Ảnh của không gian mêtric

Trần Văn Ân, tácgiả đã nghiên cứu đợc một số vấn đề nh : Khi nào thì một không gian X có một k-lới điểm đếm đơc, các không gian compact đếm đợc thoả mãn điều kiện gì thì khảmetric hay ch

Trờng đại học vinh

Khoa toán -

ảnh của không gian metric

khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán

Lớp : 41E1 - Toán

Vinh 2005–

LờI Mở ĐầU

Trong những năm gần đây rất nhiều nhà toán học trên thế giới tập trungnghiên cứu về các không gian khả metric Tất nhiên mỗi ngời có một hớng nghiêncứu khác nhau, nhng hớng tập trung nổi bật vẫn là: Làm thế nào để xây dựng đợccác điều kiện cần, các điều kiện đủ và các điều kiện tơng đơng để một không giantôpô trở thành một không gian khả metric Chính vì lẽ đó mà đã có rất nhiềunhững định lý kinh điển về phép metric hoá ra đời, chẳng hạn ta có định lý củaNagata-Smirnovs nói rằng một không gian chính quy là khả metric nếu và chỉ nếu

nó có một cơ sở mở σ-hữu hạn địa phơng hay các định lý về phép metric hoá trêncác không gian Moore, các M-không gian…

Ngoài ra ngời ta cũng quan tâm nhiều đến ảnh của các không gian metric.Các không gian Lasnev và các không gian thơng của các không gian metric có thể

đợc đặc trng bởi phơng pháp của các k- lới Đối với một họ f các tập đóng của X,một hàm số nhận giá trị thực, không âm ϕ: Xìf →R là một linh hoá tử đối với f

nếu ϕ(x, F)=0 khi và chỉ khi x∈F Các không gian phân tầng đợc, các không giank-metric hoá đợc và các không gian δ-metric hoá đợc …có thể đợc đặc trng bởi cácphơng pháp của các linh hoá tử

Xuất phát từ hớng nghiên cứu này và dựa trên t liệu chính là các bài báo củaYoshio Tanaka cùng với sự huớng dẫn của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân, tácgiả đã nghiên cứu đợc một số vấn đề nh : Khi nào thì một không gian X có một k-lới điểm đếm đơc, các không gian compact đếm đợc thoả mãn điều kiện gì thì khảmetric hay cho f: X→Y là một s-ảnh thơng với X là không gian metric và Y làkhông gian Frechet mạnh, với điều kiện nào thì Y là khả metric?…

Cụ thể ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn

có bố cục nh sau:

Chơng I Một số kiến thức chuẩn bị

Chơng này là cơ sở cho các chơng sau Ngoài ra tác giả còn đa ra một sốkết quả có chứng minh nh Bổ đề 1.1.7

Chơng II Không gian với phủ điểm đếm đuợc.

Chơng này tác giả xét phép metric hoá của các M–không gian với phủ

Các β-không gian và các tính chất của chúng

Trong luận văn này các không gian đều là các T2–không gian và các ánhxạ đều đợc giả thiết là liên tục

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Văn Ân, ngờitrực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá lụân Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn tớicác thầy giáo, cô giáo trong khoa toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn

Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện về mặt thời gian và hạn chế vềmặt trình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầycô giáo và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng 4 năm 2005

Tác giả

Chơng I

Một số kiến thức chuẩn bị

Đ1 Các khái niệm cơ bản về Tôpô

1.1.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ) và B ⊂τ , B đợc gọi là

cơ sở của tôpôτ nếu mọi V∈τ và với mọi x∈V tồn tại U∈B sao cho x∈U⊂V

1.1.2 Định nghĩa a) Cho không gian tôpô (X,τ ), x∈X Tập U ⊂ X đợc gọi

là lân cận của điểm x nếu tồn tại điểm V∈τ sao cho x∈ U ⊂ V

b) Gọi U(x) là họ tất cả các lân cận của x Khi đó họ conB(x) của U(x)

đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x nếu với mọi V∈U(x) tồn tại U∈B (x) saocho x∈U⊂V

1.1.3 Định nghĩa a) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là

một phủ của tập con A ⊂ X nếu A ⊂∪{P: P⊂P }

Ta viết ∪P thay cho ∪{P: P⊂P}

b) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ củaX

nếu X=∪P

1.1.4 Định nghĩa Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ điểm đếm

đợc (point-countable) (hữu hạn) nếu với mọi x∈X tồn tại không quá đếm đợc (hữuhạn) các phần tử P∈P chứa điểm x

1.1.5 Định nghĩa Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X.

