Một số tính chất của vành và môđun phân bạc

Trong vành các số nguyên Z, cho n là một số nguyên tố bất kì, khi đó nZ là iđêan nguyên tố đồng thời cũng là iđêan cực đại.. Nếu môđun M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M đợc gọi

trờng đại học vinh

khoa toán

-*** -lê hải nam Một số tính chất của vành và môđun phân bậc Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành S phạm toán cán bộ hớng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện Lê Hải Nam Lớp 46A – Toán Toán Vinh - 2009

Mục lục Trang Mở đầu ……… ………… 2

Chơng I Kiến thức chuẩn bị ……… 3

1.1 Tổng trực tiếp nhóm ……… ……… 3

1.2 Nhóm đầy đủ……… 3

1.3 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại ……… ……… 5

1.4 Iđêan hữu hạn sinh ……… ………… … 5

1.5 Môđun hữu hạn sinh ……… 6

1.6 Môđun Noether ……… ……… 7

1.7 Vành Noether ……… ………… 9

1.8 Iđêan nguyên tố liên kết ……… ……… 9

1.9 Sự phân tích nguyên sơ ……… ……… 10

1.10 Đại số ……… ……… 11

Chơng II Vành và môđun phân bậc ……… 13

2.1.Vành và môđun phân bậc ……… …… 13

2.2.Tính chất Noether của vành và môđun phân bậc …… …… 18

2.3 Vành phân bậc liên kết ……… ……… 21

Kết luận ……… 24

Tài liệu tham khảo ……… 25

Mở đầu

Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có những bớcphát triển rực rỡ Đã có nhiều hớng phát triển lý thuyết vành và môđun mang lạinhiều ứng dụng khác nhau Nhìn nhận một vành và môđun dới dạng tổng trực tiếpcủa các nhóm mở ra hớng nghiên cứu khá thú vị dẫn đến lý thuyết vành và môđunphân bậc

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết cấu trúc vành vàmôđun phân bậc, nêu ra các tính chất của chúng đặc biệt là tính chất Noerther củavành phân bậc

Luận văn đợc chia làm hai chơng ở chơng I, chúng tôi trình bày mà khôngchứng minh các khái niệm, kết quả liên quan đến chứng minh trong chơng II Ch-

ơng II là nội dung chính của luận văn Trong chơng này, chúng tôi trình bày địnhnghĩa và một số tính chất của một vành và môđun phân bậc, đặc biệt trình bày tínhchất Noether của vành phân bậc và vành phân bậc liên kết

Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của TS.Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn ThịHồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ

Đại số đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù đã hết sứ cố gắng nh ng dotrình độ đang còn hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mongmuốn nhận đợc sự góp ý của các thầy, cô và các bạn

Vinh, tháng 5 năm 2009

Chơng I Kiến thức chuẩn bị

Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cần dùng cho chứngminh ở chơng II

1.1 Tổng trực tiếp nhóm

Cho (Gi ) i I là một họ các nhóm Trên tập tích Đêcac

G = G 1  G2… G i  …

ta định nghĩa một phép nhân nh sau:

Với mọi (ai ) i I , (bi ) i I thuộc G, trong đó ai , b i thuộc Gi, iI đặt

(a i ) i I (b i ) i I =(a i b i ) i I Khi đó G cùng với phép toán đã định nghĩa lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của họ các nhóm {G i } i I và đợc kí hiệu iI Gi Tích trực tiếp này có phần

tử đơn vị là e = (ei ) iI trong đó ei là đơn vị nhóm Gi Trong tích trực tiếp iIGi ta

xét tập con S gồm tất cả các phần tử (ai ) i I sao cho ai = e i đối với hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i

S = {(ai)iI| aiGi, ai=ei hầu hết trừ hữu hạn khác ei}

Ta có S là nhóm con của tích trực tiếp iIGi và gọi là tổng trực tiếp của họ các nhóm (Gi ) i I, kí hiệu là iI Gi

