Dạng 41 tính tích phân hàm ẩn thỏa đk cho trước

Khi đó hàm số đã cho liên tục trên .

Câu 1: Cho hàm số

f x





3 0

3 4cos sin d







bằng

A

37

37

Lời giải

Chọn A

Ta có:

3

Nên hàm số đã cho liên tục tại x 0

Xét

3 0

3 4cos sin d



 

1 sin d d

4

x x t

Với x 0  t 1

3

x



2

Câu 2: Cho hàm số

1

khi 4 4

f x









Tích phân 2  2 

0

2sin 3 sin 2 d





 bằng

A

28

341

341

96

Lời giải

Chọn D

Ta có

1

4

Nên hàm số đã cho liên tục tại x 4

Dạng:

41

TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN THỎA ĐK CHO TRƯỚC

Câu hỏi phát triển

Ⓐ

Xét 2  2 

0

2sin 3 sin 2 d



Đặt 2sin2x 3 t 

1 sin 2 d d

2

x x t

Với x  0 t 3

2

x

 t 5



I  f t t f t t  t  t t t t t

Câu 3: Cho hàm số

 

x x khi x

f x

x khi x



4 1

2 2

0

1

e x

x







A 2;3 B 3; 2  C 2; 1  D 1;2

Lời giải

Chọn A

 Với x 2, ta có f x  x22x là hàm đa thức nên liên tục trên1

 ;2

 Với x 2, ta có f x    là hàm đa thức nên liên tục trên x 5 2; 

; f  2  7

x f x x f x f

nên hàm số liên tục tại x 2 Khi đó hàm số đã cho liên tục trên 

Đặt  2 

x x x x t

Đổi cận:

Với x 0 ta có t 0

Với x e41 ta có t 4

Khi đó

2

I  f t t f x x  x  x dx x dx

            

Câu 4: Cho hàm số

f x





0

sin 2 cos d





bằng

A

9 2

I 

9 2

I 

7 6

I 

7 6

I 

Lời giải Chọn A

x f x x f x f

nên hàm số f x liên tục tại điểm 0  x 

Đặt tcosx dt sin dx x

Đổi cận: x 0 t ; 1 x  t 1

Ta có:

sin 2 x f cos dx x 2sin cos x x f cos dx x 2 t f t td 2 t f t td



2

2 x f x x d 2 x f x xd 2 x x 4x 2 dx 2 x 2x 2 dx

0

2

1

1

0

x



Câu 5: Cho hàm số

  e khi 2 0

2 3 khi 0

f x





 liên tục trên R Tích phân

 

1 1

d

I f x x





bằng

A I  e 2 3 22 B

22

e 2 3

3

C

22

2 3

3

D.

22

e 2 3

3

Lời giải Chọn D

Ta có lim0   lim e0  x  1

x  f x x  m m

và f  0  m 1

Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x  0

Suy ra      

x f x x f x f

hay m  1 0 m 1

Khi đó

d = 2 3 d ex 1 d = 3 d 3 ex 1 d

0

1

0 1

x



Câu 6: Cho hàm số

 

f x



ln 2 0

3 x 1 dx

f e  e x



bằng

A

77

77

68

77

6

Lời giải

Chọn B

Ta có      

x f x x f x f

nên hàm số liên tục tại x  5

Vậy hàm số f x  liên tục trên 

Đặt

1

3

Đổi cận : x 0  t 4 ; x ln 2  t 7

Khi đó

2

I  f t t  f x x  x x x  x x

Câu 7: Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn     2

, 0 , 0

x

x m x

f x







số) Biết  

2

2 1

f x x a

e



 



trong đó ,a b là các số hữu tỉ Tính a b

Lời giải

Chọn A

Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại

Khi đó ta có

2

f x x f x x f x x e x x x

2 0

2

4

x

x

e





        

Do đó

;

