DẠNG 33 TÍCH PHÂN(TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍNH CHẤT)

Tính chất tích phân.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về tích phân.. Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học của tích phân.. Các bài toán liên quan tổng, hiệu, tích với các số thực,

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa tích phân:

Định nghĩa:

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn    a; b Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm 

số f x 

trên đoạn  a; b

, hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ ađến b ( hay

còn gọi là tích phân xác định trên đoạn  a b; của hàm số f x )

Kí hiệu: �a b f x x F x d   b a F b F a .

Nhận xét: tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f , vào cận , a b mà không phụ thuộc vào

biến số

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn    a b thì; tích phân�a b f x x d là diện tích Scủa hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x , trục Oxvà hai đường thẳng x a x b , 

 d

b a

S�f x x

2 Tính chất tích phân.

 d 0

a

a f x x

� .

 d  d

b a

a f x x  b f x x

� � .

 d   d 

b b

a kf x x k a f x x k�

b c b

a f x x a f x x c f x x a c b 

    d  d  d

a ��f x �g x ��x a f x x�a g x x

Nếu y f x  là hàm lẻ, liên tục trên đoạn a a;  thì: a  d 0

a f x x

� .

Nếu y f x  là hàm chẵn, liên tục trên đoạn a a;  thì: a  d 2 0a  d

a f x x f x x

� � .

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về tích phân

Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học của tích phân

Các bài toán liên quan tổng, hiệu, tích với các số thực, các hàm đơn giản

Các bài toán liên quan nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm mở rộng

Các bài toán liên quan nguyên hàm chứa nhánh

Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ

Tích phân lượng giác đặc biệt

 …

BÀI TẬP MẪU

DẠNG TOÁN 33: TÍCH PHÂN ( TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT TÍNH PHÂN)

Trang 2

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Nếu 3  

1

2f x 1 dx5

�

thì 3   1

f x dx

�

3

2

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tích phân dựa vào tính chất của tích phân

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Tính chất tích phân:

b b

a a

k f x x k f x x k  k

.

ii) b     d b  d b  d

a��f x �g x ��x a f x x�a g x x

3 HƯỚNG GIẢI:

Dựa vào 2 tính chất trên ta được kết quả

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Ta có

3

2

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho 1    

0

f x  g x x

�

và 1   0

g x x

�

, khi đó 1  

0

d

f x x

�

bằng

A  2 B 12 C 22 D 2

Lờigiải Chọn C

Ta có:

f x  g x x f x x g x x

f x x f x  g x x g x x  

Câu 2. Nếu 2   2  

0 f x xd 2; 0 g x xd 1

� � thì �02��3f x g x ��dx bằng

Lờigiải Chọn A

0 ��3f x g x ��dx3 0 f x xd  0 g x xd 5

Câu 3. Nếu 1  

2 f x xd 5

� thì 12 f x  3 dx

 ��  ��

Lờigiải Chọn B

2

2 f x 3 dx 2 f x xd 3 2dx 5 3x 14

 ��  ��       

Câu 4. Nếu 2   2  

1 f x xd 2, 3 f x xd 1



Trang 3

A.8 B.14 C.1 D.11.

Lờigiải ChọnC

3f x xd 3 f x xd 2 f x xd 3 f x xd 1 f x xd 1

Câu 5. Nếu 2  

0 f x xd 4

� thì �02��2f x 8 d��x bằng

0

0 ��2f x 8 d��x2 0 f x xd 8 d0 x2.4 8 x  8

Câu 6. Cho tích phân 2  

0

f x x

�

Tính tích phân 2  

0

J ��f x  ��x

A. J  6 B. J  2 C J  8 D J  4

0

J ��f x  ��x �f x x �x  x   

Câu 7. Biết rằng 1     1  

0��f x g x ��dx3, 0 f x xd 5

Lờigiải Chọn D

0��f x g x ��dx 0 f x xd  0g x xd

0g x xd  0 f x g x dx 0 f x xd    3 5 2

Câu 8. Nếu 2  

1 f x xd 3

3

f x x

Ta có :

1

f x

x f x x

Câu 9. Nếu 2  

0 ��2f x 1 d��x3

� thì �02 f x x d bằng

5

1

3

2

0 ��2f x 1 d��x2 0 f x xd  0dx2 0 f x xd 2

2 2

0 0

d

f x x

f x x ��  �� 

Câu 10. Nếu 2  

0 ��3f x x��dx5

� thì �12 f x x d bằng

A.

