CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Lý thuyết cơ sở: bảng cấc đạo hàm, bảng các vi phân, công thức về giá trị lượng giác của góc lượng giác, các hằng đẳng thức, nguyên hàm...; tích phân: các quy tắc tính tích phân, ứng dụng của tích phân...

MỤC LỤC

Trang Lời nĩi đầu 2

Chương 1 Lý thuyết 3

I Lí thuyết cơ sở 3

I.1 Bảng các đạo hàm 3

I.2 Bảng các vi phân 4

I.3 Các cơng thức về giá trị lượng giác của gĩc (cung) lượng giác 7

I.4 Các cơng thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt 8

I.5 Các hằng đẳng thức 8

I.6 Nguyên hàm 9

I.6.1 Định nghĩa nguyên hàm 9

I.6.2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm 9

II Tích phân 10

II.1 Định nghĩa tích phân 10

II.2 Các qui tắc tính tích phân 11

II.3 Các phương pháp tính tích phân 11

II.3.1 Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 11

II.3.2 Phương pháp đổi biến 12

II.3.3 Phương pháp tích phân từng phần 13

II.3.4 Tích phân hữu tỉ 14

II.4 Ứng dụng của tích phân 22

II.4.1 Tính diện tích 22

II.4.2 Tính thể tích 27

Chương 2 Bài tập 31

I.Bài tập 31

I.1 Tính tích phân 31

I.1.1 Tính tích phân các bài sau 31

I.1.2 Tính tích phân các bài sau ( trong các đề thi đại hoc, cao đẳng) 44

I.2 Cơng thức Newton và các bài tốn chứng minh liên quan đến tích phân 55

I.3 Tính diện tích và thể tích 59

II Tốn tự kiểm tra 64

LỜI NÓI ĐẦU

Nguyên hàm và tích phân là một nội dung mà tôi không thích học trong thời gian học ở trường trung học phổ thông vì có rất nhiều kiến thức liên quan đến tích phân, có rất nhiều dạng bài tập tích phân mà giáo viên đưa ra và yêu cầu học để tính tích phân trong khi tôi không hiểu gì về những kiến thức đó Mặc khác tôi không hề biết tích phân có những ứng dụng gì trong cuộc sống mà chỉ biết tìm cách nhận dạng bài tập tích phân và tính ra kết quả bài đó

Tôi muốn tìm hiểu về tích phân để hiểu rõ hơn những kiến thức lí thuyết,

sự phân chia các dạng bài tập về nguyên hàm và tích phân đã được học; biết được ứng dụng của nguyên hàm và tích phân; giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích phân trong chương trình dạy học ở phổ thông Chính vì vậy, thông qua bài tiểu luận này, tôi muốn tập hợp và cũng cố những kiến thức trọng tâm nhất về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của nó, tạo điều kiện thuận lợi để giúp tôi công tác tốt sau này

Để hoàn thành tốt bài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thạc sĩ

LÊ THỊ KIỀU NGA, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt thời gian qua

I.2 Bảng các vi phân

u = u(x) là hàm số theo biến x, u’ là đạo hàm của u, vi phân của u là:

du=u ’ dx Bảng các vi phân giúp định hướng tốt trong các bài tích phân giải bằng

phương pháp đổi biến

d x a



, vậy biểu thức xdx đã đổi thành

2

du a

khi đặt u = ax 2 + b, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt

u = ax 2 + b (a  0)

3 d(x3 + 2) = 3x2dx suy ra x2dx =

3

( 2)3

5 d(ex) = exdx suy ra biểu thức e x dx = d(ex), hay biểu thức e x dx đồng nhất với

du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = e x

5’ d(aex + c) = aexdx suy ra biểu thức e x dx = ( )

x

d ae c a

 , hay biểu thức e x

dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= ae x + c

5’ d(emx + c) = memxdx suy ra biểu thức e mx dx = ( )

x

d me c m



hay biểu thức 1

x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = alnx + c

7 d(sinx + c) = cosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d(sinx + c)

hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinx + c 7’ d(asinx + c) = acosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d a( sinx c)

a



hay biểu

thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= asinx+c

7’’ d(sinmx + c) = mcosmx dx suy ra biểu thức cosmxdx = d(sinmx c)

m



hay

biểu thức cosmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinmx+c

8 d(cosx + c) = - sinx dx suy ra biểu thức sinxdx = - d(cosx + c) hay biểu thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosx+c

