về định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRẦN THỊ THU HƯƠNG VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011... TRƯỜNG ĐẠI HỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THU HƯƠNG

VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THU HƯƠNG

VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS HàTrần Phương, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôitrong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tíchtrường ĐHSPTN đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạođiều kiện thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu và giúp đỡtôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSPTN và khoa Toán là nơi màtôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ khoa học

Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT ATK Tân Trào - Sơn Dương,Tuyên Quang nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớnlao trong quá trình tôi làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Tác giả

Trần Thị Thu Hương

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các

không gian metric đầy đủ 17

2.2.1 Trường hợp bốn không gian metric đầy đủ 17

2.2.2 Trường hợp p không gian metric đầy đủ 29

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Vấn đề nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và cấu trúc điểm bất độngcủa ánh xạ đơn trị hay đa trị là một vấn đề thời sự, có lịch sử lâu dài, thuhút được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới: Brouwer,Banach, Schauder, Tikhonov, và đạt được nhiều kết quả quan trọng.Cho X là một không gian, T : X −→ X là một ánh xạ (đơn trị) Vấn đềđặt ra là: với những điều kiện nào của X và T để có thể khẳng định sựtồn tại điểm x0 ∈ X sao cho T x0 = x0? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bấtđộng của ánh xạ T Khái niệm này được mở rộng tự nhiên cho ánh xạ đatrị

Những định lí điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX,trong đó phải kể đến Nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên

lí ánh xạ co Banach (1922), trong đó Nguyên lí ánh xạ co Banach đượcđánh giá là định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộngrãi nhất Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớpánh xạ và các không gian khác nhau, thu được nhiều kết quả quan trọng

và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ tập chung vào cáchướng: nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất (cấu trúc) của điểm bất động,các phương pháp tìm điểm bất động và nghiên cứu ứng dụng của định lýđiểm bất động trong các lĩnh vực khác khau của toán học, đặc biệt trongtoán học ứng dụng và các bài toán kinh tế Các công trình theo hướngnghiên cứu này được tập hợp lại dưới một tên chung: "Lý thuyết điểmbất động" và ngày càng được phát triển mạnh mẽ

Thời gian gần đây, các định lí điểm bất động còn được mở rộng cho một

họ ánh xạ giữa các không gian metric Cho X1, , Xp là một họ các khônggian metric, f1 : X1 → X2, , fp−1 : Xp−1 → Xp và fp : Xp → X1 là một

họ các ánh xạ Vấn đề đặt ra là với những điều kiện nào của các khônggian Xj và ánh xạ fj thì các ánh xạ hợp thành fj−1 fj+1fj : Xj → Xj

có điểm bất động Những nghiên cứu đầu tiên theo hướng này phải kểđến công trình của N P Nung (xem [3]), Ông nghiên cứu vấn đề trên với

p = 3 và có xem xét đến tính chất liên tục của các ánh xạ Trong [8],các tác giả xem xét với p = 3 và tính chất liên tục của các ánh xạ được

bỏ qua L Kikina và K Kikina khảo sát với p = 4 trong [5] Trongluận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu vàchứng minh chi tiết kết quả L Kikina và K Kikina trong [5] Ngoài rachúng tôi chứng minh một kết quả nghiên cứu mới của chúng tôi về định

lý điểm bất động trong trường hợp tổng quát p không gian metric đầy

đủ Khi đặc biệt hóa p = 4, kết quả của chúng tôi mạnh hơn kết quả của

L Kikina và K Kikina trong [6]

Luận văn gồm hai chương: Chương 1 dành cho việc trình bày một sốvấn đề cơ sở của không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh

xạ co Banach và một số cải tiến của nó Trong Chương 2, chúng tôi trìnhbày về các dạng định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa cáckhông gian metric đầy đủ

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản vềkhông gian metric, không gian Banach, ánh xạ Lipschitz và Nguyên lýánh xạ co Banach về điểm bất động

thỏa mãn các điều kiện sau

(1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,

(2) ρ(x, y) = ρ(x, y), ∀x, y ∈ X,

(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Khi đó ρđược gọi là một metric hay khoảng cách trên X và cặp (X, ρ)gọi

là một không gian metric Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm,

ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y trên X

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường

3) kx + yk 6 kxk + kyk,

với mọi x, y ∈ X và λ ∈ K.

