Đặc trưng Chern của các không gian đối xứng Compact

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh Nguyễn Văn Việt Đặc trưng Chern của các không gian đối xứng compact Luận văn thạc sĩ toán học... Tác giả xin được cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo

Bộ Giáo Dục và Đào tạo

Trường Đại Học Vinh

Nguyễn Văn Việt

Đặc trưng Chern của các không gian

đối xứng compact

Luận văn thạc sĩ toán học

Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o

Tr−êng §¹i Häc Vinh

Mục lục

1 Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact 5

1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact 8

1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact 11

1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng compact 19

2 Đặc tr−ng Chern của không gian đối xứng compact 23 2.1 Đặc tr−ng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) 23 2.2 Đặc tr−ng Chern của không gian SU (2n)/Sp(n) với n = 2,3,4 25

2.3 Đặc tr−ng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n+1)/SO(2n+1) 27 2.4 Đặc tr−ng Chern của SU (2n + 1)/SO(2n + 1) với n = 1,2,3 29

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của Thầygiáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc của mình tới Thầy, Người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, dạy bảo

và giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt thời gian qua

Tác giả xin được cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong Chuyên ngành Đại số và

Lý thuyết số; các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạoSau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường ĐH Vinh đãtạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học.Cảm ơn Trường ĐH Đồng Tháp đã tổ chức và tạo điều kiện học tập tốt cho tác giả.Cuối cùng tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn tốt nghiệp

Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu của mình món quà tinh thần này vớitấm lòng biết ơn chân thành nhất Do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những sự góp ý củacác nhà khoa học và đồng nghiệp để luận văn có thể được hoàn thiện tốt hơn

Nghệ An, ngày 19 tháng 9 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Việt

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán nghiên cứu cấu trúc của các nhóm Lie và đại số Lie là một bài toán kháquan trọng trong Đại số, Hình học nói riêng và trong Toán học nói chung Trongcác bài toán đó, bài toán mô tả đặc trưng Chern của các nhóm Lie compact và cáckhông gian đối xứng compact đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu,

ch : K∗(X) ư→ H∗(X)

ch : K∗(G) ⊗ Q ư→ HDR∗ (G; Q)

Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Liecompact, năm 1994 T Watanabe, L Hodgkin, R Held, U Stuter và H Minaminlần đầu tiên đã tính được đặc trưng Chern cho nhóm Lie compact và gần đây, năm

2012 Đỗ Ngọc Diệp và các cộng sự đã mô tả được đặc trưng Chern không giao

đặc trưng Chern của nhóm Lie compact vẫn là bài toán mở và có tính thời sự củaToán học

Với những gì đã nêu ở trên, chúng tôi nhận thấy việc tính đặc trưng Chern chocác trường hợp cụ thể là một việc làm hết sức thiết thực Xuất phát từ nhu cầu tìm

hiểu và giải quyết một số vấn đề nêu trên chúng tôi chọn đề tài Đặc trưng Chern

của các không gian đối xứng compact để làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đặc trưng Chern và

đặc biệt là bài báo On the Chern characters of symmetric spaces related to SU(n),

J Math Kyoto Univ (JMKYAZ), Volume 34 - 1,(2004), 149 - 169 của tác giả

T Watanabe để đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về

và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)

2 Nội dung nghiên cứu của luận văn

Luận văn tập trung trình bày lại một cách có hệ thống cách tính đặc trưng Chern

ch : K∗(G) ⊗ Q ư→ HDR∗ (G; Q)

cho hai trường hợp:

3 Tổng quan và cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trìnhliên quan đến luận văn, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact.

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan như: Khái niệm vềnhóm Lie, đại số Lie, cấu trúc của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact,

trưng Chern

Chương 2: Đặc trưng Chern của không gian đối xứng compact Đây là nội

dung chính của Luận văn Trước hết chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng điều

trên để trình bày cách tính đặc trưng Chern của hai không gian đối xứng compact

SU (2n)/Sp(n) và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)

Chương 1

Cấu trúc của nhóm Lie compact và

không gian đối xứng compact

Trong Chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại

số Lie, nhóm Lie, lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact, xây dựng đối đồng điều và Kư nhóm của không gian đối xứng compact

ii) [x, x] = 0, ∀x ∈ L(phản giao hoán)

iii) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀x, y, z ∈ L(đồng nhất thức Jacobi)