Vậy a b 4

Câu 8: Cho hàm số yf x   , 1 y g x   x Giá trị      

2 1





3

5

2

Lời giải Chọn C

Xét bất phương trình x 1

1 1

x x





   

khi 1 x hoặc x  1 min 1; x  x

khi 1  x 1

Xét      

2 1



2 1

min 1; x xd



1 1

min 1; x xd



2 1

min 1; x xd





 

x x x x x



   

2 1

x





=2

Câu 9: Cho hàm số

y f x



 liên tục trên  Giá trị

2 0

2 cos 1 sin d



A

2 3



1

1 3



Lời giải Chọn A

Hàm f x liên tục trên    suy ra

x f x x f x

1

m

Xét bất phương trình 2cosx   với 1 0 0 x 2



 

 2cosx1

1 cos

2

x

3

x 

  

Vậy 2cosx   khi 1 0 0 x 3



 

,

 

2 0

2 cos 1 sin d



0

3

2cos 1 sin d 2cos 1 sin d



0

3

2cos 1 sin d 1 2cos sin d



Xét

3 1 0

2cos 1 sin d



Xét t 2cosx1 dt2sin dx x

d sin d 2

t

x x



3



Suy ra

3 1 0

2cos 1 sin d



0 1

-d 2

t

f t

1 0

1

d

2 f t t

1 0

1

d

2 f x x

 

 

1

2 1

-1 d

x x

I  x x  

Xét

2 2 3

1 2cos sin d





 

Xét t  1 2cosx  dt2sin dx x

d sin d 2

t

x x

x

3



2



Suy ra

2 2 3

2cos 1 sin d





0

d 2

t

f t

1 0

1

d

2 f t t

1 0

1

d

2 f x x

 

1

2 2

-1 d

x x

I  x x  

Suy ra 1 2

2 3

I  I I 

Câu 10: Cho hàm số

 

2

khi 2

8 10khi 2

f x





điểm x 2. Tính

 

4 0

I f x dx

Lời giải

Chọn D

 Hàm số có đạo hàm tại

 Có

2

2

x



2





Hàm số có đạo hàm tại x 2 nên hàm số liên tục tại x 2

suy ra

Từ  1

và  2 ,

suy ra a 4 và b 2.

Khi đó

 

2

4 2 khi 2

8 10 khi 2

f x







I f x dxf x dxf x dx

Vậy I  4

x x

1 2

2 sin cos d 3 3 2 d



Ⓐ

71 6

I 

32 3

I 

Lời giải

Xét tích phân

2 1 0

sin co ds





.Đặt tsinx dt cosx xd

Đổi cận

2



Ta có

1

1

x

I  f t t  f x x  x x x  

Xét tích phân

1 2 0

3 2 d

I f  x x

d

2

t  x t x x

Bài tập rèn luyện

Ⓑ

Đổi cận

Ta có

3

2 2

x

I  f  x x f t t f x x x  x   x    

Vậy

1 2

2 sin cos d 3 3 2 d 9 22 31



5 1

d 15

f x x







Tính giá trị của

2 0

5 3 7 d

P f  x   x

Lời giải

Đặt t 5 3x  dt 3dx

1

3

Đổi cận: x 0thì t 5; x 2thì t 1

Ta có:

2 0

5 3 7 d

P f  x   x  

5 3 d + 7d

1

2 0 5

d 7 3

t







 

5 1

1

d 14

3 f t t

1

.15 14 19 3

Câu 3: Cho số thực a và hàm số

 

0

x khi x

f x

a x x khi x







 Tính tích phân

 

1

1f x dx



Ⓐ 6 1.

a



Ⓑ

2 1

3

a



Ⓒ 6 1.

a



Ⓓ

2 1

3

a



Lời giải

Chọn A

Ta thấy, 1   0   1   0 1  2

 

1

0 2 1

0

1



         

 

  e khi 2 0

2 3 khi 0

f x





 liên tục trên R và

 

