Toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính

Lời nói đầuMột trong các hớng cơ bản của giải tích là nghiên cứu các không gian và các sự kiện trên chúng, trong đó không gian mêtric tuyến tính đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu.. Những

Môc lôc Trang

§3 To¸n tö tuyÕn tÝnh vµ mét sè tÝnh chÊt cña

Lời nói đầu

Một trong các hớng cơ bản của giải tích là nghiên cứu các không gian và các sự kiện trên chúng, trong đó không gian mêtric tuyến tính đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu Khái niệm về không gian này lần đầu tiên đợc Fréchet đa

ra vào năm 1926 sau đó đợc Banach và các cộng sự của ông phát triển thêm và

đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc nh : Định lý Banach về ánh xạ mở, Định lý Banach-Steihaus về chặn đều, những kết quả đó không những quan trọng với bản thân giải tích hàm mà còn có nhiều áp dụng đối với hầu hết các ngành khác của toán học

Những năm gần đây toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính

đợc nghiên cứu nhiều,với lí do đó khóa luận tập trung nghiên cứu toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính và đặc biệt là trên F- không gian Khoá luận đợc chia làm 2 chơng cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo

Trong chơng I tác giả trình bày các khái niệm về mêtric, mêtric bất biến, F- chuẩn, không gian mêtric tuyến tính, F*- không gian, F – không gian và một

số tính chất quan trọng Kết quả chính của chơng I là Mệnh đề 1.9 và Mệnh đề 1.11

Chơng II dành cho việc nghiên cứu toán tử tuyến tính trên F – không gian Kết quả chính của chơng II là Hệ quả 3.8, Định lý 3.12 và Hệ quả 4.6 các kết quả này cũng cho ta dấu hiệu nhận biết tính liên tục của toán tử tuyến tính trên F – không gian

Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn của Ts Tạ Khắc C, nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Một không gian tuyến tính có thể đồng thời đợc trang bị một mêtric trên

đó Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa mêtric, nhng nếu cấu trúc mêtric hoàn toàn độc lập với cấu trúc đại số thì các tính chất của không gian sẽ không có gì mới ngoài những tính chất đã biết về không gian tuyến tính đơn thuần và không gian mêtric đơn thuần Vấn đề sẽ khác đi nếu giữa hai cấu trúc

ấy có một mối liên hệ nhất định làm nảy sinh nhiều tính chất mới

1.1.Định nghĩa Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng số thực hoặc phức

cùng với hai phép toán

Phép cộng: X X → X

(x,y)  x+y,Phép nhân: X X → X

(t,x)  tx

Trên X ta đa vào hàm ρ: X X →R thoả mãn các điều kiện:

(x,y)  ρ(x,y)(1) ρ(x,y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X,

ρ(x,y) = 0 ⇔ x=y

(2) ρ(x,y) = ρ(y,x) với mọi x, y ∈ X.

(3) ρ(x,y) ≤ρ(x,z) + ρ(z,y) với mọi x, y, z ∈ X

Hàm ρ thoả mãn ba điều kiện trên đợc gọi là một mêtric trên X X cùng

với mêtric ρ là một không gian mêtric, ký hiệu là (X,ρ) hay đơn giản là X

Không gian mêtric (X,ρ) đợc gọi là không gian mêtric tuyến tính nếu

phép toán cộng và phép toán nhân là liên tục theo mêtric ρ

1.2 Định nghĩa Giả sử (X,ρ) và (X,ρ’) là hai không gian mêtric tuyến tính, hai mêtric này đợc gọi là tơng đơng nếu tôpô sinh bởi chúng là tơng

đơng, nghĩa là với bất kỳ số ε dơng đều tồn tại các số δ, δ’ dơng sao cho

{y:ρ’(x,y) < δ} ⊂ {y:ρ(x,y) < ε }và {y:ρ(x,y) < δ’} ⊂ {y:ρ’(x,y) < ε } với bất

kỳ x ∈ X

1.3 Định nghĩa Dãy {xn} các phần tử của không gian mêtric tuyến tính (X,ρ)

đợc gọi là hội tụ về phần tử x ∈ X (hay dần về x) theo mêtric ρ nếu

0 )

1.4 Mệnh đề Giả sử (X,ρ) và (X,ρ’) là các không gian mêtric tuyến tính Khi

đó hai mêtric ρ và ρ’ là t ơng đơng khi và chỉ khi với bất kỳ x ∈ X nếu xn →ρ x thì

x

xn →ρ' và ngợc lại nếu xn →ρ' x thì xn →ρ x.