8’ d(acosx + c) = - asinx dx suy ra biểu thức sinxdx = -d a( cosx c)

a



hay biểu

thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= acosx+c

8’’ d(cosmx + c) = -msinx dx suy ra biểu thức sinmxdx = -d(cosmx c)

m



hay

biểu thức sinmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosmx+c

d tgmx c m

d cotgmx

m hay

biểu thức 21

sin mx dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgmx

11 d(cos2x) = -2cosx sinx dx suy biểu thức cosx sinxdx = -

2

(cos )2

hay biểu

thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos 2 x,

d(cos2x) = - 2cosx sinx dx = -sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = - d(cox2x) hay

biểu thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos 2 x

12 d(sin2x) = 2 sinx cosx dx suy ra biểu thức cosxsinxdx =

2

(sin )2

hay biểu

thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sin 2 x,

d(sin2x) = 2cosx sinx dx = sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = d(sin2x) hay biểu

thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= sin 2 x

I.3 Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Công thức cơ bản: tan cot a a  1

a



,

sincot

cos

a a

*y = tgx, y = cotgx có chu kỳ là , Nên tg(a + k ) = tga, kZ

I.4 Các công thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt

sin2x = 1 – cos2x = (1 – cos x).(1 + cosx)

cos2x = 1 – sin2x = (1 – sinx).(1 + sinx)

cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx)

1+ sin2x = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = (sinx + cosx)2

 1 + sinx = sin2x + cos2x + 2sin

2

x

cos2

1 – sin2x = sin2x +cos2x - 2sinxcosx = (sinx – cosx)2

 1 – sinx = sin2x + cos2x - 2sin

2

x

cos2

cos 2 (cos sin )(cos 2 sin ) cos sin

1 sin 2 (sin cos ) cos sin

cos 2 (cos sin )(cos 2 sin ) cos sin

1 sin 2 (sin cos ) cos sin

x c x x

x c x x



= cos 2 2cot 2sin cos

x

x

sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx

 sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin3x + 4cos3x – 3cosx

= - 3(cosx – sinx) + 4(cos3x – sin3x)

= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(cos2x + cosx sinx + sin2x)

= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(1 + cosx sinx)

= (cosx – sinx)(1 + 4sinxcosx) sin3x - cos3x = 3sinx – 4sin3x - 4cos3x + 3cosx

= 3(sinx + cosx) - 4(sin3x + cos3x)

= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(cos2x - cosx sinx + sin2x)

= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(1 - cosx sinx)

= (sinx + cosx)(-1 + 4sinxcosx)

)

I.6 Nguyên hàm

I.6.1 Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm

của hàm số f(x) trên (a; b) nếu với mọi x thuộc (a; b) ta có

F ’ (x) = f(x) )

Ví dụ: a) Hàm số F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì

F’(x) = (x2)’ = 2x với mọi x thuộc R

b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên

R vì F’(x) = (sin x)’ = cos x với mọi x thuộc R

I.6.2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

- Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì tập hợp tất cả các

nguyên hàm của f(x ) là F(x)+C, C là hằng số thực thay đổi trong R, ghi là

( ) ( )

f x dxF x C

Vậy  f x dx( ) F x( ) C F x( ) f x( )

thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp

(u = u(x))

1.dx1dx x C 1.du 1du u C

6.cosxdxsin x +C 6.cosudusinu +C

7.sinxdx cosxC 7.sinudu cosuC

II.1 Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f liên tục trên [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

f x dx  F x  F b  F a



F b  F a  F x   f x dx   f t dt   f u du 

II.2 Các qui tắc tính tích phân

a/ Đặt thừa số chung ra ngoài dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngoài

cả khi thay cận lấy tích phân

b/ Tích phân của tổng 2 hàm số bằng tổng 2 tích phân, có cùng cận, do đó

có xu hướng phân tích thành tổng các tích phân nếu được

II.3 Các phương pháp tính tích phân

II.3.1 Tra bảng nguyên hàm để tìm 1 nguyên hàm F(x), sau đó thay cận

vào (đối với tích phân dễ, đơn giản)

b

a

p x dx

x , với p(x) là đa thức, đều đặt u = p(x), suy

ra du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử còn lại

dv sin xdx v cosx

2

0 0

2 2 1

2A 2B C 10 C 4

Bước 3: Áp dụng tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân

có cùng cận rồi áp dụng bảng công thức nguyên hàm để tính

Chú ý: Nếu gặp hàm số hữu tỉ y S(x)

Q(x) mà bậc của S(x) bậc của Q(x) thì ta phải thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số y về dạng

y T(x)

Q(x) (trong đó bậc của P(x) < bậc của Q(x) rồi tiếp tục làm như đã nói ở mục II.3.4.2 trên)

f (x)dxg(x)

về dạng a(x + b’) 2 dạng 12

du u

Ví dụ 2: Tính  





2 20

ux

Ví dụ 4: Tính 





1 2 2 0

dxI

II.4.1.2 Chú ý 1: không thể tra bảng nguyên hàm khi còn trị tuyệt đối cho

hàm số dưới dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi hoặc biến đổi sau cho tra được bảng nguyên hàm để tính được tích phân

