Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

Trờng đại học vinhkhoa toán o0o ---Một số tính chất của biến ngẫu nhiên khoa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán lời nói đầu Mục đích của khóa luận là trình bày tính c

Trờng đại học vinh

khoa toán

o0o

-Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

khoa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán

lời nói đầu

Mục đích của khóa luận là trình bày tính chất của biến ngẫunhiên và sự độc lập của nó Trên cơ sở các khái niệm, các định nghĩa

Phần II: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Giới thiệu các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bảncủa biến ngẫu nhiên

2 Các tính chất khác

Phần này chứng minh một số tính chất liên quan đến biến ngẫunhiên, tìm một số hàm mật độ đơn giản và chứng minh các tính chấtliên quan đến hàm phân phối

Phần III: Các biến ngẫu nhiên độc lập

1 Tính độc lập

Phần này giới thiệu các khái niệm, định nghĩa và các tính củabiến ngẫu nhiên độc lập

2 Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập

Trong phần này sử dụng tính độc lập của biến ngẫu nhiên đểchứng minh một số tính chất liên quan, tìm một số hàm phân phối và

đồng thời chứng minh một số tính chất khác

Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TSNguyễn Văn Quảng Tác giả xin trân trọng đ ợc bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến thầy-ng ời đã dành cho em sự h ớng dẫn nhiệt tình, chu

đáo trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu

và bổ ích của các thầy cô trong Khoa Toán, Tổ Xác Suất Thống Kê

và Toán ứng Dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu tại tr ờng

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình vàbạn bè, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Do hạn chế về thời gian cũng nh tài liệu tham khảo nên luận vănnày sẻ không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận đ ợc sự

Vinh th¸ng 4 n¨m 2005

T¸c gi¶

3

phần I các kiến thức chuẩn bị

ở đây cũng nh 3, chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức Hệ thức

kia tự động đ ợc thỏa mãn Chẳng hạn từ (An) F suy ra

Cặp (Ω,F ), trong đó Ω  bất kỳ còn F là một б-đại số các

tập con của Ω đợc gọi là một không gian đo.

1.4 Độ đo xác suất cộng tính hữu hạn:

Giả sử Ap(Ω) là một đại số nào đó Hàm tập hợp P(.) xác

định trên A đợc gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính ( hay cộng

Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A.

Khi đó bốn điều kiện sau là t ơng đơng:

3) P liên tục dới, tức là nếu An A , n=1,2, là dãy giảm (An  A n -1)

F là б-đại số các tập con của Ω;

P là độ đo xác suất б-cộng tính hay nói gọn là xác suất trên F

Khi đó bộ ba (Ω,F, P) đợc gọi là không gian xác suất

Ω đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Mỗi AF đợc gọi là biến cố, P(A) là xác suất của biến cố A

P đợc gọi là xác suất trên F

1.9 Định lý Carethéodory :

Giả sử Ω là một tập hợp nào đó, A là đại số các tập con của Ω.Giả sử  0là một độ đo xác định trên A (nghĩa là  0là một hàm tập

hợp, không âm, б-cộng tính trên A) và б-hữu hạn (nghĩa là tồn tại

dãy (An)A sao cho 

Giả sử F(x) là một hàm số tùy ý xác định trên R thỏa mãn ba

điều kiện 1), 2), 3) ở trên Khi đó tồn tại duy nhất một xác suất P xác định trên B(R) Sao cho:

ta kí hiệu u (tơng ứng u, v ) là phép chiếu chính tắc từ RT lên Ru(tơng ứng Rv lên Ru ) Chúng thỏa mãn các điều kiện :

uv ov  u ( u, v V, u  v )

uv ovw uw ( u, v, w U, u  v  w )

ký hiệu BS là б-đại số nhỏ nhất trên RS sao cho các ánh xạ chiếu s ,

sS là đo đợc Đó cũng là б-đại số sinh bởi các tập S

S B

 , trong đó B S

B (R) và BS = R với tất cả các S chỉ trừ một số hữu hạn Bây giờ giả

sử cho họP uuU các độ đo xác suất trên {( Rn, Bu), uU} tơng ứng.