1.2 Nhóm đầy đủ và hệ ngợc

1.2.1 Nhóm đầy đủ.

Cho G là một nhóm Aben tôpô và không nhất thiết là Hausdorff Nghĩa là G

là không gian tôpô đồng thời là nhóm Aben với hai cấu trúc này tơng thích theo

nghĩa ánh xạ : G GG và GG đợc định nghĩa là (x,y)  x+y và x -xx là các ánh xạ liên tục Nếu {0} là tập đóng trong G thì nghịch ảnh của nó là đóng trong GG (nhờ ánh xạ ngợc (x,y)  x-xy ) và do đó G là Hausdorff Nếu a là một phần tử cố

xạ ngợc là T-xa), do đó nếu U là lân cận của 0 thì a+U là lân cận của a Vậy tôpô trong G là xác định duy nhất với lân cận của 0 trong G.

Giả thiết rằng 0  G có đếm đợc lân cận Khi đó nhóm đầy đủ G của G đợc

định nghĩa nhờ các dãy Cauchy Một dãy Cauchy trong G đợc định nghĩa là một

một số tự nhiên s(U) thoã mãn

x m -x x n  U với mọi m, n  s(U).

Hai dãy Cauchy (xn ) và (y n ) đợc gọi là tơng đơng nếu x n -xy n 0 trong G Tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy kí hiệu bởi G Nếu (x n ), (y n ) là các dãy

Với mọi xG là lớp của dãy hằng (x) cũng là phần tử của (x) của G nhờ ánh xạ

 : G  G là một đồng cấu nhóm Aben và ta có :

Trong đó U chạy khắp các lân cận của 0 Nếu G là Hausdorff thì  gọi là

ánh xạ đơn ánh.

Nếu H là một nhóm Aben tôpô khác và f : G  H là đồng cấu liên tục, khi đó

ảnh qua f của một dãy Cauchy trong G là một dãy Cauchy trong H và do đó f cảm sinh một đồng cấu f : G  H là liên tục Nếu ta có G f H g

  K thì  g f =  0 g f 0

1.2.2 Hệ ngợc Cho {A n } và A là các nhóm cho trớc và đồng cấu

n : A n A.

Gọi chúng là hệ ngợc và nhóm của các khớp n (nghĩa là n An và

cũng là khớp Nếu {A n } là hệ toàn ánh ngợc (n là toàn ánh) khi đó

1.3 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại

1.3.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị R.

i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố của vành R nếu I  R và với mọi a, b  R mà

ab  I thì a  I hoặc b  I.

ii) I đuợc gọi là iđêan cực đại của vành R nếu I  R và không tồn tại một iđêan J  R mà J thực sự chứa I.

1.3.2 Ví dụ Trong vành các số nguyên Z, cho n là một số nguyên tố bất kì, khi đó

nZ là iđêan nguyên tố đồng thời cũng là iđêan cực đại

1.3.3 Chú ý Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị R.

1) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên.

2) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là trờng.

3) Trong một vành giao hoán có đơn vị mọi iđêan cực đại là nguyên tố

4) Mọi vành giao hoán, có đơn vị không tầm thờng đều chứa ít nhất mộtiđêan cực đại

5) Nếu I là iđêan thực sự của vành giao hoán, có đơn vị R thì tồn tại ít nhất một iđêan cực đại của R chứa I.

1.4 Iđêan hữu hạn sinh

1.4.1 Định nghĩa Cho R là vành và S  R Khi đó giao của tất cả các iđêan của R

chứa S là một iđêan của R chứa S, kí hiệu bởi S.

S đợc gọi là tập sinh (hay hệ sinh) của iđêan I =<S> và ta nói I sinh bởi S.

S đợc gọi là tập sinh tối tiểu (còn gọi là hệ sinh tối tiểu) của I nếu S là tập sinh của I và không thực sự chứa một tập sinh khác của I.

