Một số tính chất của vành chính quy von neumann

Như vậy môđun con K của M thỏa mãn M/K là đối sinh bởi U khi vàchỉ khi K chính là Ker h, với h là một đồng cấu từ M vào QAUα và K ⊇ RejMU.Từ các điều trên ta thấy RejMU chính là môđun co

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HỮU QUÂN

VON NEUMANN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã s ố: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS BÙI XUÂN H ẢI

TP HỒ CHÍ MINH - 2011

Lời cám ơn

Trước tiên em xin gửi lời cám ơn đến các thầy, cô của Phòng sau đại học, Bangiám hiệu trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã tạo điều kiện để em có thể tiếp tụcviệc học và hoàn tất luận văn này

Em xin cám ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Tin học, nhất là các thầy trong bộmôn Đại số Các thầy đã dạy dỗ em trong suốt những năm qua, đã truyền cho emkhông chỉ có kiến thức mà còn là niềm say mê toán học Chính những điều này giúp

em rất nhiều trong việc dạy dỗ các em và các cháu của mình Hơn thế nữa, nó trởthành niềm tin giúp em có thêm nghị lực, vượt qua rất nhiều khó khăn trong việc họccũng như trong cuộc sống của mình

Xin cám ơn bác sĩ Hòa đã kiên trì điều trị, chia sẻ và động viên em trong suốt thờigian qua Xin cám ơn anh Đinh Văn Hoàng, anh đã luôn lo lắng và giúp đỡ em nhưmột người anh trai, cho em những lời khuyên và luôn tin tưởng em trong những lúckhó khăn nhất Cuối cùng xin cám ơn bạn Nguyễn Ngọc Ái Vân và bạn Lê Văn Luyệnđã hỗ trợ tài liệu giúp em hoàn tất luận văn này

Tp Hồ Chí Minh, tháng 5, 2011

Nguyễn Hữu Quân

Mục lục

Chương 1 Một số định lý cấu trúc vành và môđun 5

§1 Sinh - Đối sinh, Vết - Đối vết của môđun 5

§2 Căn Jacobson - Định lý Wedderburn-Artin 7

§3 Môđun hữu hạn sinh và môđun hữu hạn đối sinh 13

Chương 2 Vành chính quy von Neumann 19

§4 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản 19

§5 Một điều kiện cần và đủ đối với vành chính quy von Neumann 26

§6 Vành các tự đồng cấu của môđun 28

Bảng ký hiệu

Ký hiệu Ý nghĩa

N Tập các số tự nhiên

Z Tập hợp số nguyên

Zn Tập hợp số nguyên modulo n

N ≤ M N là môđun con của môđun M

M ∼= N M đẳng cấu với N

M ≇ N M không đẳng cấu với N

M → Nf Đồng cấu f từ M đến N

Imf Ảnh của đồng cấu f

Kerf Nhân của đồng cấu f

Mn Tích trực tiếp của n môđun M

Mn(K) Vành ma trận vuông cấp n trên K

R/I Vành thương của R theo I

End(R) Vành các tự đồng cấu của R

RMS R-trái S-phải bimodule

M/N Môđun thương của M theo N

HomR(M, N) Nhóm các đồng cấu từ R-môđun M vào R-môđun NEnd(RM) Vành các tự đồng cấu R-môđun trái M

End(MR) Vành các tự đồng cấu R-môđun phải M

T rM(U) Vết của U

RejM(U) Đối vết của U

Rad M Jacobson radica của môđun M

J (R) Jacobson radica của vành R

Chương I Một số định lý cấu trúc vành và môđun

§1 Sinh - Đối sinh, Vết - Đối vết của môđun

Định nghĩa 1.1 Cho U là một lớp các R-môđun trái Khi đó R-môđun trái M được

gọi là sinh bởi U (hay U sinh M) nếu có một tập (Uα)α∈A trong U và toàn cấu

⊕AUα → M

Nếu (Uα)α∈A là hữu hạn thì ta nói M hữu hạn sinh bởi U (hay U hữu hạn sinh M) Để thuận tiện ta sẽ gọi M là R-môđun thay cho M là R-môđun trái.