Họ (Pu) đợc gọi là tơng thích (hay nhất quán) nếu

,

) ( v u

uv P P

 (1.1)

Đối với mỗi cặp u,vU và uv, trong đóuv(P v)là độ đo xác suất

của Pv quauvđợc xác định bởi

)) ( ( )

thỏa mãn điều kiện (1.1) Ng ợc lại, nếu chỉ cho họ các xác suất

{Pu, uU} thỏa mãn (1.1) thì thử hỏi có tồn tại độ đo xác suất P

trên (RT, BT) thỏa mãn (1.2) hay không ?

1.13 Định lí tồn tại :

Giả sử T là tập chỉ số tùy ý, U là tập hợp gồm tất cả các tập con hữu hạn của T Giả thiết với mỗi uU tồn tại độ đo xác suất Pu trên

BS sao cho họ P uuU thỏa mãn điều (1.1) Khi đó, tồn tại một độ đo

xác suất duy nhất P trên (RT, BT) thỏa mãn (1.2)

phần ii

một số tính chất của biến ngẫu nhiên

1. các khái niệm và tính chất cơ bản

Giả sử (Ω,F ) là không gian đo đã cho

Giả sử X:   R khi đó các mệnh đề sau là t ơng đơng :

1) X là biến ngẫu nhiên

2)  : X(  )  x F với mỗi xR

3)  :X(  ) xF với mỗi xR

4)  :aX(  ) bF với a < b bất kỳ

1.3 Hàm Borel:

Hàm : ( Rn, B(Rn))   ( R, B(R) )đợc gọi là hàm Borel, nếu nó

B(Rn)-đo đợc, nghĩa là:   1(B)B(Rn) với mỗi B  B(R) ( ở đây B(R)

là б-đại số các tập Borel của trục thực R )

1.4 Nhận xét:

Từ định nghĩa suy ra, nếu  : Rn R là hàm liên tục thì 

cũng làhàm Borel Đặc biệt các hàm:

Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω,F ) và  (t1,t2, ,tn) là hàm Borel giá trị thực

Khi đó, Y= (X1, X2, , Xn) cũng là biến ngẫu nhiên

1.6 Hệ quả:

Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên Khi đó,

X  Y, X.Y, XvY, X^Y, X + =Xv0, X- = (-X)v0,  



X

cũng là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt, nếu Y không triệt tiêu thì X/Y

là biến ngẫu nhiên

là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt nếu lim Xn = X, X hữu hạn thì X cũng

là biến ngẫu nhiên

1.8 Định lý:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F ) Khi đó,

1) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X;

2) Nếu X 0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản ( Xn) sao cho

Xn X.

1.9 Định lý:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Ω,F ) và Y là ánh xạ từ Ω vào

R Lúc đó, Y là F(X)-đo đợc khi và chỉ khi tồn tại hàm

Borel : R R sao cho   0.

1.10 Định nghĩa:

11

Giả sử (Ω,F ) và (E, ) là hai không gian đo Khi đó, ánh xạ X:

Ω  E, F / - đo đợc còn đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên

1.11 Định nghĩa:

Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F, P) nhận giá trị (E, ) Hàm tập

)), ( ( ) (B P X 1 B

 B   ,

đợc gọi là phân phối của X trên (E, ) Đó là một độ đo xác suất còn

đợc gọi là ảnh của P qua X, ký hiệu là X(p)

Khi (E, ) = (RT, B(RT)), phần tử ngẫu nhiên X còn đợc gọi là hàm ngẫu nhiên Nếu TR thì X đợc gọi là quá trình ngẫu nhiên.

x (  ) :  lim ( )  1





x F F

x

Ngợc lại, nh đã biết, nếu hàm số F(x) bất kỳ có ba tính chất trên

thì tồn tại một độ đo xác suất  trên (R, B(R)) sao cho:

F(x) =  (-  , x), xR.

Từ đó, nếu lấy X: R R là ánh xạ đồng nhất thì X là biến ngẫu nhiên

trên không gian xác suất ( R, B(R), ), sao cho: F(x) = FX(x).

