Luận văn đường trắc địa và tập lồi trong không gian metric luận văn thạc sỹ toán học

Do đó tập lồi cùng các tính chất của nó không chỉ được nghiên cứu trong Hình học Ơclit mà còn là đối tượng nghiên cứu của Hình học phi Ơclit.Mục tiêu của luận văn này là dựa vào các tài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1.Đường trắc địa trong không gian metric 4

1.1 Cung trắc địa, đường trắc địa 4

1.2 Độ dài cung 10

1.3 Đường trắc địa trên mặt cầu 13

Chương 2 Tập lồi trong không gian metric……… 22

2.1 Tập lồi trong không gian vectơ……… ……… 22

2.2 Tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa …… ……… 30

2.3 Hàm lồi trong không gian metric 35

KẾT LUẬN……… 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 41

LỜI NÓI ĐẦU

Nghiên cứu các tập lồi là một nhánh của hình học có nhiều mối quan hệ với các lĩnh vực khác của Toán học như: giải tích, lý thuyết tối ưu, xác suất thống kê Tầm quan trọng của lí thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế là các tập lồi phát sinh thường xuyên trong nhiều lĩnh vực Toán học cũng như trong các bộ môn khoa học khác, đặc biệt là Vật lí học và khoa học về vũ trụ Do đó tập lồi cùng các tính chất của nó không chỉ được nghiên cứu trong Hình học Ơclit mà còn là đối tượng nghiên cứu của Hình học phi Ơclit.

Mục tiêu của luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo có thể có được cùng với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình để tìm hiểu về tập lồi trong không gian mêtric tổng quát Chúng tôi trình bày khái niệm về tập lồi trắc địa trong không gian mêtric và khảo sát xem các tính chất của tập lồi trong không gian Ơclit còn đúng nữa không trong không gian mêtric nói chung

Luận văn gồm 2 chương:

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến đường trắc địa với ví dụ lấy trong không gian Ơclit và đường trắc địa trên mặt cầu như

là ví dụ minh họa trên một không gian metric khác

Chương II: Tập lồi trong không gian metric

Trong chương này chúng tôi trình bày về tập lồi trong không gian vectơ như một trường hợp riêng của tập lồi trắc địa Từ đó chúng tôi nêu định nghĩa và khảo sát các tính chất của tập lồi trong không gian mêtric nói chung

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn

TS NGUYỄN DUY BÌNH đã đặt bài toán và chỉ dẫn đề cương nghiên cứu

Tác giả xin cảm on các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

1.1.Cung trắc địa, đường trắc địa

1.1.1. Định nghĩa: Đường cong trong không gian metric X là một hàm liên tục γ : ;[ ]a b → X với [ ]a b; ⊂¡ , a b< γ ( )a gọi là điểm đầu, γ ( )b gọi

là điểm cuối Ta nói γ là đường cong trong X đi từ γ ( )a đến γ ( )b

Ví dụ: Hàm số γ : 1;1[− ] →¡ 2

t a ( )t t; 2

là một hàm liên tục trong ¡ 2, γ ( )− =1 A( −1;1) , γ ( )1 = B( )1;1 Do đó γ là

một đường cong trong ¡ 2 đi từ A đến B

1.1.2.Định nghĩa : Cung trắc địa trong không gian metric X là hàm bảo toàn khoảng cách α : ;[ ]a b → X với a b a b< , , ∈¡

Nhận xét : Cung trắc địaα : ;[ ]a b → X là đơn ánh, liên tục nên nó cũng

là đường cong trong X

Ví dụ :

1) Đường cong γ : 1;1[− ] →¡ 2

t a ( )t t; 2

không là cung trắc địa vì nó không bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì

2) Cho x y, là 2 điểm phân biệt trong không gian Ơclit E n Hàm

Suy ra α là hàm bảo toàn khoảng cách và α ( )0 = x,α ( x y− ) = ⇒y α là cung trắc địa đi từ x đến y W

1.1.3.Định lí: Cho x y, là 2 điểm phân biệt trong E n và α : ;[ ]a b → E n

là đường cong trong E n đi từ x đến y Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

1) Đường cong α là cung trắc địa.

