LUẬN văn sư PHẠM TOÁN mở RỘNG NGUYÊN của VÀNH và một số TÍNH CHẤT của VÀNH mở RỘNG NGUYÊN

Có rất nhiều vấn đề mới cần được phát triển, trong đó sự mở rộng nguyên của vành là một đề tài hay, là sự tương tự của khái niệm sự mở rộng đại số trong lý thuyết trường nhưng đối tượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Lời cảm ơn

Được thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp thực sự là niềm vui và là niềm

vinh dự cho mỗi sinh viên Đối với bản thân em, đây không chỉ là luận văn tốt nghiệp để hoàn thành 10 tín chỉ của một học phần mà nó còn là thành quả của quá trình học tập, nghiên cứu; là sản phẩm của sự tư duy Vì vậy, để hoàn thành

được đề tài này, ngoài năng lực của bản thân, em còn được sự hướng dẫn và giúp

đở tận tình của các thầy cô là giảng viên thuộc Bộ môn Toán; sự cổ vũ, động

viên từ phía gia đình và bạn bè…

Sau đây em xin gửi lời cám ơn chân thành nhất đến thầy Bùi Anh Kiệt, là giảng viên giảng dạy học phần “ Đa thức và phương trình đại số” và cũng là người trực tiếp hướng dẫn đề tài này

Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn đến:

Cô Nguyễn Thị Phương Thảo là cán bộ giảng dạy học phần “Cơ sở logic và lý thuyết tập hợp”,

Thầy Nguyễn Hoàng Xinh là cán bộ giảng dạy học phần “Đại số tuyến tính” và học phần “Lý thuyết nhóm”,

Thầy Nguyễn Thanh Bình là cán bộ giảng dạy học phần “Lý thuyết vành- trường” và học phần “Đại số giao hoán”,

là những người đã truyền thụ cho em những kiến thức cơ bản về Đại số, từ đó nung nấu trong em niềm say mê nghiên cứu và tìm hiểu về Đại số hiện đại Cuối cùng em xin gửi lời cám ơn đến gia đình; bạn bè, đặc biệt là anh Nguyễn Văn Hiếu, sinh viên cao học K15 chuyên ngày Đại số, là người đã giới thiệu cho em nhiều tài liệu hay cũng như những địa chỉ để khai thác tài liệu trên internet và tập thể các bạn sinh viên lớp Sư phạm Toán K32, những người luôn tạo cho em một môi trường học tập tốt nhất

Sinh viên thực hiện đề tài

Phạm Thị Ngọc Hà

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đại số hiện đại mà cụ thể hơn là Đại số giao hoán là một môn học được

giảng dạy và học tập ở bậc cử nhân và sau đại học Đối với sinh viên Khoa Sư phạm, chuyên ngành Toán, đây là một môn học khó bởi nó có tính trừu tượng cao, tài liệu nghiên cứu bằng tiếng việt hiếm và lịch sử nghiên cứu của nó còn khá mới mẽ Tuy nhiên cũng chính vì thế mà đây là “mảnh đất màu mỡ” cho sinh viên khai thác và nghiên cứu Có rất nhiều vấn đề mới cần được phát triển,

trong đó sự mở rộng nguyên của vành là một đề tài hay, là sự tương tự của khái

niệm sự mở rộng đại số trong lý thuyết trường nhưng đối tượng nghiên cứu chỉ

là vành giao hoán, có đơn vị nên các khái niệm và tính chất mang tính tổng quát khá cao

Hơn thế nữa, là một sinh viên chuyên ngành Toán, em thấy rằng đề tài trên rất hấp dẫn, phù hợp với năng lực của bản thân, nó sẽ là tiền đề để em phát triển kiến thức chuyên ngành Đại số ở bậc cao hơn và là tài liệu tham khảo cho

các bạn sinh viên chuyên ngành Toán-Tin học Chính vì thế em chọn đề tài: “Mở rộng nguyên của vành và một số tính chất của vành mở rộng nguyên” là đề tài

luận văn của mình

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Em nghiên cứu đề tài này với mục đích:

* Làm rõ các khái niệm và tính chất có liên quan đến sự mở rộng nguyên

của vành

* Làm rõ sự tương tự của các khái niệm và tính chất đang xét với khái

niệm và tính chất đã biết trong lý thuyết trường

3 TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Trong luận văn này, em trình bày những nội dung sau đây:

* Chương I: Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vành và module nhằm

làm cơ sở và công cụ nghiên cứu cho các vấn đề ở chương II

* Chương II: Dựa vào các kiến thức cơ sở ở chương I, làm rõ các khái niệm và tính chất của mở rộng nguyên trong vành giao hoán, có đơn vị, đồng thời xác lập mối quan hệ giữa mở rộng nguyên với mở rộng đại số trên trường

