Các không gian mêtric tuyến tính và một số tính chất của chúng

Mở đầuTrong khuôn khổ hạn hữu của luận văn này, chúng tôi có tham vọng trình bày lại một cách chi tiết về các không gian không hẳn là quen thuộc đối với các bạn đọc nh: không gian mêtríc

Mở đầuTrong khuôn khổ hạn hữu của luận văn này, chúng tôi có tham vọng trình bày lại một cách chi tiết về các không gian không hẳn là quen thuộc đối với các bạn đọc nh: không gian mêtríc tuyến tính , không gian modular, không gian mêtríc tuyến tính đầy đủ, không gian khả li cùng một số tính chất quan trọng của chúng Các tính chất đó cùng với một số bài tập phát biểu dới dạng mệnh đề hay ví dụ đều đợc chứng minh một cách chi tiết, cụ thể nhằm giúp bạn đọc dễ hiểu, dễ theo dõi.

Trên cơ sở đó, nội dung của luận văn đợc trình bày một cách có hệ thống

và đợc tổ chức nh sau:

Chơng 1 Đa ra định nghĩa về không gian mêtric tuyến tính, các khái niệm

F * - không gian, F- chuẩn Phần chủ yếu của chơng này là nếu lên mối quan hệ

giữa mêtric bất biến và F- chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính cùng với bài toán chứng tỏ rằng một không gian mêtric tuyến tính không hẳn là một không gian định chuẩn

Chơng 2 Đa ra định nghĩa về một không gian khá mới mẻ, đó là không gian modular cùng các khái niệm về không gian mêtric tuyến tính đầy đủ, không gian khả li, độ đo khả li Đi sâu vào nghiên cứu các tính chất của chúng, mối liên hệ giữa F- chuẩn và modular, các điều kiện cần và đủ để một không gian mêtric là đầy đủ, khả li và không khả li Bên cạnh đó đã xây dựng

đợc một hệ thống ví dụ về các không gian đợc đề cập đến

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Tạ Khắc C, ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt, chỉ ra những sai sót cùng những góp ý chân thành giúp chúng tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, 24/4/2003

Tác giả

Chơng 1

Không gian mêtric tuyến tính

Đ1 Không gian mêtric tuyến tính 1.1 Không gian mêtric tuyến tính.

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tuyến tính trên 3 (hoặc ∀) với hai phép toán:

Hàm ρ(x, y) đợc xác định nh trên gọi là một mêtric Điều kiện (3) đợc gọi

là bất đẳng thức tam giác

Không gian X cùng với mêtric ρ(x,y) đợc gọi là không gian mêtric

Không gian X đợc gọi là không gian mêtric tuyến tính nếu phép cộng và phép nhân là liên tục theo mêtric ρ(x,y)

1.1.2 Định nghĩa Hai mêtric ρ(x,y) và ρ’(x,y) đợc gọi là tơng đơng nếu tôpô sinh bởi chúng là tơng đơng Nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại δ,δ’ > 0 sao cho

(1.1) {y : ρ’(x,y) < δ}⊂{y : ρ(x,y) < δ’}

(1.2) {y : ρ(x,y) < δ’} ⊂ {y : ρ’(x,y) < δ}

Một dãy {xn} các phần tử của không gian X đợc gọi là hội tụ đến x∈ X theo mêtric ρ(x,y) nếu:

nlim→∞ρ(xn, x) = 0

viết là xn  →ρ x

Khi đó ta nói hai mêtric ρ(x,y) và ρ’(x,y) là tơng đơng khi và chỉ khi xn

 →

ρ' x kéo theo xn  →ρ x và ngợc lại xn  →ρ x kéo theo xn  →ρ ' x

Mêtric ρ(x,y) đợc gọi là bất biến nếu:

2.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian tuyến tính

Hàm ||.|| : X →3 thoả mãn các điều kiện:

(1’) ||x|| = 0 ⇔ x = 0, ∀x∈ X

(2’) ||ax|| = ||x||, với ∀a, |a| = 1, ∀x∈ X

(3’) ||x + y||≤||x|| + ||y||, ∀x,y ∈ X

đợc gọi là một F- chuẩn

Điều kiện (3’) đợc gọi là bất đẳng thức tam giác

Do phép nhân với lợng vô hớng là liên tục nên kéo theo:

(4’) ||anx|| → 0 nếu an → 0

Mệnh đề sau chứng tỏ rằng có sự tơng ứng 1-1 giữa mêtric bất biến và F- chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính X

