Họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH HẰNG

HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC

KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2008

Trang 2

MỤC LỤC

Lời mở đầu 1

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3

1.2 Không gian phức hyperbolic 5

1.3 Không gian phức hyperbolic Brody 9

1.4 Không gian phức hyperbolic đầy 10

1.5 Không gian phức nhúng hyperbolic 16

1.6 Metric vi phân Royden-Kobayashi 18

Chương 2: Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của

không gian phức 21

2.1 Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tiêu chuẩn metric cho tính s- chuẩn tắc 21

2.2 Tính chuẩn tắc và tính hyperbolic 34

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

Trang 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1

LỜI MỞ ĐẦU Vào những năm đầu của thế kỷ 20, Montel đã đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình Từ đó, khái niệm họ chuẩn tắc giữ một vai trò quan trọng đối với lý thuyết hàm biến phức và có ứng dụng rộng rãi trong động lực học, lý thuyết tối ưu,…Điều này đã khiến cho việc nghiên cứu các ánh xạ chuẩn tắc được nhiều nhà toán học quan tâm Việc tìm ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc cho đến nay đã đạt được nhiều kết quả đẹp đẽ như tiêu chuẩn của Montel, tiêu chuẩn của Marty, tiêu chuẩn của Miranda,…Đồng thời có những mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết họ ánh xạ chuẩn tắc với giải tích phức hyperbolic Chẳng hạn, những ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức tuỳ ý có những tính chất quan trọng nhất của ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hay không gian nhúng hyperbolic) Vì thế, tính hyperbolic của các không gian phức có thể được nghiên cứu từ cách nhìn của họ ánh xạ chuẩn tắc

Đã có nhiều nghiên cứu theo hướng nói trên, năm 1991 dựa trên ý tưởng của

Aladro, M.Zaidenberg đã đưa ra khái niệm họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

trên các không gian phức Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày những

kết quả về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến dưới góc độ của giải

tích phức hyperbolic Chúng tôi cũng lưu ý đến mối liên hệ mật thiết về tính

hyperbolic của không gian phức và tính chuẩn tắc của các ánh xạ thuộc họ

s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

Nội dung của luận văn gồm có hai chương

Trong chương 1, chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức nhiều biến và giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chương sau

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình

bày khái niệm và các tiêu chuẩn metric của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, mối liên hệ giữa lý thuyết họ ánh xạ s-chuẩn tắc với tính hyperbolic

của các không gian phức Việc chứng minh chủ yếu dựa trên kiểu của bổ đề

Trang 4

Schwarz-Pick hoặc tính chất giảm khoảng cách và các bao hàm thức, bất đẳng thức đã được chứng minh chi tiết Cuối cùng là phần kết luận của luận văn trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt được Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các độc giả

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp này em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa học trong suốt quá trình học tập tại trường Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của tôi Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khoá học

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Tác giả

Trang 5

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN KHÔNG GIAN PHỨC

Với 0 < r < ta đặt r z , z r , 1 , và gọi r là đĩa bán kính r,

là đĩa đơn vị trong 

1.1.1 Metric Bergman – Poincaré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa

Metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị và đĩa r được định nghĩa như sau :

2

2 2

4

,1

2 2 2

euc hyp z

z

v v

2 /

euc hyp r z

r

z r

v v

trong đó v euclà chuẩn Euclide trên 

Các chuẩn v hyp z, , v hyp r z, , được gọi là chuẩn hyperbolic trên , r tương

ứng Chú ý rằng tại z = 0 chuẩn hyperbolic bằng hai lần chuẩn Euclide Để đơn

Trang 6

1.1.2 Định nghĩa

Giả sử X,Y là các không gian với các hàm khoảng cách d,d’ tương ứng Ánh

xạ :f X Y được gọi là giảm khoảng cách nếu

'( ( ), ( )) ( , ) ,

1.1.3 Khoảng cách Bergman – Poincaré

Khoảng cách sinh bởi metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị , ký hiệu , được gọi là khoảng cách Bergman – Poincaré Do đó khoảng cách Bergman – Poincaré cũng chính là khoảng cách sinh bởi chuẩn hyperbolic xác định trong 1.1.1 Sử dụng định nghĩa khoảng cách sinh bởi hàm độ dài là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị mở ta có thể xác định công thức tính khoảng cách Bergman – Poincaré như sau:

11( , ) ln , ,

11

a b ba

a b a b

a b ba

1.1.4 Định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi

Giả sử X là một không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình nối p với q là tập hợp :

a a1, 2, ,a n ; ,f f1 2, , f n Hol( ,X)

sao cho

f1(0) p f a, ( )i i f i 1(0), f a n( n) q,

trong đó Hol( ,X)là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào

không gian phức X được trang bị tô pô compact mở

L a và định nghĩa k X( , )p q infL , trong đó infimum

lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối p với q

Dễ thấy k X thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là :

