Dạng 17 hỏi kết quat tích phân cơ bản

Để tính tích phân: ta thực hiện các bước: .Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt.. Vấn đề ① : Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản Word xinh... Khi đó Chú ý: Đối với biến

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh

lung linh

1

Dạng:

Tóm tắt lý thuyết

Ⓐ

.Phương pháp: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và Giả sử có thể viết với liên tục trên đoạn Khi đó, ta có

Để tính tích phân: ta thực hiện các bước:

Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt

Bước 2 Thực hiện phép đổi cận:

Với thì; thì (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)

Bước 3 Đưa về dạng đơn giản và dễ tính hơn

Dấu hiệu nhận biết và cách đặt.

Vấn đề ① : Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số cơ

bản

Word xinh

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân

1

2 4

0

(1 )

I �x x dx

.

Ⓐ

16 5

I 

.

Ⓑ

31 10

I 

.

Ⓒ

1 10

I 

.

Ⓓ

1 10

I  

Lời giải Chọn B

 Đặt t 1 x2 �dt2xdx.

Đổi cận x0�t1;x1�t2

Nên

2 4 1

31

2 10

t

I �dt

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Câu 2: Tính tích phân

2 2

1

I �x x  dx

bằng cách đặt ux21, mệnh đề nào dưới đây

đúng?

.

Ⓐ

3

0

2

I  �udu

.

Ⓑ

2

1

I �udu

.

Ⓒ

3

0

I �udu

.

Ⓓ

2

1

1 2

I  �udu

Lời giải

Chọn C



2

2

1

I �x x  dx

Đặt ux21�du2xdx

Đổi cận x1�u0;x2�u3

Nên

3

0

I �udu

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio: xét hiệu bằng 0

Câu 3: Tính tích phân

3

0 cos sin d

I x x x



�

.

Ⓐ

4

1 4

I   

.

Ⓑ I  4 Ⓒ . I 0 Ⓓ .

1 4

I  

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

Lời giải

Chọn C

Ta có:

3

0

cos sin



�

Đặt tcosx�dt sinxdx� dt sinxdx

Đổi cận: với x0�t1;vớix �t 1.

Vậy

 

1 1

0

4 4 4

t

I t dt t dt





 � �    

PP nhanh trắc nghiệm

 Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển về đơn vị radian

A - Bài tập minh họa:

Câu : Biết f x  là hàm liên tục trên � và 9  

0

d 9

f x x

�

Khi đó giá trị của 4  

1

3 3 d

f x x

� là

.

Lời giải Chọn C

 Đặt u3x , suy ra 3 du3dx.

 Đổi cận: x thì 1 u ; 0 x thì 4 u 9

 Ta có:

       

f x x f u u f u u f x x 

 PP nhanh trắc nghiệm

 Nếu có m  

n

M

f x dx

�

thì

f x b dx

n a b m a b

M a

a





�

3

-Phương pháp:

Tính tích phân Giả sử được viết dưới dạng ,trong đó hàm số có

đạo hàm trên, hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp xác định

trên và là hai số thuộc

Khi đó

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ

số thay cho Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

Vấn đề ②: Tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản

Word xinh

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 Vậy 4  

1

3 3 d 3

f x x

�

 Áp dụng:

9 3

3

Câu 2: Cho hàm số f x( ) liên tục trên R và thỏa mãn f x( 32x 2) 3x1 với

x R

10

1 ( )

I �f x dx

.

Ⓐ

151

4 Ⓑ . 27 Ⓒ .

121

4 Ⓓ .

105

6

Lời giải Chọn A

 Đặt x t  3 2t 2�dx3t22t dt ,

3

3

1 2 3 1

10 2 12 2

� �   � 

�

�

 �   � 

�

I �f t  t t  t dt�t t  t dt

2

3 2

1

9t 3t 2t dt

�  

2 4

3 2

1

t

t t

�   �

 PP nhanh trắc nghiệm



Câu 3: Cho Cho hàm số f x( ) liên tục trên R và thỏa mãn

2021

0

( ) 2

f x dx

�

Tính

2 0

ln( 1) 1

e x

I f x dx

x





�

.