Định nghĩa 1.2 Môđun M được gọi là đối sinh bởi U (hay U đối sinh M) nếu có một

tập (Uα)α∈A trong U và đơn cấu

M →Q

AUα

Nếu (Uα)α∈A là hữu hạn thì ta nói M hữu hạn đối sinh bởi U (hay U hữu hạn đối sinh M).

Định nghĩa 1.3 Cho M là môđun và U là lớp các môđun Khi đó, ta định nghĩa Vết

và Đối vết của U như sau:

T rM(U) =P{Im h|h : U → M, U ∈ U}

RejM(U) =T{Ker h|h : M → U, U ∈ U}.

Trong đó, T rM(U) được gọi là vết của U và RejM (U) là đối vết (Reject) của U Trường hợp riêng khi U = {U} tức là U chỉ có duy nhất một phần tử, ta có dạng đơn giản của định nghĩa này như sau:

T rM(U) =P{Im h|h ∈ HomR(U, M)}

RejM(U) =T{Ker h|h ∈ HomR(M, U)}

Mệnh đề 1.1 Cho M là môđun và U là một lớp các môđun Khi đó:

RejM(U) là môđun con K nhỏ nhất duy nhất của M sao cho M/K là đối sinh bởi U.

Chứng minh Theo định nghĩa của RejM(U), ta có (Uβ)β∈B trong U và hβ : M → Uβsao cho RejM(U) = ∩BKer(hβ) Đặt h =Q

Bhβ: M →Q

BUβ ta cóKer h = RejM(U)

Như vậy M/RejM(U) là đối sinh bởi U

Cho (Uα)α∈A là một tập con của U, và đồng cấu h : M → QAUα Đặt K = Ker h,khi đó K = ∩AKer(παh) với πα là phép chiếu của QAUα xuống thành phần thứ Uα(vì x ∈ Ker h ⇔ h(x) = 0 ⇔ παh(x) = 0, ∀α ∈ A ⇔ x ∈ ∩AKer(παh)).

Ta có: K = Ker h ⊇ RejM(U) và M/K →Q

AUα là đơn cấu Hay M/K là đốisinh bởi U Như vậy môđun con K của M thỏa mãn M/K là đối sinh bởi U khi vàchỉ khi K chính là Ker h, với h là một đồng cấu từ M vào QAUα và K ⊇ RejM(U).Từ các điều trên ta thấy RejM(U) chính là môđun con K nhỏ nhất duy nhất của

M thỏa M/K là đối sinh bởi U

Hệ quả 1.2 Cho M là môđun và U là một lớp các môđun Khi đó: U đối sinh M khi

và chỉ khi RejM(U) = 0

Bổ đề 1.3 Cho M là một môđun khác 0, N là môđun con thực sự của M và x ∈ M\N.

Khi đó:

(i) M có môđun con K tối đại với tính chất: N ⊆ K và x 6∈ K;

(ii) Nếu M = Rx + N thì M có môđun con tối đại K với tính chất N ⊆ K và

n=1

Kn Ta có N ⊆ L ⊆ M, tachứng minh L ∈ S Thật vậy, vì x 6∈ Ki, ∀i nên x 6∈ L Theo bổ đề Zorn, trong S tồntại các phần tử tối đại Nghĩa là có môđun tối đại K thỏa N ⊆ K và x 6∈ K

(ii) Suy ra từ (i)

§2 Căn Jacobson - Định lý Wedderburn-Artin

Định nghĩa 2.4 Cho S là lớp các R-môđun trái đơn Khi đó, với mỗi R-môđun trái

M ta định nghĩa căn Jacobson (Jacobson radical) của M là

Rad M = RejM(S)