Độ đo xác suất  sinh bởi hàm F(x) còn đợc gọi là độ đo Lebesgue -Stieltjes sinh bởi F.

Từ tính chất liên tục của xác suất, ta có:

0

n x F Lim x

F

x

n X

] 1 ) ( 2 ][

1 ) ( 2 [ ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( 2 [ ) ( ) ( )

( ))' ( [(

) ( ) ( )

( ))' ( [(

( ) ( )]' ( [ )]' ( [ )]' ( [ ) (

( ) ( )]' ( [ )]' ( [ )]' (

[

0  F2 x F2 y  F2 x F2' y  F1' x F2 y



) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

( ) (

2

0  F1' x F2' y F1 x F2 y  F1 x  F2 y



) ( ) ( ) ( ) (

2

0  F1 x F2 y  F1 x  F2 y

 (V× F1'(x ).F2'(y)0)

) ( ) ( 2 ) ( )

1 2

2 2

1 (x) F (y) 2F(x)F (y) 4 [F(x)F (y)]



0 )]

( ) ( [ 4 ) ( ) ( 2 ) ( )

( ) ( [ 2 ) ( )

( ) ( [ 2 ) ( )

( )

, (x y dxdy f

1 '

2 2

2 '

1 2

2

] 1 1 1

, (x y dxdy f

Kết luận: f(x,y) là hàm mật độ phân phối của véctơ ngẫu nhiên ( X,Y)

( )]' ( {[

) ( )

f Y

2.3 Định lý:

Giả sử X và Y có cùng mật độ đồng thời

1 ) , (





y x y

x f

exp 1 4

1 ) ,

z y

z z

dxdy y x f Z

Y Z Z X Z

z

z

z

dy e dx e dxdy

y x f

2 2

2

2 2 2

2 1

( , 0

2

1 2

1 )

2

2 2

Z II

e Z Z II

e Z z

f

z z

Z Z

) (x   e x

) ( ) (

t F

t F x t F

Ta thấyF(x)  1  e x thõa mãn (1)

Vậy: F(x)1 e x;x0là hàm phân phối của X.

2.5 Mệnh đề:

Giả sử F(x) là hàm phân phối của X, F(x) liên tục Khi đó,

Y = F(X) có phân phối đều trên đoạn [0; 1].

) ( : ( ) ) )](

( [ : ( ) (y P F X y P X F 1 y

Minx x

F y

X F y

1 0

0 0

) (

y khi

y khi

y

y khi

y

F Y

(Đpcm)

phần Iii

các biến ngẫu nhiên độc lập

1 Tính độc lập

Giả sử (Ω,F, P) là không gian xác suất cố định.

1.1 Định nghĩa: Họ hữu hạn { Fi , i  I} các б-đại số con của F

i I

i i



đối với Ai Fi, (iI) bất kỳ.

Họ vô hạn {Fi, iI } các б-đại số con của F đợc gọi là độc lập nếumỗi họ con hữu hạn của nó độc lập

Họ các biến ngẫu nhiên Xi, iI đợc gọi là độc lập nếu họ các biến

ngẫu nhiên J A i,iI là độc lập.

1.2 Định lý:

Giả sử {Ci, iI } là họ tùy ý các lớp con của F có các tính chấtsau:

a) Mỗi lớp Ci đóng đối với phép giao

b) Họ {Ci, i I} độc lập theo nghĩa đối với F  I hữu hạn bất kỳ và

j J

Khi đó, đối với họ con rời nhau { Ij, iJ} bất kỳ của tập I, các б-đại

số { gj  б (Fi, iIJ), JI} cùng độc lập.