2) Đường cong α thỏa mãn phương trình ( )t x (t a) ( y x)

Từ 1) suy ra 2): Giả sử α là cung trắc địa, đặt l b a= −

Xét đường cong β : 0;[ ]l → E n cho bởi β ( )s =α (a s+ −) x Ta có ∀ ∈s t, [ ]0; :l

Vậy α là cung trắc địa W

1.1.4. Định nghĩa : Đoạn trắc địa nối từ x đến y trong không gian

metric X là ảnh của một cung trắc địa α : ;[ ]a b → X mà điểm đầu là x, điểm

cuối là y Kí hiệu là [ ]x y, .

Ví dụ: Trong E n, đoạn trắc địa nối 2 điểm x,y chính là đoạn thẳng với 2

đầu mút là x,y.Thật vậy, ta đã biết đoạn thẳng trong E n có các mút là x,y

1.1.5 Định nghĩa: Không gian metric X là không gian lồi trắc địa khi

và chỉ khi với mỗi cặp điểm phân biệt x,y của X có duy nhất một đoạn trắc địa

trong X nối từ x đến y

Ví dụ: E n là không gian lồi trắc địa

1.1.6 Định nghĩa: Không gian metric X là không gian liên thông trắc

địa khi và chỉ khi mỗi cặp điểm phân biệt x,y của X được nối bởi 1 đoạn trắc

địa trong X

Suy ra không gian metric lồi trắc địa là không gian liên thông trắc địa nhưng không gian liên thông trắc địa chưa chắc là không gian lồi trắc địa Ta sẽ thấy ví dụ minh họa cho nhận xét này trong mục 1.3

1.1.7 Định lí: Cho [ ]x y, và [ ]y z, là các đoạn trắc địa lần lượt nối từ x

đến y và từ y đến z trong không gian metric X Khi đó, tập [ ]x y, ∪[ ]y z, là

đoạn trắc địa nối từ x đến z trong X khi và chỉ khi

( ), ( , ) ( ),

d x z =d x y +d y z

Chứng minh:

)

• Điều kiện cần: Giả sử [ ]x y, ∪[ ]y z, là đoạn trắc địa nối từ x đến z,

tức là có 1 cung trắc địa γ : ;[ ]a c → X sao cho γ ( )a = x, γ ( )c = z Vì [ ],

y∈ x y ∪[ ]y z, nên tồn tại b∈[ ]a c; sao cho:

( )b y d x z( ), c a c b b a d y z( ), d x y( , )

)

• Điều kiện đủ: Giả sử có d x z( ), = d x y( , ) +d y z( ),

Gọi α : ;[ ]a b → X và β : ;[ ]b c → X lần lượt là các cung trắc địa đi từ x

+) Nếu b s≤ thì d( γ ( ) ( )s ,γ t ) = d( β ( ) ( )s ,β t ) = −t s

+) Nếu s b t< < thì : d( γ ( ) ( )s ,γ t ) ≤d( γ ( ) ( )s ,γ b ) +d( γ ( ) ( )b ,γ t ) ⇔ d( γ ( ) ( )s ,γ t ) ≤ d( α ( ) ( )s ,α b ) +d( β ( ) ( )b ,β t )

Suy ra d( γ ( ) ( )s ,γ t ) = −t s ⇒γ là hàm bảo toàn khoảng cách trên

[ ]a c; và γ ( )a = x,γ ( )c = ⇒z γ là cung trắc địa đi từ x đến z mà ảnh của γ

là [ ]x y, ∪[ ]y z, Vậy [ ]x y, ∪[ ]y z, là đoạn trắc địa nối từ x đến z.W

1.1.8.Mệnh đề: Đoạn trắc địa nối 2 điểm x , y trong không gian metric

1.1.9 Định nghĩa: Các điểm x y z, , của E n được gọi là thẳng hàng, với

y nằm giữa x và z, khi và chỉ khi y nằm trên đoạn thẳng nối x đến z.

1.1.10 Hệ quả: Các điểm x y z, , của E n thẳng hàng, với y nằm giữa x

và z khi và chỉ khi x z− = − + −x y y z

1.1.11 Định nghĩa:

- Cho X Y, là các không gian metric Hàm φ: X →Y bảo toàn khoảng

cách địa phương khi và chỉ khi với mỗi điểm a X∈ tồn tại số r >0 sao cho φ

bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong hình cầu mở B a r( ), .