Ta biết rằng: RejM(S) = T{Ker h | h: M → U, U ∈ S} S là lớp các môđun đơnnên:

Rad M = T{K ≤ M | K tối đại trong M}

Vì bản thân vành R cũng là một R-môđun trái, phải trên chính nó Với phép nhânvô hướng chính là phép nhân trên vành R Từ đây, ta có định nghĩa căn Jacobson củavành như sau:

Định nghĩa 2.5 Cho R là vành Khi đó căn Jacobson của vành R được kí hiệu là

J (R) và được xác định bởi

J (R) = Rad(RR)

Định nghĩa 2.6 Một vành R được gọi là J-nửa đơn (J-semisimple) nếu J(R) = 0 Mệnh đề 2.1 Cho R là vành R = ⊕α∈AIα là tổng trực tiếp của các ideal phải (trái) khi và chỉ khi tồn tại một tập (ei) n

i=1 các luỹ đẳng trực giao thoả 1 = e1+ e2+ + en

Khi đó R = e1R ⊕ ⊕ enR (R = Re1⊕ ⊕ Ren).

Chứng minh Một cách đầy đủ ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp R được phân

tích theo các ideal phải Bằng cách lập luận hoàn toàn tương tự ta có được kết quảđối với các ideal trái

(⇒) Gọi R = I1⊕ ⊕ Im⊕ là một phân tích của R thành tổng trực tiếp củacác ideal phải khác không (số phần tử của tổng này không nhất thiết phải hữu hạn).Khi đó 1 = ej1+ + ejn, trong đó ejt ∈ Ijt và ejt khác không (t = 1, , n)

Với mọi a ∈ R ta có:

a = 1.a =

nXt=1

ejta ∈

nXt=1

Ijt.Suy ra R = Ij1 + + Ijn, hơn nữa tổng của các ideal trong phân tích của R ở trênlà trực tiếp nên R = Ij1 ⊕ ⊕ Ijn Bằng cách đánh số lại các ideal này, ta có thể giảsử rằng R = I1⊕ ⊕ In và 1 = e1+ + en Do tổng ở trên là tổng trực tiếp nên

ak = ekak với mọi ak ∈ Ik Suy ra Ik = ekR, e2

k = ek.ek = ek và eiej = 0 nếu i 6= j

Do đó R = e1R⊕ ⊕ enR và (ei) n

i=1 là tập các lũy đẳng trực giao thỏa 1 = e1+ + en.(⇐) Với (ei)n

i=1 là tập hợp các luỹ đẳng trực giao của R thoả 1 = e1+ + en.Khi đó, với mỗi a ∈ R ta có a = 1.a = e1a + + ena Suy ra R = e1R + + enR.Để chứng minh rằng R là tổng trực tiếp của các ideal này, ta cần chỉ ra rằng với mọi

a ∈ eiR ∩ P

j6=iejR, thì a = 0

Thật vậy, với a ∈ eiR ∩ P

j6=iejR, ta có các aj ∈ R sao cho a = eiai =P

j6=iejaj.Suy ra a = eiai = eieiai =P

j6=ieiejaj = 0 Vậy R = e1R ⊕ ⊕ enR

Định lý 2.2 Cho e, f là các luỹ đẳng của vành R Khi đó có một đẳng cấu nhóm

giữa HomR(eR, fR) và fRe Nếu e = f, thì vành EndR(eR) ∼= eRe Trường hợp riêng, R ∼= EndR(R)

Chứng minh Với mỗi ψ ∈ HomR(eR, fR) ta có một a ∈ R sao cho ψ(e) = fa Do

ψ là một đồng cấu môđun nên ψ(e) = ψ(e2) = ψ(e)e = fae ∈ fRe Do đó ta có thểđịnh nghĩa ánh xạ θ: HomR(eR, fR) → eRf xác định bởi: θ(ψ) = ψ(e)

