Điểm bất động chung của các cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG VĂN LONG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CẶP ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG VĂN LONG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CẶP ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Phùng Văn Long

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động chung củacặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón” do tôi tự làm Cáckết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Phùng Văn Long

Bảng kí hiệu 1

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian metric 4

1.2 Không gian Banach 10

1.3 Định lý điểm bất động trong không gian metric 16

Chương 2 Không gian metric nón 20

2.1 Định nghĩa và ví dụ 20

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 24

2.3 Điểm bất động trong không gian metric nón 31

Chương 3 Điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón 37

3.1 Các khái niệm 37

3.2 Định lý điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón 39

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

x0 ∈ X mà T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trêntập hợp X Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lýthuyết điểm bất động ( fixed point theory)

Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vựccủa khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng Các kết quả vềđiểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kểđến định lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach(1922)

Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu,

lý thuyết trò chơi và trong nhiều lĩnh vực của Vật lí Chẳng hạn, trongphương trình vi phân thì nó đã được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban đầu, Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệmmetric nón bằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric bởi mộtnón định hướng trong không gian Banach thực Không gian metric nón(cone metric space) được giới thiệu cùng với các kết quả về điểm bất độngtrên lớp không gian này

Gần đây, M Abbas, G Jungck và một tác nhiều giả khác đã công bốcác kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ co trên không gian metricnón

Năm 2011, các tác giả José R Morales, Edison M Rojas đã công bố

kết quả về điểm bất động của cặp ánh xạ tương thích trong không gianmetric nón qua bài báo “ Common fixed points a pair of commutingmappings in complete cone metric spaces” , trên tạp chí An St Univ.Ovidius Constanta.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động và điểm bất độngchung của cặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón, được sựhướng dẫn nhiệt tình của TS Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

"Điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong khônggian metric nón"

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung củacặp ánh xạ tương thích trong không gian metric nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động và điểm bất động chung của cặp ánh xạtương thích trong không gian metric nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metricnón, điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gianmetric nón dựa trên hai bài báo:

1 "Common fixed points a pair of commuting mappings in complete conemetric spaces" của José R Morales và Edison M Rojas

2 "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive pings" của L G Huang và X Zhang

map-5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động chung của cặp ánh xạtương thích trong không gian metric nón Luận văn trình bày về khônggian metric nón, điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metricnón và điểm bất động chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gianmetric nón

Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, khônggian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach

Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metricnón, sự hội tụ trong không gian metric nón, điểm bất động trong khônggian metric nón

Chương 3 trình bày khái niệm về cặp ánh xạ tương thích và các kết quả

về điểm bất chung chung của cặp ánh xạ tương thích trong không gianmetric nón

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về khônggian metric, không gian Banach cùng với các ví dụ và phản ví dụ Cuốicùng chúng tôi trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1]

các điều kiện sau:

1 d(x, y) > 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng );

3 d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác)

Khi đó d được gọi là metric trên X Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữahai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm

Định nghĩa 1.1.2 [1]

không gian metric và được kí hiệu là (X, d)

Ví dụ 1.1.1.

Cho M[a,b] là tập các hàm số giá trị thực xác định và bị chặn trên đoạn

[a, b], Với hai hàm bất kỳ x (t) , y (t) ∈ M[a,b] ta đặt:

|x(t) − y(t)| hay d(x, y) xác định trên M[a,b]

Ta kiểm tra các điều kiện về metric

1 Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b], ∀y = y(t) ∈ M[a,b], ta có

Từ đó ta suy ra x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y

2 Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b], ∀y = y(t) ∈ M[a,b]:

d(x, y) = sup

a6t6b

|x(t) − y(t)|

= sup

a6t6b

|y(t) − x(t)|

= d(y, x)

Vậy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M[a,b]

3 Với ∀x = x(t) ∈ M[a,b], ∀y = y(t) ∈ M[a,b], ∀z = z(t) ∈ M[a,b]

|x(t) − y(t)| là một metric và do đó (M[a,b], d)

là một không gian metric



Định nghĩa 1.1.3 [1]

Cho (X, d) là một không gian metric, dãy điểm {xn} ⊂ X và điểm

x0 ∈ X Dãy điểm {xn} được gọi là hội tụ đến điểm x0 trong không gian

(X, d) khi n → ∞, nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, sao cho ∀n > n0 thì

Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy(dãy cơ bản), nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m > n0 thì

Z 12+2n11 2

|xn(t) − xm(t)|dt 6

Z 12+2n11 2

Với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b] thì dãy {xn(t)} là dãy Cauchy trong

R, nên phải tồn tại giới hạn x(t), tức là:

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b]