Cặp (X, k.k), trong đó X là một không gian tuyến tính, k.k là mộtchuẩn trên X, gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là khônggian tuyến tính định chuẩn)

Với một không gian định chuẩn (X, k.k), ta dễ dàng chứng minh đượchàm

ρ : X × X −→ R+,

xác định bởi ρ(x, y) = kx − yk, với x, y ∈ X, là một metric trên X, gọi

là metric sinh bởi chuẩn Như vậy, không gian định chuẩn là một khônggian metric

Giả sử x = (x1, , xn), y = (y1, , yn), z = (z1, , zn) là ba phần tửtùy ý trong Rn Khi đó:

Điều đó suy ra ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) Như vậy ρ là một metric trên

Rn và Rn với metric xác định như trên là một không gian metric

Ta cũng dễ chứng minh được (Rn, k.k), trong đó

là một không gian định chuẩn

Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.3 Cho (X, ρ) là một không gian metric,{xn} là một dãycác phần tử của X, ta nói {xn} hội tụ đến x0 ∈ X nếu:

lim

n→∞ρ(xn, x0) = 0

Khi đó ta viết lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, x0 gọi là giới hạn của dãy

Ví dụ 4 Trong không gian Rn, giả sử {xk = (xk1, , xkn)}∞k=1, x0 =(x01, , x0n) Khi đó

Tập hợp đóng và tập hợp mở trong không gian metric

Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric, x0 ∈ X và

r > 0.Tập

B(x0, r) = {x ∈ X : ρ(x0, x) < r}

gọi là hình cầu mở tâm x0 bán kính r.Tập

B(x0, r) = {x ∈ X : ρ(x0, x) ≤ r}

gọi là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r

Định nghĩa 1.5 Giả sử A là một tập con của không gian metric (X, ρ),điểm x0 ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho

B(x0, r) ⊂ A Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trongcủa A và kí hiệu intA hoặc Ao

Nhận xét 1.1 Trong không gian metric (X, ρ), X, ∅ là các tập mở.Hình cầu B(x0, r) là một tập mở vì với mọi x ∈ B(x0, r) luôn tồn tại

r1 = r − ρ(x0, x) > 0 sao cho B(x, r1) ⊂ B(x0, r), tức là mọi điểm của

B(x0, r) đều là điểm trong

Định nghĩa 1.6 Một tập con A trong không gian metric (X, ρ) đượcgọi là đóng nếu phần bù của nó CXA là tập mở

Hiển nhiên X và ∅ là những tập đóng trong không gian metric (X, ρ)

Dễ dàng chứng minh được mọi hình cầu đóng là một tập đóng

1.1.2 Không gian metric đầy đủ, không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric Dãy {xn} cácphần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

n∞

n=1

là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q

Định nghĩa 1.8 Không gian metric X được gọi là không gian metricđầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ

Định nghĩa 1.9 Không gian định chuẩn đầy đủ với metric sinh bởichuẩn được gọi là không gian Banach

Ví dụ 5 R,C với metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ (theo

tiêu chuẩn Cauchy trong các không gian này) Đồng thời chúng cũng làcác không gian Banach

Ví dụ 6 Rn là một không gian Banach

1.2.1 Ánh xạ Lipschitz

Định nghĩa 1.10 Cho (X, ρX), (Y, ρY) là hai không gian metric, ánh xạ

f : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi số ε > 0, tồn tại một

số δ > 0, sao cho với mọi x ∈ X : ρX(x, x0) < δ, ta có

ρY(f (x), f (x0)) < ε

Ta nói ánh xạ f là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục đều trên X nếu với mỗi số ε > 0, tồntại một số δ > 0, sao cho với mọi x, y ∈ X : ρX(x, y) < δ, ta có

được gọi là điểm bất động của ánh xạ f

Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề có nhiều ứng dụngtrong giải tích, nhất là trong lý thuyết các phương trình (vi phân, đạohàm riêng, tích phân), vì một điểm x bất động trong ánh xạ f chính làlời giải của phương trình f (x) = x

Định nghĩa 1.12 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, ánh

xạ F : X → X được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số α ≥ 0 saocho:

ρ(F (x), F (y)) ≤ αρ(x, y), ∀x, y ∈ X (1.1)Chú ý rằng, một ánh xạ Lipschitz là liên tục Số α nhỏ nhất thỏa mãn(1.1) được gọi là hằng số Lipschitz và kí hiệu là L Nếu L < 1 ta nói rằng

F là một phép co, hay còn gọi là ánh xạ co Nếu L = 1 ta nói rằng F làmột ánh xạ không giãn

1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co

Với mỗi x ∈ X, ta xác định dãy {Fn(x)} như sau: F0(x) = x và

Fn+1(x) = F (Fn(x)), với mỗi n = 0, 1,

Định lý 1.3 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ

F : X → X là một phép co với hằng số Lipschitz L < 1 Khi đó F códuy nhất điểm bất động u ∈ X Ngoài ra, với mọi x ∈ X, ta có

lim

n→∞Fn(x) = u,với

ρ(Fn(x), u) ≤ L

n

1 − Lρ(x, F (x)).

Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính duy nhất Giả sử tồn tại

x, y ∈ X với x = F (x) và y = F (y) Khi đó

ρ(x, y) = ρ(F (x), F (y)) ≤ Lρ(x, y).Điều này kéo theo ρ(x, y) = 0, suy ra x = y

Để chỉ ra sự tồn tại của x ∈ X Trước tiên ta chứng minh {Fn(x)} làmột dãy Cauchy Chú ý rằng với n ∈ {0, 1, }, thì

kéo theo {Fn(x)} là một dãy Cauchy Do X là đầy đủ nên tồn tại u ∈ X

sao cho lim

n→∞Fn(x) = u Hơn nữa do tính liên tục của F ta có

F : X → X thỏa mãn

ρ(F (x), F (y)) < ρ(x, y), với x, y ∈ X và x 6= y.Khi đó F có một điểm bất động duy nhất trong X

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại của điểm bất động

Ta thấy rằng ánh xạ x 7→ ρ(x, F (x)) đạt giá trị nhỏ nhất trên X, vì hàm

số này liên tục trên tập compact X, ta giả sử nó đạt giá trị nhỏ nhất tại

x0 ∈ X Khi đó x0 = F (x0) vì nếu ngược lại

ρ(F (F (x0)), F (x0)) < ρ(F (x0), x0),mâu thuẫn Việc chứng minh tính duy nhất là đơn giản

Tiếp theo ta sẽ trình bày một kết quả về điểm bất động của ánh xạgiữa các không gian

Định lý 1.5 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, với x0 ∈ X

và r > 0, kí hiệu

B(x0, r) = {x ∈ X : ρ(x, x0) < r}

Giả sử F : B(x0, r) → X là một phép co với hằng số Lipschitz L ∈ [0; 1)

thỏa mãn ρ(F (x0), x0) < (1 − L)r Khi đó F có một điểm bất động duynhất trong B(x0, r)

Chứng minh Gọi r0 thỏa mãn 0 ≤ r0 < r và

Định lý 1.6 Cho Br là hình cầu đóng với bán kính r > 0, tâm là gốctọa độ, trong không gian Banach E Và F : Br → E là một phép co vớihằng số Lipschitz L ∈ [0; 1) thỏa mãn

vì x − x∗ = x

||x||(||x|| − r), suy ra

||F (x)|| ≤ ||F (x∗)|| + ||F (x) − F (x∗)||

≤ r + L(r − ||x||) ≤ 2r − ||x||.Khi đó, với x ∈ Br và x 6= 0, ta có

||G(x)|| =

x + F (x)2

... ([5]) định

lý điểm bất động ánh xạ hợp thành bốn không gian metric đầy

đủ Và chứng minh mở rộng kết trường hợp tổngqt p khơng gian metric đầy đủ

giữa không gian metric đầy. .. 2

Điểm bất động ánh xạ hợp< /h2>

thành khơng gian metric< /h2>

Trong chương chúng tơi trình bày số nghiên cứu điểmbất động ánh xạ hợp thành không gian metric đầy đủ

Cho... RST có điểm bất động α ∈ X, T RS có điểmbất động β ∈ Y, ST R có điểm bất động γ ∈ Z.Hơn nữa, T α = β, Sβ = γ Rγ = α

Cơng trình Nung xem nghiên cứu đầutiên điểm bất động ánh xạ hợp thành