2.1.2 Mệnh đề Cho X là không gian mêtric tuyến tính với ρ(x,y) là

mêtric bất biến trên X Đặt ρ(x, 0) = ||x|| Khi đó ||x|| là một F- chuẩn trên X

Chứng minh i) Vì ρ(x,y) là mêtric nên ρ(x, 0) = 0 ⇔ x = 0

Suy ra ||x|| = 0 ⇔ x = 0

ii) Ta chứng minh ||ax|| = ||x||, với |a| = 1

Thật vậy, nếu a = 1 thì ||ax|| = ρ(ax, 0) = ρ(x, 0) = ||x||.

nếu a = -1 thì

||ax|| = ρ(ax, 0) = ρ(-x, 0) = ρ(-x +x, 0 +x) = ρ(0, x) = ρ(x, 0) = ||x||.Suy ra ||ax|| = ||x||, với mọi a sao cho |a| = 1

Nhận xét: Nếu ||x|| là một F- chuẩn trên không gian tuyến tính X thì ρ(x,y)

= ||x - y|| là một mêtric bất biến trên X

2.1.3 Định nghĩa Hai F- chuẩn đợc gọi là tơng đơng nếu hai mêtric bất

biến tơng ứng với chúng là tơng đơng

2.1.4 Định nghĩa Cho X là một không gian tuyến tính

Hàm ||.||: X →3 đợc gọi là một chuẩn nếu thoả mãn các điều kiện:

Mệnh đề sau sẽ trả lời câu hỏi F- chuẩn có phải là chuẩn hay không?

2.1.5.Mệnh đề F- chuẩn cha hẳn là chuẩn.

Chứng minh Ta sẽ chỉ ra một ví dụ chứng tỏ F- chuẩn không phải là

iii) Ta chứng minh ||t1 + t2|| ≤||t1|| + ||t2||

Điều đó tơng đơng với |t1 + t2|p≤|t1|p + |t2|p

Ta có |t1 + t2|≤|t1| + |t2| ⇒ |t1 + t2|p≤ (|t1| + |t2|)p

Vì 0 < p < 1 nên (|t1| + |t2|)p≤|t1|p + |t2|p ⇒ |t1 + t2|p≤|t1|p + |t2|p

Từ ii) suy ra nếu |a|≠ 1 thì ||at||≠|a|.||t||

Vậy ||.|| không phải là chuẩn

Sau đây là một ví dụ về không gian mêtric tuyến tính

2.1.6 Ví dụ: Giả sử Ω là hợp của các dãy tăng các tập hợp compact Ωn sao

cho

Ωn ⊂Ωn+1 , Ω = ∞

=

Ω 1

n n

||x + y|| ≤||x|| + ||y||

1 1

−

1 1

−

1 1

y x

x a

  →m→  ∞ 0 ( vì ||amx||n m → →  ∞ 0 , ∀n = 1, 2 )

Vậy ||x|| là một F- chuẩn Vì có sự tơng ứng 1-1 giữa F- chuẩn ||x|| với mêtric bất biến ρ(x,y) trên C0(Ω) nên ta suy ra (C0(Ω), ρ) là không gian mêtric tuyến tính

Ví dụ sau sẽ chứng tỏ rằng một không gian mêtric tuyến tính không hẳn là một không gian định chuẩn

2.1.7 Mệnh đề Cho p = {x = (xn)n, xn∈K, ∀n:∑∞

= 1

n

p n

x , ∀x,y ∈p

Khi đó p với mêtric ρ(x,y) lập thành một không gian mêtric tuyến tính

nhng không là không gian định chuẩn.

Chứng minh Để chứng minh p (0 < p < 1) với ρ(x,y) lập thành một không gian mêtric tuyến tính trớc hết ta chứng minh nó là không gian tuyến tính với hai phép toán cộng và nhân vô hớng với dãy đợc xác định nh sau:

x < +∞ (do x∈p )Suy ra αx∈p

ii) Với mọi x,y ∈p ta có:

= 1

n

p n

y < +∞

Suy ra x + y ∈p

Tiếp theo ta chứng minh ρ(x,y) là một mêtric bất biến trên p

Thật vậy, với mọi x,y,z ∈p ta có:

y = ρ(y,x)

iii) V× |xn - yn| = |(xn - zn) + (zn -yn)|≤|xn - zn| + |zn - yn|

nªn |xn - yn|p≤ (|zn - yn|p + |zn - yn|p) ≤ |xn - zn|p + |zn - yn|p (do 0 < p < 1)Suy ra ρ(x,y) = ∑∞

1

n

p n

z

= ρ(x,z) + ρ(z,y)

VËy ρ(x,y) ≤ρ(x,z) + ρ(z,y)

Suy ra ρ(x,y) bÊt biÕn

i) Víi mäi (x m), (ym) thuéc p , x = x1m, , xm n , (m = 1, 2, )

m n

m n

n

p n n

m n

n

p n n

m n

VËy phÐp céng héi tô theo ρ

ii) Víi mäi (xm)∈p mµ xm→ x0 trong p

vµ mlim→∞λm = λ0 trong Kℕ, ta cÇn chøng minh λm x m  →ρ λ0x0

Ta có λm x m - λ0x0 = λ0(xm - x0) + (λm - λ0)x0 + (λm - λ0)(xm - x0).