1

1

d = e 3

f x x a b c





, a b c Q, ,   Tổng a b 3c bằng

Lời giải

Ta có lim0   lim e0  x  1

x  f x x  m m

x  f x x  x x

và f  0  m 1

Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x  0

Suy ra      

x f x x f x f

hay m  1 0 m 1

Khi đó

d = 2 3 d ex 1 d = 3 d 3 ex 1 d

0

1

0 1

x



Suy ra a  , 1 b  , 2

22 3

c 

Vậy tổng a b 3c19

 

4 0

20 8

f x x 



Tính tích phân

2 0

I  f x  f  x  x

Ⓐ I  0 Ⓑ I 2018 Ⓒ I 4036 Ⓓ I 1009

Lời giải

Ta có

I f x xf  x x H K 

Tính

 

2 0

2

K f x dx

Đặt t2x dt2dx; đổi cận: x 0 t2;x 2 t Nên4

 

4 0

1

100

2

K  f t t

Tính

2 0

d

4 2

H f  x x

, Đặt t 4 2x dt 2dx; đổi cận: x 0 t4;x 2 t Nên0

 

4 0

1

100

2

H  f t t

Suy ra I K H 2018

Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên  và    

2

0

f x x







, tính  2

0

d

I xf x x





Lời giải

Xét  2

0

d

I xf x x





Đặt

2

tx  t x x x x t

Đổi cận: x 0 t0;x   t 2.

2 1

d 2

f x x 



Khi đó

 

4 1

d

f x

x x



bằng

Lời giải

Đặt x t

1

d d

2 x x t

dx 2dt x

Khi x 1 thì t 1; x 4 thì t 2

Suy ra

 

f x

x f t t f t t

4



Vậy

 

4 1

d 4

f x

x



Câu 8: Cho f x  x xd 

2 2 1

Khi đó I f x x d

5

Lời giải

Đặt

d

2

Đổi cận x 1 t2;x 2 t5.

2

2 1

5

2

2f x 1 x f t t  

5 2

d 4

f t t 

   I f x x d 

5 2

4

Câu 9: Cho ,f g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện

   

3

1

3 dx=10

f x  g x



đồng thời    

3 1

2f x  g x dx=6



Tính  

3 1

4 dx

f  x



+2

2

1

2 1 dx

g x 



Lời giải

Ta có:    

3 1

3 dx=10

f x  g x

dx+3 dx=10

f x g x

   

3

1

2f x  g x dx=6

2 f x dx- g x dx=6

dx; v = dx

uf x g x

Ta được hệ phương trình:

3 10

u v

u v

 





 



4 2

u v





 





 

 

3

1 3 1

dx=4

dx=2

f x

g x







 











+ Tính  

3 1

4 dx

f  x

 Đặt t 4 x dtdx;x  1 t 3;x 3 t 1

f  x x f t   f t  f x 

+ Tính  

2 1

2 1 dx

g x 

 Đặt z2x 1 dz 2dx; x 1 z1;x 2 z 3

g x x g z  g x 

Vậy  

3 1

4 dx

f  x



2 1

2 1 dx = 6

g x 



2 1

d 2

I f x x

Giá trị của

2 0

sin 3cos 1

d 3cos 1

x x









bằng

4 3



4

Lời giải

Đặt

3

u x  u  x   u u x x

Đổi cận

1 2











Do đó

2

3cos 1

u x





4 1

5

f x dx 



và  

5 4

20

f x dx 



Tính

f x dx f e e dx

Ⓐ

15 4

I 

5 2

I 

Ⓓ I  25

Lời giải

Chọn A

Đặt t4x 3 dt4dx thì

Đặt u e 2x  du2e dx2x thì

x x

f e e dx f u du

Vậy

25 5 15

Câu 12: Cho f x  là hàm số liên tục trên  thỏa f 1 1 và  

1 0

1 d 3

f t t 



Tính

2 0

sin 2 sin d







Ⓐ

4 3

I 

2 3

I 

2 3

I 

Ⓓ

1 3

I 

Lời giải

Chọn A

Đặt tsin , dx tcos dx x

Đổi cận

1 2

sin 2 sin d 2 d

I x f x x t f t t



v f t t v f t





 