Mở rộng các tính chất đã phân tích dưới dạng bài tập vận dụng ngay sau mỗi phần nhằm hoàn thiện nội dung nghiên cứu

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong khuôn khổ đề tài của mình, em chỉ nghiên cứu những vấn đề trong vành giao hoán, có đơn vị 1

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

* Tổng hợp tài liệu để có nguồn kiến thức cần thiết

* Phân tích những mặt mạnh và những mặt chưa phù hợp (trong phạm vi

mục đích và yêu cầu của đề tài) của những tài liệu hiện có để rút ra những kinh nghiệm nghiên cứu cần thiết

* Tiếp thu và trình bày lại nội dung kiến thức một cách logic theo sự hiểu

của bản thân

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 NHẮC LẠI VỀ VÀNH VÀ VÀNH ĐA THỨC 1

1.1.1 Vành 1

1.1.2 Vành con 4

1.1.3 Ideal 5

1.1.4 Đồng cấu vành 6

1.1.5 Ideal nguyên tố và ideal tối đại 8

1.1.6 Vành các thương 10

1.1.7 Vành đa thức 11

1.2 NHẮC LẠI VỀ MODULE 12

1.2.1 Module, module con 12

1.2.2 Đồng cấu module 14

1.2.3 Module tự do và module hữu hạn sinh 16

1.2.4 Dãy khớp 17

1.2.5 Tích TENSOR 18

1.2.6 Module Noether và module Artin 18

CHƯƠNG II MỞ RỘNG NGUYÊN CỦA VÀNH VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH MỞ RỘNG NGUYÊN .21

2.1 PHẦN TỬ NGUYÊN VÀ SỰ MỞ RỘNG NGUYÊN CỦA VÀNH 21

2.1.1 Vành mở rộng 21

2.1.2 Phần tử nguyên 21

2.1.3 Vành mở rộng nguyên 26

2.1.4 Bài tập vận dụng 32

2.2 BAO ĐÓNG NGUYÊN VÀ TÍNH CHẤT ĐÓNG NGUYÊN CỦA MỞ RỘNG NGUYÊN 40

2.2.1 → 2.2.13 Định nghĩa, ví dụ và các mệnh đề 40

2.2.14 Bài tập vận dụng 49

2.3 IDEAL TRONG VÀNH MỞ RỘNG NGUYÊN 52

2.3.1 → 2.3.10 Định nghĩa, ví dụ và các mệnh đề 52

2.3.11 Bài tập vận dụng 61

2.4 TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CỦA MỞ RỘNG NGUYÊN: MỞ RỘNG ĐẠI SỐ TRÊN TRƯỜNG 64

2.4.1 Mở rộng bậc hữu hạn của trường 65

2.4.2 Đa thức tối tiểu của phần tử đại số 69

2.4.3 Mở rộng đại số trên trường 70

2.4.4 Bài tập vận dụng 76

A[x] – vành các đa thức đối với biến x với hệ số trong A

ht P – height – cận trên đúng của chiều dài tất cả các dãy ideal nguyên tố giảm

nghiêm ngặt trên một vành, bắt đầu từ ideal nguyên tố P của nó

coht P – coheight – cận trên đúng của chiều dài tất cả các dãy ideal nguyên tố

tăng nghiêm ngặt trên một vành, bắt đầu từ ideal nguyên tố P của nó

Spec(A) – tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành A

r(a) – radical của ideal a

UFD – unique factorization domain (miền nhân tử hóa duy nhất)

GCD – greatest common divisor

[L:K] – bậc của mở rộng trường L/K

Jac(A) – Jacobson radical của vành A

ii) Với ∀x, y∈ X, xy = yx ( ta ký hiệu xy thay cho x.y)

iii) Với ∀x, y z ∈ X, (xy)z = x(yz)

iv) Với ∀x∈X, 1x= x1=1 (1 gọi là phần tử đơn vị)

v) Với ∀x, y z ∈ X, x(y+z) = xy+ xz

Ta thường gọi tắt vành “X” thay cho vành “(X, +, )”

NHẬN XÉT:

 Khái niệm “vành” mà ta xét trong toàn bộ phần nội dung chính là khái

niệm “vành giao hoán, có đơn vị”

 Nhận thấy rằng trong định nghĩa trên, điều kiện Abel của nhóm (X, +)

là thừa vì nó có thể suy ra từ các điều kiện khác trong định nghĩa

1.1.1.2 Tính chất Cho X là vành, khi đó:

i) Phần tử đơn vị của vành là duy nhất

ii) ∀x ∈X, 0x= x0 = 0

iii) ∀x, y ∈X, (-x)y= x(-y)= -(xy)

iv) Trên vành X, xây dựng phép “trừ” như sau:

x- y = x+ (-y), ∀x, y∈ X

Khi đó phép nhân là phân phối với phép trừ, tức

(x- y)z= xz- yz và bằng z(x- y)= zx- zy, ∀x, y, z ∈ X

v) ∀x, y∈ X, ∀n∈Z, (nx)y= x(ny)= n(xy)