Chứng minh Đặt Bρ(x,ε) = {y :ρ(x,y) < ε}, Bρ ’(x,ε) = {y :ρ’(x,y) < ε}

Điều kiện cần Lấy bất kỳ x ∈ X, giả sử xn →ρ xnhng xn không hội tụ về x theo

ρ’, khi đó ta có: ∃ε > 0 sao cho ∀ n0 ∈ N, ∃n > n0 thoả mãn ρ’(xn,x) > ε Do ρ

và ρ’ tơng đơng nên với ε > 0, ∃δ > 0 sao cho Bρ(x, δ) ⊂ Bρ’(x, ε), nghĩa là x ∉

Bρ’(x, ε) thì x ∉ Bρ(x, δ) Do vậy ∃δ > 0, ∀ n0 ∈N, ∃n > n0 sao cho ρ(xn,x) ≥δ hay xn không hội tụ về x theo ρ, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy nếuxn →ρ xthì xn →ρ' x với bất kỳ x ∈ X

Hoàn toàn bình đẳng ta cũng có nếu xn →ρ' x thì xn →ρ xvới bất kỳ x ∈ X

Điều kiện đủ Lấy bất kỳ x ∈ X, giả sử xn →ρ' xkéo theo xn →ρ x nhng ∃ε > 0 sao cho ∀δ > 0 thì Bρ ’(x, δ) ⊄ Bρ(x, ε), do vậy ta có ∃ε > 0 sao cho ∀n ∈ N thì

Bρ ’(x,1n) ⊂ Bρ(x, ε) hay ∃ε > 0 sao cho ∀n ∈N thì ∃yn∈ X sao cho ρ’(x,yn) < n

1.5 Định nghĩa Giả sử (X,ρ) là không gian mêtric tuyến tính, ρ đợc gọi là

mêtric bất biến nếu ρ(x + z, y + z) = ρ(x,y) với mọi x, y, z ∈ X

Không gian mêtric tuyến tính với mêtric bất biến đợc gọi là F* - không gian

1.6 Định nghĩa Trong không gian mêtric tuyến tính, lân cận V của điểm gốc 0

đợc gọi là lân cận cân nếu với bất kỳ a ∈R mà |a| ≤ 1 thì aV ⊂ V

Nhận xét Nếu W là lân cận của điểm 0 trong không gian mêtric tuyến tính X thì trong X luôn tồn tại lân cận cân V của điểm 0 sao cho W chứa V.

Chứng minh Do W là lân cận của điểm 0 nên từ tính liên tục của phép nhân

với một số thì tồn tại lân cận U của điểm 0 và số dơng ε sao cho

aU ⊂ W với mọi a, |a| <ε

Chứng minh Giả sử V là lân cận cân tuỳ ý của điểm 0,

Lý luận tơng tự ta có thể tìm đợc lân cận cân của điểm 0 là V( n

2

1) sao choV(2 n

1) + V(2 n

1) ⊂ V(2 n 1

2

a 2

a

n

n 2

2

1) +…

Ta dễ dàng chứng minh đợc V(r) là lân cận cân của điểm 0

Với r1, r2 là hai số dơng tuỳ ý, từ (1) ta chứng minh đợc

V(r1+ r2) ⊃V(r1) + V(r2)

Đặt ρ’(x,y) = inf{r: x – y ∈ V(r)} với mọi x, y ∈ X Ta sẽ chứng minh ρ’ là mêtric bất biến trên X Thật vậy,