Lời giải Chọn C

 Đặt  2 

ln 1

0 0

1 2021

 � 

�

�

  � 

�

2021 2021

( ) ( ) 2 1

I  �f t dt  �f x dx 

 PP nhanh trắc nghiệm



4

Định lí:

Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:

Hay

Phương pháp chung:

Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của làm và phần còn

lại

Bước 2: Tính và

Bước 3: Tính và

.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Word xinh

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân

2

1

�x

I xe dx

5

Định lí:

Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:

Hay

Phương pháp chung:

Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của làm và phần còn

lại

Bước 2: Tính và

Bước 3: Tính và

.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Dạng ① : Phương pháp tính phân từng phần cơ bản

① Loại 1:

.Phương pháp:

Đặt:

Vấn đề ③: Tích phân chứa đa thức với lượng giác

hoặc mũ

Word xinh

.

Ⓐ I e2 Ⓑ . I  e2 Ⓒ . I e Ⓓ . I 3e2 2e

Lời giải Chọn A

Đặt

�

u x du dx

dv e dx v e

2

2

I xe dx xe e dx e e e

e e e e e

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân

+ Kiểm tra các đáp án:

2 0

A e  (đúng).

Câu 2: Tính tích phân

1

2

0

( 2) x

I �x e dx

.

Ⓐ

2

5 3 4

e

I  

2

5 3 4

e

I  

Ⓒ .

2

5 3 4

e

I  

Ⓓ .

2

5 3 4

e

I  

Lời giải Chọn B

 Đặt

2 2

2

1 2

x x

du dx

u x

v e

dv e dx



�

 

�

(chọn C )0

0 0

( 2)

I  x e  e dx 

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân:

+Kiểm tra các đáp án:

Câu 3: Tích phân   2

0

3x 2 cos x xd





�

bằng

.

Ⓐ

2

3

4 

Ⓑ .

2

3

4 

Ⓒ .

2

1

4 

Ⓓ .

2

1

4 

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

Lời giải Chọn B

 Đặt   2

0

3 2 cos d



� 

Ta có:

   

0

1

3 2 1 cos 2 d



 �  

     1 2

3 2 d 3 2 cos 2 d

0

3 2 d



0



0

3 2 cos 2 d



� 

Dùng tích phân từng phần

Đặt

d 3d

3 2

1

d cos 2 d sin 2

2

u x

u x

v x x v x



�

 

�

Khi đó

 

2

0 0

3 2 sin 2 sin 2 d

I x x x x

 

 

0

3

0 cos 2 0



Vậy

2

I  ��  ��  

PP nhanh trắc nghiệm

 Tính tích phân:

Kiểm tra các đáp án:

A - Bài tập minh họa:

Câu 1: Tích phân

e

1

x ln xdx

�

bằng

7

② Loại 2:

-Phương pháp:

.Đặt:

Vấn đề ④: Tích phân chứa đa thức và lnf(x)

Word xinh

.

Ⓐ

2

e 1

4 4

2 e 1

4 

2

e 1 4



2

1 e

2 4

Lời giải

Chọn D

x ln xdx ln x dx ( ln x)



PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

Câu 2: Tính tích phân 5   

4

1 ln 3 d

I �x x x

?

.

Ⓐ 10ln 2 Ⓑ .

19

10 ln 2

4



Ⓒ .

19

10 ln 2

4 

Ⓓ .

19

10 ln 2

4



Lời giải  Chọn D

Đặt

 

2

1

1

2

u x

u x x

v x v x x

� 

�

 

 

2 5 2

4

1 5

4

x x

I x x x x

x





35 1 9 9 3 3

ln 2

   

 

35 1 9

ln 2 3 9ln 2 1 3ln 2

2 2 2

  �   � 

19

10ln 2

4

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio:

 Kiểm tra các đáp án:

Câu 3: Tính �2

1

ln d

e

x x x

.

Ⓐ

 3

9

e

 3

9

e



3 2 9

e



3 2 9

e

Lời giải Chọn A

PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

� 

�

�



� � �

  

�

2

3

1

3

1 ln

1 3

1 ln 1 1 1

1 1 2 1

du dx

dv x dx v x

e

Câu 1: Tập hợp các giá trị của b sao cho 0

(2 4)d 5

b

x x

�

là

A 1; 4 . B  1 . C  5

D 1;5 .