Vì xm   →ρ x0 nên xm - x0  →ρ 0

λm→λ0 nên λm - λ0 → 0

Suy ra λm x m - λ0x0  →ρ 0, hay λm x m  →ρ λ0x0

Vậy phép nhân với lợng vô hớng là liên tục theo ρ

Tuy nhiên p (0 < p < 1) không phải là không gian định chuẩn vì nó không lồi địa phơng Thật vậy:

Giả sử ngợc lại, p là không gian lồi địa phơng Khi đó tập {x∈p|ρ(x,0)

≤ 1} sẽ chứa lân cận U lồi, cân và U lại chứa tập {x∈p|ρ(x,0) ≤ε}, (0 < ε < 1)

Từ (2) và (3) và do U là tập lồi suy ra:

1 1

n

p s

r

r n

x s

2 ( )

s

x s

x s

p p

s

1

1 1

= ε s1 -p > 1, khi s đủ lớn

Điều này mâu thuẫn vì U ⊂{x∈p|ρ(x, 0) ≤ 1}

Vì p (0 < p < 1) không lồi địa phơng nên nó không phải là không gian

định chuẩn

***

Chơng 2

Không gian Modular Không gian mêtric tuyến tính đầy đủ

Không gian khả li

Đ1 Không gian Modular

1.1 Không gian modular.

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian tuyến tính Một modular là

hàm ρ(x) nhận giá trị thực kể cả giá trị +∞ và thoả mãn các điều kiện sau: (1*) ρ(x) = 0 ⇔ x = 0

(2*) ρ(ax) = ρ(x) với |a| = 1

(3*) ρ(ax + by) ≤ρ(x) + ρ(y), với a + b = 1, a ≥ 0, b ≥ 0

(4*) ρ(anx) → 0 nếu an → 0 và ρ(x) < +∞

Khi đó (X,ρ) đợc gọi là không gian modular

Và nếu ρ(x) thoả mãn điều kiện:

Chứng minh Trớc hết, cho y = 0 trong (3*) ta thu đợc:

(II.1) ρ(ax) ≤ρ(x) , nếu 0 ≤ a ≤ 1

tức là ρ(ax) là hàm không âm, không giảm theo a và với mọi x∈ X

Cho a = 0 ta lại thu đợc:

2 2

1

≤ ρ(2xn)

Mặt khác, theo giả thiết ρ(2xn) → 0 nên suy ra ρ(xn) → 0

Điều kiện cần: Hiển nhiên theo (5*) ta có:

Khi ρ(xn) → 0 thì kéo theo ρ(2xn) → 0

1.1.3 Định nghĩa Cho ρ là một modular trên không gian tuyến tính X Ta gọi Xρ là tập hợp mọi x∈ X sao cho tồn tại k > 0 để ρ(kx) < +∞.

1.1.4 Mệnh đề Tập hợp Xρ là không gian tuyến tính.

Chứng minh Ta chứng minh Xρ là không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính X Thật vậy:

Giả sử x∈ Xρ và t là đại lợng vô hớng, ta cần chứng minh tx ∈ Xρ Thật vậy,

từ định nghĩa của Xρ ta suy ra tồn tại k > 0 sao cho ρ(kx) < +∞

Một F- chuẩn ||x|| không nhất thiết là một modular vì điều kiện (3*) không

Vậy điều kiện (3*) đợc thoả mãn

Một F- chuẩn thoả mãn điều kiện (II.3) đợc gọi là không giảm

Hai định lý sau sẽ nêu lên mối quan hệ giữa F- chuẩn và modular

1.1.5 Định lý Giả sử X là F * - không gian cùng với F- chuẩn ||x|| Khi đó

iv) Ta cần chứng minh ||tnx||’ → 0 khi tn → 0

Thật vậy, ta có đoạn [0;1] compact, nên mỗi hàm thực xác định trên [0;1]

sẽ đạt giá trị lớn nhất (bé nhất) trên đó ở đây hàm

Rõ ràng (tnbn)   →n→  ∞ 0.