- Đường trắc địa trong không gian metric X là ảnh của một hàm liên tục bảo toàn khoảng cách địa phương γ : J → X với J ⊂¡

Suy ra đoạn trắc địa là đường trắc địa nhưng ngược lại chưa chắc đúng

Ví dụ: Đường trắc địa trong không gian E n là đường thẳng thuộc E n

1.1.12 Định nghĩa:

- Không gian metric X là không gian trắc địa đầy đủ khi và chỉ khi mỗi

đoạn trắc địa xác định bởi cung trắc địa α : ;[ ]a b → X được mở rộng thành đường trắc địa duy nhất xác định bởi hàm λ:¡ → X

- Không gian metric X là không gian trắc địa toàn phần khi và chỉ khi

với mỗi cặp điểm phân biệt x,y của X có một đường trắc địa của X chứa cả x

và y.

Ví dụ: E n là không gian trắc địa đầy đủ, đồng thời cũng là không gian trắc địa toàn phần

1.2 Độ dài cung

Cho a b, là hai số thực, a b< Một phân hoạch P của đoạn [ ]a b; là dãy

hữu hạn {t t0, , ,1 t m} các số thực sao cho a t= < < < =0 t1 t m b Chuẩn của phân hoạch P là số thực được định nghĩa P = max{t i −t i−1;∀ =i 1,m}

Giả sử ℑ[ ]a b; là tập các phân hoạch của [ ]a b; Với P Q, ∈ℑ[ ]a b; , Q

được gọi là mịn hơn P khi và chỉ khi mỗi số hạng của P là số hạng của Q Khi

đó ta định nghĩa sự sắp thứ tự của ℑ[ ]a b; là : Q P≤ ⇔Q mịn hơnP

Giả sử γ : ;[ ]a b → X là đường cong trong không gian metric X và P

Như vậy nếu Q P≤ thì l( γ,P) (≤l γ,Q)

1.2.1.Định nghĩa: Độ dài của đường cong γ : ;[ ]a b → X là

Suy ra γ = − < ∞ ⇒b a γ là đường cầu trường được W

1.2.2. Định lí: Giả sử γ : ;[ ]a c → X là đường cong, b là một số nằm giữa a và c ; α : ;[ ]a b → X ,β : ;[ ]b c → X là các hạn chế của γ Khi đó ta có

γ = α β+ , hơn nữa γ là đường cầu trường được khi và chỉ khi α β, là các đường cầu trường được.

 hay γ là đường cầu

trường được khi và chỉ khi α β, là các đường cầu trường được W

Nhận xét: Giả sử x y, là hai điểm phân biệt của không gian metric X

liên thông trắc địa, γ : ;[ ]a b → X là đường cong đi từ x đến y Khi đó

Giả sử {t t0, , ,1 t m} là một phân hoạch của đoạn [ ]a b; và [ 1 ]

là nội tiếp trong γ Chú ý rằng l( γ,P) = γ γ γ1 .2 m Suy ra độ dài của γ là

supermum của độ dài của các đường trắc địa từng khúc nội tiếp γ .

1.2.4 Độ dài cung trong không gian Ơclit:

Đường cong C1 trong không gian Ơclit E n được định nghĩa là đường cong khả vi γ : ;[ ]a b → E n với đạo hàm liên tục γ ' : ;[ ]a b →E n, γ ' a( ) là đạo hàm bên phải của γ tại a, γ ' b( ) là đạo hàm bên trái của γ tại b.Ta có:

Định lí: Nếu γ : ;[ ]a b → E n là đường cong C1 thì γ là đường cầu

trường được và chiều dài của γ được tính theo công thức '( )

Suy ra γ là đường cầu trường được và '( )

1.3 Đường trắc địa trên mặt cầu:

Hình cầu đơn vị S n trong ¡ n+ 1 được định nghĩa là tập

y = y y y Tích có hướng của hai vectơ x y, , kí hiệu x y× ,được định

nghĩa là một vectơ có tọa độ là: x y× =( x y2 3 − x y x y3 2; 3 1−x y x y1 3; 1 2− x y2 1)

1.3.2.Định lí: Nếu x y z, , , w là các vectơ trong ¡ 3 thì ta có:

1) x y× = − ×y x

Từ 2) suy ra ( x y x× ) =0 và ( x y y× ) =0 Như vậy vectơ x y× trực

giao với cả hai vectơx y, .