+) ρ’(x + z, y + z) = inf {r: (x+z) – (y+z)∈V(r)}

= inf {r: x – y ∈ V(r)} = ρ’(x,y) với mọi x, y, z∈X

+) ρ’(x,y) = inf {r: x – y ∈ V(r)}= inf {r: y – x ∈V(r)} (do V là lân cận cân)

= ρ’(y,x) với mọi x, y ∈ X

+) ρ’(x,z) + ρ’(z,y) = inf {r1: x – z ∈ V(r1)} + inf {r2: z – y ∈ V(r2)}

= inf {r1+r2: x-z∈V(r1), z-y∈V(r2)}

≥ inf {r1+r2: (x-z) + (z-y)∈ V(r1) + V(r2)}

≥ inf {r1+r2: x-y∈ V(r1+r2)}=inf {r: x-y∈V(r)}

= ρ’(x,y) với mọi x, y, z ∈ X

Để chứng minh ρ’ là mêtric bất biến ta cần chứng minh thêm nó thoả mãn tiên

đề thứ nhất của mêtric

Rõ ràng ρ’(x,y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X

Để chứng minh ρ’(x,y) = 0 khi và chỉ khi x=y ta chỉ cần chứng minh

0 )

Giả sử ρ’(xk,x)→ 0 (k→ ∞ ), hay inf{r: xk – x ∈ U(r)} → 0 (k→ ∞ )

Từ (2) ta có ρ(xk – x, 0) → 0 (k→ ∞ ) Do tính liên tục của phép toán cộng ta

n là lân cận của điểm 0 nên với n tuỳ ý luôn

tồn tại k0∈N sao cho mọi k > k0 ta có xk – x ∈ V( )

cho bởi công thức ||x|| = ρ(x,0) khi đó hàm ||.|| là F chuẩn.–

b) Giả sử X là không gian tuyến tính và F chuẩn ||.|| xác định trên X Khi đó–

X là không gian mêtric tuyến tính với mêtric ρ(x,y) = ||x y||–

Chứng minh:

a) Hàm ||.|| là F – chuẩn, vì:

(1’) ||x|| = ρ(x,0) ≥ 0 với mọi x ∈ X,

||x|| = 0 ⇔ρ(x,0) = 0 ⇔ x = 0

(2’) Chứng minh ||ax|| = ||x|| với mọi a thoả mãn |a| = 1

- Nếu a ∈ R và |a| = 1 Khi đó a = 1 hoặc a = -1

Với a = 1 thì ||ax|| = ||x|| với mọi x ∈ X

Với a = -1 thì ||ax|| = ||-x|| = ρ(-x,0)

⇒ ||ax|| = ρ(-x + x, 0 +x)

⇒ ||ax|| = ρ(0,x) = ρ(x,0)

⇒ ||ax|| = ||x|| với mọi x ∈ X

- Nếu a ∈C ta cũng kiểm tra đợc ||ax|| = ||x|| với mọi x ∈ X và mọi a ∈ C thoả

(4’) Giả sử {an} là dãy bất kỳ và an → 0 ( n →∞), lấy bất kỳ x ∈ X thì x →ρ x

Do tính liên tục của phép nhân với một vô hớng theo mêtric ρ nên ta có anx  →ρ 0 hay ρ(anx,0) → 0 ( n →∞) ⇔ ||anx|| → 0 ( n →∞)

Vậy ||.|| là F – chuẩn

b) Dễ dàng kiểm tra đợc rằng ρ là một mêtric và hơn thế nó còn là một mêtric bất biến Bây giờ ta chứng minh rằng phép toán cộng phép toán nhân với một vô hớng là liên tục theo mêtric ρ

0

||y y||

) n(

0

||x x||

n n

Mà ||(xn + yn) - (x + y)|| ≤ ||xn-x|| + ||yn-y||,

nên ||(xn + yn) - (x + y)||→ 0 (n →∞)

