Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TÍNH CHẤT CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ CÁC TẬP CON LỒI COMPACT CỦA NÓ" pps

TÍNH CHẤT CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ CÁC TẬP CON LỒI COMPACT CỦA NÓ THE ADMISSIBILITY OF THE NON – LOCALLY CONVEX LINEAR METRIC SPACE A

TÍNH CHẤT CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ CÁC TẬP CON LỒI

COMPACT CỦA NÓ

THE ADMISSIBILITY OF THE NON – LOCALLY CONVEX LINEAR METRIC

SPACE AND ALL OF ITS COMPACT CONVEX SUBSETS

Lê Hoàng Trí

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Ta biết rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất co rút tuyệt đối, nhiều tác giả khảo sát tính chất chấp nhận được thay cho tính co rút tuyệt đối và chứng minh được rằng mỗi tập lồi trong không một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất chấp nhận được Người ta đặt vấn đề rằng kết quả trên còn đúng không nếu bỏ giả thuyết lồi địa phương của không gian metric tuyến tính Nội dung của bài báo này là chỉ ra một không gian metric tuyến tính không lồi địa phương có tính chất chấp nhận được và các tập con lồi compact của nó vẫn thế; Không gian này tổng quát hơn không gian l p

ABSTRACT

It is realized that every convex subset in a local convex linear metric space is an absolute retract Many authors have replaced this property by the admissibility and proved that every convex subset in a local convex linear metric space is admissible However, it is not known whether a convex subset of a non-locally linear metric space is admissible or not The aim of this paper is to introduce the non-locally linear metric space and prove the admissibility for it and for all of its compact convex subsets

1 Đặt vấn đề

Cho X là một không gian metric tuyến tính với metric d, A là một tập con lồi của X, A được gọi là có tính chất chấp nhận được nếu với mỗi tập con compact K của

A, với mỗi số ε >0, tồn tại một ánh xạ liên tục f K: → có ảnh được nằm trong một A

không gian con hữu hạn chiều của X và ( , ( ))d x f x < với mỗi ε x K∈

Ta biết rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất chấp nhận được (xem [1]) và mỗi tập lồi co rút tuyệt đối đều có tính chất chấp nhận được (xem [3]), Kết hợp với kết quả trong [2], các tập lồi compact (tổng quát hơn là tập lồi giới nội) trong không gian (0l p < < đều có tính chất chấp nhận p 1) được

Bây giờ ta đưa vào một không gian metric tuyến tính tổng quát hơn không gian

p

l < < p

Cho { }p n là một dãy các số thực mà p n∈(0,1), với mỗi n N∈ Cho

1

n

=

ta đặt

1

( , ) | |p n

n n n

d x y ∞ x y

=

Khi đó X là một không gian tuyến tính và d là một metric

Ta đặt

1

|| || | | ;p n ( )

n

=

Khi đó

( , ) || ||; ( ),n ( )n

d x y = x y− ∀ =x x y= y ∈ X

Bây giờ ta kiểm tra (X,d) là một không gian metric tuyến tính:

k d x x

( )

lim ( k , ) 0

k d y y

lim || k || 0

lim || k || 0

→∞ − = và với mỗi k N∈ ,

d x +y x y+ = x +y − +x y ≤ x −x + y −y

Từ đó lim ( ( )k ( )k , ) 0

→∞ + + = Do đó phép cọng trong X là liên tục

Cho { }x( )k là dãy trong X , x X∈ mà ( )

lim ( k , ) 0

k d x x

→∞ = , { }α( )k là dãy trong R , X

α∈ mà lim ( )k

→∞ = ; Ta phải chứng minh lim ( ( ) ( )k k , ) 0

k d α x αx

Với mỗi k N∈ , ||α( ) ( )k x k −αx|| || (= α( )k −α)(x( )k − +x) α(x( )k − +x) (α( )k −α) ||x

≤ || (α( )k −α)(x( )k −x) || || (+ α x( )k −x) || || (+ α( )k −α) ||x

Do đó lim ( ( ) ( )k k , ) 0

k d α x αx

→∞ = Từ đó (X,d) là một không gian metric tuyến tính

Ta nhận thấy rằng nếu tồn tại (0,1)p∈ sao cho p n = với mỗi p n N∈ thì không gian X là không gian l p(0< < ; Như vậy lớp các không gian X này có chứa các p 1) không gian metric tuyến tính không lồi địa phương

Kết quả chính của bài báo này là các định lý sau:

Định lý 1 Mỗi tập lồi, compact trong không gian X đều có tính chất chấp nhận được

Định lý 2 Không gian X có tính chất chấp nhận được.