Câu 2: Biết

1 4 0

1 d

a

x e

e x

b





� với a b,  �,b 0 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A a b B a b C a b  10 D a2b.

Câu 3: Biết rằng

ln

0

d 1

a x

e x

�

, khi đó giá trị của a là:

Câu 4: Tính tích phân

1

0

2 x

I �e dx

A I  e2 2e. B I 2e. C I 2e 2 D I   2e 2

Câu 5: Cho

5

2

d ln

x a

x 

�

Tìm a.

A

5

2 . B 5 C 2 D

2

5 .

Câu 6: Tính tích phân

1

0

4 d

2 1

I x x





�

A 4 ln 3 B 4 ln 2 C I 2 ln 3. D 2 ln 2

Lời giải

Ta có:

1

1 0 0

4

d 2ln 2 1 | 2ln 3

2 1

I x x x



�

9

Bài tập rèn luyện

Ⓑ

Word xinh

Câu 7: Tích phân

3 2

4

d sin

x I

x





�

bằng?

A cot 3 cot 4

  

B cot 3 cot4

  

C cot3 cot4

 

D cot3 cot4

 

Câu 8: Tính tích phân

ln 2

0

d

x

I  �e x

A

1 2



1

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A �dx x 2C (C là hằng số). B

1 d

1

n

n x

x x C

n





�

(C là hằng số; n��

)

C �0dx C (C là hằng số). D �e dx x ex C (C là hằng số).

Câu 10: Cho miền phẳng  D

giới hạn bởi y x, hai đường thẳng x , 1 x và trục hoành 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D

quanh trục hoành

3 2



2 3



3

2.

Câu 11: Tập hợp các giá trị của b sao cho  

0

2 4 d 5

b

x x

�

là

A  5 . B 4; 1  . C 5; 1  . D  4 .

Câu 12: Nếu

 

0

2 1 d 2

m

x x

�

thì m có giá trị bằng

A

1 2

m m



�

�  

1 2

m m



�

� 

1 2

m m

 

�

� 

1 2

m m

 

�

�  

Câu 13: Tích phân

1 2

0

e dx

I � x

bằng

A I 2 e 21

2 e 2

I 

2

e 1 2

 D e21.

Câu 14: Tích phân

4

0

cos d

2 x x





�  �

� �

� �

�

bằng

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

A

1 2

2



2 1 2

 D 2 1

Câu 15: Tích phân

2

0

2 d

2x1 x

�

bằng

A 2ln 5 B

1

ln 5

2 . C ln 5 D 4ln 5

Câu 16: Tích phân   3

0

cos d



�

bằng

A

1

3

3 2



D

1 2



Câu 17: Tích phân

e

1

1 d 3

I x x





�

bằng:

A ln 4 e 3��  ��

B ln e 2  . C ln e 7  . D ln���3 e4 ���.

Câu 18: Giá trị của

2 2

0

2e xdx

�

là:

e .

Câu 19: Tích phân

2

1

2 dx x

�

có giá trị là:

Câu 20: Giả sử

2

1

d ln 3

x  b



�

với a , b là các số tự nhiên và phân số

a

b tối giản Khẳng định nào

sau đây là sai?

A a2b2 41. B 3a b  12 C a2b 13 D a b  2

Câu 21: Tích phân 1

1 d

e x x

�

có giá trị bằng

Câu 22: Tính tích phân:

1

0

3 d x

I � x

A

3

ln 3

I 

2

ln 3

I 

1 4

I 

11 Word xinh

Câu 23: Biết I �f x x d sin 3x C Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A f x   3cos3x. B f x  3cos3x.

C f x   cos 33 x

D f x  cos 33 x

Câu 24: Giá trị của

2 2

0

2e xdx

�

là:

A e41. B 4e4 C e4 D 3e41.

Câu 25: Giả sử 9  

0

d 37

f x x

�

và 0  

9

d 16

g x x

�

Khi đó, 9  

0

2 3 ( ) d

I ���f x  g x ��x

bằng:

A I 26. B I 58. C I 143. D I 122.

Câu 26: Tính tích phân

1

0

d

3 2

x I

x





�

A

1

ln 3 2



1

ln 3

1 log 3

2 .

