TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN

2) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: sin2a = cos2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cosb  sin a.cosb  sin a.sinb  1 cos2a 2 1 cos2a 2 1 cos(a  b)  cos(a b) 2 1 sin(a  b)  sin(a  b) 2 1 cos(a  b) cos(a  b) 2 3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : n a  a n a. a0 = 1; a1 = a ; an = a 1 n n b  n a.b ; và n a m  a n a a  n n b m n      a  .a a ;  a  a   .b  ;   b b 1 n a    a   a  b  a.b a 4) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: a 2 = (a+b)(a – b) 2 – b a  b 2  a a 3  (a  b)(a 3  b a  b 3  a PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân này chúng ta chỉ cần dùng các phương pháp bình thường với các công thức trên bảng nguyên hàm đã có sẵn để có thể tìm ra đáp án.    a   .   a 2  2ab  b 2 a.b  b 2b  3ab2  b 3  3a 2 2 ) 3

TỔNG HỢP CÁC DẠNG

TOÁN TÍCH PHÂN

Website: www.alfazi.com Fanpage: fb.com/alfaziapp Group: fb.com/groups/alfazi

 cos udu sin u C

sin udu  cos u C

2) Các công thức lượng giác:

a) Công thức nhân đôi:

3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:

Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :

0

a) J =  x 1

d x

Giải a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1





6

d x

a 1cos 2a Như vậy là ta sẽ dễ dàng áp dụng công thức trong bảng

Loại 1: Tiến hành theo các bước

+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt

+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.

Loại 2: Tiến hành theo các bước

+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx

+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  =u(a)  = u(b)

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.

2

31

124

     

1 1

2 0

14 sin x



14 sin x. 14 sin x dx 14 sin x d 14 sin x 

1 12

 

11

e axb dx1e axb C ở đây thật ra ta thay cái ẩn trong công thức là x thành x nên cũng có thể xem nó như2

dạng là  e ax b d x rồi áp dụng công thức như thường

3

138

Ta thấy: e x 2 e x

0 0

P(x): Đa thức Q(x):e kx

P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b)

P(x): Đa thức Q(x):1

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

*u = P(x)

*dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Câu 1: Tính các tích phân sau.

12

 I2 =  (x 1)e 2 x

dx = (x1)e 2 x 11

20

1 0

12

Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x Như đã biết 2xdx x2c

,trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0 Trong bài tích phân vừa tính,chọn

2 ln 2 ln1

x

=  ln 2 ( 1) = (1ln 2) 2 22

Câu 3: Tính các tích phân sau.



0



4 0



0



4 0

PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2

Câu 1: Tính các tích phân sau.

4

14

Với dạng câu này ta có nhiều cách làm

Cách 1: Chúng ta phân tích nó ra rồi áp dụng công thức tính tích phân như thường Áp dụng công thức:

Ta dễ dàng quan sát thấy được nếu như  x2 2x 5 2x 2 2  x 1 thì nhìn vô biểu thức tích phân

có cái  x 1 nên mình dễ dàng nghĩ ngay tới chuyện đổi biến số kiểu bên dưới

Đặt t x2 2x 5 dt 2x 2 dx dt  x 1 dx

2Đổi cận

3 2

4

d) I x 1 x2dx

0

1 5

1

1

1 1

0

23

231

2

3

3831

Với phương pháp này chúng ta cần chú ý là đặt ẩn như thế nào đó mà chúng ta có thể thay hết các

ẩn trong dấu tích phân ban đầu thành 1 loại ẩn khác thôi Trong dấu tích phân không được chứa 2

ẩn Như là ban đầu trong dấu tích phân chỉ có ẩn x thì khi đặt ẩn t thì làm sao đó ẩn x phải mất hết.Đặt t  1 x2 t2  1 x2 2tdt 2xdx tdt xdx