Theo như trên ta có θ(ψ) = fae ∈ fRe, ngoài ra θ(ψ − ρ) = (ψ − ρ)(e) =ψ(e) − ρ(e) = θ(ψ) − θ(ρ) Vậy θ là đồng cấu nhóm Ta sẽ chỉ ra rằng θ là đẳng cấu.Nếu θ(ψ) = 0, thì ψ(ea1) = ψ(e)a1= 0, ∀a1∈ R Suy ra ψ = 0, nghĩa là θ là đơncấu Mặt khác, với mọi fae ∈ fRe ta có thể xây dựng đồng cấu ψ ∈ HomR(eR, fR)bằng cách đặt ψ(e) = fa và đồng cấu θ bằng cách đặt θ(ψ) = fae Do đó θ là toàncấu, Suy ra θ là đẳng cấu

Với e = f ta có một đẳng cấu nhóm θ: EndR(eR) → eRe Ta sẽ chỉ ra rằng θbảo toàn phép toán nhân là phép hợp nối đồng cấu trong EndR(eR) Thật vậy, với

ψ, ψ1 ∈ EndR(eR) và ψ(e) = ea, ψ1(e) = ea1 Ta có θ(ψ) = ea và θ(ψ1) = ea1 Mà

ψψ1(e) = ψ(ea1) = ψ(e)a1 = ψ(e2)a1 = ψ(e)ea1 = eaea1

Nên θ(ψψ1) = ψψ1(e) = eaea1 = θ(ψ)θ(ψ1) Vậy EndR(eR) ∼= eRe

Trường hợp riêng, khi e = 1 ta có R ∼= EndR(R)

Với e, f là lũy đẳng của vành R Khi đó, với mỗi ψ ∈ HomR(Re, Rf) Ta có a ∈ Rsao cho ψ(e) = af Suy ra ψ(e2) = eψ(e) = eaf ∈ eRf

Bằng cách xét tương ứng θ: HomR(Re, Rf) → eRf định bởi: θ(ψ) = ψ(e) Dễdàng có được khẳng định của định lý trên cho trường hợp môđun phải như sau:

Định lý 2.3 Cho e, f là các luỹ đẳng của vành R Khi đó có một đẳng cấu nhóm

giữa HomR(Re, Rf) và eRf Nếu e = f, thì vành EndR(Re) ∼= eRe Trường hợp riêng, R ∼= EndR(R)

Cho R là tổng trực tiếp của các ideal phải R = e1R ⊕ ⊕ enR, với tương ứng

1 = e1+ +en Khi đó, với mọi a ∈ R ta có: a = 1.a.1 = (e1+ +en)a(e1+ +en) =Pn

i,j=1eiaej Dễ thấy R có thể được phân tích dưới dạng tổng trực tiếp của các nhómaben eiRej (i, j = 1, , n):

an1 an2 ann

trong đó aij = eiaej ∈ Rij Lúc này R được biểu diễn như là một vành ma trận

với các phép toán cộng và nhân thông thường

Phân tích dạng này được gọi là phân tích Peirce hai phía của vành R (two-sidedPeirce decomposition, hay ngắn gọn là Peirce decomposition) Theo định lý 2.2 thì cácphần tử của eiRej được xác định một cách tự nhiên qua đồng cấu từ ejR đến eiR

Mệnh đề 2.4 Cho M là R-môđun và S = EndR(M) Khi đó, với số nguyên dương

n bất kỳ, tồn tại đẳng cấu vành giữa EndR(Mn) và Mn(S).