Nếu x và y khác vectơ không thì x y× = x y .sinθ ( x y, ) với θ ( x y, )

là góc hình học giữa hai vectơ x y,

1.3.3 Định nghĩa: Cho x y, là các vectơ trong S n và θ ( x y, ) là góc hình học giữa hai vectơ x y, Khoảng cách cầu giữa x và y được định nghĩa là

số thực d x y S( , ) =θ ( x y, )

Chú ý: 0≤d x y S( , ) =θ ( x y, ) ≤π và d x y S ( , ) = ⇔ = −π y x Hai vectơ x y, của S n được gọi là đối xứng tâm khi và chỉ khi y = −x.

1.3.4. Định lí : Hàm khoảng cách cầu d S là một metric trên S n , gọi là metric cầu.

+) Do phép biến đổi trực giao của ¡ n+ 1 tác động trên S n bảo toàn khoảng cách cầu nên ta có thể biến đổi các vectơ x y z, , của S n bằng các biến đổi trực giao.

Giả sử x y z, , là ba vectơ bất kì của S n thì ba vectơ này sẽ sinh một không gian vectơ con của ¡ n+ 1 với số chiều lớn nhất là bằng 3 Do đó ta có thể giả thiết rằng x y z, , nằm trong không gian con 3 chiều của ¡ n+ 1 với cơ sơ trực chuẩn {e e e1, ,2 3} Nói cách khác có thể giả thiết n= 2 Khi đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi ( x y× ) ( y z× = ×) x y y z × ⇔ ×x y và y z× là

hai vectơ cùng phương, cùng chiều

Vậy d S là một metric trên S n.W

Metric d E và metric d S cùng sinh ra một topo trên S n Không gian metric S n cùng metric cầu d S của nó được gọi là không gian cầu n chiều Phép

đẳng cự từ S n vào chính nó được gọi là phép đẳng cự cầu Chú ý rằng hàm

1.3.5 Định nghĩa: Đường tròn lớn của S n là giao của S n với một không gian vectơ con hai chiều của ¡ n+ 1.

Cho x y, là hai điểm phân biệt của S n Nếu x y, độc lập tuyến tính thì hệ

gồm hai vectơ { }x y, sẽ sinh ra một không gian con hai chiều V x y( , ) của ¡ n+ 1 Do đó tập S x y( , ) =S n ∩V x y( , ) là đường tròn lớn duy nhất của S n chứa cả

x và y

Nếu x y, phụ thuộc tuyến tính thì y kx= Do x y S, ∈ n nên

x = y = ⇒ = −k do x y, phân biệt ⇒ = −y x hay hai điểm x y, là đối

xứng tâm Khi đó mọi đường tròn lớn của S n nếu chứa x thì chứa −x

1.3.6 Định nghĩa: Ba điểm x y z, , của S n được gọi là cộng tuyến cầu khi

và chỉ khi có một đường tròn lớn của S n chứa cả x y z, , .

1.3.7 Bổ đề: Nếu ba điểm x y z, , thuộc S n và θ ( ) ( ) ( )x y, +θ y z, =θ x z,

thì ba điểm x y z, , cộng tuyến cầu.

1

n+

¡ mà x y z S, , ∈ n⇒ x y z, , thuộc một đường tròn lớn của S n hay x y z, , là

cộng tuyến cầu W

1.3.8.Định lí: Cho α : ;[ ]a b → S n là đường cong trong S n với b a− <π

Các điều kiện sau là tương đương:

1) Đường cong α là cung trắc địa.

2)Tồn tại các vectơ trực giao x y, trên S n sao cho

α ( )t = cos(t a x− ) +sin(t a y− )

3) Đường cong α thỏa mãn phương trình vi phân α α''+ =0

Chứng minh:

Gọi A là một phép biến đổi trực giao của ¡ n+ 1, ta có ( )Aα '= Aα'⇒α

thỏa mãn (3) khi và chỉ khi Aα cũng thỏa mãn (3) Do đó ta có thể tác động vào

α bằng các biến đổi trực giao

Từ (1) suy ra (2) : Giả sử α là cung trắc địa Lấy t∈[ ]a b; ta có:

Theo bổ đề 1.3.7 thì α ( ) ( ) ( )a ,α t ,α b là cộng tuyến cầu

Mặt khác, θ α ( ( ) ( )a ,α b ) = − <b a π nên α ( ) ( )a ,α b không đối xứng tâm Suy ra α ( ) ( )a ,α b nằm trên một đường tròn lớn duy nhất S của S n ⇒

ảnh của α được chứa trong S Do đó ta có thể giả sử n =1 Theo công thức

của phép quay cos sin

Suy ra e1.α ( )t =α ( ) ( )a α t = cosθ α ( ( ) ( )a ,α t ) =cos(t a− );∀ ∈t [ ]a b;

Tương tự e2.α ( )t = ±sin(t a− );∀ ∈t [ ]a b; Vì α liên tục và b a− <π nên dấu " "+ hay dấu " "− trong đẳng thức trên luôn đúng với mọi t Do đó ta có thể giả sử α ( )t =cos(t a e− ) 1+sin(t a− ) ( ) ±e2 trong đó e e1, 2 là các vectơ trực giao của S n

Từ (2) suy ra (1) : Giả sử có các vectơ trực giao x y, của S n sao cho

α ( )t =cos(t a x− ) +sin(t a y− )

Lấy s t, sao cho a s t b≤ < ≤ , ta có:cosθ α ( ( ) ( )s ,α t ) =α ( ) ( )s α t

= (cos( s a x− ) ) +(sin(s a y− ) )    cos( (t a x− ) ) +(sin(t a y− ) ) 

=cos(s a− ) (cos t a− +) sin( s a− ) (sin t a− )

Vậy α ( )t = cos(t a x− ) +sin(t a y− ) với x=α ( )a , y=α'( )a

và x y, là các vectơ trực giao với chuẩn bằng 1 W

θ (x,y) x

y ( S )n

Nhận xét: Trong không gian cầu S n với metric cầu d x y S( , ) =θ ( x y, ) , cho hai điểm phân biệt x y, Nếu x y, không đối xứng tâm thì có duy nhất một

đường tròn lớn S của S n chứa cả x và y Đoạn trắc địa trong S n nối x đến y

chính là cung nhỏ của S nối x đến y.

Thật vậy, ta có S thuộc không gian con hai chiều V của ¡ n+ 1 Đặt 1

e = x, lấy e2∈V sao cho e2 trực giao với e1 và e1 = e2 =1 Khi đó {e e1, 2}

chính là cung nhỏ của S vì 0≤θ ( x y, ) ≤π

Nếu x y, đối xứng tâm tức y= −x thì đoạn trắc địa nối từ x đến y là

nửa đường tròn lớn của S n Như vậy có vô số đoạn trắc địa trong S n nối từ x

đến y Do đó không gian cầu S n là không gian liên thông trắc địa nhưng không phải là không gian lồi trắc địa

1.3.9.Định lí: Ảnh của hàm λ:¡ →S n là đường trắc địa khi và chỉ khi

có các vectơ trực giao x y, của S n sao cho λ ( )t =cos t x+sin t y

Chứng minh:

Giả sử x y, là các vectơ trực giao của ¡ n+ 1 sao cho λ ( )t =cos t x+sin t y

Khi đó λ'( )t = −sin t x+cos t y, λ''( )t = −cos t x−sin t y⇒λ thỏa mãn phương trình vi phân λ λ''− = ⇒0 hạn chế của λ trên [ ]a b; , với a b< , là cung trắc địa theo định lí 1.3.8 Vậy ảnh của λ là đường trắc địa

Ngược lại, giả sử ảnh của λ là đường trắc địa trên S n Theo định lí 1.3.8 hàm λ thỏa mãn phương trình vi phân λ λ''− =0 nên

( )t cos 0t ( ) sin ' 0t ( )

λ = λ + λ Theo chứng minh của định lí 1.3.8 thì

( ) ( )0 , ' 0

λ λ là các vectơ trực chuẩn

1.3.10.Hệ quả: Đường trắc địa của S n là các đường tròn lớn của nó.

1.3.11. Định lí: Một đường cong γ : ;[ ]a b →S n là đường cầu trường được trong S n khi và chỉ khi γ là đường cầu trường được trong ¡ n+ 1 Hơn nữa

độ dài cầu của γ bằng độ dài Ơclit của γ .

2 2

4

2 2

,,,