j j n

))(

Phần tử đối xứng của phần tử x∈ X gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là –

x Phần tử nghịch đảo của phần tử x (x≠0) trong phép nhân kí hiệu là x-1

1.1.1.2 Ví dụ về vành

i) Mỗi tập hợp số Z, Q, R, C cùng với phép cộng và phép nhân thông thường đều lập thành một vành (vành giao hoán, có đơn vị) Gọi là vành các số nguyên, vành các số hửu tỉ, vành số thực và vành số phức

ii) Gọi M(n, R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n với các phần tử

là số thực Cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận, M(n,R) là một vành có đơn vị, không giao hoán nếu n>1 Tương tự ta cũng có M(n, Z), M(n, Q), M(n, C) không là vành giao hoán

iii) Cho X là một không gian Tôpô, C(X) là tập hợp tất cả các hàm số liên tục từ X vào R, là một vành với hai phép toán:

iv) Phần tử x thuộc vành X được gọi là ước của không nếu trong X có

phần tử y ≠ 0 sao cho xy=0 Nếu x ≠ 0 và x là ước của không thì ta nói x là

ước thực sự của không

v) Vành khác vành không và không có ước thực sự của không được gọi là

miền nguyên

1.1.1.4 Tính chất

i) Mỗi trường là một miền nguyên

ii) Mọi miền nguyên hữu hạn là một trường

vi) Xi là miền nguyên với (i=1, 2, …, n) nhưng ∏

=

i i

X

1không là miền nguyên

1.1.2 Vành con

1.1.2.1 Định nghĩa

Giả sử X là một vành (trường) và A là tập con khác rỗng, ổn định đối với hai phép toán trong X A được gọi là một vành con (trường con) của vành (trường) X nếu A cùng hai phép toán cảm sinh trên A là một vành (trường)

Mỗi ideal khác {0} và khác X của vành X là ideal thực sự của X

ii) Nếu X là vành, I, J là ideal của vành X thì (I : J)= {a∈X: aJ ⊆ I} là ideal của X và được gọi là ideal thương

iii) Tập con nZ= {nk/ k ∈Z} là ideal của miền nguyên Z với n∈N

1.1.3.3 Tính chất

i) Nếu X là vành có đơn vị và A là ideal chứa đơn vị của X thì A=X

ii) Giao của một họ bất kì các ideal của X là ideal của X

iii) Giả sử A, B là các ideal của X, khi đó:

X

Cho X là vành và A là ideal của vành X Khi đó, tập thương X/A={x+A/

x∈A} cùng với hai phép toán:

Phép cộng: (x+A)+ (y+A) = (x+y)+ A , với ∀x,y ∈X,

Phép nhân: (x+A)(y+A) = xy+ A , với ∀x,y ∈X

lập thành một vành gọi là vành thương của vành X theo ideal A

 Nếu X là vành giao hoán, có đơn vị 1 thì X/A là vành giao hoán và có đơn

vị là 1+A

 Ta thường ký hiệu x= x+ A là một phần tử của vành thương X/A

1.1.4 Đồng cấu vành

1.1.4.1 Định nghĩa

Cho X và Y là hai vành tùy ý Một ánh xạ

sau :

i) ∀x, y ∈X: ƒ(x+ y)= ƒ(x)+ ƒ(y)

ƒ(xy)= ƒ(x)ƒ(y) ii) f(1)= 1

1.1.4.2 Tính chất: Cho đồng cấu vành f : X→ Y khi đó:

ii) Nếu có một đẳng cấu vành từ vành X vào vành Y thì ta nói X và Y

đẳng cấu với nhau; ký hiệu là X ≅ Y

iii) Tập imf = f(X) gọi là ảnh của đồng cấu vành f

Tập kerf = {x∈X/ f(x)= 0} gọi là hạt nhân của đồng cấu f

1.1.4.4 Mệnh đề

i) Nếu f: X→ Y và g: Y→ Z là hai đồng cấu vành thì tích (ánh xạ hợp)

f

gο là một đồng cấu vành

ii) Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành

iii) ƒ là toàn cấu khi và chỉ khi imƒ= Y

iv) ƒ là đơn cấu khi và chỉ khi kerƒ= {0X}

v) Nếu A là một vành con của vành X và B là ideal của vành Y thì ƒ(A) là một vành con của Y và ƒ-1(B) là một ideal của X

vi) Nếu ƒ là toàn cấu thì đồng cấu cảm sinh ƒ*

: X/kerƒ → Y là đẳng cấu

vii) ( Định lý đẳng cấu thứ nhất) Giả sử A, B là các ideal của X sao cho

A⊆ B, khi đó B/A là một ideal của X/A và ta có đẳng cấu vành:

(X/A)/(B/A) ≅ X/B viii) ( Định lý đẳng cấu thứ hai) Giả sử A là vành con của X và B là ideal của X Khi đó A∩B là một ideal của A và ta có đẳng cấu vành

A/(A∩B)≅ (A+B)/B

1.1.4.5 Ví dụ

i) Giả sử X và Y là các vành, ánh xạ ƒ : X → Y

x α 0Y

với 0Y là phần tử không của Y là một đồng cấu, gọi là đồng cấu không

ii) A là vành con của vành X, ánh xạ iA : A → X

a α a

là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc hay là phép nhúng tự nhiên

iii) Giả sử A là ideal của vành X Khi đó ánh xạ:

π: X→ X/A

là toàn cấu gọi là toàn cấu chính tắc

1.1.5 Ideal nguyên tố - ideal tối đại

1.1.5.1 Định nghĩa

i) Một ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố của X nếu :

P ≠ X và ∀x, y ∈X, xy ∈P thì x ∈P hoặc y ∈P

ii) Một ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại của X nếu M ≠ X và không có ideal nào nằm giữa M và X

1.1.5.2 Tính chất Cho I là ideal của vành X Khi đó:

i) I là ideal nguyên tố của X khi và chỉ khi X/I là miền nguyên

ii) I là ideal tối đại của X khi và chỉ khi X/I là trường

iii) Nếu I là ideal thực sự của X thì I được chứa trong một ideal tối đại nào đó của X

iv) Cho các ideal nguyên tố P1, P2, …, Pn của X

NHẬN XÉT: Từ các tính chất trên ta có thể suy ra:

 Ideal tối đại là ideal nguyên tố

 {0} là ideal nguyên tố của vành X khi và chỉ khi X là miền nguyên  Trong một vành khác không luôn có ít nhất một ideal tối đại

 Mỗi phần tử không khả nghịch của vành luôn thuộc về một ideal tối

đại nào đó của vành

1.1.5.3 Định nghĩa

Vành chỉ có chứa một ideal tối đại duy nhất gọi là vành địa phương

1.1.5.4 Tính chất Cho vành X và ideal thực sự M của X Khi đó:

i) Nếu ∀x ∈X\M, x khả nghịch trong X thì X là vành địa phương và M là ideal tối đại của X

ii) Nếu M là ideal tối đại của X và với ∀x ∈X, 1+x khả nghịch trong X thì

với phép nhân trong X

ii) Cho S là tập con nhân của vành X, khi đó:

s

x

,

| được gọi là vành các thương của X theo S

Nếu P là ideal nguyên tố của vành X thì S=X\P là tập con nhân của X và

1.1.7.1 Định nghĩa

i) Cho A là một vành, một đa thức của x trên vành A là một biểu thức có dạng: f(x) = a0+ a1x+… +anxn

trong đó a0, a1, …, an∈ A và an ≠ 0 thì deg f(x)= n là bậc của đa thức f(x)

ii) Một đa thức f∈A[x] được gọi là monic nếu f khác không và hệ tử có bậc cao nhất là 1 Khi đó f có dạng:

0 1

1

n n

n n

a x a x

a

iii) Tập hợp tất cả các đa thức của x trên vành A cùng với phép toán cộng

và nhân đa thức, lập thành một vành gọi là vành đa thức của ần x trên A Kí hiệu

là A[x]

iv) Giả sử A là vành con của vành V và f(x)= a0+a1x+…+anxn ∈A[x]

Phần tử c∈V được gọi là nghiệm của f(x) nếu: f(c)= a0+a1c+…+ancn =0

Phần tử u ∈V được gọi là đại số trên A nếu u là nghiệm của một đa thức g(x) ≠0 nào đó của A[x] Trường hợp ngược lại u được gọi là phần tử siêu việt trên A

v) Cho A là vành, khi đó A[x1,x2]= [A[x1]][x2] là vành đa thức 2- biến

ii) Cho A là vành và f, g là hai đa thức của vành đa thức một biến A[x]

Giả sử rằng hệ số cao nhất của g là phần tử khả nghịch trong A Khi đó luôn tồn

tại hai đa thức duy nhất q, r ∈A[x] sao cho:

f= gq +r và deg(r) < deg(g)

iii) Giả sử A là trường Khi đó vành đa thức một biến A[x] là một miền nguyên

1.1.7.3 Ví dụ

i) Các phần tử thuộc vành cơ sở A đều là đại số trên chính A

ii) 2 là đại số trên trường số hữu tỷ Q Nó là nghiệm của đa thức x2-2

1.2 NHẮC LẠI VỀ MODULE

1.2.1 Module, module con

1.2.1.1 Định nghĩa

Cho A là vành, nhóm Abel (M, +) được gọi là A- module hay module trên

A nếu tồn tại phép toán ngoài: A×M→M,thỏa các tính chất:

(a,m) α am

i) 1m = m,

ii) (a+ b)m= am+ bm,

iii) (ab)m= a(bm),

i) 0m= 0, 0a= 0,

ii) (-a)m= -(am)= a(-m),

iii) (a- b)m= am- bm,

iv) a(m- n)= am- an

1.2.1.3 Ví dụ

i) Mọi không gian vectơ V trên trường K là K- module

thực hiện: (ai)i=1 n +(bi)i=1 n = (ai+bi)i=1 n, là nhóm Abel và M là A- module

iii) Nếu A là vành, N là ideal của A, ta có (N,+) và (A/N,+) là các nhóm Abel Khi đó, N và A/N là các A- module

1.2.1.4 Định nghĩa

nếu cả hai điều kiện sau được thỏa:

iii) Giao của một tùy ý khác rỗng các module con của M là module con của M,

iv) (Ni)i∈I≠φ là họ các A- module con của M, khi đó

i i i I

i

i n n N I

I i i

(M,+) nên nhóm thương (M/N, +) hoàn toàn xác định

1.2.2.1 Định nghĩa Cho M, N là các A- module và ánh xạ f: M→ N được

gọi là đồng cấu A- module hay A- đồng cấu nếu:

∀m1, m2∈M, ∀a ∈A, ta có:

f(m 1 + m 2 ) = f(m 1 ) + f(m 2 )

và f(am 1 ) = af(m 1 )

Nếu M= N thì A- đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu

1.2.2.2 Một số ví dụ về đồng cấu:

i) Cho M và N là các A- module Khi đó ánh xạ 0 :

0 α

m

N

M →

là A-đồng cấu Đồng cấu này gọi là đồng cấu tầm thường hay đồng không

ii) Cho M ≤ N là các A- module Khi đó phép nhúng tự nhiên:

i:

m m

N M

α

→

là đơn cấu A- module

xạ: π :

N m m

N M M

1.2.2.3 Một số tính chất thông dụng của module

i) Tích của hai đồng cấu module (nếu tồn tại) là đồng cấu module và do đó tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) module là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) module

ii) Ánh xạ ngược của đẳng cấu module là đẳng cấu module

iii) Ảnh và tạo ảnh của các module con là các module con

iv) Đồng cấu module biến tập sinh thành tập sinh của ảnh

là ánh xạ được xác định tốt Ta có (HomA(M,N), +) là nhóm Abel

(a,γ(m)) α aγ(m) (∀m∈M)

là ánh xạ được ánh xạ được xác định tốt

1.2.3 Module tự do và module hữu hạn sinh

X là cơ sở của M nếu X vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính

ii) M là A- module tự do (gọi tắt là module tự do) nếu M có một cơ sở nào

đó

iii) M là A- module hữu hạn sinh (gọi tắt là modul hữu hạn sinh) nếu M

có hệ sinh hữu hạn

1.2.3.2 Tính chất

i) Nếu M là A- module tự do với cơ sở X ={ }x i i∈I≠φ và N là A-module

I j j

CHÚ Ý: Module con của module tự do chưa chắc là module tự do

iii) Nếu (Mi)i∈I≠φ là một họ các module tự do thì i

n f

i) Ta nói rằng dãy trên là khớp (nửa khớp) tại Mn nếu Imf n = Kerf

(Imf n⊂Kerf n) Mn gọi là mắt xích thứ n (n∈Z) của dãy khớp

ii) Ta nói rằng dãy trên là khớp (nửa khớp) nếu nó là khớp (nửa khớp) tại mỗi mắt xích, trừ mắt xích đầu và cuối (nếu có)

1.2.4.2 Tính chất

i) Dãy đã cho là dãy khớp tại M n ⇔ f n+1f n =0 và Ker f n +1 ⊂ Im f n

ii) Dãy đã cho là nửa khớp tại M n ⇔ f n+1f n =0

iii) Dãy 0 →M  →f N là dãy khớp ⇔f là đơn cấu

iv) Dãy M  →f N → 0 là dãy khớp ⇔f là toàn cấu

v) Dãy 0 →M  →f N → 0 là dãy khớp ⇔f là đẳng cấu

1.2.5 Tích TENSOR

ánh xạ Khi đó f được gọi là A- song tuyến tính nếu ∀m, m’∈M; ∀a, a’∈A, ta có:

) , ( ) , ( ) ,

(

) , ( ) , ( ) , (

, ,

, ,

, , ,

,

n m f a n m af n a an m f

và

n m f a n m af n m a am

f

+

= +

+

= +

1.2.5.2 Định nghĩa Cho M và N là hai A- module Ta gọi tích tensor của

chúng là một cặp (T, τ ) Trong đó T là A- module và τ là A- song tuyến tính

từ M x N tới T sao cho:

với mọi A- song tuyến tính g từ MxN tới A- module P bất kì thì tồn tại duy nhất A- đồng cấu h : T →P sao cho g = hf