Nhận xét. Điều kiện ii) suy ra từ điều kiện iv): [x, y] = ư[y, x] và khi charF 6= 2

thì điều kiện ii) và iv) tương đương

0 6= x ∈ L, ta luôn có K = Fx là đại số con một chiều của L với tích Lie tầm

1.1.2 Ví dụ. Cho(A, ) là đại số kết hợp trên F, ta định nghĩa một phép toán mới

[−, −] : A ì A −→ A, (x, y) 7−→ [x, y] = x.y − y.x

trận n ì n trên F, ký hiệu là gl(n, F), với dim(gl(V )) = dim(gl(n, F)) = n2

[eij, ekl] = eijekl− ekleij = δjkeil − δliekj,

1.1.3 Ví dụ. Xét sl(n, F) = {x ∈ gl(n, F) \ T r(x) = 0}, trong đó T r(x) là vết

aT r(x) + bT r(y) = 0, ∀a, b ∈ F; x, y ∈ sl(n, F) Hơn nữa sl(n, F) là đại số con

của gl(n, F) vì: T r([x, y]) = T r(xy) − T r(yx) = 0, ∀x, y ∈ sl(n, F) Đại số

sl(n, F) đ−ợc gọi là đại số tuyến tính đặc biệt.

1.1.4 Ví dụ. Đại số đối xứng

1.1.5 Định nghĩa. (xem [2]) Nhóm G đ−ợc gọi là nhóm Lie nếu:

ii) Các ánh xạ

α :G ì G −→ G(x, y) 7−→ xy

với a, b ∈ K; a 6= 0 Khi đó Af f (K) là một nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân

0 1



\a, b ∈ K, a 6= 0



1.1.9 Định nghĩa. (xem [2]) Cho G là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông

G0 = {g ∈ G \ ∃g(t) sao cho g(0) = e, g(1) = g}

Từ định nghĩa, ta có:

1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact

Trong tiết này chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về hệ nghiệm, trọng trội, xuyến cực đại của các nhóm Lie compact để nhằm phục vụ cho việc tính toán sau này Những khái niệm trên chúng tôi trình bày dưới dạng các

định nghĩa, hệ thống lại các tính chất của nó dưới dạng các Định lý, Mệnh đề, Hệ quả và đưa ra Ví dụ minh họa Các kết quả này được trình bày chi tiết trong [4].

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử V là Kư không gian véctơ và Plà tập con của V Tập

P

α ∈P

2kxkkyk cos ϕ = 4 cos

2ϕ

Sau đây ta đưa ra bảng cho biết vị trí tương đối giữa hai nghiệm bất kỳ:

1 n(x, y) = 0, n(y, x) = 0, ϕ = π/2

1.2.3 Mệnh đề. Hệ nghiệm P bất biến với tất cả phép đối xứng Sα.

1.2.4 Định nghĩa. Véctơ x ∈ V đ−ợc gọi là chính quy nếu (x, y) 6= 0, ∀y ∈ P

Đặt T = {tập hợp tất cả véc tơ chính quy trong V } Khi đó

1.2.7 Định nghĩa. Giả sử P là hệ nghiệm trong không gian véc tơ V Nhóm con

W =< Sα \ α ∈ P > sinh bởi các phép đối xứng Sα trong nhóm tuyến tính đầy

đủ GL(V ) đ−ợc gọi là nhóm Weyl của hệ nghiệm P

1.2.8 Định nghĩa. Giả sử V là G− môđun và w ∈ B∗ là dạng tuyến tính

Hv = w(H)v, đối với ∀H ∈ B Mỗi phần tử thuộc không gian đó ta nói nó có

gian V, nếu VW 6= 0 Khi đó V = ⊕Ww là một phép phân tích thành các khônggian nghiệm.

1.2.9 Định nghĩa. T đ−ợc gọi là xuyến cực đại của G, nếu:

1.2.10 Ví dụ. Giả sử G = SU (2n) Khi đó xuyến cực đại của G có dạng

T =(

Vì T ⊂ SU (2n), theo trên ta có: AT = T A và det(T ) = 1 Do đó ta có thểchọn

λi = 0 và det(T ) = eiλ 1.eiλ 2ã ã ã eiλ 2n = et = 1

1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng

compact

Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại cách xây dựng các đối đồng điều của hai không gian đối xứng compact SU (2n)/Sp(n) và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)

1.3.1 Định nghĩa. Cho G là nhóm Lie compact, f : G ư→ G là tự đẳng cấu và

Gf = {x ∈ G \ f (x) = x} ⊃ F ⊃ (Gf)e

đối xứng compact.