7

5

3

Trang 4

Lờigiải ChọnA

0

2

x

f x x x f x x x x f x x  f x x

2

0

d

f x x x

f x x ��  �� 

 Mức độ 2

Câu 1. Cho 2  

1

4f x 2x dx1

�

Khi đó 2  

1

f x dx

�

bằng :

2

x

f x x dx f x dx xdx f x dx

f x dx f x dx

Câu 2. Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn 0;10 và 10  

0

f x x

�

và 6   2

�

P�f x x�f x x

Ta có 10  

0

f x x

�      

f x x f x x f x x

f x x f x x  

Vậy P4.

Câu 3. Nếu 1  

1 f x xd 2

� thì 01 f2x 1 d x

Đặt t2x1�dt2dx.

Đổi cận :

  �  

�

1

2

Câu 4. Biếty f x  là hàm số chẵn, xác định, liên tục trên 1;1và 1  

0 f x xd 2

 

1

1f x xd



�

Trang 5

A.0 B.4 C.1 D.2.

Vìy f x  là hàm số chẵn,xác định,liên tục trên 1;1 nên

1 f x xd 2 0 f x xd 4

Câu 5. Biếty f x  là hàm số lẻ, xác định, liên tục trên 2; 2 và 0  

2 f x xd 4

 

2

0 f x xd

�

Vìy f x  là hàm số lẻ,xác định,liên tục trên 2; 2 nên

2 f x xd 0 2 f x xd 0 f x xd 0 0 f x xd 2 f x xd 4

1 ��3f x 2g x ��dx8, 1 ��4f x g x ��dx7

a�f x x b�g x x Theo đề bài ta có: 34 2 78 12

�

Vậy 2  

1 f x xd 2

� .

Câu 7. Cho 2    

1

3f x 2g x dx1

�

, 2     1

2f x g x dx 3

�

Khi đó, 2  

1

d

f x x

�

bằng

A

11

5 7



6

16

7 .

Lời giải

Chọn B.

Đặt 2  

1

d

, 2   1

d

, ta có hệ phương trình

a b

�

�   

�

5 7 11 7

a b

�  

�

� �

� 

�

Vậy 2  

1

5 d 7

�

Câu 8. Cho 2  

1

�

0

f x x

�

Khi đó 12  

1

d

f x x

�

bằng

Lời giải Chọn A

Đặt t5x �2 dt5dx, với x0�t2; x2�t12.

1

5

f x x f t t

Trang 6

Vậy ta có 12   2   12  

Câu 9. Cho 2  

1

f x x





�

, 1   2

g x x





�

Khi đó 2    

1

d



�

bằng



Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 , f   1 3 và

  3

1

f x x



�

Tính f  3

A 13. B.13 C 7. D 7

Lời giải Chọn B

1 1



�

 Mức độ 3

Câu 1. Cho

  2

2

f x x





�

Tính

 

2

2021

2



�

Lời giải Chọn C

Vì ysin2021x là hàm số lẻ, xác định và liên tục trên 2 2;

 

2

2021

2

sin x xd 0





�

Câu 2. Cho f x 

, g x 

là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;1 và f x 

là hàm số chẵn, g x  là hàm số lẻ Biết 1  

0

f x x

�

;1   0

g x x

�

Mệnh đề nào sau đây

là sai?

A. 1  

1

f x x





�

1



�

Trang 7

C. 1    

1



�

1

g x x





�

Vì f x 

là hàm số chẵn nên 1   1  

f x x f x x





� � 2.5 10



Vì g x  là hàm số lẻ nên 1  

1

g x x





�

1



�

và 1     1



�

Vậy đáp án D sai

Câu 3. Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn 1  

0

f x x 

�

và

  3

1

�

Tính 3  

1

d

�

Vì f x 

f x x f x x f x x



2 f x xd f x xd 4 4 8

Câu 4. Cho hàm số f x  là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 Biết rằng 0  

2 f x xd 2

�

1 f 2 dx x4

� Tính tích phân I �04 f x x d .

A.10. B 10. C.6 D 6.