Chứng minh Với f ∈ EndR(M n), gọi εj : M → Mn là phép nhúng M vào thànhphần thứ j, và πi : Mn → M là phép chiếu Mn xuống thành phần thứ i Gọiαij = πifεj là dãy hợp nối ánh xạ

(αij) 7→ fxác định một đồng cấu nhóm

ψ : Mn(S) → EndR(Mn)

Hơn nữa, kiểm chứng dễ dàng ψϕ = 1EndR(Mn ) và ϕψ = 1Mn(S) Vậy ϕ là mộtđẳng cấu nhóm abel

Mệnh đề 2.5 Cho M = M1 ⊕ ⊕ Mn, trong đó (Mi)n

i=1 là tập các R-môđun con của M đôi một đẳng cấu với nhau Khi đó, EndR(M) ∼= Mn(EndR(M1))

Chứng minh Với i = 1, , n, gọi πi là phép chiếu của môđun M xuống hạng tửtrực tiếp Mi Khi đó (πi)n

i=1 là họ các luỹ đẳng trực giao trong vành EndR(M) thoả

1 = π1+ + πn Ta có phân tích Peirce của vành EndR(M):

EndR(M) = ⊕ni,j=1πiEndR(M)πj

Theo phân tích này thì mọi phần tử ϕ ∈ EndR(M) có dạng

i ϕijµi) ∈ Mn(EndA(M1)) Rõ ràng tương ứng này xác định mộtđẳng cấu vành từ EndA(M) vào Mn(EndA(M1)).

Bổ đề 2.6 (Schur’s Lemma) Mọi đồng cấu khác không giữa các môđun đơn là đẳng

cấu Trường hợp riêng, vành tự đồng cấu của một môđun đơn là vành chia.

Chứng minh Cho f: U → V là đồng cấu khác không từ môđun đơn U vào môđun đơn

V Do Im f, Ker f lần lượt là môđun con của V và U, f 6= 0 suy ra Ker f 6= U và

Im f 6= 0 Từ U, V là đơn ta có Ker f = 0 và Im f = V suy ra f là đẳng cấu.Từ bổ đề Schur ta còn thấy: nếu M và N là các môđun đơn và M ≇ N thìHomR(M, N) = 0

Định lý 2.7 (Wedderburn-Artin) Cho vành R, khi đó các điều kiện dưới đây là tương

đương:

(a) R là nửa đơn phải;

(b) R đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành ma trận trên vành chia;

(c) R là nửa đơn trái.

Chứng minh.

(a) ⇒ (b): Theo định nghĩa, vành R là R-môđun nửa đơn phải thì R được phântích thành tổng trực tiếp của các R-môđun phải đơn Giả sử R có phân tích dạng:

RR= ⊕ARαtrong đó Rα là các R-môđun phải đơn với mọi α ∈ A Đặt (πα)α∈A là các phép chiếuπα: R → Rα Ta có πα(1) 6= 0 với một số hữu hạn các α ∈ A Suy ra chỉ cómột số hữu hạn các Rα, hay R được phân tích thành tổng của một số hữu hạn cácR-môđun đơn

Bằng cách nhóm các môđun đẳng cấu với nhau ta có R = Rn1

1 ⊕ ⊕ Rn s

s , trongđó các môđun R1, , Rs là các môđun phải đơn và đôi một không đẳng cấu với nhau.Khi đó theo mệnh đề 2.1, tồn tại các luỹ đẳng trực giao f1, , fs sao cho

1 = f1+ + fs và fiR = Rn i

i (i = 1, 2, , s)

Theo định lý 2.2, fiRfj ∼= HomR(fjR, fiR) = HomR(Rn j

Theo mệnh đề 2.5 thì EndR(Rn i

i ) ∼= Mni(EndR(Ri)) Hơn nữa, theo bổ đề Schur thìEndR(Ri) là vành chia Suy ra R ∼= ⊕si=1Mni(EndR(Ri)) Hay R đẳng cấu với tổngtrực tiếp của một số hữu hạn các vành ma trận trên vành chia

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có (c) ⇒ (b)

(b) ⇒ (a): Ta biết rằng tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành nửa đơn phảicũng là nửa đơn phải Do đó, để chứng minh (b) ⇒ (a) ta chỉ cần chỉ ra rằng: nếu