1.4 Hệ quả:

Giả sử các biến ngẫu nhiên X k i,k  1 , ,n j,jJ

độc lập và{g j(x1, ,x n j)} là họ các hàm Borel bất kỳ Khi đó, họ cácbiến ngẫu nhiên g( 1 , ,X j J}

( ) ( )

Giả sử {Fn, n 1} là họ các б-đại số độc lập và F  là б-đại số

đuôi tơng ứng Khi đó, nếu AF thì P(A) bằng 0 hoặc 1, nghĩa là

F= {ứ, Ω} xê xích một tập P-không

1.8 Hệ quả:

Giả sử {Fn, n1} là họ các б-đại số độc lập và X là một biến

ngẫu nhiên đo đ ợc với б-đại số đuôi, khi đó X là suy biến, nghĩa là X

là hằng số hầu chắc chắn

1.9 Hệ quả:

Giả sử (xn) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó mỗi biến cố

đuôi có xác suất bằng 0 hoặc 1 và mỗi biến ngẫu nhiên đo đ ợc với

б-đại số đuôi của ( Xn) hầu chắc chắn bằng hằng số

1.10 Hệ quả:

Giả sử (Xn) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( lấy giá trị trong R), (an)

là dãy số thực, an   0 Khi đó chuỗi 

21

2 Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập

m n

e m

e n

0

2 1

2 1

)!

(

.

m n m

m n m

n n

e

0

2 1 )

(

)!

(

!

!

2 1

)

( 1 2

1 1

2

1

1 2

Từ đó suy ra:

!

)

(

)

( 1 1

m n n m

n m n m n m

m

n P P C P P C

n

0

) ( 2

n n n n n m n m

n C P P C

0

2 1 2

n n n n

n

n n n

X X

n n n n

n

n n n

X X

  . .(1 ) 1 .

1

' '

k n C k P P k X

Giả sử X1, X2, , Xk là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm

phân phối là F(x) Khi đó, Z = Max{ X1, X2, , Xn} có hàm phân phối

X



F n (x).

2.4 Mênh đề:

Giả sử X1, X2, , Xk là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm

phân phối là F(x) Khi đó, T = Min{ X1, X2, , Xn} có hàm phân phối

1

) (

i x X P

1

) (

i x X P

1 ) ( 2

1 2

1

)

(

dZ t Z g t Z f Z

1 ) ( 2

1 2

2 2

1 2

1 )

1 ) ( 2

1 2

1 ) (

dz t Z g t Z f z

1 ) ( 2

1 2

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chuẩn

, (

1 2

2 2

2 2 1 2

2 1

2

1 2

z

e e

2 2

2

2 2

1 2

e

2 2

2

4 2

2

4 4

2

2   



t a z

t a z

2 2 2 2

4 4

2 2

2

1 2

t a

2

4 4

2

2

1 2

2

a z

2

1 2

f T( ) z,t ,

 

dz e e

t a z

2 2 2 2

4 4

2 2

e

a z t

2

4

2 4

2

1 2



.

1 ) (

1 )

1

2

1 2

1 )

2 1

2

1 )

t z t z Y

2 1

2

1 2

1 ) (

z z Y

X z e dt e dt

f

2

1 2

1 )

(

0

z z

1 )

(

z Y

[ /

n Y X P

n Y X k X P n Y X k X P

e k

e n Y X

k

X

P

) (

! )!

kết luận

Khóa luận đã đạt đ ợc một số kết quả sau:

1 Trình bày đầy đủ các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên

Trình bày các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên độc lập

2 Đã chứng minh một số tính chất khác về biến ngẫu nhiên, tính độclập và mối quan hệ giữa chúng

Sử dụng tính độc lập tìm một số hàm phân phối, hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên khác

29

31

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] §inh V¨n G¨ng: Bµi TËp X¸c SuÊt Thèng Kª - Nhµ XuÊt B¶n

Gi¸o Dôc 2002

[2] §Æng HÊn: X¸c SuÊt Th«ng Kª - Nhµ XuÊt B¶n Thèng Kª 1996 [3] §µo V¨n Phong: Hµm sè thùc - Nhµ XuÊt B¶n Gi¸o Dôc 1976

[4] NguyÔn Duy TiÕn - Vò ViÕt Yªn: Lý ThuyÕt X¸c SuÊt Thèng Kª

- Nhµ XuÊt B¶n Gi¸o Dôc 2001

môc lôc

33

Lêi nãi ®Çu

PhÇn I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ

PhÇn II: Mét sè tÝnh chÊt cña biÕn ngÉu nhiªn

1 C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n

913

19223132

35