Ta nói I là iđêan hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn Giả sử

S ={x 1 , … ,x n} là một hệ sinh của iđêan I trong vành giao hoán có đơn vị R Khi đó I

có biểu diễn là

I={ a1 x 1 +a 2 x 2 + … +a n x n| aiR, xiS, i=1, … } ,n

1.4.2 Ví dụ: Mỗi iđêan nZ trong vành Z sinh bởi phần tử n.

1.5 Môđun hữu hạn sinh

1.5.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun và S  M Khi đó giao của tất cả các môđun

con của M chứa S là một môđun con của M chứa S, kí hiệu bởi <S>.

Tập S đợc gọi là tập sinh ( hay hệ sinh ) của môđun con N=<S>.

Trong trờng hợp N=M thì ta nói S là một hệ sinh của M (hay M đợc sinh bởi

S ).

Nếu môđun M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M đợc gọi là môđun hữu hạn sinh Môđun đợc sinh bởi một phần tử thì gọi là môđun xyclic.

N = {a 1 x 1 +a 2 x 2 + … +a n x n| aiR, xiS, i=1, … } ,n

1.5.2 Bổ đề (Bổ đề Nakayama) Giả sử M là R-xmôđun hữu hạn sinh và I là iđêan

của R Nếu M = IM thì tồn tại a  I sao cho (1+a)M = 0 Hơn nữa, nếu

Chứng minh: Giả sử M sinh bởi các phần tử x 1 , … ,x n Từ điều kiện M = IM suy

ra tồn tại n 2 phần tử aij  I sao cho xi = n j1a xij j , i = 1, … Ta có thể viết lại ,n

Nếu I  rad(A) thì 1+a là khả nghịch trong vành R Do đó nhân hai vế của (1+a)M với (1+a) -x1 ta đợc M = 0 

Cho dù M là môđun hữu hạn sinh, không nhất thiết mọi tập sinh tối tiểu của

nó đều có cùng số phần tử Tuy nhiên định lí sau đây cho thấy trong trờng hợp vành

có cơ sở là địa phơng (tức là vành chỉ có duy nhất mội iđêan cực đại) thì mọi hệsinh tối thiểu của môđun hữu hạn sinh trên nó đều có cùng số phần tử

1.5.3 Định lí Giả sử R là vành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất m và M là một

R-x môđun hữu hạn sinh Khi đó x 1 , … , x n là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh

1 , , n

sinh tối tiểu của M có số phần tử nh nhau.

Chứng minh: Mệnh đề đầu ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Vì x x1, , n

Từ mệnh đề đầu suy ra x1 , … ,x n là tập sinh tối tiểu của M khi và chỉ khi ảnh

1 , , n

tiểu của không gian véc tơ là cơ sở của nó Vậy số phần tử sinh tối tiểu của M chính bằng dim(M/mM) 

1.6 Môđun Noether

1.6.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun M đợc gọi là môđun Noether nếu mọi dãy

1.6.2 Định lí Cho R là vành và M là một môđun trên vành R Các điều kiện sau

đây là tơng đơng:

i) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm).

ii) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.

iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

Chứng minh: ii) i) Gọi A là tập hợp các môđun con của M Vì 0M  A nên

trình nh vậy ta đợc một dây chuyền tăng vô hạn Điều này mâu thuẫn với ii).

sinh của M chứa trong I Theo i) thì F có phần tử cực đại J Nếu J=I thì I là môđun

con hữu hạn sinh Nếu JI thì tồn tại aI\ J Giả sử J=(a1 , … ,a n ), khi đó xét

J =(a’=(a 1 , … ,a n ,a) là môđun con của của M nằm trong I và J’=(a hữu hạn sinh Suy ra

mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

M 1  M2  …  M n  Mn+1 …

Đặt I = n1M n Với mọi a,b thuộc I, tồn tại p, q  1 sao cho aM p , bMq.