Trang 7

Nói cách khác k X là một giả khoảng cách trên X Giả khoảng cách k X đƣợc

gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

Không gian phức X đƣợc gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách

Kobayashi k X là khoảng cách trên X, nghĩa là

( , ) 0

X

k p q p q

Trang 8

1.2.2 Tính chất

i) Nếu X, Y là không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic khi và chỉ

khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic

ii) Nếu X là không gian con phức của không gian hyperbolic Y thì X cũng là

hyperbolic

iii) Định lý Barth

Giả sử X là không gian phức liên thông Nếu X là hyperbolic thì k X sinh ra

tô pô tự nhiên của X

 và do đó k n

 không là khoảng cách trên n

Trang 9

cách từ k X tới k'Y và B(y,s) là hình cầu mở ứng với khoảng cách k'Y với

Giả sử f i: X, i 1, ,mvới f i 1(q i 1) f i(0)là một dây chuyền chỉnh

hình trong X nối x với x’

Giả sử f : Y là ánh xạ chỉnh hình, r và q là hai số thực thoả mãn

0 r 1, 0< q <1 Khi đó tồn tại một phép chia [0 = t 0 , t 1 , …,t n = q] của đoạn

bởi f og1, , f og N thì ta nhận đƣợc từ f một dây chuyền chỉnh hình nối các điểm f (0) với f (q), nói cách khác ta có phép chia đoạn [0, q] thoả mãn

Trang 10

0

2

k

r

r mà dây chuyền chỉnh hình vẫn có cùng độ dài Kobayashi

Ta áp dụng nhận xét trên cho mỗi hàm f i (i = 1, ., m) của dây chuyền chỉnh hình đã cho Chọn r (0 r 1) thoả mãn

(0, )

k z svới z r

Khi đó r chỉ là một hàm đối với s Theo nhận xét trên, không mất tính tổng

quát ta có thể giả thiết rằng dây chuyền chỉnh hình được lấy thoả mãn

2

i

r

q với

mọi i Nếu dây chuyền chỉnh hình mới này thoả mãn điều kiện của i) thì ta có

điều phải chứng minh Trong trường hợp còn lại ta có

V

k q c k q

k q r

ck x x

Thật vậy, f i( r) V với mọi i Vì vậy nếu ta ký hiệu bởi m r là phép nhân với

r, thì {f1om r, , f mom r} là một dây chuyền chỉnh hình trong V Vì vậy ta cũng

có k X( , ')x x ck V( , ')x x

Từ cả hai trường hợp trên có ra điều phải chứng minh

Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của các không gian

Trang 11

phức thông qua các ánh xạ chỉnh hình

1.2.5 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood)

Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Giả sử Y

là hyperbolic (đầy) và với mỗi điểm y Y có lân cận U của y sao cho 1( )U là hyperbolic (đầy) thì X là hyperbolic (đầy)

Mệnh đề trên là trường hợp riêng của mệnh đề sau

1.2.6 Mệnh đề

Giả sử X,Y là các không gian phức và k Y' là hàm khoảng cách trên Y mà xác định tô pô của Y Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình và

i) là giảm khoảng cách từ k X tới k Y'

ii) Với mỗi điểm y Y có một lân cận mở U sao cho 1( )U là hyperbolic

+ Nếu ( )x ( ')x y : theo giả thiết có một lân cận mở U của y mà 1( )U là

hyperbolic Từ đó tồn tại s > 0 sao cho '

Trang 12

Các kết quả sau đƣợc trình bày trong [1]

Giả sử X là không gian phức compact Khi đó X là hyperbolic Brody khi và

chỉ khi X là hyperbolic Kobayashi

1.4 KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC ĐẦY

Không gian phức X đƣợc gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mọi

dãy Cô si đối với khoảng cách k X đều hội tụ

Ví dụ : Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy

1.4.2 Mệnh đề

Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông Khi đó X là hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi x X và r 0 mọi hình cầu đóng B x r( , )là compact

Để chứng minh mệnh đề trên ta cần chứng minh các bổ đề sau:

Giả sử X là không gian phức và Y là tập con tuỳ ý, r 0 Đặt

Nói cách khác U Y r là tập các điểm trong X thoả mãn khoảng cách tới một ( , )

điểm nào đó của Y nhỏ hơn r

1.4.3 Bổ đề

Giả sử X là không gian phức, a X và r r, ' 0 Khi đó

U U a r r( , ), ' U a r( , r')