Theo (4’) thì ||tnbn x|| → 0 hay ||tnx||’ → 0

Vậy ||tnx||→ 0 nếu tn → 0

Trên đây ta đã chứng minh ||x||’ là một F- chuẩn Sau đây ta sẽ chứng minh

nó không giảm Thật vậy, với 0 ≤ a ≤ 1 ta có:

Do hàm ||.|| liên tục suy ra:

||xn||’ = ||anxn|| → 0 (do giả thiết ||xn|| → 0)

Điều này mâu thuẫn với ||xn||’ ↛ 0

Suy ra điều giả sử là sai

1.1.6 Định lý Giả sử X là một không gian tuyến tính cùng với modular

ρ(x) Khi đó sẽ tồn tại F- chuẩn ||x|| trên tập hợp Xρ sao cho ||xn|| → 0 khi và

chỉ khi ρ(xn) → 0

Chứng minh (+) Trớc hết ta chứng minh rằng tồn tại F- chuẩn ||x|| trên Xρ Thật vậy:

iii) Giả sử x,y∈ Xρ và giả sử δ > 0 tùy ý Từ định nghĩa của F- chuẩn ||x||

suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho:

η ε η ε

ε ρ η

n n

x

x x

x

Vì vậy, nếu ||xn|| → 0 thì ρ(xn) → 0

Sau đây ta sẽ đa ra một ví dụ về không gian modular

1.1.7 Ví dụ: Cho tập hợp Ω và ∑ là một đại số gồm đếm đợc các tập hợp con của Ω Giả sử à là độ đo đợc xác định trên ∑ và X là tập hợp các hàm đo

đợc không âm, khả tích trên Ω Hai hàm x,y ∈ X đợc gọi là bằng nhau hầu

Khi đó, hàm ρN(x) = ∫

Ω N(|x(t)|)dà đợc xác định trên s0(Ω, ∑, à) là một modular

Suy ra ρN(ax +by) ≤ρN(x) + ρN(y).

iv) Giả sử {an} là dãy vô hớng dần tới 0 Không mất tính tổng quát ta giả

t x a

t x a

t x

t x a

Vậy ρN(axn) → 0 nếu ρN(xn) → 0

Nh vậy ρN(xn) là một modular hay không gian s0(Ω, ∑, à) với modular

ρN(x) là một không gian modular.

Mặt khác, theo định lý (1.1.6) thì modular ρN(x) sẽ cảm sinh trong không

gian XρN một F- chuẩn Và do có sự tơng ứng 1-1 giữa F- chuẩn và mêtric bất

biến nên ta suy ra XρN là không gian mêtric tuyến tính Ký hiệu là N(L(Ω, ∑,

à))

Đ2 Không gian mêtric tuyến tính đầy đủ

2.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian mêtric tuyến tính cùng với

mêtric ρ(x,y) Một dãy {xn} gồm các phần tử của X đợc gọi là dãy Cauchy (hay còn gọi là dãy cơ bản) nếu:

n, mlim → ∞ρ(xn, xm) = 0

Không gian X đợc gọi là đầy đủ theo mêtric ρ(x,y) nếu mọi dãy Cauchy của X đều hội tụ tới x0 thuộc X, tức là:

nlim→∞ρ(xn, x0) = 0

2.2 Định nghĩa F *- không gian mà đầy đủ thì đợc gọi là F- không gian

Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng, một tập con A của không gian metric

đầy đủ X là đầy đủ khi và chỉ khi nó là tập đóng

Những kết quả thu đợc từ sự nghiên cứu tính đầy đủ của không gian metric tuyến tính là rất có ích, chẳng hạn nh mệnh đề sau

2.3 Mệnh đề Nếu dãy con { }x n k của dãy cơ bản {xn} của không gian

đầy đủ X hội tụ đến x∈ X thì dãy {xn} hội tụ tới x.