3 1

0 0

3 2 2 0

0 2

  12x dx    12x  1 3 31

12x 112x2

1 2 1

1

1 0 0

1 0 0

ln 3 2

5 2

2 5

 4 4  2

Đặt t 1 4e x  dt e x dx

4Đổi cận

   4 4  3

e1 2

e 12

23

0

0 1

12

c) I3 

1

e 4 ln3 x 3ln2 x 2 ln x 1

dx x

e

d x

dx x

1

1

3 12

t dt Suy ra: I   t 4  1  85

dx x

dt Suy ra: I5  t ln t ln 2ln1ln 2

I  sin2 x cos xdx sin2

x sin xdx  sin xd sin x   sin sin 0 

I  sin3 2x cos 2xdx  sin3

2x 1sin 2xdx  1 sin 2xd sin2x   sin sin 0 

22

2 dt t

22

13

ln43

13

ln43

Ta thấy được rằng ta đã phân tích

Giờ ta ráp vào tích phân

1 1

2 2

2 3

Cách 2 : Dùng phương pháp đồng nhất thức Ta có thể nháp ở ngoài như sau.

Giả sử ta cần tách ra 2 biểu thức : A  B bây giờ ta đi qui đồng để cái mẫu nó giống với cái đề bài

Giờ ta quan sát thấy cái đề của mình có cái tử bằng 1 nên biểu thức mình vừa phân tích cũng phải như vậy

Để thõa mãn điều này thì : AB  0  A1

  

3

1 0

 1

b) I2  2x2 5x 2

2 1

dx

c) I3 12x3x2

Giải

Những dạng câu này thì ta sẽ bấm nghiệm ở dưới mẫu có 2 ngiệm phân biệt Mà ta nhớ kiến thức là đối với

một phương trình bậc 2 dạng ax2 bx c 0 mà có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2 thì : a x x 1x x 2  Rồisau đó ta lại áp dụng cách làm của bài trên Ở câu này anh chỉ làm theo phương pháp nhẩm, còn bạn

nào không quen thì bắt trước cách làm đồng nhất thức ở trên

Câu 5 : Tính các tích phân sau (mẫu số có nghiệm kép).

d x

1 0 0

 ln 2ln 2 02

+Xét: N 1 dx 1 dx

2x1 1

2 4x24x2 2

0

2Đặt: 2x1tant với 

Ta thấy bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên ta dùng phương pháp chia

Vậy ta đã phân tích xong cái biểu thức: x3 5x2  6x1  x2 2x3

 19 ln x 1 x10 1  19ln 2519ln11019 ln 25

0

496

Dùng phương pháp chia để tách biểu thức

Vậy ta đã tách xong biểu thức x3  3x2  6x1 x1 10x1

 

0 2

2 I  x 1 x dx

4 3 4 1

2 2

3

1

dt Xét: P  t2 1

cos2

u Đặt: t tan u dt  1 du

1 sin t 1sin t 1sin t 2 1sin t 1sin t 0  

1ln 1sin t ln 1sin t3 1ln1sin t

1 x3

a) I   1x2 dx

0

0 2

t 1 2

   2    3 3 2

3

1 2

;  cost0

dx2costdt

1 sin 2t2 1 sin   sin0

3

332

2Đặt xsin t , với t

; cos t0;costsin t

 1 4 sin t 4 sin 2tdt 1 4 sin t 4.1cos2t

dt 1 4 sin t 2 2 cos 2t dt 3t4 cos tsin 2t



  6

c) I   sin 2x.sin 5x.dx

2 41cos2 xsin x 2 41cos x1cos xsin x

f) I6 1cos 2x 2 cos x 2tan x 4 

Câu 2: Tính các tích phân sau.

1

0

4 6

dx cos x

sin2 x cos2 x  sin2 x 2

sin2 x cos2 x cos2

PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tính các tích phân sau.

23

I 2 sin x.e 2 e cos xdx 2e2e

Loại 1: Tiến hành theo các bước

6

PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

12

15

34