1.2.6 Module Noether – module Artin

1.2.6.1 Định nghĩa

i) A- module M được là A- module Noether nếu mọi dãy tăng các

module con của M đều là dãy dừng (nghĩa là nếu M1 ⊂ M2 ⊂ là dãy các module con của M thì tồn tại số tự nhiên n sao cho Mn= Mn+1=…)

ii) A- module M được là A- module Artin nếu mọi dãy giảm các module con của M đều là dãy dừng (nghĩa là nếu M1 ⊃ M2 ⊃ là dãy các module con của M thì tồn tại số tự nhiên n sao cho Mn= Mn+1=…)

ii) Ảnh đồng cấu của module Noether (Artin) là module Noether (Artin)

khi và chỉ khi N và M/N là module Noether (Artin)

1.2.6.3 Ví dụ

Z- module Z là module Noether nhưng không là module Artin Thật vậy:

đó ta có Z là Z- module Noether

Z là miền nguyên nên tồn tại x∈Z sao cho x ≠0 và x không khả nghịch Xét

Giả sử Z là module Artin, khi đó tồn tại n ∈N*: n = n+1 =

x x

⇒ ∃ y ∈Z : xn = xn+1y

⇒ xn(1-xy) =0

Vậy Z không là module Artin

CHƯƠNG II MỞ RỘNG NGUYÊN CỦA VÀNH VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH MỞ RỘNG NGUYÊN.

2.1 PHẦN TỬ NGUYÊN VÀ SỰ MỞ RỘNG NGUYÊN CỦA VÀNH 2.1.1 Vành mở rộng

ii) Với mỗi vành A, vành đa thức A[x] là một vành mở rộng của vành A

Và nếu B là vành mở rộng của vành A, b∈B thì tập A[b]={f(b)f(x)∈A[x]}

là vành con nhỏ nhất của B chứa A và b Khi đó A[b] là vành mở rộng của vành

1

n n

n n

a x a x

a

x ; a i∈A,i=1,n

2.1.2.2 Ví dụ

i) Mọi phần tử a của vành A bất kỳ đều nguyên trên A vì a là nghiệm của

đa thức monic: f(x) = x- a ∈A[x]

ii) Phần tử α∈Q(i), nguyên trên Z khi và chỉ khi α= a+ib, với a, b∈Z

Phần tử β∈Q( 5), nguyên trên Z khi và chỉ khi β=(a+b 5)/2, với a, b

∈Z và a, b cùng chẳn hoặc cùng lẽ

iii) Vành số hữu tỷ Q là vành mở rộng của vành các số nguyên Z; số 2/3 là

nghiệm của đa thức f(x) = 3x-2 Nhưng f không là đa thức monic, do đó 2/3

không nguyên trên Z

Một cách tổng quát, nếu x=r/s ∈Q nguyên trên Z (r,s∈Z, s≠0, (r,s)=1) thì

r n + a 1 r n-1 s +…+ a n s n =0; a i∈ Z

Do đó s chia hết cho r n , mà (r,s) = 1 nên s = ± 1 Suy ra, x∈Z

với B là vành mở rộng của vành A, và chìa khóa của vấn đề chính là kết quả của

bổ đề sau đây:

(Chúng ta biết rằng, một module được gọi là trung thành nếu linh tử hóa của nó

bằng không)

Cho M là một A-module hữu hạn sinh và M cũng là A[b]- module trung thành

Lấy I là một ideal của A sao cho bM ⊆ IM Khi đó b là nghiệm của đa thức

monic với hệ số trong I

…, xn là các phần tử sinh của M Vì bxi ∈ IM, với i= n1, nên:

bx i = j

n j

ij x c

∑

= 1

trong đó cij∈I Do đó

2.1.2.4 Mệnh đề (các điều kiện tương đương với tính chất nguyên của

là tương đương:

i) b nguyên trên A

ii) A[b] là A- module hữu hạn sinh

iii) A[b] được chứa trong một vành con A’ của B sao cho A’ là

A-module hữu hạn sinh

iv) Tồn tại một A[b]- module trung thành M sao cho M cũng là

A- module hữu hạn sinh

Chứng minh i)⇒ii) Nếu b nguyên trên A thì b là nghiệm của một đa thức

monic bậc n với hệ số trên A Do đó

b n + a 1 b n-1 +…+ a n-1 b + a n = 0; a i∈A, i= n1,

Suy ra bn và các lũy thừa cao hơn n của b có thể biểu diễn như là tổ hợp tuyến tính của các lũy thừa có bậc nhỏ hơn n của b Do đó { 1, b, …, bn-1 } là một

hệ sinh của A[b] trên A, hay A[b] là A- module hữu hạn sinh

ii)⇒iii) Lấy A’= A[b], hiển nhiên A’ là vành con của vành B và A’ là module hữu hạn sinh