Có các cách xoá trị tuyệt đối như sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối

Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), trong miền a  x  b

Cách 2: Dựa vào tính chất: (không được SGK giới thiệu)

Nếu ở bên trong miền giữa 2 đường thẳng x = a, x = b, 2 đường cong

y = f(x), y = g(x) không có giao điểm nào, thì đưa được ttrị tuyệt đối ra ngoài

f x  g x dx

 (tính tích phân trước rồi lấy trị tuyệt đối sau)

1 Miền S giới hạn không đủ 4 đường: x = a, x = b, y = f(x), y = g(x),

chưa thể đưa ra công thức tích phân

2 Miền S giới hạn bởi 3 đường: x = a, y = f(x), y = g(x)  Tìm phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải  vẽ hình miền S  cắt S làm vài hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng ( ) ( )

b a

f x g x dx

 nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối

3 Miền S giới hạn bởi 2 đường: y = f(x), y = g(x)  Tìm phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải  vẽ hình miền S  cắt S làm vài hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng ( ) ( )

b a

f x g x dx

 ,  nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối

4 Miền S giới hạn bởi 3 đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x), hay nhiều

đường  vẽ hình miền S  tìm các giao điểm khi có nhu cầu  cắt S làm vài hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng ( ) ( )

b a

f x g x dx

 ,

 nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối

II.1.4 Chú ý 3: S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường

thẳng y = c, y = d,

2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c

,có diện tích cũng đặt là S, thì

d c

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm giữa y  2 và x y  3 xlà

Ta cĩ: y 2 là hàm tăngx

nên 2x  3 x cĩ 1 nghiệm duy nhất

Mặt khác: 1

2   3 1 1là nghiệm của phương trình (1)

 phương trình (1) cĩ 1 nghiệm duy nhất là x = 1

 diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  0, y  2 ,x3

x y

x y

1 2

1 2

-1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5

O

x y

 

1 2

1 2

x y

- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x)

- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích

là S(x) khi a  x  b

thì

b a

V   S(x)dx

Hệ quả: Tính thể tích vật thể tròn xoay:

 D là hình thang cong có + 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,

x = b, b > a , + 1 đáy cong là đồ thị y=f(x), + 1 đáy nằm ngang là đường thẳng Ox

có phương trình y=0

cho miền D quay quanh trục Ox ,

gây nên 1 vật thể V,có thể tích đặt là V, thì

b 2 a

V  f (x)dx

 D là hình thang cong có

+ 2 đáy song song là 2 đường thẳng y = c,

y = d, d > c, + 1 đáy cong là đồ thị x=f(y), + 1 đáy nằm ngang là đường thẳng Oy có

phương trình x = 0

cho miền D quay quanh trục Oy ,

gây nên 1 vật thể V,có thể tích đặt là V, thì

b 2

CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Hệ quả: Miền D giới hạn bởi 4 đường:

+ 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,

x = b, b > a , + 2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x)

nằm cùng phía với trục quay Ox ,

cho miền D quay quanh trục Ox, gây nên 1 vật thể V, có thể tích cũng là V, thì

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn

bởi các đường sin , 0, 0,

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của

đường thẳng giới hạn bởi các đường

x y

4 2

2 2 2

dx I

I   x  4x 3dx 

   

9 1

 

3 2 6

3

2 6

6

1 2 x 2 x

x 0

dx I

x(2 ln x)







2 0

6 0

1 sin x cosx

 

4 4 0 0

4 0 4

0 0

8 8 0 0

8 0

tra bảng cosxdx sin x C

2 2

2 12

3

3 3 1

3 3

0 0

10 3

J27

Ta có: sin2x 2 1 sinx cosx 2sinxcosx 1 2 sinx cosx 1

sin x cos x 2sinxcosx 2 sinx cosx 1

Đặt t sinx cosx

e 1 3

0 0

5 (ĐH Giao thông Vận tải – 1996)

Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh rằng

Cho

e

n n

n 1e

Vậy 0 I I , với mọi n

eãy I có giới hạn và thỏa 0 lim I lim 0

n 1Vậy lim I 0

5 (ĐH Giao thông Vận tải – 1996)

Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh rằng

Đường thẳng y = 1 cắt đường thẳng y = x2 tại x2    1 x 1

Đường thẳng y =2 cắt đường thẳng y = x2 tại x2    2 x 2

1 2

x y

2

y=1 y=2

2

4 (ĐH Nông nghiệp I – khối B – 1999)

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

1 1

1 1

x Đáp số : ln7-2ln2

2 0

x

HD : I xe dx dx A B

4 x1

Tính A e 1 ; B 3 2

41Đáp số : 3 e 7

7 Tính



 4 2 0

8 Tính 



41

1 x 1 Đáp số :