DẠNG 17 TÍCH PHÂN

Khái niệm tích phân  Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc.. Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số f g, liên tục trên K và a, b,c là ba số bất kì

DẠNG TOÁN 17: TÍCH PHÂN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Khái niệm nguyên hàm

 Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K

nếu F x′( ) = f x( ) với mọi x thuộc K

2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) ∫0dx C= , d∫ x=∫1dx x C= + ;

1

x

x xα α C α

α

+

∫

3)

1

dx ln x C;

∫

4) Với k là hằng số khác 0

a)

cos sin dkx x kx C;

k

∫

b)

sin cos dkx x kx C;

k

∫

kx

k

∫

d) d (0 1 ;)

ln

x

a

∫

5) a) 2

1

d tan ; cos x x= x C+

∫

b) 2

1

sin x x= − x C+

∫

3 Khái niệm tích phân

 Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b( )−F a( ) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )d

b a

f x x

∫

Trong trường hợp a b< , ta gọi ( )d

b a

f x x

∫

là tích phân của f trên đoạn [ ]a b ; Người ta còn dùng kí hiệu ( ) b

a

F x

để chỉ hiệu số F b( )−F a( ). Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì ( )d ( )

b

b a a

f x x F x=

∫

4 Tính chất của tích phân

Giả sử các hàm số f g, liên tục trên K và a, b,c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có

1) ( )d 0;

a

a

f x x=

∫

2) ( )d ( )d ;

f x x= − f x x

3) ( )d ( )d ( )d ;

f x x+ f x x= f x x

4) ( ) ( ) d ( )d ( )d ;

f x +g x x= f x x+ g x x

5) ( )d ( )d

kf x x k f x x=

với k∈¡ .

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tích phân của hàm đa thức

 Tích phân hàm lượng giác

 Tích phân hàm mũ, hàm logarit

 Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 Tích phân từng phần

 …

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Tích phân

2 3

1

d

x x

∫

bằng

A

15

17

7

15

4

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính tích phân của hàm đa thức

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )

B2: Thay cận vào để tính kết quả của tích phân.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Ta có

3

1

2 16 1 15

1

x

∫

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]1; 2

và thỏa mãn f ( )1 =1, ( )2 2

f = Tính 2 ( )

1

d

I =∫ f x x′

7 2

I =

Lời giải Chọn B

Ta có 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 1

I =∫ f x x′ = f x =f − f =

A. 1 B. 4 C. 8 D. 16

Lời giải Chọn B

Ta có ( ) ( ) 2 ( ) 2 3 4 2

0

4

x

F −F =∫ f x x=∫x x= =

2

1

d

3 2

x

x−

∫

bằng

1

ln 2

2

ln 2

3

Lời giải Chọn D

1 1

ln 3 2 ln 4 ln1 ln 2

x

x

−

∫

5

1

d

1 2

x I

x

=

−

∫

A. I = −ln 9. B. I = −ln 3. C. I =ln 3. D. I =ln 9.

Lời giải Chọn B

1 1

ln 1 2 ln 9 ln1 ln 9 ln 3

x

x

−

∫

2020

0

7 d x

I = ∫ x

A.

2020

ln 7

I = −

B. I =72020−ln 7. C.

2021

7 7 2021

I = −

D. I =2020.72019.

Lời giải Chọn A

Ta có

0 0

ln 7 ln 7 ln 7

x x

2

1

d

x

e x

∫

bằng

A.

1 2

e−

2 1 2

e −

2 e −1 .

Lời giải Chọn C

Ta có

0 0

x

∫

4

2 0

1

dx

cos x

π

∫

bằng

1

π

Lời giải Chọn D

Ta có

4

4

0

1 dx tanx 1

cos x

π

π

∫

1

d

e − x m e= −e

∫

với m, p, q∈¤ và là các phân số tối giản Tổng

m p q+ + bằng

22

3

Lời giải Chọn D

Ta có

3 1

1 1

1

x

−

− = = − ⇒  =



∫

2

3

I x x a b

π

π

với a, b∈¤. Tính P a= −4 b

A.

1 2

P= −

1 2

P=

9 2

P= D. P=3.