Câu 27: Cho 1  

0

d 2

f x x

�

và 1  

0

d 5

g x x

�

, khi 1    

0

2 d

f x  g x x

�

bằng

Câu 28: Cho 5  

2

d 10

f x x

�

Kết quả 2  

5

2 4 f x dx

�

bằng

Câu 29: Cho hàm số f x 

liên tục trên � và 2   

0

2 d 5

f x  x x

�

Tính

2

0 ( )d

f x x

�

Câu 30: Cho 5  

2

d 10

f x x

�

Khi đó 2  

5

2 4f x dx

�

bằng:

Câu 31: Cho hai hàm số f x g x   ,

liên tục trên  1;3

thỏa mãn3  

1

1

f x dx

�

, 3   1

3

g x dx

�

Tính

   

1

3

2

f x g x dx

�

?

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

5

2 C 1 D 5

Câu 32: Tính tích phân

e

2 1

1 d

x

I x x



�

A

1 1 e

I  

B

1 2 e

I  

C

1 2 e

I  

D

1 1 e

I  

BẢNG ĐÁP ÁN

11.C 12.C 13.D 14.C 15.C 16.B 17.D 18.C 19.B 20.D

21.A 22.C 23.B 24.A 25.A 26.C 27.C 28.B 29.D 30.C

31.D 32.B

 Hướng dẫn giải

Câu 1: Tập hợp các giá trị của b sao cho 0

(2 4)d 5

b

x x

�

là:

A 1; 4 . B  1 . C  5

D 1;5 .

Lời giải

Ta có:

0 0

1

5

b

x x x x b b

b

 

�

�

Câu 2: Biết

1 4 0

1 d

a

x e

e x

b





� với a b,  �,b 0 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A a b B a b C a b  10 D a2b.

Lời giải

Ta có:

4

0

x x e a

e x e a b

b



�



�

Câu 3: Biết rằng

ln

0

d 1

a x

e x

�

, khi đó giá trị của a là:

Lời giải

Ta có d

x x

e x e C

ln

ln ln 0 0

0

a

a

x x a

e x e e    e a �a

�

Câu 4: Tính tích phân

1

0

2 x

I �e dx

13 Word xinh

A I  e2 2e. B I 2e. C I 2e 2 D I 2e 2

Lời giải

Ta có

1

0

2 dx

I �e x 1

0

2e x

 2e 2

Câu 5: Cho

5

2

d ln

x a

x 

�

Tìm a.

A

5

2. B 5 C 2 D

2

5 .

Lời giải

Ta có:

5

5 2 2

ln ln ln ln 5 ln 2 ln ln ln

x

�

Câu 6: Tính tích phân

1

0

4 d

2 1

I x x





�

A 4 ln 3 B 4 ln 2 C I 2 ln 3. D 2 ln 2

Lời giải

Ta có:

1

1 0 0

4

d 2ln 2 1 | 2ln 3

2 1

I x x x



�

Câu 7: Tích phân

3

2

4

d sin

x I

x





�

bằng?

A cot 3 cot 4

  

B cot 3 cot4

  

C cot3 cot4

 

D cot3 cot4

 

Lời giải

Ta có

3 2

4

d sin

x I

x





4

cot x





 

cot cot

3 4

  

Câu 8: Tính tích phân

ln 2

0

d

x

I  �e x

A

1 2



1

Lời giải

Ta có:

ln 2

0

d

x

I  �e x ln 2

0

x

e

  12

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A �dx x 2C (C là hằng số). B

1 d

1

n

n x

x x C

n





�

(C là hằng số; n��

)

C �0dx C (C là hằng số). D �e dx x ex C (C là hằng số).

Lời giải

Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n� 1

Câu 10: Cho miền phẳng  D

giới hạn bởi y x, hai đường thẳng x , 1 x và trục hoành.2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D quanh trục hoành.

3 2



2 3



3

2.

Lời giải

2

1

V �xdx

2 2

1

3

x

.

Câu 11: Tập hợp các giá trị của b sao cho  

0

2 4 d 5

b

x x

�

là

A  5

B 4; 1  . C 5; 1  . D  4

Lời giải

Ta có    2  2

0

x x x  x b  b

�

Theo đề bài, ta có

4 5

5

b

b b

b

 

�

  � �� .