R = Mn(D) trong đó D là vành chia thì R là vành nửa đơn phải

Gọi e là ma trận đơn vị của vành Mn(D) Với mọi i, j = 1, , n, gọi eij ∈ Mn(D)xác định bởi 1 tại vị trí (j, i) và 0 ở tất cả các vị trí còn lại của ma trận Khi đó, (eii)n

i=1tạo thành một tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao của R và e = e11+ + enn Suy ra

R = ⊕n

i=1eiiR Với mỗi i = 1, , s, gọi U là môđun con khác trống tùy ý của eiiR Tasẽ chỉ ra rằng môđun con này cũng là eiiR Điều này chứng tỏ rằng ideal phải eiiR làmột R-môđun đơn

α1 α2 αn

Do a 6= 0 nên tồn tại một chỉ số m sao cho αm 6= 0 và α−1

m ∈ D (do D là vànhchia) Bằng tính toán ta thấy rằng aα−1

m emm= eim và eijejt = eit

Với mọi phần tử b = Pn

k=1eikβk∈ eiiR, ta có thể phân tích lại b dưới dạng:

nXk=1

aα−1m emmemkβk = aα−1m emm

nXk=1emkβk

Mà a thuộc ideal phải U nên b ∈ U Suy ra U = eiiR, tức là eiiR là một R-môđun phảiđơn Vậy vành R = Mn(D) là nửa đơn phải

(b) ⇒ (c): Ta phân tích vành R = Mn(D) thành tổng trực tiếp của các ideal tráiReii: R = ⊕n

i=1Reii, rồi chứng minh tương tự như trên ta có (b) ⇒ (c)

Định nghĩa 2.7 Vành R được gọi là không phân tích được (indecomposable) nếu

R 6= 0 và R không là tích trực tiếp của hai vành khác 0.

Mệnh đề 2.8 Vành R là không phân tích được khi và chỉ khi 1 là lũy đẳng tâm khác

0 duy nhất của R.

Chứng minh (⇒) Cho R là không phân tích được Ta biết rằng 1 là phần tử lũy đẳng

tâm của R Giả sử rằng tồn tại phần tử e là lũy đẳng tâm không tầm thường, nghĩalà e 6= 0, e 6= 1 và ea = ae, ∀a ∈ R Khi đó f = 1 − e cũng là lũy đẳng trong R Do

ef = e(1 − e) = 0 và ∀a ∈ R, fa = (1 − e)a = a − ea = a − ae = a(1 − e) = af,suy ra e, f là các lũy đẳng tâm trực giao không tầm thường và 1 = e + f Ngoài ra,

eR = Re = eRe, fR = Rf = fRf và eRf = fRe = 0 Ta có eRe, fRf là vành vớiphần tử đơn vị tương ứng là e, f Nên phân tích Peirce của vành R có dạng

R = eRe 0

0 fRf



Do đó R có thể phân tích thành tích trực tiếp của hai vành khác 0 Điều này mâuthuẫn với giả thiết Vậy điều giả sử là sai nghĩa là 1 là phần tử lũy đẳng tâm khác 0duy nhất của R

(⇐) Ta sẽ chứng minh chiều này bằng đảo đề Giả sử rằng R = R1× R2, trongđó R1, R2 là các vành khác không Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại ít nhất một lũy đẳng tâmtrực giao khác 0 và khác 1 Thật vậy, đặt e1 = (1, 0) và e2 = (0, 1) Khi đó, 1 = e1+ e2và e1, e2 là các lũy đẳng trực giao Hơn nữa, chúng là các lũy đẳng tâm khác 0 và 1,bởi vì e1a = (a1, 0) = ae1 và e2a = (0, a2) = ae2, ∀a = (a1, a2) ∈ R = R1× R2 Nhưvậy trong trường hợp này R có ít nhất hai lũy đẳng tâm không tầm thường Ta cóđpcm

§3 Môđun hữu hạn sinh và môđun hữu hạn đối sinh

Định nghĩa 3.8 Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu với mọi tập A các môđun con

của M mà sinh ra M, có một tập hữu hạn F ⊆ A sao cho F sinh ra M Nghĩa là:

P A = M suy ra P F = M với F ⊆ A, F hữu hạn.