Lời giải Chọn D

Ta có

2

2 3 3

1

2

a

b

π

π π π

=





= −

∫

0

2sin d ,

π

=∫ + 

biết rằng 2 ( )

0

d 5

f x x

π

=

∫

π

= +

D. I = +5 π.

Lời giải Chọn B

2sin d d 2 sin d

π

2

2 0 0

d 2cos 5 2 0 1 7

π

π

 Mức độ 2

1

4f x −2x xd =1

∫

Khi đó 2 ( )

1

d

f x x

∫

bằng

Lời giải Chọn C

4f x −2x xd = ⇔1 4 f x xd −2 dx x=1

( ) ( ) ( )

1

2

x

( )1 2,

f =e ln3 ( ) 2

1

d 9

f x x′ = −e

∫

Tính giá trị của f ( )ln 3

A. f ( )ln 3 = −9. B. f ( )ln 3 =9. C. f ( )ln 3 =2e2−9. D. f ( )ln 3 = −9 2e2.

Lời giải Chọn B

Ta có ln 3 ( ) ( ) ln3 ( ) ( )

1 1

f x x′ = f x = f − f

∫

Theo giả thiết ln3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

1

1

∫

( )

3

0

d 4

f x x=

∫

Khi đó giá trị của tích phân

( )

3

1 ln 0

4 d

f x

I =∫ e+ + x

bằng

A. 3e+14. B. 14e+3. C. 4 12e+ . D. 12 4e+ .

Lời giải Chọn D

Ta có 1 ln ( ) ( )

f x

e+ =e f x nên 3( ( ) ) 3 ( ) 3

I =∫ e f x + x e f x x= ∫ + ∫ x= e+

1 0

d ln 2 ln 3

∫

với a, b là các số nguyên Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

Lời giải Chọn D

Ta có

0

d ln 1 ln 2 2 ln 2 ln 3

∫

Suy ra a=2, b= −1. Vậy a+2b=0

cos 2 d 0

m

x x=

∫

với m là tham số Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A. m k= 2 π (k∈¢). B. m k= π (k∈¢).

C. m k= π2(k∈¢)

D. m=(2k+1 ) (π k∈¢).

Lời giải Chọn C

0 cos 2 d sin 2 sin 2

2

k

Câu 6 Cho 4 ( )

0

d 16

f x x=

∫

Tính 2 ( )

0

2 d

I =∫ f x x

Lời giải Chọn B

Đặt t=2x⇒ =dt 2dx Đổi cận: x= ⇒ =0 t 0;x= ⇒ =2 t 4

I = ∫ f t t = ∫ f x x=

0

d 1

I =∫ f x x=

Tính tích phân 1 ( )2

0

d

K =∫xf x x

1

1 2

−

Lời giải Chọn C

Đặt t=x2 ⇒2 dx x=d t Khi đó 1 ( ) 1 ( )

K = ∫ f t t= ∫ f x x=

1

ln

d

x e

∫

Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

A. 1 ( )

0

d 1

f x x=

∫

B. 1 ( )

0

d

f x x e=

∫

C. ( )

0

d 1

e

f x x=

∫

D. ( )

0

d

e

f x x e=

∫

Lời giải Chọn B

Đặt t=lnx ta được

1

dt dx x

= Suy ra 1 ( ) 1 ( )

e=∫ f t t=∫ f x x

2

1

ln d

I =∫ x x

A. I =ln 4e. B. I =ln 4( −e) . C. I =2 ln 2 1+ . D. I =ln 4 log10− .

Lời giải Chọn D

Đặt

d

ln d

d d

x

x

v x C



Khi đó

2

ln d ln 2 ln 2 1 ln 4 log10

ln d

e

I =∫x x x

A.

1 2

I =

2

e

I = −

2 1 4

e

I = −

2 1 4

e

I = +

Lời giải Chọn D

Đặt

2

d d ln

2

x u

 =



=

chọn C=0

Khi đó

e

∫

1

0

.2 d x

I =∫x x

A.