Điểm x đợc gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu x∈A\{x} Tập tất cả

các điểm tụ của A kí hiệu là Ad

1.1.6 Nhận xét x là điểm tụ của A khi và chỉ khi mỗi lân cận U bất kỳ của

x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x

1.1.7 Bổ đề Giả sử P là một phủ điểm đếm đợc của một không gian X.

Nếu X xác định bởi tập {∪F :F ⊂P là hữu hạn} thì mọi tập compact đếm đợc

trong X nên tồn tại một họ hữu hạn F ⊂P sao cho A∩(∪F ) là hữu hạn.

Khi đó sẽ tồn tại một tập F nào đó mà F∈F và F chứa vô hạn các xn

Từ đó suy ra F = Pj (xi) với một chỉ số i, j nào đó và tồn tại một chỉ số

n>i, j sao cho xn∈ Pj(xi)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết xn∉ Pj(xi) Suy ra điều phải chứng minh

1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu

với mọi tập A ⊂ X và mọi x∈Ā thì tồn tại dãy {xn: n∈N}⊂A sao cho {xn} hội tụ

về x

1.1.9 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là

hữu hạn địa phơng nếu với mỗi x ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao

với hữu hạn các phần tử của họP

1.1.10 Định nghĩa Họ A đợc gọi là σ-hữu hạn địa phơng (tơng ứng là σ rời rạc) nếu A là hợp đếm đợc của các họ hữu hạn địa phơng (tơng ứng rời rạc)

-1.1.11 Định nghĩa Phủ B đợc gọi là cái mịn của phủ P nếu với mọi

B ∈B tồn tại P ∈P sao cho B ⊂P

1.1.12 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian

paracompact nếu X là chính quy và trong mọi phủ mở của X đều có cái mịn mở,

hữu hạn địa phơng

1.1.13 Định nghĩa([3]) Không gian tôpô X đợc gọi là không gian

Lindelof nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con đếm đợc.

1.1.14 Định nghĩa([4]) Cho không gian tôpô (X, τ ) Trên X đa vào một

quan hệ tơng đơng R Khi đó ta thu đợc tập thơng X/R gồm {[x]: x ∈ X}

Xét ánh xạ π: X → X/R cho bởi π(x) =[x] với mọi x∈X Đặt

1.1.15 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là k-không gian nếu A⊂

X là đóng trong X khi và chỉ khi A∩K là tập đóng trong K với mọi tập compact

K⊂ X

1.1.16 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là c-không gian (hay gọi là

không gian xác định bởi các tập con đếm đợc) khi và chỉ khi tập A ⊂ X là đóngtrong X nếu với mọi tập đếm đợc C ⊂ A, thì ta có C ⊂ A

1.1.17 Định nghiã Không gian tôpô (X, τ ) đợc gọi là không gian khả

metric (hay không gian metric hoá đợc) nếu tồn tại một metric d: XìX→R saocho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô τ

1.1.18 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm

đ-ợc thứ nhất nếu tại mỗi điểm của nó có một cơ sở đếm đđ-ợc.

1.1.19 Chú ý Không gian khả metric là không gian thoả mãn tiên đề đếm

đợc thứ nhất

1.1.20 Định nghĩa Giả sử X là một không gian và C là một phủ(không cần đóng hoặc mở ) của X X đợc gọi là đợc làm trội bởi C nếu A ⊂ X là

đóng trong X khi mà A∩C là đóng một cách tơng đối trong C với mọi C∈C

1.1.21 Định nghĩa Giả sử X là một không gian, với mỗi x∈X, đặt Tx là họnhận hữu hạn các tập con của X chứa x Khi đó tập hợp ∪{Tx: x∈X} đợc gọi làmột cơ sở yếu của X nếu F ⊂ X đóng trong X khi và chỉ khi với mỗi x∈F tồn tại

Q(x) ∈Tx sao cho Q(x)∩F=∅

Đ2 Các khái niệm về ánh xạ

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ f: X→Y đợc gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập

đóng A ⊂ X thì ảnh f(A) là tập đóng trong Y

1.2.2 Định nghĩa Giả sử X là T2-không gian và Y là một không gian tôpô

ánh xạ liên tục f: X→Y đợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (tơng ứng, ánh xạ tựa hoàn chỉnh) nếu f là ánh xạ đóng và f-1(y) là tập compact (tơng ứng, tập compact đếm đ-ợc) trong X với mọi y∈Y

1.2.3 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là M-không gian

paracompact (tơng ứng M-không gian) nếu tồn tại một ánh xạ hoàn chỉnh (tơng

ứng, tựa hoàn chỉnh) f: X→M từ X vào một không gian khả metric M

1.2.4 Định nghĩa Một ánh xạ f: X→Y là một s-ánh xạ nếu mọi f-1(y) làkhả ly với mọi y∈Y

1.2.5 Định nghĩa([1]) Một ánh xạ f: X→Y là compact nếu mọi f-1(y) làtập compact

1.2.6 Định nghĩa Giả sử L0 ={an: n∈N}∪{∞} là dãy vô hạn với điểm giớihạn ∞ Kí hiệu N là tập các số tự nhiên Với mỗi n∈N, ký hiệu Ln là một dãy vôhạn hội tụ chứa các điểm giới hạn an..

Gọi L là tổng tôpô ∑{Ln: n∈N} Khi đó ta có:

i) Sωlà tổng không gian thơng thu đợc từ L bằng cách đồng nhất tất cả các

điểm giới hạn an trong L với ∞;

ii) S2 là không gian thơng thu đợc từ tổng tôpô L0 và L bằng cách đồng nhấtmỗi an∈L0 với điểm giới hạn an∈L

1.2.7 Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô.

a) Nếu với mọi tập đóng F ⊂ X và với mọi x∉F tồn tại các tập mở U, V saocho F ⊂ U, x∈V và U∩V=∅, thì X đợc gọi là không gian chính quy.

b) Nếu với bất kỳ hai tập đóng rời nhau F1, F2 đều tồn tại các tập mở rời nhau

U1, U2 sao cho F1⊂ U1 và F2 ⊂ U2 thì X đợc gọi là không gian chuẩn tắc.

CHƯƠNG II KHÔNGGIAN VớI PHủ ĐIểM ĐếM ĐƯợC

(Chơng này chúng ta xét phép metric hoá của các M-không gian với phủ điểm

đếm đợc đã biết (không cần đóng hoặc mở))

2.1 Định nghĩa Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là

k-l-ới nếu vk-l-ới mọi tập compact K và mọi tập mở U của X sao cho K⊂U đều tồn tại họhữu hạn P * của P sao cho K ⊂∪P *⊂U

2.2 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lesnev nếu nó

là ảnh đóng của một không gian metric qua ánh xạ liên tục

2.3 Bổ đề(Định lý 3.6[4]) Không gian X là không gian Lasnev nếu và chỉ

nếu X là một không gian Frechet có một k-lới σ-bảo toàn bao đóng di truyền

2.4 Mệnh đề Mỗi tiên đề sau đây nói rằng X có một k-lới điểm đếm đợc

(point-countable k-network):

(1) X là một không gian Lasnev.

(2) X là s-ảnh thơng của một không gian metric.

(3) X đợc làm trội bởi các tập con metric.

Chứng minh (1) Theo Bổ đề 2.3, X có một k-lới σ-bảo toàn bao đóng ditruyền là ∪{Fn: n∈N}

Đặt Dn={x∈X:Fn không hữu hạn địa phơng tại x với mọi n} Khi đó mỗi

Dn là tập con đóng rời rạc của X Thật vậy, lấy{xm: m∈N}⊂Dn Vì Fn không hữuhạn địa phơng tại mỗi xn với mọin∈N nên tồn tại một

Fm∈F n \ {Fk: k<m} sao cho xm∈Fm

Khi đó {xm: m∈N} là đóng và rời rạc trong X Nhng vì X là không gianFrechet, Dn là đóng và rời rạc trong X

Kí hiệu F n′={F \ Dn: F∈F n}∪{{x}: x∈Dn} và F =∪{F n ′: n∈N} Khi đó F là một k-lới điểm đếm đợc đối với X

(2) Giả sử f: M→X là một s-ánh xạ thơng trên không gian metric M Giả sử

B là một cơ sở δ-hữu hạn địa phơng đối với M và họP ={f(B): B∈B}

Khi đó P là điểm đếm đợc Ta cần chứng minh P là một k-lới.