Mặt khác, với ε > 0 cho trước, tồn tại Nε sao cho ∀n, m > Nε, ∀t ∈ [a, b]

ta có

|xn(t) − xm(t)| < ε

Cho m → ∞ ta được với ∀n> Nε, ∀t ∈ [a, b] :

|xn(t) − x(t)| < ε

Tức là dãy {xn(t)} hội tụ đều tới x(t), ∀t ∈ [a, b]

Vậy x(t) là liên tục nên x(t) ∈ C[a,b], đồng thời {xn(t)} hội tụ tới

Theo ví dụ 1.1.2 ta có {xn} là dãy Cauchy trong không gian (C[0,1], d)

Bây giờ ta chứng minh (C[0,1], d) là không gian metric không đầy đủ bằngphản chứng

Giả sử ngược lại (C[0,1], d) là không gian metric đầy đủ Khi đó do {xn} là

dãy Cauchy nên {xn} hội tụ tới x(t) nào đó trong C[0,1], tức là

|xn(t) − 0|dt → 0

Do vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy {xn(t)} trong C[0,1

2 ]; x(t) và 0cùng là giới hạn của dãy {xn(t)} trong C[1

2 ,1] Do tính duy nhất của giớihạn nên ta phải có:

x(t) = 1 với 0 6 t 6 1

2x(t) = 0 với 1

2 6 t6 1

Nhưng như thế thì x(t) không liên tục, do đó không thuộc C[0,1] Vì vậy

{xn(t)} không có giới hạn trong C[0,1] nên (C[0,1], d) không phải là khônggian metric đầy đủ

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 [1]

Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức) Một

1 kxk > 0, ∀x ∈ X kxk = 0 ⇔ x = θ

2 kλxk = |λ| · kxk, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K

3 kx + yk 6 kxk + kyk, ∀x, y ∈ X

Số kxk được gọi là chuẩn của vectơ x Không gian X cùng với chuẩn k · k

xác định trên X được gọi là không gian định chuẩn

Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 1.2.1:

1 Hiển nhiên ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀t ∈ [a, b] ta có |x(t)| > 0

Vậy kx + yk 6 kxk + kyk, ∀x, y ∈ C[a,b].

Do đó C[a,b] là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.2 [1]

Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {xn} ⊂ X Dãy {xn} gọi làhội tụ tới x nếu

là không gian định chuẩn đầy đủ)

Theo ví dụ1.2.1ta đã chứng minh được C[a,b] là không gian định chuẩn.

{xn(t)} là dãy số Cauchy nên phải tồn tại giới hạn, ta có

lim

n→∞xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b]

Cho m → ∞ từ (1.1) ta có:

|xn(t) − x(t)| < ε, n > n0, ∀t ∈ [a, b] (1.2)Bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ dãy số {xn(t)} hội tụ đều tới x(t) trên C[a,b]

nên x(t) ∈ C[a,b] Vậy C[a,b] là không gian đầy đủ

Do đó C[a,b] là không gian Banach



không hội tụ tới một điểm thuộc CL

[0,1]

Thật vậy, giả sử dãy {xn(t)} hội tụ tới một x(t) nào đó trong CL

[0,1], tứclà:

Vậy CL

[0,1] không là không gian Banach

1.3 Định lý điểm bất động trong không gian metric

Định nghĩa 1.3.1 [1]

co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

= kd(T xn−1, T xn−2) 6 k2d(xn−1, xn−2)

= k2d(T xn−2, T xn−3) 6 k3d(xn−2, xn−3)

Bây giờ ta chứng minhx∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạT trên

Vì a ∈ [0, 1), suy ra T là ánh xạ co Hơn nữa R là không gian metric đầy

duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



Chương 2

Không gian metric nón

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩntắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banachthực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gianmetric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón cùng với các ví dụminh họa Cuối cùng chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất độngtrong không gian metric nón

ta xây dựng quan hệ thứ tự “6p” như sau:

được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone) nếu tồn tại số K > 0 sao cho, vớimọi x, y ∈ E thì:

Định nghĩa 2.1.4 [11]

được gọi là nón chính quy (regular cone) nếu mọi dãy tăng và bị chặn trênđều hội tụ Tức là, nếu {xn} là dãy thỏa mãn:

Ta kiểm tra 3 điều kiện của nón

1 Hiển nhiên P không rỗng và P 6= {0};

Vậy (X, d) là không gian metric nón.

Sau đây chúng ta trình bày về sự hội tụ của dãy trong không gian metricnón

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.2.1 [11]

Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X và

x ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 p c,tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

d(xn, x) p c, với mọi n > n0

Khi đóx được gọi là giới hạn của dãy {xn} và ta ký hiệu lim

n→∞xn = x hoặc

xn → x, (n → ∞)

đều hội tụ trong X.