Theo iii) môđun con I hữu hạn sinh nên giả sử I=(a1 , … ,a m ) Do a iI nên có thể chọn đợc pi  1 sao cho ai  M P i , i=1, … Đặt p=max{p ,m 1 , … ,p m } Vì M p M p

i 

mọi n 1 Vậy dãy tăng các môđun con bất kì của R-môđun M dừng lại sau hữu

hạn bớc 

1.6.3 Ví dụ 1) Xét Z là Z – Toán môđun thì Z là môđun Noether vì mọi môđun con

của Z (tức là iđêan của vành Z) đều hữu hạn sinh

2) V là không gian véctơ hữu hạn chiều thì V là môđun Noether.

1.7 Vành Noether

1.7.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan

R thì tồn tại số tự nhiên n sao cho I n =I n+1 = …

Nh vậy vành R là Noether nếu nó là một môđun Noether trên chính nó.

1.7.2 Định lí Giả sử R là một vành, khi đó các điều kiện sau là tơng đơng:

i) Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phần tử cực đại.

ii)Mọi dãy tăng các iđêan trong vành R đều đều dừng.

iii)Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh.

1.7.3 Ví dụ 1) Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của Z có dạng

nZ (nZ) nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử).

2) Mọi trờng X đều là vành Noether vì chỉ có hai iđêan là 0 và X, tức là dãy

tăng các iđêan là dừng

1.8 Iđêan nguyên tố liên kết

1.8.1 Định nghĩa Giả sử M là R-môđun Một iđêan nguyên tố P của R đợc gọi là

nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại xM sao cho:

P= Ann R (x) = { a R| ax = 0}.

Ass M nếu ta không để ý đến vành R).

1.8.2 Ví dụ Giả sử P là một iđêan nguyên tố của vành R Ta xét vành thơng R/P

nh là R-môđun Khi đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun R/P Thật vậy,

1.8.3 Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết.

Mệnh đề 1 Giả sử M là một R-x môđun và P là một iđêan nguyên tố của vành R Khi

đó P  AssR M khi và chỉ khi M chứa một môđun con N sao cho N  R/P.

Mệnh đề 2 Cho M là một R-xmôđun Kí hiệu  là tập tất cả các iđêan của R có

hàm thì P AssM

Hệ quả3 Cho M là một R-xmôđun, khi đó M= 0 khivà chỉ khi Ass R M = .

Hệ quả 4 Cho M là R-xmôđun, kí hiệu D là tập tất cả các ớc của không của M Khi

1.9.1 Định nghĩa Giả sử R là vành Noether, M là R-môđun, N là môđun con của

M Khi đó N đợc gọi là môđun con nguyên sơ của M nếu Ass R (M/N)={P}, với P là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó ta cũng nói N là môđun con nguyên sơ Nếu N= 0 là P-nguyên sơ thì ta cũng nói M là môđun nguyên sơ.

1.9.2 Bổ đề Cho Q 1 , Q 2 là hai môđun con của M Giả sử Q 1 , Q 2 là hai môđun con P-xnguyên sơ của M Khi đó Q 1 Q2 cũng là môđun P-xnguyên sơ.

1.9.3 Định nghĩa Giả sử R là một vành, M là một R-môđun.

i) Cho N là môđun con của M Ta nói rằng N có phân tích nguyên sơ nếu tồn

N = Q 1  Q2  …  Q n (*) ii) Giả sử AssR (M/Q i ) = {P i}, i = 1,2, … (Q ,n i là Pi-nguyên sơ) thì phân tích

nào có thể bỏ đi đợc

Chú ý: Theo bổ đề trên, mọi sự phân tích nguyên sơ (nếu có) của môđun N đều có

thể thu gọn đợc

1.9.4 Định lí (Định lí phân tích nguyên sơ Lasker) Giả sử M là một R-xmôđun

Noether Khi đó các phát biểu sau là đúng:

i) Mọi môđun con N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn

ii) Giả sử N=Q 1Q2 …Q n là một sự phân tích thu gọn của môđun con N trong đó Q i là P i -xnguyên sơ với mọi i = 1,2, … ,n Khi đó tập {P 1 ,P 2 , … ,P n } xác định duy nhất không phụ thuộc vào cách phân tích của môđun N Cụ thể {P 1 ,P 2 , ,P

… n }=Ass R (M/N) Nếu P i là tối tiểu trong tập {P 1 ,P 2 , … ,P n } thì Q i xác định duy nhất.