1.3.2 Định lý.(xem [7]) M = SU (2n)/Sp(n) là không gian đối xứng compact

1.3.3 Định lý. (xem [7]) M = SU (2n + 1)/SO(2n + 1) là không gian đối xứng compact

1.3.4 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n). Sự dụng cách xây dựng

của SU (2n) sao cho s2(T ) ⊂ T, trong đó s2 : SU (2n) ư→ SU (2n) được xác

α1, α2, ã ã ã , α2nư1 : L(T ) ư→ R

tương ứng với sơ đồ Dynkin sau:

(BT, Z) Vì tác động của

W (SU (2n)) trên H2

(BT, Z) là nhóm hoán vị trên {t1, t2, ã ã ã , t2n}, do đóchúng ta có

H∗(BT, Z)W (SU (2n)) = Z[c2, c3, ã ã ã , c2n] và theo (1.4), ta có:

Bs∗2(ci+1) = (−1)i+1ci+1 i = 1, 2n − 1 (1.5)

(SU (2n); Z) Khi đó ta có

H∗(SU (2n), Z) = ΛZ(x3, x4, ã ã ã , x4n−1) (1.6)

1.3.5 Mệnh đề. Đồng cấu s∗2 : H∗(SU (2n), Z) −→ H∗(SU (2n), Z), đ−ợc xác

Proof. Theo giả thiết ở trên, ta có x2i+1 = σ∗(ci+1) Do đó

s∗2(x2i+1) = s∗2(σ∗(ci+1)) = σ∗(Bs2(ci+1)) = σ∗((−1)i+1ci+1) = (−1)i+1x2i+1

Vậy s∗2(x2i+1) = (−1)i+1x2i+1

1.3.6 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact Sp(n). Lập luận tương tự như

(α0i, α0i+1) = ư1 nếu 1 ≤ i < n ư 1(α0nư1, α0n) = 2

1.3.7 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n + 1). Để xây dựng

s1 : SU (2n+1) −→ SU (2n+1)xác định bởi: s1(A) = A, vớiA ∈ SU (2n+1)

Vậy H∗(BT ; Q) = Q[α1, α2, ã ã ã , α2n] Ký hiệu s01 : T −→ T là hạn chế của

Bs∗1 : H∗(BT ; Q) −→ H∗(BT ; Q)

của W (SU (2n + 1)) trên H∗(BT ; Z) đ−ợc xác định bởi

1.3.8 Mệnh đề.

s∗1 : H∗(SU (2n + 1); Z −→ H∗(SU (2n + 1); Z)

Proof. Ta có s∗1(x2i+1) = s∗1(δ∗(ci+1)) = δ∗(Bs∗1(ci+1)) = δ∗((−1)i+1(ci+1)

= (−1)i+1δ∗(ci+1) = (−1)i+1x2i+1

1.3.9 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SO(2n + 1).

i1 : SO(2n + 1) −→ SU (2n + 1) là phép nhúng tự nhiên Khi đó lấy hệ nghiệm:

(α0i, α0i+1) = −1 với 1 ≤ i ≤ n(α0i, α0j) = 0 với i 6= j

Do đó

H∗(BSO(2n + 1); K) = K[p1, p2, ã ã ã , pn]

(SO(2n + 1); K) Khi đó theo [6], ta có

H∗(SO(2n + 1); K) = ΛK(x03, x07, ã ã ã , x04nư1)

Sp(n), SU (2n + 1) và SO(2n + 1) Sử dụng các kết quả trên, T Watanabe đã

và SU (2n + 1)/SO(2n + 1) Kết quả đó được thể hiện bởi hai định lý sau

1.3.10 Định lý.(xem [7]) Cho K là một trường Khi đó

1.4.1 K - nhóm của các nhóm Lie compact SU(n+1). Cho G là nhóm Lie

đó ta có các nhận xét sau đây:

i) Vành biểu diễn R(G) của G có cấu trúc λ− vành đ−ợc cho bởi toán tử tuyến

e

β(ρ1ρ2) = n2β(ρ1) + n1β(ρ2)

R(SU (2n)) = Z[λ1, λ2, ã ã ã , λ2n−1]

và

s∗2 : R(SU (2n)) −→ R(SU (2n)) đ−ợc cho bởi s∗2(λk) = λ2n−k với k = 1, 2n − 1

Vìλ1, λ2, ã ã ã , λ2n−1là những biểu diễn bất khả quy xác định bởiα1, α2, ã ã ã , α2n−1,

R(Sp(n)) = Z[λ01, λ02, ã ã ã , λ0n]

và đồng cấu

i∗2 : R(SU (2n)) −→ R(Sp(n)) xác định bởi i∗2(λk) = λ0k = i∗2(λ2n−k), k = 1, n

R(G) = Z(ρ1, ρ2, ã ã ã , ρn),khi đóK∗(G) = ΛZ(β(ρ1), β(ρ2), ã ã ã , β(ρn))

K∗(SU (n + 1)) = ΛZ(β(λ1), β(λ2), ã ã ã , β(λn))

1.4.2 K - nhóm của các nhóm Lie compact SO(2n+1).

R(SU (2n + 1))