A[b]- module trung thành, hiển nhiên M là A- module hữu hạn sinh

iv)⇒i) Áp dụng bổ đề 2.1.1.3 với I =A

2.1.2.5 Hệ quả

Cho A là vành con của vành B, lấy b 1 , b 2 , …, b n∈B Nếu b 1 , b 2 , …, b n đều nguyên trên A thì A[b 1, b 2 , …, b n ] là A- module hữu hạn sinh

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n=1, hệ quả suy ra trực tiếp từ định lý 2.1.2.4

Giả sử A[b1, b2, …, bn-1] là A- module hữu hạn sinh Khi đó A[b1 , b2, …,

bn-1, bn]= A[b1, b2, …, bn-1][bn] và bn nguyên trên A nên bn nguyên trên A[b1, b2,

y∈ A[x] nên A[y] ⊆ A[x], mà x nguyên trên A nên A[x] là A- module hữu hạn sinh Do đó A[y] cũng là A- module hữu hạn sinh

Suy ra y nguyên trên A

2.1.2.7 Mệnh đề

Nếu A là một miền nguyên và K là trường các thương của nó, thì phần tử α

bất kỳ là nguyên trên K khi và chỉ khi aα nguyên trên A với a∈A, a≠0

n n

b

a b

a b

+ − −

n n n

n n

a

a a

a a

⇒ α nguyên trên K

2.1.3 Vành mở rộng nguyên

2.1.3.1 Định nghĩa

Cho A là vành con của vành B Khi đó B được gọi là vành mở rộng nguyên của vành A hay B/A nguyên nếu mọi phần tử của B đều nguyên trên A Hay nói cách khác B nguyên trên A

Ta nói rằng đồng cấu vành f: A→B là đồng cấu nguyên khi và chỉ khi B là nguyên trên vành con imf của nó

2.1.3.2 Ví dụ

nên a nguyên trên A hay vành A là vành mở rộng nguyên của chính nó

ii) Cho K là trường và x∈K Khi đó, K[x] là vành mở rộng nguyên của K[xn]

iii) Mọi phần tử của vành số thực R đều nguyên trên vành số hữu tỷ Q nên

R là vành mở rộng nguyên của Q

iv) Phần tử 1/ 3 ∈R là nghiệm của đa thức 3x2-1∈Z[x] nên 1/ 3 không

nguyên trên Z Do đó R là vành mở rộng của vành số nguyên Z nhưng không là

mở rộng nguyên

2.1.3.3 Mệnh đề

Cho B là vành mở rộng của vành A Nếu B là một A- module hữu hạn sinh thì B là nguyên trên A Khi đó B còn được gọi là mở rộng hữu hạn của A Vậy mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng nguyên

Chú ý: Nếu vành B nguyên trên A thì không thể suy ra B là mở rộng hữu

hạn của A Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi A là vành con của B và B là module hữu hạn sinh

A-Chứng minh

Giả sử B= {x1,x2, ,x n } là A- module hữu hạn sinh

Khi đó A[x 1 , x 2 , …, x n]=B là vành mở rộng nguyên của vành A

2.1.3.4 Hệ quả

Cho B là vành mở rộng của vành A Khi đó b 1 , b 2 , …, b n∈B là nguyên trên

A khi và chỉ khi A[b 1, b 2 , …, b n ] nguyên trên A

2.1.3.5 Mệnh đề (Tính chất bắc cầu của các mở rộng nguyên)

Cho B là vành con của vành C và chứa vành A (A⊆B⊆C) Khi đó, C/A là

mở rộng nguyên khi và chỉ khi B/A và C/B là các mở rộng nguyên

Chứng minh

Lấy c ∈C, vì c nguyên trên B nên c là nghiệm của đa thức monic

f(x) = x n +b x n− + +b n− x+b n

1 1

Vì f(x)∈ A[b1, b2,…, bn][x] nên c nguyên trên A[b1, b2, …, bn], suy ra A[b1,b2,…,bn][c] là A[b1,b2,…,bn]- module hữu hạn sinh (1)

Hiển nhiên bi (i= n1, ) nguyên trên A nên A[b1,b2,…,bn] là A- module hữu hạn sinh (2)

Từ (1) và (2), suy ra A[b1,b2,…,bn][c] = A[b1,b2,…,bn,c] là A- module hữu hạn sinh, suy ra c nguyên trên A hay C/A là mở rộng nguyên

(⇒) Giả sử C/A là mở rộng nguyên

B là vành con của C và chứa A nên B/A là mở rộng nguyên

Xét phần tử c bất kỳ thuộc C Vì C/A là mở rộng nguyên nên c là nghiệm

của đa thức monic f(x) ∈A[x], mà A⊆B nên f(x) ∈B[x], suy ra c nguyên trên B hay C/B là vành mở rộng nguyên