⇒ρ( xn + yn, x + y) → 0 (n →∞), hay xn+ yn   →ρ x + y

Vậy phép toán cộng là liên tục

+) Giả sử xn →ρ x và an→ a (n →∞), ta cần chứng minh anxn   →ρ ax, thật vậy, ta có

||anxn- ax|| ≤ || anxn - anx|| + || anx - ax||

Do (an- a)→ 0 (n →∞) nên theo tính chất (4’) của F chuẩn ta có:

1.10 Định nghĩa Giả sử X là không gian tuyến tính, chuẩn trên X là hàm:

||.||: X →R thoả mãn các điều kiện sau

x  ||x||

+) ||x|| ≥ 0 với mọi x∈X, ||x|| = 0 ⇔ x=0

+) ||λx||=|λ|.||x|| với mọi λ∈K, mọi x∈ X

+) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y∈X

Không gian X với chuẩn xác định trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn tuyến tính.

(2’) ||ax||=|a|.||x||=||x|| với mọi a thoả mãn |a| = 1 và mọi x∈X

(3’) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y∈X

(4’) ||anx|| = |an|.||x|| với mọi dãy {an}⊂ K và mọi x∈X

Nếu an→ 0 (n → ∞) thì |an|.||x|| → 0 (n →∞) hay ||anx||→ 0 (n →∞) nếu an→0 (n →∞)

ϕ(at) = |at|p = |a|p.|t|p = |t|p = ϕ(t) với mọi t ∈R.

(3’) Trớc hết ta chứng minh rằng |t1 + t2 n|m ≤ n

m 2 n m

1 | | t | t

với t1, t2∈R và với n ∈N*, m ∈N và m ≤ n

+) Nếu t1, t2≥ 0 và t1 + t2 ≠ 0 thì 0 < t t t ,t t t 1

2 1

2 2 1

1 ) t t t

2 1

2 n m

2 1

2 2

1

1

t t

t ) t t

t (

, t t

t

+

≥ +

m 2 1

1 ) t t

t

1 t t

t t ) t t

t (

2 1

2 1 n m 2 1

1 t ( t t )

m 2

1 t |

t

m 2 m m

1 | | t | t

m '

1 | | t | t

m

m 2 n m

1 | | t | t

+) Nếu một trong 2 số t1 hoặc t2 âm ta có |t1 + t2| ≤ |t1|

m 2

m 2 n m

1 | | t | t

1 t | t

| + → ∞ = n lim → ∞ P n

2

1 t | t

| + ≤ nlim→∞( n P n

2

P

1 | | t | t

= nlim→∞ P n

1 | t

| + nlim→∞ P n

2 | t

| = |t1|P + |t2|P

Vậy |t1 + t2|p≤ |t1|P + |t2|P với mọi t1, t2∈R.

(4’) Giả sử {an} là dãy bất kỳ dần về 0 khi n ra vô cùng, khi đó

|an|P → 0 (n →∞) Vì vậy với mọi t ∈R ta có

ϕ(ant) = |ant|P = |an|P.|t|P→ 0 (n →∞)

Vậy ϕ là F – chuẩn nhng không phải là chuẩn, vì:

Lấy a = 2 ta có ϕ(at) = |2t|P = |2|P.|t|P≠ 2.|t|P = 2ϕ(t) hay ϕ(2t) ≠ 2.ϕ(t))

Do vậy tiên đề ϕ(at) = |a|.ϕ(t) của chuẩn không đợc thoả mãn với mọi a ∈

R và mọi t ∈R.

Nhận xét Không gian định chuẩn là không gian mêtric tuyến tính nhng không gian mêtric tuyến tính nói chung không phải là không gian định chuẩn.

Đ2 Không gian mêtric tuyến tính đầy đủ

2.1 Định nghĩa Giả sử (X,ρ) là không gian mêtric, dãy {xn} các phần tử của X

đợc gọi là thoả mãn điều kiện Cauchy (hay là dãy cơ bản) nếu

0 ) x

mêtric ρ nếu mọi dãy trong X thoả mãn điều kiện Cauchy sẽ hội tụ về một phần

tử thuộc X

Không gian mêtric tuyến tính (X,ρ) đợc gọi là không gian đầy đủ nếu nó

đầy đủ theo nghĩa không gian mêtric

2.2 Định nghĩa F*- không gian đầy đủ đợc gọi là F- không gian.