Vì f x là hàm số lẻ nên : 0   0   2  

2 f x xd f x xd f x xd

Đặt t2x�dt 2dx

Đổi cận: x1�t 2, x2�t4.

1

2

  4

2 f x xd  8

I �f x x�f x x�f x x    .

Câu 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa 2f x 3 1f   x 1x2 .

Giá trị tích phân 1  

0 f x x� d

1

3

2

Trang 8

Ta có:

  2

2 0

3

5

f

�

0

0 f x x� d  f x  f 1  f 0 1

Câu 6. Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (0) 3 

và

2

f x  f  x x  x  �R Tích phân x

2

0

( )d

xf x x�

�

bằng

A

4 3



2

5

10 3



Thay x0

ta được f (0)  f (2) 2  � f (2) 2   f (0) 2 3     1

Ta có:

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:

2 0

Câu 7. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0

và 1 2018  

0

�

Giá trị của 1 2019  

0

d

�

bằng

A

2 2019



B.4038. C

2

Ta có: 1 2019   1 2019     2019  1 1 2018  

0

  1 2018  

0

Câu 8. Choy f x , y g x   là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2 và

    2

0

�

, 2     0

�

Tính tích phân 2    

0

I  ��f x g x ��x

A.I  1. B.I 6. C.I 5. D I 1.

Lời giải

Chọn C

Trang 9

Xét tích phân 2     2        

I ��f x g x ��x��f x g x�  f x g x� ��x

       

Câu 9. Cho hàm số f x  xác định trên

1

\ 2

� �

�

thỏa mãn f x  2 2 1

x

 và

 0 1,  1 2

f  f  Giá trị của biểu thức f   1 f  3 bằng

A 4 ln15 . B.2 ln15 . C 3 ln15 . D ln15

Lời giải

Chọn C

1

2 d 2 1

x



�

+) Với

1 2

x

từ giả thiết f  0 1 �C11� f x  ln 2x 1 1. +) Với

1 2

x

từ giả thiết f  1 2 �C22� f x  ln 2x 1 2.

 

) f 0 1

  �c1� f x  ln 2x 1 1.

 

1 ln 3 1

3 ln 5 2

f

�

� � f   1 f  3  3 ln15.

Câu 10. Cho 1   

0

1 3 x f x x� d 2019

�

; 4f  1  f  0 2020Tính  

1 3

0

3 d

�

A

1

v f x x v f x

   

     

 

1

0

1 1 0 0 1

0 1

0

1 d 3

x f x x

f x x

�



�

1

1 3

Trang 10

Câu 11. Cho hàm số f x( ) , biết

 

 3

ln khi 0 '

4 2 khi 0

x

x x

f x

�

 �

( 1) 1

f   Tính f e( ) f(0)

A 33 B.

33

31

1

2 d

x

Do f(1) 0 nên C1 Suy ra 0 f x( )12ln2x

Với x� ta có 0 f x( )�f x x'( d) �4(x2 d)3 x 3 4

2

4(x 2) (d x 2) (x 2) C

Do f( 1) 1  nên C2  Suy ra 0 f x( ) ( x 2)4.

Vậy

 

2

4

1

ln khi 0 2

2 khi 0

f x

�

 �

Khi đó

( ) ; (0) 16 ( ) (0)

f e  f  � f e  f 

Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x� 

liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị

hàm số y f x�  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên Tìm mệnh đề đúng

A. f  0  f 5  f  3 . B.f  3  f  0  f  5 .

C. f  3  f 0  f 5 . D. f 3  f  5  f  0 .

3 f x x� d  f 5  f 3 0� f 5  f 3

3

0 f x x� d  f 3  f 0 0� f 3  f 0

5

0 f x x� d  f 5  f 0 0� f 5  f 0

Vậy f  3  f  5  f  0 .

Câu 13. Cho hàm số f x  liên tục trên  3;7 và thỏa mãn f x   f10 xvới

 3;7

x

 � và 7  

3

f x x

�

Tính 7  

3 d

I �xf x x

?

Trang 11

A.20 B -20 C 40 D -40.