2.1.3.6 Mệnh đề

Cho A là vành con của vành B và B/A là mở rộng nguyên Khi đó tập hợp

tất cả các phần tử của B nguyên trên A là một vành con của B và chứa A

Chứng minh

Gọi Ac là tập hợp các phần tử của B nguyên trên A

Lấy x, y ∈ Ac, khi đó x, y nguyên trên A Suy ra A[x, y] nguyên trên A, suy

ra xy, x+y ∈ A[x, y] là nguyên trên A hay xy và x+y thuộc Ac

Vậy Ac là một vành con của B và chứa A

2.1.3.7 Mệnh đề Cho A là vành con của vành B và B/A là mở rộng

nguyên Khi đó:

i) Nếu S là một tập con nhân của A, thì S -1 B nguyên trên S -1 A

ii) Nếu ϕ: B → C là đồng cấu vành thì ϕ(B) nguyên trên ϕ(A)

Cho A là vành con của vành B và f, g là hai đa thức monic trong B[x], nếu

tất cả các hệ số của fg đều nguyên trên A thì tất cả các hệ số của f và g đều

nguyên trên A

Chứng minh

Gọi Ac là tập hợp tất cả các phần tử của B nguyên trên A

Khi đó tồn tại trường B’ chứa B sao cho f, g phân rã trên B’ hay

f(x)=(x-a1)…(x-am) và g(x)=(x-b1)…(x-bn), với ai, bj∈B’, ∀i=1 m, ∀j=1 n (*)

Suy ra ai, bj lànghiệm của fg trong B’

Mà theo giả thiết, fg∈A[x] nên ai, bj nguyên trên A với ∀i=1 m, ∀j=1 n

Mặt khác, từ (*) ta thấy rằng các hệ số của f là những đa thức của các hệ số

a1, a2, …, am nên các hệ số của f cũng là nguyên trên A

Chứng minh tương tự đối với g

2.1.3.9 Bổ đề

nguyên trên A thì bx∈B[x] nguyên trên A[x]

là đa thức monic theo ẩn y, nhận f là nghiệm Chọn h ∈N thỏa:

h> max{degf, degF1,…, degFm},

và đặt g:= f – xh (∈ B[x], khi đó –g là một đa thức monic bậc h

Nhận thấy rằng q(y + xh) ∈A[x][y] có dạng:

q(y + xh) = ym + G1ym-1 + … + Gm ; với Gi∈A[x], (i=1 m)

và q(g + xh) = 0 ⇒ gm + G1gm-1 + … + Gm = 0

⇒ Gm =-(gm + G1gm-1 + … + Gm-1g) = -g(gm-1 + G1gm-2 + … + Gm-1)

Mà các hệ số của Gm nguyên trên A và –g, (gm-1 + G1gm-2 + … + Gm-1) là các

đa thức monic trong B[x] nên tất cả các hệ số của -g đều nguyên trên A hay tất

cả các hệ số của f đều nguyên trên A

(⇐) Giả sử bi nguyên trên A với i=0 n, khi đó bix nguyên trên A[x] (theo

bổ đề 2.1.3.8.) Suy ra bixi nguyên trên A[x], suy ra f nguyên trên A[x]

2.1.4 Bài tập vận dụng

2.1.4.1 Cho A là vành con của vành B, và B nguyên trên A Chứng minh

rằng:

i) Nếu a∈A là phần tử khả nghịch trong B thì a khả nghịch trong A

ii) Jac(A) = Jac(B)∩A

ii) Ta có:

• Jac(A) ⊂ Jac(B)∩A Thật vậy:

∀a ∈Jac(A) nên a∈A Ta chỉ cần chứng minh a∈ Jac(B)

Gọi M là ideal tối đại bất kỳ của B Giả sử a∉M, khi đó ta có

M + aA ⊆ B

Vì M tối đại trong B nên M + aA = B

⇒ ∃α∈M, β∈A: α + aβ=1

⇒ α = 1- aβ∈M ⇒ 1- aβ không khả nghịch trong B

Nhưng do a∈ Jac(A) nên 1- aβ khả nghịch trong A hay 1- aβ khả nghịch trong

B Suy ra mâu thuẫn hay a∈M Suy ra a∈Jac(B)

Vậy Jac(A) ⊂ Jac(B)∩A (1)

• Jac(A) ⊃ Jac(B)∩A Thật vậy:

∀b ∈Jac(B)∩A Suy ra { b A

B Jac b

∈

Vì b∈Jac(B) nên ∀λ∈B, 1-bλ khả nghịch trong B

Suy ra ∀γ∈A, 1-bγ∈A và khả nghịch trong B

Từ i), suy ra 1-bγ khả nghịch trong A hay b ∈Jac(A)

Vậy Jac(A) ⊃ Jac(B)∩A (2)

Từ (1) và (2), suy ra đpcm

trên A[x1, x2,…, xn] với n≥1 Chiều ngược lại có đúng hay không?