2.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính.

- Tập con A của không gian X đợc gọi là trù mật trong X nếu A = X

- Tập con A của không gian X đợc gọi là không đâu trù mật nếu bao đóng A

của A không chứa bất kỳ tập mở nào

- Tập con A của X đợc gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó biểu diễn đợc dới

2.5 Hệ quả Cho X là không gian mêtric đầy đủ, nếu tập con E của X thuộc

phạm trù thứ nhất thì CE = X \ E thuộc phạm trù thứ hai.

Trong trờng hợp riêng nếu tập con E của không gian mêtric tuyến tính thuộc phạm trù thứ nhất thì CE thuộc phạm trù thứ hai.

Chứng minh Ta có X = E ∪ CE, giả sử CE thuộc phạm trù thứ nhất khi đó, do

X là hợp của hai tập thuộc phạm trù thứ nhất nên nó thuộc phạm trù thứ nhất

Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.5 nói rằng X thuộc phạm trù thứ hai Do vậy

CE thuộc phạm trù thứ hai

2.6 Định lý Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ theo mêtric ρ, ρ’

là mêtric bất biến tơng đơng với mêtric ρ trên X Khi đó X cũng là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ theo mêtric ρ.’

Để chứng minh định lý ta chứng minh các bổ đề sau đây:

2.6.1 Bổ đề Giả sử E là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric ρ, E đợc nhúng trong không gian mêtric đầy đủ E với mêtric ’ ρ’ Nếu các mêtric ρ và ρ’ t ơng

đơng trên tập E ∩ E thì E là tập G’ δ(nghĩa là E là giao của họ đếm đợc các tập mở) trong E ’

Chứng minh Do ρ và ρ’ tơng đơng trên E ∩ E’ nên với bất kỳ x∈E, tồn tại số

dơng rn(x) <

n

1 sao cho nếu y∈E mà ρ’(x,y) < rn(x) thì ρ(x,y) <

n

1

Gọi k0 là số dơng sao cho

Do vậy {xn} là dãy Cauchy theo mêtric ρ Do E đầy đủ theo mêtric ρ nên tồn tại

x0 ∈ E sao cho lim ( xn, x0) 0

∞

x0 = x0∈E Vậy G0 ⊂ E

2.6.2 Bổ đề Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ theo mêtric ρ, X 0

là tập con tuyến tính trù mật trong X Nếu X 0 là tập Gδ trong X thì X 0 = X.

Chứng minh Từ giả thiết ta có X0 = n

1

n∞G

=

∩ với Gn là tập mở và Gn trù mật trong X, n=1, 2, …

Do Gn trù mật trong X nên X \ Gn không đâu trù mật với n=1, 2, mà …

X0 thuộc phạm trù thứ hai Do vậy X \ X0 = φ hay X=X0

2.6.3 Bổ đề Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính với mêtric bất biến ρ Khi đó có không gian mêtric tuyến tính đầy đủ Y với mêtric ρ’ sao cho

X ⊂ Y, X là trù mật trong Y và trên X hai mêtric ρ và ρ’ là trùng nhau Không gian Y đợc gọi là sự đầy đủ của không gian X.

Chứng minh Chúng ta xây dựng không gian Y nh sau: Y là không gian gồm

tất cả các dãy cơ bản trong X Chúng ta đồng nhất hai dãy {xn} và {yn} trong Y (hay xem chúng thuộc một lớp) nếu lim (xn,yn) 0

∞

→Trong Y ta đặt ρ’({xn},{yn}) = lim (xn,yn)

Bây giờ ta chứng minh rằng ρ’ là mêtric trong Y.