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa ta đã biết: ‘‘Môđun M là hữu hạn sinhnếu nó có một tập sinh hữu hạn’’ Thật vậy:

Giả sử M là hữu hạn sinh Gọi B là tập tất cả các môđun con của M sinh bởi mộtphần tử Khi đó M = P B M là hữu hạn sinh nên tồn tại tập con hữu hạn F của Bsao cho M = P F Tức là M = Pn

i=1Rxi Vậy M có tập sinh hữu hạn {x1, , xn}.Ngược lại, giả sử rằng {x1, , xn} là tập sinh hữu hạn của môđun M và giả sửrằng B là tập hợp các môđun con của M thỏa mãn M = P B Khi đó với mỗi xi cómột tập con hữu hạn Fi ⊆ B sao cho xi ∈ P Fi Đặt F = F1∪ ∪ Fn Khi đó Fhữu hạn và P F là môđun con của M chứa một tập sinh {x1, , xn} nên M =P F.Tức là M là hữu hạn sinh

Chúng ta nói rằng môđun M thỏa điều kiện dây chuyền giảm hay DCC (DescendingChain Condition) nếu không tồn tại một dây chuyền giảm ngặt vô hạn

M1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃

các môđun con của M

Định nghĩa này còn được phát biểu dưới dạng sau:

Môđun M thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay DCC) nếu mọi dây chuyền giảmcác môđun con của M

Môđun M được gọi là Artin nếu M thỏa điều kiện dây chuyền giảm

Tương tự, chúng ta nói rằng môđun M thỏa điều kiện dây chuyền tăng hay ACC(Ascending Chain Condition) nếu không tồn tại một dây chuyền tăng ngặt vô hạn

M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂

các môđun con của M

Hay môđun M thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay ACC) nếu mọi dây chuyềntăng các môđun con của M

M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆

chỉ chứa hữu hạn các phần tử Nghĩa là có số tự nhiên n sao cho Mn = Mn+1 =Mn+2 =

Môđun con N của M được gọi là tối đại nếu N 6= M và không tồn tại môđun con

L khác M sao cho N ⊂ L ⊂ M Chúng ta nói rằng môđun M thỏa điều kiện tối đạinếu mọi tập khác trống các môđun con của M có phần tử tối đại với quan hệ bao hàm.Môđun M được gọi là Noether nếu M thỏa điều kiện dây chuyền tăng

Mệnh đề 3.1 Đối với môđun M các phát biểu dưới đây là tương đương:

(a) M là Noether;

(b) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh;

(c) Mọi tập khác trống các môđun con của M có phần tử tối đại.

Chứng minh (a) ⇒ (b): Giả sử môđun M là Noether nhưng có một môđun con N

của M mà N không hữu hạn sinh Khi đó với 0 6= x1 ∈ N, gọi N1 là môđun sinh bởi

x ta có N1 6= N Suy ra tồn tại x2 ∈ N\N1 Đặt N2 là môđun sinh bởi {x1, x2} ta cóN1 ⊂ N2 Do N không hữu hạn sinh nên tiếp tục quá trình trên ta xây dựng đượcmột dây chuyền tăng ngặt vô hạn

N1 ⊂ N2⊂ N3⊂

các môđun con của N Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là Noether