Câu 12: Nếu

 

0

2 1 d 2

m

x x

�

thì m có giá trị bằng

A

1 2

m m



�

�  

1 2

m m



�

� 

1 2

m m

 

�

� 

1 2

m m

 

�

�  

Lời giải

0 0

1

2

m

 

�

  �   �    � � �

�

Câu 13: Tích phân

1 2

0

e dx

I � x

bằng

15 Word xinh

A I 2 e 21

2 e 2

I 

2

e 1 2

 D e21.

Lời giải

Ta có

1 2

0

e dx

I � x 2 1

0

1 e 2

x

 e2 1

2





Câu 14: Tích phân

4

0

cos d

2 x x





�  �

� �

� �

�

bằng

A

1 2

2



2 1 2

 D 2 1

Lời giải

Ta có:

4

0

cos d

2 x x





�  �

� �

� �

0

sin dx x



0

cos x

   2 12 .

Câu 15: Tích phân

2

0

2 d

2x1 x

�

bằng

A 2ln 5 B

1

ln 5

2 . C ln 5 D 4ln 5

Lời giải

Ta có

2

2 0 0

2

d ln 2 1 ln 5

2x 1 x x 



�

Câu 16: Tích phân   3

0

cos d



�

bằng

A

1

3

3 2



D

1 2



Lời giải

3

3 0 0

3 cos d sin

2





�  

Câu 17: Tích phân

e

1

1 d 3

I x x





�

bằng:

A ln 4 e 3��  ��. B ln e 2  . C ln e 7  . D ln���3 e4 ���.

Lời giải

50 dạng toán bám sát đề minh họa ôn thi TN năm 2021-2022

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

e

1

x

x x

� �     �� ��

Câu 18: Giá trị của

2 2

0

2e xdx

�

là:

Lời giải

2

0

2e xdx e 1

�

Câu 19: Tích phân

2

1

2 dx x

�

có giá trị là:

Lời giải

Ta có:

2

2 2 1 1

2 dx x x

Câu 20: Giả sử

2

1

d ln 3

x  b



�

với a , b là các số tự nhiên và phân số

a

b tối giản Khẳng định nào

sau đây là sai?

A a2b2 41. B 3a b  12 C a2b 13 D a b  2

Lời giải

Ta có:

2

1

2

ln 3 ln

1

x

x



�

Câu 21: Tích phân 1

1 d

e x x

�

có giá trị bằng

Lời giải

Ta có 1

1 d

e x x

�

1

lnx e lne ln1 1

Câu 22: Tính tích phân:

1

0

3 d x

I � x

A

3

ln 3

I 

2

ln 3

I 

1 4

I 

Lời giải

17 Word xinh

Ta có:

1 1

3

3 d

ln 3

x x

I x � �

� �

ln 3 ln 3 ln 3

  

Câu 23: Biết I �f x x d sin 3x C Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A f x   3cos3x. B f x  3cos3x.

C f x   cos33 x

D f x  cos33 x

Lời giải

    3cos 3

f x F x�  x.

Câu 24: Giá trị của

2 2

0

2e xdx

�

là:

A e41. B 4e4 C e4 D 3e41.

Lời giải

Ta có:

2

2

0 0

2e xdx e x  e 1

�

 Dạng 04: Tổng, hiệu, tích với số của các hàm đơn giản

Câu 25: Giả sử 9  

0

d 37

f x x

�

và 0  

9

d 16

g x x

�

Khi đó, 9  

0

2 3 ( ) d

I ���f x  g x ��x

bằng:

A I 26. B I 58. C I 143. D I 122.

Lời giải

2 3 ( ) d 2 d 3 d 2 d 3 d 26

I ���f x  g x ��x�f x x�g x x �f x x �g x x

Câu 26: Tính tích phân

1

0

d

3 2

x I

x





�

A

1

ln 3 2



1

ln 3

1 log 3

2 .

Lời giải

Ta có

1

0

d

3 2

x I

x





0

1

ln 3 2

   1ln 3

2



Câu 27: Cho 1  

0

d 2

f x x

�

và 1  

0

d 5

g x x

�

, khi 1    

0

2 d

f x  g x x

�

bằng