2 ln 2 1

ln 2

2 ln 2 1

ln 2

2 ln 2 1

ln 2

2 ln 2 1

ln 2

Lời giải Chọn C

Đặt

d d

2

d 2 d

ln 2

x x

u x

=



=

⇒

Khi đó

1

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x

∫

 Mức độ 3

1

3f x +2g x dx=1

∫

và 2 ( ) ( )

1

2f x −g x dx= −3

∫

Tính

tích phân 2 ( )

1

d

I =∫ f x x

A.

5 7

I = −

1 2

I = C. I =1. D. I =2.

Lời giải Chọn A

Ta có 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )

3f x +2g x dx= ⇔1 3 f x xd +2 g x xd =1

2f x −g x dx= − ⇔3 2 f x xd − g x xd = −3

Đặt 2 ( )

1

d

f x x u=

∫

và 2 ( )

1

d ,

g x x v=

∫

ta có hệ phương trình

5

7

u

u v

u v

v

 = −





Vậy 2 ( )

1

5

7

I =∫ f x x u= = −

( )

( )

2 0

d cos ,

f x

t t =x πx ∀ ∈x

Tính f ( )4

A. f ( )4 = −1. B. ( )4 1

2

C. f ( )4 =312. D. f ( )4 =2 3.

Lời giải Chọn C

Ta có

( ) ( )

3

3 2

1

t

t t= = f x  =x πx

∫

Cho x=4, ta được 1 ( ) 3 ( ) 3

4 4cos 4 4 12

3f  = π ⇒ f =

4 2 3

d

ln 2 ln 3 ln 5

x

x x

+

∫

với a, b, c là các số nguyên Tính

S a b c= + +

Lời giải Chọn C

Ta có 2 ( )

x x= x x = −x x

d ln ln 1 4ln 2 ln 3 ln 5

1

x

Suy ra a=4, b= −1, c= −1 nên S=2

1

2 0

d

ln 2 ln 3 2

x x

x

+

∫

với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị của 3a b c+ + bằng

Lời giải Chọn B

Ta có ( )2 ( ( ) )2 ( )2

2

x x

x

+ −

+

2

ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3

Suy ra

1 , 1, 1 3

a= − b= − c=

nên 3a b c+ + = −1.

1

\ , 2

 

 

 

¡

thỏa ( ) 2 ,

2 1

f x

x

− f ( )0 =1 và ( )1 2

f = Giá trị của biểu thức f ( )− +1 f ( )3 bằng

A. ln15 B. 2 ln15+ . C. 3 ln15+ . D. 4 ln15+ .

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết suy ra

1

2

1

ln 1 2 ;

d ln 2 1

1

2 1

ln 2 1 ;

2

x











∫

• f ( )0 = ⇒1 ln 1 2.0( − )+C1= ⇒1 C1=1

• f ( )1 = ⇒2 ln 2.1 1( − +) C2 = ⇒2 C2 =2

Do đó

( ) ( )

1

ln 1 2 1 khi 1 ln 3 1

1 3 ln 5 2

ln 2 1 2 khi

2

f x

f





ln 1

f x

x x

− 2

1

ln 6

f

e

  =

 ÷

  và f e( )2 =3. Giá trị biểu thức 1 ( )3

e

  +

 ÷

  bằng

A. 2ln 2 B. ln 2 3+ . C. 3ln 2 1+ . D. 3 ln 2 1( + ).

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết suy ra

2

ln 1 ln khi 0;

d ln 1 1

x





ln 6 ln 1 ln ln 6 ln 2

• ( )2 ( 2 )

Do đó

( )3

1

ln 2 ln 2

ln 1 ln ln 2 khi 0;

ln ln 1 3 khi ;

ln 2 3

f

e

f x

f e

   = +



0

d

I =∫ f x x

bằng

A.

16

π +

2 14

16

16

D.

16

Lời giải Chọn C

d 2 cos 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2

2

Theo giả thiết f ( )0 = 4 → =C 4. Suy ra ( ) 2 1sin 2 4

2

x

Khi đó

2 4

0 0

x

π

π π + π +

∫

2019 0

1 cos 2 d

π

A. I =0. B. I =2 2 . C. I =2019 2. D. I =4038 2.

Lời giải Chọn D

Vì hàm số y= −1 cos 2x tuần hoàn với chu kì π nên

2019 1 cos 2 d 2019 2 sin d 2019 2 sin d 4038 2

Câu 9 Biết rằng tích phân

2 0

1

2

x

∫

với x là tham số Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A. x k= 2 π (k∈¢). B. x k= π (k∈¢).