Trang 13

Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đường nối 1, , ,2 m là

ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn

Trang 14

với mọi a X và r r, ' 0 Khi đó với a X và r 0, nếu tồn tại s 0sao cho

( , )

U x s là compact với mỗi x U a r thì ( , ) U a r( , ) là compact

Chứng minh

Vì X là compact địa phương nên có t > 0 sao cho t < r và U a t( , ) là compact

Ta chỉ cần chứng minh U a t( , ( / 2))s là compact Lấy x n là một dãy trong

( , ( / 2))

U a t s Ta chứng minh x n có dãy con hội tụ Theo giả thiết, với mỗi n

tồn tại điểm y n U a t( , )sao cho

Vì U a t( , ) là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết y n hội

tụ với y U a t( , ) Khi đó U y s( , )chứa xn với n đủ lớn Vì U y s( , )là compact theo giả thiết, nên dãy x n x U y s( , ) Rõ ràng x U a t( , ( / 2))s Bổ đề được chứng minh

Nếu mọi hình cầu đóng U a r( , ) là compact với mọi a X, thì hiển nhiên X là

đầy Thật vậy, giả sử x n là dãy Côsi trong X, khi đó x n bị chặn, do đó tồn tại

r > 0, x X sao cho x n U x r( , ) Theo giả thiết U x r( , ) là compact, nên tồn tại dãy con

Trang 15

Mà x n là dãy cơ bản nên x n y X Vậy X là đầy

Ngược lại, giả sử X là đầy Theo bổ đề 1.4.4, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số

s > 0 sao cho với mọi dãy x X hình cầu đóng U s x( , )là compact Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại x1 X sao cho U x( ,1/ 2)1 không là compact Theo bổ dề 1.4.4, tồn tại x2 U x( ,1/ 2)1 sao cho U x( ,1/ 2 )1 2 không là compact Lập luận tương tự,

1

( ,1/ 2n )

x U x sao cho U x( ,1/ 2 )n n không là compact (*)

Theo giả thiết, dãy Côsi x n hội tụ tới điểm x Vì X là compact địa phương, tồn

tại hình cầu đóng U x t( , )với t > 0 nào đó thỏa mãn U x( ,1/ 2 )n n nằm trong

Trang 16

Lấy U là lân cận mở của y sao cho U là compact Khi đó 1( )U là mở và

bao đóng của nó nằm trong 1( )U và do đó là compact (vì là ánh xạ riêng và

U là compact) Theo định lý Brody nếu 1( )U không là hyperbolic thì tồn tại

ii) Vì là ánh xạ riêng y0 là tập compact nên 1(y0) là compact, theo định lý

1.4.6 có lân cận V của 1(y0), V là hyperbolic, do đó tồn tại lân cận U của y0

sao cho

Trang 17

1( )U V (**)

Suy ra với mọi y U có

1( )y 1( )U V, V là hyperbolic

Vậy 1( )y là hyperbolic với mọi y U

Chứng minh (**): Giả sử (**) không xảy ra suy ra tồn tại dãy

Gọi K là lân cận compact của y0 trong Y, do là ánh xạ riêng suy ra 1( )K là

compact trong X Vì y n y0nên tồn tại n 0 để

x x , mà liên tục nên ( 0) lim ( ) lim 0

x x V nên tồn tại k0  sao cho

0

k k thì

k n

Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn

Khi đó tập mở X f x X f x( ) 0 là hyperbolic đầy

Chứng minh

Do f X: £ là hàm bị chặn nên nếu nhân f với số c 0 đủ nhỏ ta có thể giả thiết f X: Giả sử x n là dãy

f X

k - Côsi, do X f X nên

Trang 18

Suy ra f x( )n là dãy k *-Côsi mà *là hyperbolic đầy nên

mà k k* nên f x( )n hội tụ theo k đến y Lại do f liên tục và

X

k

x x, f x( )n n y 0, suy ra y f x( ) 0 do đó x X f X f đầy

Rõ ràng X f X, X là hyperbolic nên X f hyperbolic

Vậy X flà hyperbolic đầy (đpcm)

Trang 19

1.5.3 Định lý

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y

HI2 X là hyperbolic và nếu x n , y n là các dãy trong X thỏa mãn

x x X y y X Khi đó nếu k X(x y n, n) 0khi n thì x = y

HI4 Giả sử H là hàm độ dài trên Y Khi đó tồn tại các hàm liên tục

dương trên Y sao cho:

f*( H) H , f Hol( ,X)

trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Hol( ,X ta có )

*

f H H

1.5.4 Định lý (Kiernan)

Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức

Y Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu Hol( , ) X là compact tương đối trong Hol( , ) Y

Chứng minh

Giả sử Hol( ,X là compact tương đối trong Hol( , )) Y nhưng X không là

nhúng hypebolic trong Y Theo định lý 1.5.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y

và với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

T

v (*)

Trang 20

Do tính thuần nhất của đối với nhóm Aut( ) ta có thể giả sử z n 0 Vì X compact tương đối trong Y và f n(z n) X Ynên tồn tại y X thỏa mãn

d sinh bởi một hàm độ dài H trên Y Nhưng theo định lý 1.5.3, HI5 do X nhúng

hyperbolic trong Y nên tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho

Mà liên tục nên tập các ánh xạ chỉnh hình Hol( ,X là đồng liên tục )

Vậy Hol( , )X là compact tương đối trong Hol( , ) Y Định lý được chứng minh

1.6 METRIC VI PHÂN ROYDEN-KOBAYASHI

Giả sử M là một đa tạp phức và TM là phân thớ tiếp xúc của M Một

ánh xạ :F TM  được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau :

i) F(0 )x 0 trong đó 0x là vectơ không của T M x

ii) Với mọi x T M x và a C thì F a( x) a F( x)

Trang 21

Cho X là không gian phức

Giả sử x là điểm trong X Nón tiếp xúc 

Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u nhƣ trên thì ta đặt K X( )v

Ta gọi K X là metric vi phân Royden – Kobayashi trên không gian phức X

1.6.3 Một số tính chất của metric vi phân Royden – Kobayashi

a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì

*

( ( )) ( )

K f v K v với f Hol( , ),X Y v T X .

Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song ánh chỉnh hình

b) + Trong đĩa đơn vị ,K đồng nhất với metric Bergman – Poincaré, tức là

Trang 22

f) Nếu X là đa tạp phức, thì K X là hàm nửa liên tục trên trên TX Nếu X là không

gian phức hypebolic đầy thì K X liên tục

g) Gọi E là hàm độ dài nào đó của X sao cho E K X, thế thì

Trang 23

CHƯƠNG 2:

HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TÍNH

HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC

Nội dung chính của chương này là trình bày một số kết quả của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Đồng thời trình bày một số ứng dụng của họ s-chuẩn

tắc trong việc nghiên cứu tính hyperbolic hay tính nhúng hyperbolic của các không gian phức Ta biết rằng các metric hyperbolic đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các hàm chuẩn tắc [5] Ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh mối liên

hệ sâu sắc giữa lý thuyết các hàm chuẩn tắc với giải tích hyperbolic Cụ thể, các ánh xạ chuẩn tắc vào các không gian phức tùy ý đều có những tính chất quan trọng nhất của các ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hoặc nhúng hyperbolic) Chẳng hạn chúng thỏa mãn định lý tương tự như định

lý Kiernan về tính nhúng hyperbolic hay tiêu chuẩn Eastwood về tính hyperbolic

Cuối chương là một tiêu chuẩn về tính s – chuẩn tắc dưới dạng không tồn tại các

đường cong nguyên Kết quả này là một mở rộng tiêu chuẩn Brody cho tính hyperbolic [2] và tiêu chuẩn về tính chuẩn tắc của Hahn [4]

2.1 HỌ S-CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TIÊU CHUẨN

METRIC CHO TÍNH S- CHUẨN TẮC

Cho X và Y' là các không gian phức Y là tập con compact tương đối trong Y'

Trang 24

Rõ ràng nếu họ F là s-chuẩn tắc thì họ con của họ F cũng làs-chuẩn tắc (vì

tập con của tập compact tương đối cũng là tập compact tương đối)

+ Vì f X: Ylà ánh xạ chuẩn tắc suy ra f Hol( ,X) là compact tương đối

trong Hol( , ')Y (1) Mà f |ZHol( , ) X f Hol( , ) X nên f|ZHol( ,X)

cũng là tập compact tương đối của Hol( , ')Y Do đó f|Zlà chuẩn tắc

f   của dãy f   n n 1

Trang 25

hội tụ trong Hol( , ')Y Suy ra f  Hol( , )Z là compact tương đối trong

Hol( , ')Y Vậy f  là chuẩn tắc

f  hội tụ đến f1 Hol( ,Y1') Tương tự vì f 2 chuẩn tắc nên tồn tại dãy 2

k n

f  y là dãy con của {f  y2 n n} 1hội tụ đến

Tiêu đề	Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức
Tác giả	Nguyễn Thị Bích Hằng
Trường học	Đại Học Thái Nguyên - Trường Đại Học Sư Phạm
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	1,72 MB