1 0

I  t f t  f t t f  

Câu 13: Cho hàm số f x liên tục trên ( ) ¡ và

d 4, sin cos d 2

f x

x

p

Tính tích phân

( ) 3 0

d

I =ò f x x

Ⓐ I  6 Ⓑ I  4 Ⓒ I  10 Ⓓ I  2

Lời giải

Chọn B

Ta có:

f x

Mà

( )

9 1

d 4

f x

x

ò

nên

( ) ( )

2òf t td = Û4 òf t td =2

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên

( ) ( )

f t t= Û f x x=

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

1

Mà

( ) 2

0

sin cos d 2

f x x x

p

= ò

nên

( ) 1 0

d 2

f t t= ò

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên

( ) ( )

f t t= Û f x x=

Khi đó

( ) ( ) ( )

I =òf x x=òf x x+òf x x= + =

Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm và xác định trên    Biết f  1  và2

1 3

2

x

x



Giá trị của 01 f x x d bằng

5

3

1

Lời giải

Chọn D

Ta có

4x f x x d  x f x  2xf x xd  2 2xf x xd  01xf x x d 1

Đặt

1

2

x

Khi đó

1 3

2

x

x



07f t dt 3 0tf t dt 4

Suy ra  

1 1

0 0

4 3 dt 4 3 1 1 dt

tf t

Vậy  

1 0

1 d 7

f x x 

Câu 15: Cho f x liên tục trên  và thỏa mãn

1 0

Tích phân

 

2

0

d

xf x x



bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có:

1

2

d d





2 0

Câu 16: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn 0;1 và   

2 0

sin d 5

f x x







Tính

 

0

sin d



Ⓐ

5 2

I  

Ⓑ I 10 Ⓒ I  5 Ⓓ I 5

Lời giải

Chọn D

Ta có

2

2





,

Tính

2

sin d

xf x x







Đặt x  t

Đổi cận

0





Do đó

2



Vậy chọnⒹ.

Câu 17: Cho hàm số f x liên tục trên   , thỏa mãn 4  2 

0 tan x f cos x dx 2





e

e

ln

ln

f x

x

2 1 4

2 d

f x

x x



Lời giải

Chọn D

 Đặt tcos2x suy ra dt2sin cos dx x x

Suy ra

1

2

f t



Đặt tln2x suy ra

ln

dt 2 xdx

x



Suy ra

 Đặt t2x suy ra dt2dx

Ta có

2

Câu 18: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên ¡. Biết f  4 1 và

 

1

0xf 4x dx 1,

 khi đó 04x f x dx2   bằng

31

2 . Ⓓ 16

Lời giải

Chọn D

Xét 01xf 4x dx  1. Đặt:

1 1

4 1 16 16

4 4

t  x  t f t dt   t f t dt   x f x dx

Xét I 04x f x dx2   04x df x2  

Suy ra: I x f x2  40 042 x f x dx  42f  4  2.1616

Câu 19: (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  Biết 

 6 1

f  và  

1 0

6 d 1

xf x x 



, khi đó

 

6 2 0

d

x f x x



bằng

Ⓐ

107

Lời giải

Chọn D

Theo bài ra:

 

1 0

6 d 1

xf x x 



Đặt t6x dt6dx

Đổi cận:

Do đó:

t

xf x x  t f t   t f t t  t f t t

Tính

 

6 2 0

d

I x f x x

u x x

u x

v f x

v f x x















2

6

0

I x f x xf x x f xf x x

Câu 20: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn

2

e 1

4

x

f x x x f x x 

và f 1 0 Tính

 

1 0

d

f x x



Ⓐ

e 1 2



2

e

e

2

Lời giải

- Tính :

1 0

1 ex d

I x f x x    

x f x x f x x J K 

Tính

 

1 0

ex d

K  f x x

Đặt

  d e   e   d e

d d

u f x





 

1 1 0 0

K x f x x f x x f x  x

x f x x x f x x

 