1.9.5 Hệ quả Giả sử R là vành giao hoán, Noether và I là một iđêan của R Khi đó

tồn tại sự phân tích nguyên sơ

I = q 1  q2  …  q n (*) trong đó q i là P i -xnguyên sơ.

Nếu (*) là phân tích nguyên sơ thu gọn thì tập {P 1 , P 2 , … , P n } xác định duy nhất và bằng Ass R (R/I).

Nếu P iAssR (R/I) là tối tiểu thì q i xác định duy nhất.

Chú ý: i) Giả sử N = Q 1  Q2  …  Q n là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con N của môđun M, trong đó Qi là Pi-nguyên sơ Khi đó nếu Pi là tối

thành phần nhúng Theo định lí 1.9.4, trong sự phân tích nguyên sơ của N thì các

thành phần cô lập là xác định duy nhất còn các thành phần nhúng có thể không duynhất

ii) Cũng từ Định lí 1.9.4, ta muốn tìm AssM ta chỉ cần tìm sự phân tích

nguyên sơ của môđun con 0 của M

Giả sử môđun 0 của M có sự phân tích nguyên sơ thu gọn

AssM = {P 1 , P 2 , … , P n}

1.10 đại số

Cho A, B là các vành, f : AB là một đồng cấu vành.Với aA và bB, ta

định nghĩa tích ab:=f(a)b Khi đó, vành B trở thành một A-môđun với phép nhân với vô hớng nh vừa nêu Nh vậy B vừa có cấu trúc vành lại vừa có cấu trúc môđun.

Ta nói B là một A-xđại số Vậy vành B đợc trang bị một cấu trúc A-môđun đợc gọi là một A-xđại số Hay nói cách khác, một A-đại số là một vành B cùng với một đồng cấu vành f : AB.

Giả sử B là một A-đại số Một tập con B’=(aB đợc gọi là một đại số con nếu B vừa là vành con vừa là A-môđun con của B Cho S là một tập con của B Khi đó giao của tất cả các đại số con của B chứa S là một đại số con của B chứa S và nó là đại số con bé nhất của B chứa S, gọi là đại số con của B sinh bởi tập S, kí hiệu là A[S].

Nếu S là tập hữu hạn và B=A[S] thì B đợc gọi là A-xđại số hữu hạn sinh Khi đó nếu S={s 1 ,s 2 , … ,s n} thì ta viết B =A[s1 ,s 2 , … ,s n] và mỗi phần tử của B là một tổ hợp tuyến tính trên A của các phần tử sp sp sp n

n

2 1 2

A[s 1 ,s 2 , … ,s n] đợc mô tả bởi

1 2 0

n/ , ,

m

i j

i n i

thức n biến A[x1 , … ,x n] Thật vậy ánh xạ : A[x1 , ,x n]A[s1 , ,s n] thoã mãn

(x1)=s1, ,(xn)=sn là một toàn cấu A-đại số Do đó A[s 1 , ,s n]  A[x1 , ,x n]/Ker. Một vành luôn có thể xem là một Z-đại số Một vành A là hữu hạn sinh nếu A là Z-

đại số hữu hạn sinh

Chơng II Một số tính chất của Vành và mô đun phân bậc

2.1 Vành và môđun phân bậc

2.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi là Z-phân bậc nếu R=i R i xét nh nhóm cộng,

và Ri R j  Ri+j với mọi i,jZ Hơn nữa nếu Ri =0 với mọi i<0, thì R đợc gọi là vành phân bậc dơng, hay N-phân bậc.