2

x k= π k∈¢

D. x=(2k+1 ) (π k∈¢) .

Lời giải Chọn C

Ta có

2

0

x

t

0

1

x

0

min 1, d

I =∫ x x

A.

3 4

I =

4 3

I =

3 4

I = −

Lời giải Chọn C

Ta có

2

0;1 min 1,

1; 2 min 1, 1







4

x

0

max x, x d

I =∫ e e− x

A. I e= −1. B. 3( 3 )

2

I = e− e

C. I = −e 3 e . D.

2

e

Lời giải Chọn B

Ta có

1

1 2

3

x≥ − x⇔ ≥x

Do đó

1 3 1

3

3

x

I =∫e− x+∫e x= − − +e = e− e

1

ln 9−x dx a= ln 5+bln 2+c

∫

với a b c, , ∈¢. Tính P= + +a b c.

Lời giải Chọn A

( 2)

2

2

9

d d

x

x

−



=

Khi đó ( ) ( ) 2 2 ( ) 2

2

2

3 ln 9 2 d 5ln 5 4 ln 8 2 1 d

x x

1

5 5ln 5 12ln 2 2 3ln 3 5ln 5 6ln 2 2 6 13

2

a

c

=





 = −



0

ln 2 d ln 3 ln 2

I =∫x +x x a= +b +c

với a b c, , ∈¤. Tổng a b c+ + bằng

3

Lời giải Chọn A

Đặt

2

2

2

x

x

 =



=

 chọn C=1

2

ln 2 d ln 3 ln 2 ln 3 ln 2

∫

Suy ra

a= b= − c= − ⇒ + + =a b c

Biết f ( ) ( )1 1g =1, f ( ) ( )2 2g =2 và 2 ( ) ( )

1

d 3

g x f x x′ =

∫

Tính 2 ( ) ( )

1

d

I =∫ f x g x x′

Lời giải Chọn B

1

d

I =∫ f x g x x′

Đặt

( )

v g x x v g x C

′

Khi đó ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

I = f x g x −∫g x f x x′ = f g − f g −∫g x f x x′

2 1 3 2

= − − = −

thỏa 2f ( )1 − f ( )0 =2 và 1( ) ( )

0

1 d 10

x+ f x x′ =

∫

Tính

( )

1 0

d

I =∫ f x x

A. I = −12. B. I = −8. C. I =1. D. I =8.

Lời giải Chọn B

Xét

1 0

1 d 10

x+ f x x′ =

∫

Khi đó ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )

10= +x 1 f x −∫ f x xd =2f 1 − f 0 −∫ f x xd

( )

1

0

d 10 2 8

f x x

 Mức độ 4

1

1 d

x

F x =∫ +t t

bằng

1

1 x+ . C. 1 2

x x

+ . D. (x2+1 1) +x2 .

Lời giải Chọn A

Gọi H t( ) là một nguyên hàm của 1+t2, suy ra H t′( ) = 1+t2

Khi đó ( ) 2 ( ) ( ) ( )

1 1

F x =∫ +t t H t= =H x −H

⇒F x′( ) =H x( ) −H( )1 ′ =H x′( ) = 1+x2

1

sin d

x

F x = ∫ t t (x>0)

bằng

A. sin x B. sin x C.

2sin x

sin 2

x

x

Lời giải Chọn D

Gọi H t( ) là một nguyên hàm của sin ,t suy ra 2 H t′( ) =sin t2

Khi đó

1 1

′

′

1

2 0

d 4

x I

x

=

−

∫

và x 2sin ,t t ( 2 2; )

π π

−

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

3

0

d

π

=∫

6

0

d

π

=∫

6

0

d

I t t

π

=∫

6

0

dt

I t

π

=∫

Lời giải Chọn B

d 2cos d

4 4 4sin 2 cos 2 cos

=





Đổi cận:

1

6

= → =





 = → =

2cos 2cos

2 cos 2 cos

3 2 3

1 d 3

x

=

+

∫

và x 3 tan ,t t ( 2 2; )

π π

−

Mệnh đề nào sau đây đúng?