Ta đã biết đối với không gian metric (X, d) thì dãy {xn} trong X hội

tụ tới x thuộc X khi và chỉ khi d(xn, x) → 0 Định lý sau đây trình bàymột tính chất tương tự cho không gian metric nón

Giả sử {xn} là một dãy trong X và xn → x ∈ X Với mọi ε > 0, chọn

c ∈ E sao cho 0 p c và Kkck < ε Khi đó, từ xn → x ∈ X suy ra tồntại số tự nhiên N sao cho

Ngược lại, giả sử trong E ta có lim

Định lý 2.2.3 [11].

Cho (X, d) là không gian metric nón và {xn} là một dãy trong X Nếu

{xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x

Chứng minh

Với mỗi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi n > N,

d(xn, x) p c Với mọi k > N thì nk > k > N, nên

Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng sốchuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X Khi đó {xn} là dãy Cauchy khi

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Chứng minh

Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong X Gọi K là hằng số chuẩn tắc của

P Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0 p c và Kkck < ε Khi đó,

từ {xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Ngược lại ta có, với mọi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại δ > 0 sao cho kxk < δ

thì c − x ∈ int(P) (do int(P) là tập mở) Với δ > 0 xác định như trên tồntại N sao cho

Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng sốchuẩn tắc K và {xn}, {yn} là các dãy trong X

n→∞yn = y, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, x) p c và d(yn, y) p c, với mọi n > N

Nếu {xn} là dãy hội tụ trong không gian metric nón (X, d) thì nó làdãy Cauchy.

Chứng minh

n→∞xn = x ∈ X Khi đó, với mọi c ∈ E, 0 p c thì tồn tại số

2 = c.

Vậy lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

Ta có dãy {xn} là dãy Cauchy

Định lí sau cho ta điều kiện để một dãy{xn}là dãy Cauchy trong khônggian metric nón

Định lý 2.2.7 [11]

Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ và P ⊂ E là một nónchuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Nếu tồn tại một dãy {xn} trong X vàmột số thực α ∈ (0, 1) sao cho với mọi n ∈ N thì

1 T là liên tục nếu lim

n→∞xn = x ta có

lim

n→∞T xn = T x

với mỗi dãy {xn} trong X

2 T gọi là dãy hội tụ dãy nếu với mỗi dãy {yn} hội tụ thì dãy {T {yn}}

hội tụ

3 T là hội tụ dãy con với mỗi dãy {yn}, nếu {T {yn}}là hội tụ thì dãy

{yn} có dãy con {ynk} hội tụ

Định nghĩa 2.2.5 [11]

Cho (X, d) là một không gian metric nón {xn} là dãy bất kỳ trong

X có dãy con {xni} là hội tụ trong X Khi đó X được gọi là không gianmetric nón compact dãy

2.3 Điểm bất động trong không gian metric nón

Định lý 2.3.1 [11]

Cho (X, d) là không gian metric nón P là một nón chuẩn tắc với hằng

x2 = T x1 = T2x0

Dokd (x∗, y∗)k = 0nên x∗ = y∗ Do đóT có duy nhất một điểm bất động.



Hệ quả 2.3.1 [11]

Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ, P là một nón chuẩntắc với hằng số chuẩn tắc K Cho c ∈ E với p c Tập hợp B (x0, c) ={x ∈ X|d (x0, x) 6p c} Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện

Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong B (x0, c) Khi đó {xn} cũng là một

Chứng minh.

Từ định lý 2.3.1,Tn có duy nhất một điểm bất độngx∗ NhưngTn(T x∗) =

T (Tnx∗) = T x∗, vì vậy T x∗ cũng là một điểm bất động của Tn Do đó

T x∗ = x∗ , x∗ là điểm bất động của T Từ đó điểm bất động của T cũng

là điểm bất động của Tn Do đó T có điểm bất động duy nhất

Định lý 2.3.2 [11]

Cho (X, d) là không gian metric nón P là một nón chuẩn tắc với hằng

Chương 3

Điểm bất động chung của cặp ánh

xạ tương thích trong không gian

metric nón

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về cặp ánh xạtương thích và các kết quả về điểm bất động chung của cặp ánh xạ tươngthích trong không gian metric nón

3.1 Các khái niệm

Định nghĩa 3.1.1 [13]

Cho (X, d) là một không gian metric nón và P ⊂ E là một nón chuẩn

Định nghĩa 3.1.2 [13].

Cho (X, d) là một không gian metric nón và P ⊂ E là một nón chuẩn

3.2 Định lý điểm bất động chung của cặp ánh xạ

tương thích trong không gian metric nón

Định lý 3.2.1 [13]

Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ, P ⊂ E là nón chuẩn