Lời giải

Chọn A

Đặt t10x�dt dx Đổi cận x3�t7, x7�t 3

I  � t f t t� t f t t� x f x x

3

f x  f x �I � x f x x �f x x�xf x x

I  I I 

Câu 14. Cho hàm số f x  liên tục trên � thỏa 1  

0

f x x

�

và 2   0

f x x

�

Tính 7  

0

d

I �f x x

A. I  16 B I  18 C I  8 D I 20.

Lời giải

Chọn D

  1

0

A�f x x

0

B�f x x

đặt t3x1�dt3dx. Đổi cận :

1

3

2

0

x

Tính f  4

1 4



1

4

Lời giải

Chọn D

Đặt F x  �f x x d �F x�   f x  Ta có:

2

2 0

0

x

�

Đạo hàm hai vế ta có:

 2    

2xf x cos x xsin x

Chọn x � 2 4  4 cos 2  2 sin 2   4 1

4

 Mức độ 4

Câu 1. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0,

 

1

2

0

f x� x

�

và 1 2   0

1 d 3

x f x x

�

Tích phân 1  

0

d

f x x

�

bằng

Trang 12

A

7

Từ giả thiết: 1 2  

0

1 d 3



�x f x x 1 2  

0

��x f x x

Tính: 1 2  

0

I x f x x

Đặt:

�

u f x u f x x

Ta có:

1

0

 f  f �x f x x 1 3  

0

� d

 �x f x x

Mà: 1 2  

0

�x f x x 1 3  

0

1  � d

� �x f x x

 

1 3

0

� d  1

� �x f x x 1 3  

0

7 � d  7

� �x f x x 1 3   1   2

��x f x x ��f x �� x

, (theo giả

thiết: 1   2

0

f x� x

�

)

   

1

2 3

0

��x f x ��f x �� x 1   3  

0

� �f x �x f x �x

  3

7 + � 0

� x f x � f x�   7x3   7 4

4

Với f  1 0 4

7

4



� C

Khi đó:   7 4 7

�f x x � x x

1 5

0

7

4 5

x

5



Câu 2. Cho hàm số f x( ) liên tục trên � và có

3

0

( )d 8

�

và

5

0

( )d 4

�

Tính

1

( 4 1)d



�

A

9

11

Ta có:

1

4

Trang 13

Tính:

1 4

1

( 4 1)d



Đặt

1

4

t  x � t x

Tính:

1

1 4

(4 1)d

Đặt

1

4

3

0

1 ( )d 2 4

Vậy

1



�

Câu 3. Cho hàm số f x  liên tục trên tập hợp � và thỏa mãn ln 3  

0

3 d 1

x

f e  x

�

,

   

6

4

3

x x



�

Giá trị của 6  

4

d

f x x

�

bằng

A 10 B  5 C 4. D 12

Đặt 1 ln3  

0

3 d 1

x

I  �f e  x

x x x dt

t

 Đổi cận: x0�t 4, xln 3�t6.

Khi đó:

1

I

Ta có

Câu 4. Cho hàm số f x  xác định trên 0;2



� �

thỏa mãn

2

0

2



�

Tích phân 2  

0

d



�

bằng

A 4



Ta có:

2 2

0

4



0

2



0

1 sin 2 dx x



�

Trang 14

0

1 cos 2 2



2 2

 



Do đó: 2 2   

0

4



0

4



 

2

0



�

2

0

4



�

4

f x  ��x ��

4

f x  ��x ��

Bởi vậy: 2   2

4



0

4

x



Câu 5. Cho hàm số y f x  liên tục trên � Biết 4  

0





�

và

  2 1

2 0

1

x f x

x



�

Tính 1  

0

d

I �f x x

A I 4. B I  3 C.I  6 D.I 2.

2

d tan ;d tan 1 d ;d

1

t

 và đổi cận

0 4

0 1

x t



Ta được 4   1 2  1 2 



1



Câu 6. Cho hàm số f x  liên tục trên � và thỏa 2  

2 2

f x x x



1

f x x

�

Tính

 

5

1

d

f x x

�

Lời giải

Chọn C

Đặt:

2 2

2

t

Trang 15

Ta có: 5   2 5   5  2

f t

2

f t

t

  5

1

Câu 7. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 1,

 