3

4

3 d

π

π

3

4

3 d 3

π

π

3

4

3 d 3

π

π

3

4

3 d 3

t I

t

π

π

Lời giải Chọn B

Với x= 3 tant⇒dx= 3 1 tan( + 2t t)d

Đổi cận:

3

4 3

3

π π

 = → =





 = → =

2

3 1 tan d 3

d 3tan 3 3

t t

t

+

+

2 2020

2

d 1

x

x

e

−

= +

∫

2021

2 2020

I =

2021

2 2021

I =

2022

2 2022

I =

Lời giải Chọn C

Ta có

Tính

0 2020

2

d 1

x

x

e

−

= +

∫

Đặt x= − ⇒t dx= −d t Đổi cận:

= − → =



 = → =



Khi đó

( )2020

−

Vậy

2020

x

2 2

3

d ln 5 ln 2

x

∫

với a, b là các số hữu tỷ Tổng

a b+ bằng

A.

2 3

−

1 3

−

1

2 3

Lời giải Chọn B

Đặt

2 d 2 d d d

t t x x t t x x

Đổi cận:





2

2 2

2

d ln 1 2ln 2 ln 5 ln 2 3

a

 =



∫

Câu 7 Biết rằng 2 ( )

3 1

d

ln 2 ln 2 1 1

x

+

∫

với a, b, c thuộc ¤. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

1 3

a= −

2 3

b=

2 3

c= −

D. a b c+ + =0.

Lời giải Chọn A

Viết lại

I

Đặt

3

2 2

1 1

2 d 3 d

3

 = −

 = +

=

=

 = ⇒ =





Suy ra ( )

3

2

2

t t

1 1 ( ) 1 1 ( )2 1 2 ( )

ln 2 ln 3 2 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 ln 2 1

Suy ra

a= − b= − c=

2

1

d

x

x x x x

∫

với a, b, c thuộc ¢+. Tính P a b c= + + .

Lời giải Chọn D

2

d

+ +

Đổi cận:

 = → = +





2

1 2

1 2

d

+ +

∫

2 3 4 2 2 32 12 2 P a b c 32 12 2 46

liên tục trên ¡ và 1 ( )

0

d 1,

f x x=

1

d 2

f x x=

∫

Tính giá trị của

biểu thức 3 ( )

0

3 d 3

x

I = f  + f x  x

 ÷

∫

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết ta có 1 ( ) 9 ( ) 9 ( )

f x x+ f x x= f x x= + =

Ta có 3 ( ) 3 3 ( )

I = f  + f x  x= f   x+ f x x

• Xét 3 3 1 ( ) 1 ( )

3

x t

x

 

• Xét 3 ( ) 3 9 ( ) 9 ( )

u x

f x x= → f u u= f x x= =

Vậy I = + =3 1 4.

2

d 2

f x x

−

∫

và 2 ( )

1

2 d 4

f − x x=

∫

Tính tích phân 4 ( )

0

d

I =∫ f x x

A. I = −10. B. I = −6. C. I =6. D. I =10.

Lời giải Chọn B

Do f x( ) là hàm lẻ nên f ( )− = −x f x( )

−

1

2

u x

Vậy 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )

I =∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x= + − = −

1

d 8

f x x

−

=

∫

và 3 ( )

1

2 d 3

f − x x=

∫

Tính tích phân 6 ( )

1

d

−

=∫

Lời giải Chọn D

Vì f x( ) là hàm số chẵn nên 3 ( ) 3 ( )

f − x x= f x x=

Xét 3 ( )

1

2 d 3

K =∫ f x x=

Đặt t =2x→ =dt 2d x Đổi cận:

= → =



 = → =



Khi đó 6 ( ) 6 ( ) 6 ( )

K = ∫ f t t= ∫ f x x→∫ f x x= K =

Vậy 6 ( ) 2 ( ) 6 ( )