(b) ⇒ (a): Giả sử rằng mọi môđun con của M là hữu hạn sinh Ta sẽ chứng minh

M là Noether Xét một dây chuyền tăng

M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆

các môđun con của M

Gọi T là hội của tất cả các môđun con Mi trong dây chuyền này Khi đó T là hữuhạn sinh, do T cũng là môđun con của M Nghĩa là T có tập sinh hữu hạn {x1, , xs}

Do dây chuyền ở trên là tăng nên tồn tại môđun Mn sao cho {x1, , xs} ∈ Mn Suy

ra T = Mn và Mi = Mn với mọi i ≥ n Vậy M thỏa điều kiện ACC hay M là Noether.(a) ⇒ (c): Giả sử rằng L là một tập khác trống các môđun con của M mà L khôngcó phần tử tối đại Khi đó L khác trống nên tồn tại môđun con M1 ∈ L Do M1 khôngphải là phần tử tối đại nên tồn tại môđun M2 ∈ L sao cho M1 ⊂ M2 Môđun M2không phải là tối đại nên có môđun M3 ∈ L sao cho M2 ⊂ M3 Rõ ràng với cách lậpluận như trên ta có một dây chuyền tăng ngặt

M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂

các môđun con của M Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là Noether

(c) ⇒ (a): Xét dây chuyền tăng

M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆

các môđun con của M Bởi vì tập các môđun trong dây chuyền này có phần tử tối đạinên tồn tại môđun tối đại Mn sao cho Mn = Mn+1= Mn+2 =

Vậy M thỏa điều kiện ACC nên M là Noether

Định nghĩa 3.9 Môđun M được gọi là hữu hạn đối sinh nếu với mọi tập A các

môđun con của M

∩A = 0 suy ra ∩F = 0 với F hữu hạn, F ⊆ A.

Mệnh đề 3.2 Đối với môđun M các phát biểu dưới đây là tương đương:

(a) M là Artin;

(b) Mọi môđun thương của M là hữu hạn đối sinh;

(c) Mọi tập khác trống các môđun con của M có phần tử tối tiểu.

Chứng minh (a) ⇒ (c): Giả sử rằng S là một tập khác trống các môđun con của M

và S không có phần tử tối tiểu S khác trống nên tồn tại môđun con M1 ∈ S Do Skhông có phần tử tối tiểu nên tồn tại môđun M2 ∈ S sao cho M1 ⊃ M2 Môđun M2không phải là tối tiểu nên có môđun M3 ∈ S sao cho M2 ⊃ M3 Lập luận như trên tacó một dây chuyền giảm ngặt

M1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃

các môđun con của M Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là Artin

(c) ⇒ (b): Giả sử rằng mọi tập khác trống các môđun con của M có phần tử tốitiểu Khi đó, nếu K là môđun con của M và A là tập các môđun con của M sao cho

∩A = K Ta sẽ chỉ ra rằng có một tập hữu hạn F ⊆ A sao cho ∩F = K

Đặt P = {∩F | F ⊆ A, F hữu hạn} Hiển nhiên P khác trống do A khác trống.Theo giả thiết, P có phần tử tối tiểu có dạng F = ∩F, với F hữu hạn Ta sẽ chỉ ra

K = ∩F = F

Thật vậy, giả sử K 6= F Khi đó tồn tại phần tử x ∈ F \K Mà K = ∩A nên tồntại Ai ∈ A sao cho x /∈ Ai Khi đó, Ai∩ F hữu hạn và Ai∩ F ⊂ F Điều này mâuthuẫn với tính tối tiểu của F Suy ra K = F

(b) ⇒ (a): Xét dây chuyền giảm tuỳ ý

L1 ⊇ L2 ⊇ L3 ⊇ các môđun con của M

Đặt K = ∩i∈NLi Ta có M/K là hữu hạn đối sinh và K = ∩i∈NLi nên theo giảthiết, tồn tại một tập con hữu hạn I ⊂ N sao cho ∩ILi = K Đặt l = max I Ta có

K = Li = Ll+i, ∀i = 1, 2, hay M là Artin