Giả sử U mở và K compact sao cho K⊂U Ta chú ý rằng g=f/f-1(U) là ánhxạ thơng và f-1(U) xác định bởi phủ mở U={B∈B : B⊂ f-1(U)} nên U xác định bởimột phủ đếm đợc P …={f(B): B∈B} Khi đó theo Bổ đề 1.1.7 ta có

K ⊂ ∪F ⊂ U với họ hữu hạn F nào đó mà F ⊂P … Do đó P là một k-lới

điểm đếm đợc đối với X

(3) Giả sử X đợc làm trội bởi một phủ đóng {Xα: α}của các tập con metric.Với mỗi α đặt Yα = Xα\ ∪{Xβ: β < α} Giả sử Bβlà một cơ sở σ-hữu hạn địa ph-

ơng đối với Yα và B…α=Bα∩Yα

Khi đóB =∪{Bα: α} là điểm đếm đợc Ta cần chứng minh B là k-lới

Giả sử U mở và K-compact sao cho K⊂U, khi đó K chỉ giao với hữu hạn

Yα

Thật vậy, giả sử tồn tại một D={xn: n∈N} với xn∈K∩Yαn, αn<αn+1 Khi đómỗi D∩Xαn là hữu hạn Do vậy, D đóng và rời rạc trong X Nhng vì K compactnên D có một điểm hội tụ Đây là điều mâu thuẫn

Kí hiệu {α: Yα∩K ≠∅ }={α1, ,αn}

Với mỗi αi tồn tại một họ hữu hạn Fα i⊂Bα i sao cho

Yαi ∩ K ⊂∪Fα i ⊂ U

Chứng minh Chúng tôi chỉ chứng minh (C3)→ (C4).

Giả sử P là một phủ nh trong (C3) Với y∈Y, đặt

P y={∪F : F ⊂P là hữu hạn sao cho ∪F ∋ y}

Vì X\ {y}xác định bởi P y nên P thoả mãn (C4) theo Bổ đề 1.1.7

2.8 Định nghĩa Tập con G của không gian tôpô X đợc gọi là Gδ tập nếu

G là giao của điểm đếm đợc các tập mở trong X

Không gian tôpô X đợc gọi là có Gδ-đờng chéo nếu đờng chéo ∆={(x,x),

x∈X} là một Gδ-tập trong XìX

2.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu mỗi tập

A ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi không có dãy {xn}⊂ A hội tụ về điểm x∉A

2.10 Mệnh đề (1) Nếu X có một phủ mở điểm đếm đợc khả ly thì X thoả

(4) Nếu X có một cơ sở yếu, điểm đếm đợc thì X thoả mãn (C 4 ).

(5) Nếu X là s-ảnh thơng của một không gian metric thì X thoả mãn (C 4 )

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.6.

Khi đó sẽ tồn tại một n∈N sao cho y∈A nhng x∉A với mọi A∈An Vớimỗi z∈X, đặt B z={A∈An: z ∈A}.

LấyF={Pn(B): B ⊂Bx} Khi đó nhận thấyF là hữu hạn và ∪F ⊂ U.Cần chứng tỏ x∈Int (∪F )

Đặt V=X \ ∪(An \ Bx) Khi đó x∈V và V mở trong X Chúng ta cần chứngminh V=F Giả sử z ∈∪F Khi đó z ∈Pn(B) với B ∈Bx, nh thế

Chứng minh(4) Chúng ta cần chứng minh X là một không gian dãy với một

k-lới điểm đếm đợc

Giả sử Tc=∪{Tx: x∈X} là một cơ sở yếu điểm đếm đợc Với mỗi x∈X, đặt

Tx={Qn(x) với n∈N} Để chứng tỏ X là không gian dãy ta giả sử F không đóng trong X Khi đó sẽ tồn tại một x∉F sao cho Qn(x)∩F ≠∅ với mọi n∈N Giả sử xn∈Qn(x) ∩ F với mọi n∈N Khi đó dãy {xn: n∈N}⊂ F hội tụ tới

