập compact Nếu X là không gian Hausdoff, chính quy, có cơ sở đếm đợc thì không gian thơng D cũng có tính chất đó.

2.1.4 Mệnh đề Nếu X là không gian mêtric, compact, f : X → Y là ánh xạ liên tục

từ không gian X lên không gian Hausdoff Y thì Y khả mêtric compact

Chứng minh Ký hiệu D = {f- 1(x): x ∈ Y}, khi đó theo Bổ đề 2.1.2 thì D là phân hoạch liên tục của X thành các tập compact Vì X là không gian mêtric, compact, nên theo Bổ đề 2.1.3 D cũng là không gian mêtric compact

Vì ánh xạ f : X → Y biểu diễn đợc dới dạng f : = gπ với π : X → D và

g : D → Y là song ánh, nên áp dụng Bổ đề 1.2.17, vì f liên tục suy ra g liên tục Vì g : D → Y là song ánh liên tục từ không gian mêtric compact D lên Y nên

g là phép đồng phôi Vì vậy Y là không gian khả mêtric compact

*Chú ý: Từ đây về sau tất cả các không gian đợc nói đến đều là không gian

Hausdoff và tất cả các ánh xạ đều là ánh xạ liên tục và toàn ánh

2.1.5 Định lý Không gian Y là ảnh phủ-compact của một không gian mêtric khi và

chỉ khi mọi tập con compact của Y là khả mêtric.

Chứng minh Cần Giả sử Y là ảnh phủ-compact của một không gian mêtric, suy ra

tồn tại một không gian mêtric X và ánh xạ phủ-compact liên tục f : X → Y từ X lên

Y Ta phải chứng minh mọi tập con compact của Y là khả mêtric Thật vậy, giả sử K

⊂ Y, K-compact, vì f là ánh xạ phủ-compact nên tồn tại tập compact C ⊂ X sao cho

K = f(C) áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho C = X, K = Y ta có K là khả mêtric

Đủ Giả sử mọi tập con compact của Y là khả mêtric Ta phải chỉ ra tồn tại một không gian mêtric X và một ánh xạ phủ-compact f : X → Y từ X lên Y

Xét (Xα)α ∈ Α là họ các tập con compact củaY và dα bị chặn bởi 1 là mêtric tơng

ứng trên nó Đặt X = X

A α α

⊕∈ và d : X ìX →R cho bởi

1 nếu x ∈ Xα, y ∈ Xβ, α≠ β

d(x, y) =

dα(x, y) nếu x, y ∈ Xα

Ta chứng minh d là một mêtric trên X Thật vậy,

Rõ ràng d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X

Nếu d(x, y) = 0 suy ra dα(x, y) = 0, do đó x = y (vì dα là mêtric trên Xα), với mọi x, y ∈ X

Nếu x = y ∈ Xα với α nào đó thì dα(x, y) = 0, suy ra d(x, y) = 0

Rõ ràng d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X

Ta chứng minh d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X Thật vậy,