1

d 5,

f x x=

4

d 20

f x x=

∫

Tính 2 ( ) ln 2 ( )2 2

4 3 d x xd

I =∫ f x− x− ∫ f e e x

5 2

I =

15 4

I =

Lời giải Chọn D

• Xét ln 2 ( ) 2 4 ( )

x

u e

f e e x→= f u u=

• Xét

4 3

t x

Vậy

25 5 15

4 2 4

0

tan d 4,

π

=

0

d 2 1

x f x

x

+

∫

Tính

tích phân 1 ( )

0

d

I =∫ f x x

Lời giải Chọn D

Xét 4 ( ) tan 1 ( )

2

1

t

π

=

+

Từ đó suy ra 1 ( ) 1 2( ) 1 22 ( )

f x x f x

[ ]3;7

x∈ và 7 ( )

3

d 4

f x x=

∫

Tính tích phân 7 ( )

3

d

I =∫x f x x

Lời giải Chọn A

Đặt x= − ⇒10 t dx= −d t Đổi cận:

= → =



 = → =



Khi đó 3( ) ( ) 7( ) ( ) 7( ) ( )

I = −∫ −t f −t t=∫ −t f −t t=∫ −x f −x x

( ) ( )

10

f x f x

x f x x f x x x f x x f x x I

= −

Suy ra 7 ( )

3

2I =10∫ f x xd =10.4 40= → =I 20

Câu 15 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) ¡ và thỏa mãn f x( )+ f ( )− =x 2 2 cos 2+ x

với mọi x∈¡ Tính .

( )

3 2

3 2

d

I f x x

π

π

−

Lời giải Chọn D

Xét

−

=−

Suy ra

3

2

3

2

2 cos dt t 12 I 6

π

π

−

xác định và liên tục trên đoạn

1

; 2 , 2

  thỏa mãn

2

2

 

  Tính tích phân

( )

2

2 1 2

d 1

f x

x

= +

∫

A.

3 2

I =

5 2

I = D. I =3.

Lời giải Chọn A

Xét

( )

1

x t

f

=

 

 ÷

 

Suy ra

2

1

2

x

( ) 0,

f x > x∀ ∈¡ và f x′( )+2f x( ) =0. Biết rằng f( )1 =1, tính f ( )−1

A. f ( )− =1 e−2. B. f ( )− =1 e3. C. f ( )− =1 e4. D. f ( )− =1 3.

Lời giải Chọn C

Vì f x( ) >0, x∀ ∈¡ nên ta có f x( ) 2f x( ) 0 f x( ) ( ) 2

f x

′

Lấy tích phân cận từ −1 đến 1 hai vế, ta được

( )

f x

f x

′

ln f x 2x ln f x 2x

(do f x( ) > ∀ ∈0, x ¡ )

ln f 1 ln f 1 4 ln1 ln f 1 4

⇔  −  − = − ⇔ −  − = −

ln f 1 4 f 1 e

⇔  − = → − =

với mọi x thuộc [ ]1;2 Biết rằng 2 ( )

1

d 10

f x x′ =

∫

và

( ) ( )

2

1

d ln 2

f x

x

f x

′

=

∫

Tính f ( )2

A. f ( )2 = −20. B. f ( )2 = −10. C. f ( )2 =10. D. f ( )2 =20.

Lời giải Chọn D

Ta có 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 1

Lại có

( )

1

f x

f x

′

∫

(do f x( ) > ∀ ∈0, x [ ]1;2 )

ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra f ( )2 =20

f x′ = x f x  ∀ ∈x ¡

Biết ( )2 1 ,

25

tính giá trị của f ( )1

A. ( )1 1

10

B. ( )1 1

40

C. ( )1 41

400

D. ( )1 391

400

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết suy ra

( )

2

1

f x

f x

f x

′

′

Lấy tích phân hai vế của ( )*

với cận từ 1 đến 2, ta được

( )

3

1

dx 4 dx x

f x

′

= −

mọi x thuộc [ ]0;1 Tính tích phân 1 ( )

0

d

I =∫ f x x

A.

1 2

I =

2 3

I =

4 3

I =

3 5

I =

Lời giải Chọn B

( ) (2 ) ( ) ( ) ( )4

1−x f 1− +x f x =2 1− − −x 1 x

Giải hệ

x f x f x x x





 ta được f x( ) = −1 x2

2

0

2

x

I f x x x x x 