điểm x∉F Nh vậy X là dãy

Bên cạnh đó, để chứng tỏ rằng Tc là một k-lới ta giả sử U mở trong X Vì X

là dãy nên U cũng vậy Cũng trong khi đó, dãy A nào đó trong X hội tụ tới y là phần tử cuối cùng trong các phần tử của Ty Thật vậy, giả sử tồn tại một

Qn(y) ∈Tx và một dãy con B ⊂ A thoả mãn Qn(y) ∩B=∅ Khi đó với bất kỳ phần

tử P∉B tồn tại một Qm(P)∈Tp thoả mãn Qm(P)∩B=∅

Nh vậy B là đóng trong X Đây là một phép corút, khi đó U giới hạn bởimột phủ điểm đếm đợc {T∈Tc: T ⊂U} Nh vậy, theo Bổ đề 1.1.7 thì Tc là một k-lới

đối với X Đây là điều phải chứng minh

2.11 Định nghĩa (a) Họ F đợc gọi là cực tiểu đối với tập A nếu A⊄

(∪C )0 với C ⊂F và C ≠F

(b) Phủ ω của không gian tôpô X đợc gọi là phủ cực tiểu nếu mọi bộ phận

thực sự ω'⊂ω không phủ X

2.12 Bổ đề Giả sử P là một họ tập hợp điểm đếm đợc của các tập con

của X Khi đó sẽ tồn tại nhiều nhất là đếm đợc các phủ cực tiểu hữu hạn của X bởi các phần tử của P

2.13 Mệnh đề Mọi không gian compact đếm đợc X thoả mản (C 3) là khả metric.

Chứng minh Giả sử P đợc lấy nh trong (C3), ta giả thiết rằng P đóng dớicác giao hữu hạn Giả sử P '=∪{C ⊂P : C } là một phủ cực tiểu hữu hạn của X.Khi đó, theo Bổ đề 2.12, P ' là đếm đợc Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng P ' cũng thoảmãn (C3)

Lấy x∈X\ {y}, khi đó tồn tại họ hữu hạn F ⊂P sao cho

x∈Int ∪F ⊂ ∪F ⊂ X\ {y} Chúng ta có thể giả thiết rằng x∉ Int∪F ' với bất

kỳ F '⊆F Điều đó đủ để chứng tỏ rằng F ⊂P '

Vì Int ∪F ⊄∪{F \ {F}} với mọi F ∈F nên tồn tại một

xF∈F∩ Int(∪F ) sao cho xF∉∪{F \{F}}

Đặt A= {xF: F∈F } Vì P thoả mãn (C3) với mọi z∈X\A nên tồn tại một

họ hữu hạn Fz ⊂P sao cho z∈Int∪Fz⊂∪Fz ⊂ X\ A

Xác định R ⊂P đợc cho bởi R =F ∪({∪Fz: z∈X\ A})

Giả sử R *={∪F : F ⊂R là hữu hạn} Khi đó {Int R: R∈R *} là mộtphủ mở trong X Do đó, X đợc giới hạn trong phủ mở này Nh vậy, X giới hạn bởi

R * Vì P là họ điểm đếm đợc nên theo Bổ đề 1.1.7 R có một phủ con cực tiểu

hữu hạn C Hiển nhiên C ⊂ P ' Nếu F ⊂F thì F là phần tử duy nhất của Rchứa xF, nh vậy F∈C Do đó F ⊂C ⊂P '

Đặt M ={X\Int (∪ f): F ⊂P ' là hữu hạn} Khi đó M là một phủ đếm

đ-ợc, đóng trong X sao cho {x}=∩{M∈M : x∈M} với mọi x∈X

Với x∈X, lấy {M∈M: x∈M}={Mn: n∈N} và Ln =∩{Mi: i≤n } với mọi

n∈N Vì X là compact đếm đợc với mỗi lân cận U của x, x∈Li⊂U với i∈N Điều này kéo theo tập hợp của tất cả các giao hữu hạn của các phần tử M là một lới

đếm đợc đối với X Do đó X là không gian compact cùng với một lới đếm đợc Khi đó nh đã biết, X là không gian khả metric

Chứng minh (1)→ (2) là hiển nhiên

(2)→(3) Vì X thoả mãn (C1) nên X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất

Nh vậy X thoả mãn (3)