{ti\ i = 1, 2, ã ã ã , 2n + 1} là tập hợp tất cả các trọng trội của λ1 Nếu chúng

λ01 ∈ R(SO(2n + 1)), thì λ01 chấp nhận trọng trội ω10t01, nh− vậy tập hợp

{±t0i\ i = 1, 2, ã ã ã , n} là tập hợp tất cả các trọng trội của λ01

R(SO(2n + 1)) = Z[λ01, λ02, ã ã ã , λ0n]

i∗1(λk) = λ0k = i∗1(λ2n+1−k), k = 1, n

p : Spin(2n + 1) −→ SO(2n + 1)là phủ hai lá, khi đó xét hợp thành λ1 = λ01p :Spin(2n + 1) −→ U (2n + 1).Khi đó với phần tử λ1 ∈ R(Spin(2n + 1)), ta đặt

λk = λk(λ1) và giả sử ∆2n+1 : Spin(2n + 1) ư→ U (2n) là phép biểu diễn Spin.Khi đó

SO(2n + 1).Sử dụng các kết quả trên, T Watanabe đã mô tả được Kư nhóm của

Kết quả đó được thể hiện bởi định lý sau

1.4.3 Định lý. (xem [7]) Cho K là một trường Khi đó

K∗(SU (2n + 1)/SO(2n + 1); K) = ΛK(β(λ1 ư λ2n), ã ã ã , β(λn ư λn+1))

K∗(SU (2n)/Sp(n); K) = ΛK(β(λ1 ư λ2nư1), ã ã ã , β(λnư1ư λn+1))

đã đ−ợc trình bày một cách chi tiết trong [6,7], nên chúng tôi không trình bày lại cách chứng minh.

2.1 Đặc tr−ng Chern của không gian đối xứng

k − i



iq−1

2.1.2 Định lý.(xem [7]) Đặc tr−ng Chern của nhóm Lie compact SU (n + 1) là

i=1((−1)i/i!)φ(n+1, k, i+1)x2i+1 k ≥ 1

2.1.3 Định lý Đặc tr−ng Chern của không gian đối xứng compactSU (2n)/Sp(n)

2 − i



i2 = 2φ(6, 2, 5) =

2

Σ

i=1(−1)i−1

6

2 − i



i4 = −10

i=1(2/(2i)!φ(8, k, 2i + 1)e4i+1, k = 1, 2, 3.

Lập luận hoàn toàn tương tự như hai trường hợp trên, ta có

2.3.1 Định lý.(xem [7]) Đặc trưng Chern của nhóm Lie compact SO(2n + 1) là

đồng cấu

ch : K∗(SO(2n + 1)) ư→ H∗(SO(2n + 1))

π∗1 : H∗(SU (2n + 1)/SO(2n + 1); Z) −→ H∗(SU (2n + 1); Z) lµ

2.4.1 Đặc tr−ng Chern của SU (3)/SO(3)

Theo chứng minh trên ta có đặc tr−ng của không gian đối xứng compact

2.4.2 Đặc tr−ng Chern của SU (5)/SO(5)

Theo chứng minh trên ta có đặc tr−ng của không gian đối xứng compact

2 − i



i2 = 1

2.4.3 Đặc trưng Chern của SU (7)/SO(7)

Theo chứng minh trên ta có đặc trưng của không gian đối xứng compact

i=1(1/(2i)!φ(7, k, 2i + 1)e4i+1, k = 1, 2, 3

Lập luận hoàn toàn tương tự như hai trường hợp trên, ta có

Kết luận của luận văn

Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây:

1 Trình bày lại các kết quả về lý thuyết biểu diễn, đồng điều, K- nhóm củacác không gian đối xứng compact nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nộidung chính của luận văn

2 Hệ thống lại một cách có hệ thống khái niệm về đặc trưng Chern của nhómLie compact và không gian đối xứng compact

3 Sử dụng các kết quả tổng quát về đặc trưng Chern của nhóm Lie compact vàkhông gian đối xứng compact, trình bày cách tính đặc trưng Chern của không gian

n = 2, 3, 4 và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)(Định lý 2.3.2), áp dụng cho các trườnghợp n = 1, 2, 3

Tµi liÖu tham kh¶o

[4] M Mimuara and H Toda (1991), Topology of Lie groups, I and II, Transl,

Math, Monog, 91, Amer Math Soc.

623 - 634

[6] T Watanabe (1995), Chern characters on compact Lie groups of low rank,

Osaka J Math, 22, 463 - 488.

[7] T Watanabe (2004), On the Chern characters of symmetric spaces related

to SU (n), J Math Kyoto Univ (JMKYAZ), 34 -1, 149 - 169