Chứng minh Giả sử ε > 0 tuỳ ý Do x n k k →→∞ x nên tồn tại k0 > 0 sao cho với mọi k > k0 thì

d(x,y) = I(|x -y|) = ∫

Ω |x -y|dà

là không gian đầy đủ

Ta có N(L(Ω, ∑, à)) = XρN = {x∈ X |∃kx > 0: ρN(kx.x) < +∞}⊂ X

Nên suy ra {xn} là dãy cơ bản trong X

⇒ tồn tại dãy con {x n k }⊂{xn} sao cho x n k k →→∞ x∈ X, với x là hàm đo

x x

= 0

⇒ n, mlim → ∞||xn - xm||i = 0 , ∀i = 1, 2,

Suy ra {xn} cũng là dãy cơ bản trong Ωi , i = 1, 2,

Với C(Ωi) = {x | x liên tục trên Ωi}, với ||x||i = tsup∈Ωi|x(t)|

Ta chứng minh C(Ωi) - đầy đủ, ∀i = 1, 2,

Thật vậy, do {xn} là dãy cơ bản trong Ωi (i = 1, 2, ) nên với mọi ε > 0,

tồn tại N ∈ℕ sao cho với mọi n, m > N ta luôn có ||xn - xm||i < ε

Vì Ωi ⊂Ωi+1 nên suy ra xn ⇉ x trên Ωi , ∀i = 1, 2, và do x liên tục trên

mỗi Ωi suy ra x liên tục trên Ω = ∞

=

Ω 1

Vậy xn hội tụ đến x trong C0(Ω)

Do có sự tơng ứng 1-1 giữa F- chuẩn ||.|| với metric bất biến ρ trên cùng một không gian nên kết quả vừa chứng minh ở trên cũng là kết quả khi thực hiện với metric

Vậy C0(Ω) là F- không gian

Đ3 Không gian khả li 3.1 Không gian khả li.

3.1.1 Định nghĩa Một không gian metric đợc gọi là khả li nếu chứa một

tập hợp đếm đợc, trù mật

Một không gian metric tuyến tính đợc gọi là khả li nếu nó khả li theo nghĩa của không gian metric

Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để một không gian metric trở thành một không gian khả li.

3.1.2 Mệnh đề Một không gian metric X cùng với metric ρ(x,y) là khả li

khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập hợp đếm đợc Eε sao cho với mọi x thuộc X, tồn tại y thuộc Eε thoả mãn bất đẳng thức:

ρ(x,y) < ε

Chứng minh * Điều kiện cần: Ta có X là không gian khả li suy ra nó chứa

tập hợp E không đếm đợc và trù mật trong X

Ta đặt Eε = E, ∀ε > 0

Do E trù mật trong X nên hiển nhiên Eε thoả mãn tính chất trên

* Điều kiện đủ: Giả sử {Eε} làmột họ đếm đợc các tập hợp thoả mãn các tính chất nêu trên Khi đó E = ∞

= 1

1

n n

E là một tập hợp đếm đợc, trù mật trong X.Thật vậy:

3.1.3 Hệ quả Một không gian metric X cùng với metric ρ(x,y) là không

khả li nếu và chỉ nếu tồn tại một tập con không đếm đợc A và hằng số δ > 0

∑ (∀n) sao cho với mọi tập B ∈∑, có độ đo hữu hạn và với mọi ε > 0 tùy ý

đều có thể tìm đợc một A n0 sao cho

k

n

k n

sao cho: hn → x h.k.n N(L(Ω, ∑, à))

Hiển nhiên {hn}⊂ U

Vậy N(L(Ω, ∑, à)) là khả li

* Điều kiện cần: Giả sử ngợc lại, độ đo à không khả li Khi đó có các họ không đếm đợc {An} các tập hợp có độ đo hữu hạn và hằng số δ > 0:

) ( ) (

t x t x

t x t x

β α

β α

) ( ) ( β

β α

A

t x t x

dà + ∫ + −−

β

β α

A

t x t x

\ 1 ( ) ( )

)()(

A

t x t x

\ 1 ( ) ( )

) ( ) (

A

t x t x

) ( ) ( 1

) ( ) (

\ 1 ( )

) (

Kết luận

Luận văn đã trình bày một cách khá chi tiết, rõ ràng về không gian metric tuyến tính, không gian metric tuyến tính đầy đủ, không gian modular, không gian khả li Đã chứng minh một cách chặt chẽ một số tính chất quan trọng của chúng Khẳng định rằng một không gian metric tuyến tính không hẳn là một không gian định chuẩn

Luận văn đã đa ra khái niệm F- chuẩn, độ đo khả li Đã nêu lên đợc mối quan hệ giữa F- chuẩn và modular; giữa F- chuẩn với metric bất biến trên cùng một không gian

Luận văn đã đa ra và chứng minh đợc các điều kiện cần và đủ để một không gian metric đầy đủ, khả li và không khả li Đồng thời xây dựng đợc một hệ thống ví dụ về các không gian đó

Nội dung của luận văn còn có thể đợc nghiên cứu sâu hơn, chẳng hạn tìm hiểu thêm các tính chất của các không gian đã nêu, xây dựng các ví dụ khác

đa dạng, phong phú hơn