2 Chứng minh các kết quả

Trước khi chứng minh các kết quả chính, ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề Mỗi tập con lồi, compact trong không gian metric tuyến tính X đồng phôi affine với một tập con lồi, compact của không gian metric tuyến tính lồi địa phương

R∞ = × × R R

Chứng minh.

R∞ = × × là không gian topo với topo tích Tykhonoff của các đường thẳng R R

thực R Đây là một không gian topo tuyến tính với topo xác định bởi metric

1

n

n n

x y

x y

−

∞

∞

=

−

Với mỗi 0,r> ta chọn n0∈ sao cho N

0 1

2 2

n

n n

r

∞

−

= +

<

Khi đó

0

2.2

r

V =⎧x= x ∈R∞ x < ∀ =n n ⎫

là một lân cận mở lồi của 0 trong R∞ nằm trong quả cầu mở tâm 0 bán kính r

Như vậy R∞ là một không gian metric tuyến tính lồi địa phương

Với mỗi n N∈ , cho q X n: → là ánh xạ được xác định bởi R

( )

q x = x

Ở đây x=( , , , )x x1 2 x n ∈ và metric trong R là metric thông thường, ta có X

với mỗi x=( , , , ),x x1 2 x n y=( , , , )y y1 2 y n ∈ ; X

1

( , ) | |p i | |p n

i

d x y ∞ x y x y

=

Do đó mỗi :q X n → liên tục, ánh xạ R

:

Q X →R∞

Được xác định bởi

( ) ( ( ), ( ), , ( ), )n

Q x = q x q x q x

Với mỗi x=( , , , )x x1 2 x n ∈ ; là ánh xạ tuyến tính liên tục X

Bây giờ cho K là một tập lồi, compact bất kỳ trong X, khi đó hạn chế của ánh xạ

Q trên K là một ánh xạ affine liên tục, đơn ánh mà K compact nên ánh xạ này là một

phép nhúng đồng phôi affine của K vào R∞, từ đó K đồng phôi affine với tập lồi, compact f K trong R( ) ∞

Chứng minh Định lý 1

Cho K là một tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính X, Sử dụng

Bổ đề trên K đồng phôi với một tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính lồi

địa phương R∞, sử dụng [3], K có tính chất chấp nhận được do mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều chấp nhận được

Chứng minh Định lý 2

Cho K là một tập compact bất kỳ trong X; Với mỗi n N∈ , ta xác định ánh xạ

:

n

f K →X

bởi

1 2

( ) ( , , , ,0,0, )

f x = x x x

với mỗi x=( , , , )x x1 2 x n ∈ Ta nhận thấy rằng ảnh của ánh xạ X f được n

chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của X Do đó ta cần chứng minh

0

0

0; n N d f: ( n ( ), )x x ; x K

thì X có tính chất chấp nhận được Giả sử ngược lại,

1

k n

= +

Sử dụng (*) ∃x(1) = (1) (1) (1) (1)

(x ,x , x k ,x k+ )∈ mà K (1)

0 1

| |p k

k k

∞

=

≥

(1)

1

| |p k

k

k

x

∞

=

∑ hội tụ nên tồn tại n1∈N:

1

(1) 0 1

| |

4

k

p k

k n

∞

= +

<

(2)

x

∃ = (2) (2) (2) (2)

(x ,x , x k ,x k+ )∈ mà K

1

(2)

0 1

| |p k

k

k n

∞

= +

≥

n ∈N

2

(2) 0 1

4

k

p k

k n

∞

= +

<

Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy { }x( )k ⊂ và với mọi K l k> thì

( ) ( ) 3 0

4

k l

d x x ε

≥ ⇒ K không hoàn toàn giới nội ⇒ K không compact ⇒ vô lý Vậy định lý được chứng minh xong

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C Bessaga and T Dobrowolski, “Some problems in the border of functional

analysis and topology”, Proc Internat Conf Geometric Topology, Warsaw, 1978

[2] Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space lp (0<p<1)", Journal

of science and technology, University of DaNang, No 1(13), 2006, 59 – 64

[3] Le Hoang Tri and Nguyen Hoang Thanh, “Some remarks on the AR – property”

Acta Math Vietnam, Vol 34, Number 3, 2009, 389 - 400