1

2

0

9 d 5

f x� x

�

và 1  

0

2 d 5

f x x

�

Tính tích phân 1  

0

d

I �f x x

A

3 5

I 

1 4

I 

3 4

I 

1 5

I 

Đặt t x�t2 x�dx2 dt t Đổi cận x0�t0; x1�t1

f x x t f t t

� � 1  

0

1

5

t f t t

Do đó 1  

0

1

5

x f x x

x f x x f x  f x x�

� � 1 2  

0

1

d

x

f x x�

Suy ra 1 2  

0

d

x

f x x�   

� 1 2  

0

3 d 5

x f x x� 

Ta tính được 1 2 2

0

9

5

x x

�

Do đó 1   2 1 2   1 2 2

f x� x x f x x�  x x

� � � 1   22

0

f x�  x x

  3 2 0

f x�  x 

� � f x�  3x2 � f x  x3C

Vì f  1 1 nên f x  x3

1

4

I �f x x�x x

Câu 8. Cho hàm số y f x  là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn  ; , thỏa mãn

 

0 f x xd 2

2020x 1

f x









A

1

Đặt t x�dt dx Đổi cận x  �t, x �t 

2020 t 1 2020 t 1



�

   

f t  f t ).

Trang 16

  2020 1 1      

2020

t t

f t

 

  0  

2I  f t td 2  f t td





�  � ( vì y f t  là hàm số chẵn )

Vậy I �0 f t t d 2

Câu 9. Cho hàm số f x  xác định trên �\2;1 thỏa mãn   2

1 2

f x

  ;  0 1

3

và f   3 f  3 0 Tính giá trị biểu thức T  f   4 f   1 f  4 .

A

ln 2

ln ln 2 1

3 � �� �5 

3 � �� �5

� � .

Ta có: f x    x 11x 2 13 x11 x12

    3  

4



�

3

4

x x



    0  

1



�

0 1

x

x 





    4  

3

K  f  f �f x x�

4

3

x x





 4  3  1  0  3  4

 4  1  4  0  3  3

��     �� ��   ��

 4  1  4  0  3  3

f   f   f     I J K f ��f   f ��

 4  1  4 1ln8 2ln 2 1ln5 1 1ln 2 1

T  f   f   f       

2020 2020 0

sin

a



Tính P a b c .

A 4 B.0 C 22020 D 42020

Đặt t  x�dt dx Đổi cận x0�t, x �t0.

0

2020 2020 0 2020 2020 0 2020 2020



Đặt u 2 t du dt



2

2020 2020 2020 2020 0

2





Vì   2020 2020 2020

cos

u

f u



 là hàm số chẵn, liên tục trên 2 2;

 

� �

Trang 17

2020 2020 0 2020 2020 2





Xét

2020 2

2020 2020 0

sin

d

t







�

Ta có:

2 2

0 d

2



Mặt khác:

2020 2020 2020 2020

được thông qua phép đổi biến t 2 u



 

)

2

4

I  J 

�

Vậy abc0

Câu 11. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị như hình

vẽ

I �f x x�f x x

bằng

Cách1:

0

I �f x x

0

I �f x x

Tính I : Đặt 1 u x 2�dudx.

Đổi cận:

f x  f f

Tính I : Đặt 2 v x 2�dvdx.

Đổi cận:

Ta có: 2 4   4  

Trang 18

Vậy: I      I1 I2 4 2 6

Cách2:

I �f x x�f x x�f x x �f x x

  4   2            

           2  2   4 2 6.

Câu 12. Cho hàm số f x  liên tục trên  0;1 và   1  2 2 3

1

x x

f x f x

x

 ,  �x  0;1 .

Tính 1  

0

d

f x x

�

A

3

ln 2

4

3

2 ln 2

2

3

2 ln 2

4

D 3 ln 2 .

Theo giả thiết, ta có:   1  2 2 3

1

x x

f x f x

x

 ,  �x  0;1 và f x  liên tục trên

 0;1 nên 1     1 2

1

x x

x

1

x

�



(1)

Đặt 1 x t  thì dx  , với dt x0�t1, với x1�t0

f x x  f t t f t t f x x

f x x f x x f x x

(2)

Lại có

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 1   1  

f x x  � f x x 

Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x� 

liên tục trên �và thỏa mãn

   1;1

f x� � với mọi

x� 0;2 Biết rằng f  0  f 2 1 Đặt 2  

0

d

I �f x x

, phát biểu nào dưới đây đúng?

A I� � ;0. B I�1;� . C I�1;�. D I� � ;0 .

I �f x x�f x x�f x x

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,32 MB