X có thể xem là nhúng trong Y với tập các dãy dừng x = {x, x, } …

Bây giờ ta chứng minh X trù mật trong Y

Lấy bất kỳ dãy {xn}∈Y, ε > 0 tuỳ ý, do {xn} là dãy cơ bản nên tồn tại N

> 0 sao cho ρ(xn,xm) < ε với mọi n, m > N Khi đó với mọi n > N ta có

Tính đầy đủ của Y cũng đợc kiểm tra dễ dàng Vậy Y là không gian mêtric đầy đủ, X trù mật trong Y và trên X hai mêtric ρ(x,y) và ρ’(x,y) là trùng nhau.

Do ρ là mêtric bất biến nên ta chứng minh đợc Y là không gian tuyến tính và các phép toán cộng, phép toán nhân với vô hớng là liên tục theo mêtric

ρ’

Vậy Y là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ

Chứng minh định lý 2.6.

Giả sử Y là sự đầy đủ của (X,ρ’) Theo Bổ đề 2.6.1 thì X là tập Gδ trong

Y Theo Bổ đề 2.6.2 thì X = Y Vậy X đầy đủ theo mêtric ρ’

1) A(x1+x2) = A(x1) + A(x2) với mọi x1, x2∈X.

2) A(αx) = α.A(x) với mọi x∈X và mọi vô hớng α

+) Giả sử X và Y là hai F*- không gian Toán tử tuyến tính A từ X vào Y,

A: X → Y, đợc gọi là liên tục tại điểm x 0∈X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ đến x0

ta đều có dãy {A(xn)} hội tụ đến A(x0)

+) Toán tử tuyến tính A từ F*- không gian X vào F*- không gian Y,

A: X → Y, đợc gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu A liên tục tại mọi điểm x

∈ X

Nhận xét Nếu toán tử tuyến tính A từ F * - không gian X vào F * - không gian Y, A: X → Y, liên tục tại 0 thì A liên tục.

3.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính.

+) Tập con B của X đợc gọi là tập bị chặn nếu với bất kỳ các dãy vô hớng {tn} dần về 0 và với bất kỳ dãy các phần tử {xn} của tập B thì dãy {tnxn} dần về 0.+) Một dãy các phần tử của X đợc gọi là bị chặn nếu tập tạo bởi các phần tử đó

là bị chặn

3.3 Mệnh đề Tập con B của không gian mêtric tuyến tính X bị chăn thì với

mọi ε > 0, ∃a ∈ K sao cho supx∈B||ax|| < ε.

Chứng minh Giả sử B bị chặn và ∃ε > 0 sao cho ∀ a ≠ 0 thì supx∈B||ax|| ≥ε Khi

đó ta có ∃ε > 0 và {tn}⊂ K, tn → 0 (n → ∞) sao cho sup||tnx||

B

nghĩa của sup thì với mỗi n ∈N, ∃xn∈B sao cho ||tnxn|| ≥ 2ε

Vậy ∃ε > 0 và {tn}⊂ K, tn → 0 (n→∞) nhng ||tnxn|| ≥ 2ε với mọi n ∈ N Điều

này mâu thuẩn với giả thiết là B bị chặn Do vậy khi B bị chặn ta có ∀ε > 0, ∃a

≠ 0 sao cho supx∈B||ax|| < ε

3.4 Định nghĩa Toán tử tuyến tính A: X → Y ánh xạ từ F*- không gian X vào F*- không gian Y đợc gọi là bị chặn nếu nó biến tập bị chặn thành tập bị chặn

3.5 Định lý Giả sử X và Y là hai F*- không gian Toán tử tuyến tính A:X→Y

ánh xạ từ X vào Y bị chặn khi và chỉ khi nó liên tục.

Chứng minh

1) A là toán tử tuyến tính liên tục ta cần chứng minh A bị chặn

Giả sử A không bị chặn, khi đó tồn tại tập bị chặn E và số ε > 0 sao cho

2) Toán tử tuyến tính A bị chặn, ta sẽ chứng minh rằng A liên tục

Giả sử A không liên tục, không mất tính tổng quát ta giả sử A không liên tục tại 0 Khi đó tồn tại dãy các phần tử {xn} dần về 0 nhng dãy {||Axn||} không dần về 0

n '

x

x x

0 ≤ <