 

1 0

ex d

K J x f x x

1 0

ex d

I J K x f x x

   

- Kết hợp giả thiết ta được :

 

 

2 0

0

e 1 d

4

e 1 d

4

x

f x x

xe f x x

  















 

 

2 0

0

e 1

d (1)

4

e 1

2

x

f x x

x f x x

  



 











- Mặt khác, ta tính được :

2 2 0

e 1

e d (3)

4

x

x x 



- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

1

0

2 ex e x d 0

f x  x f x x x

o

f x x x

 

1

2

ex d 0

o

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x xex, trục Ox, các đường thẳng x 0, x 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

  ex 0

f x x

- Lại do f  1  0 C 0  f x   1 xex

d 1 e dx

1 1 0 0

1 x ex e dx x

0

1 ex e 2

   

Câu 21: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  ln 2;ln 2 và thỏa mãn

1

x

f x f x

e

 Biết  

ln 2

ln 2

d ln 2 ln 3

f x x a b



Tính P a b 

Ⓐ

1 2

P 

Ⓑ P  2 Ⓒ P  1 Ⓓ P  2

Lời giải

ln 2

ln 2

d

I f x x



 

Đặt tx  dtdx

Đổi cận: Với x  ln 2  t ln 2; Với x ln 2 t  ln 2

ln 2

ln 2

d



ln 2

ln 2

d

f t t



ln 2

ln 2

d

f x x



  

Khi đó ta có: 2I    

f x x f x x

ln 2

ln 2

d

f x f x x



    

ln 2

ln 2

1 d

ex 1 x









Xét

ln 2

ln 2

1 d

ex 1 x

Đặt u   dex ue dx x

Đổi cận: Với x  ln 2

1 2

u 

; x ln 2  u2

Ta được

ln 2

ln 2

1 d

ex 1 x

ln 2

ln 2

e d

e e 1

x







ln 2

ln 2

1 d

1 u

u u









ln 2

ln 2

d

1 u

u u





2

ln u lnu 1

ln 2



Vậy ta có

1 2

a 

,

1 0

2

b  a b 

Câu 22: Cho yf x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết

1

2

f x x f x x

Giá trị của

 

2 2

d

f x x

 

bằng

Lời giải

Do

 

1 0

d

f x x 

2 1

1

1 0

d 1

f x x

và  

2 1

d 2

f x x 



f x x f x x

2 0

d 3

f x x

Mặt khác

 

2 2

d

3x 1

f x x







3x 1 3x 1





và yf x  là hàm số chẵn, liên tục trên 

   

f x f x x

     

Xét

 

0 2

d

3x 1

f x









Đặt tx dxdt

 

0 2

d

3x 1

f x





0 2

d =

3 t 1

f t

t











 

2 0

d = 1

1

3t

f t

t





0

3

d =

3 1

t

t

f t t



2 0

3

d

3 1

x

x

f x x





 

2 2

d

3x 1

f x x





3x 1 3x 1



3

x

0

3 1

d

3 1

x

x

f x x









 

2

0

d 3

f x x 



Câu 23: Hàm số f x  là hàm số chẵn liên tục trên  và

 

2 0

d 10

f x x 



Tính

 

2 2

d

2x 1

f x









10 3

I 

Ⓒ I 20 Ⓓ I 5

Lời giải

Đặt tx  dt dx Đổi cận: x2 t 2, x 2 t2

 

2

2

d

2 t 1

f t







2 2

2

d

2 1

t

t f t t







2 2

2

d

2 1

x

x f x x









 

2 2

2x 1

f x





2 2

2

d

2 1

x

x f x x







2 2

d

f x x



f x x f x x



0 2

d 10

f x x



Mặt khác do f x  là hàm số chẵn nên f xf x 

Xét  

0 2

d

J f x x





, đặt tx dtdx

 

2 0

d

J f t t

2 0

d

f x x

2 0

d 10

f x x

 Hướng dẫn giải